精品解析：福建省厦门大学附属科技中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性测试数学试题

厦门大学附属科技中学2025-2026学年上学期第二次阶段性测试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 高二数学备课组命制 高二数学备课组审核 2025.10.30 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 14 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，存在实数满足，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为，，，且，，共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得 故选：B． 2. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 4. 已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ） A. 0 B. ±1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆的方程得出圆心坐标和半径；再根据题意分析得出圆心O到直线：的距离d为1；最后利用点到直线距离公式等式求解即可. 【详解】圆的圆心坐标是，半径为2. 因为圆上恰有三个点到直线距离等于1， 所以圆心O到直线：的距离d为1，即，得. 故选：C. 5. 在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】分析得到与点距离为1，与点距离为2的直线为以为圆心1为半径的圆和以为圆心2为半径的公切线，根据两圆的位置关系得到公切线的条数. 【详解】∵在平面内与点距离为1的直线的是以为圆心1为半径的圆的切线， 同理可得与点距离为2的直线是以为圆心2为半径的圆的切线， 满足条件的直线为两圆的公切线， ， 两圆的位置关系为外离，公切线有4条， 故满足条件的直线有4条. 故选：D 6. 已知是双曲线的左、右焦点，在双曲线上存在点满足，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合双曲线的定义可得，可求得，结合勾股定理可得，求解即可. 【详解】设，又，所以， 又在双曲线上的一点，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 7. 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的等式，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 8. 若直线上存在两点，，且，圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得点在以为圆心，1为半径的圆上(为线段的中点)，从而得两圆相交，则有，求出的最小值，代入求解即可. 【详解】因为，在直线上，且，， 设线段的中点为， 则点在以为圆心，1为半径的圆上， 又因为点在圆上， 所以两圆相交， 又因为圆的圆心为， 圆心为到直线的距离为， 所以， 又因为， 即，解得， 即的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AB 【解析】 【分析】根据焦点三角形的周长为判断A；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积可判断C；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断D． 【详解】对于A，由题意，， 的周长为，故A正确； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，， 则为直角，故B正确； 对于C，当时，如图，中， 由余弦定理得， 即①， 又，即②， 联立①②可得， 所以，故C错误； 对于D，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故D错误． 故选：AB． 11. 在棱长为的正方体中，有，则（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为 C. 四棱锥外接球的表面积为 D. 若为平面内的动点，且，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可知A正确；根据点面距离的向量求法可求得B错误；设球心为，利用可构造方程求得长，进而得到外接球半径，代入球的表面积公式即可求得C正确；设，利用向量夹角公式可求得点轨迹方程，知其轨迹为椭圆，利用椭圆的切线方程的求法可确定的最值，由此可D正确.. 【详解】以为原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，为中点， 则，，，，，，，，， 对于A，，，， 设平面的法向量， ，令，则，， ，即直线与平面所成角的正弦值为，A正确； 对于B，，，， 设平面的法向量， ，令，则，，， 点到平面的距离为，B错误； 对于C，取中点，设，设球心为，则平面，连结， 分别为中点，，平面， 设，由得：，解得：， 四棱锥外接球半径， 四棱锥外接球表面积，C正确； 对于D，设，，， ， 整理可得：，即， 在平面内，点轨迹是以为中心，长轴长为，短轴长为的椭圆，如下图所示， 则当与椭圆相切时，取得最值； 易知过点作椭圆切线，切线斜率一定存在，可设该切线方程为， 由得：， ，解得：，， ，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且，则到直线的距离为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求向量的坐标，利用向量方法求点到直线的距离． 【详解】如图，以A为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 即，， 则，， 所以点到直线的距离为． 故答案为：． 13. 已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，应用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线时取得最值，即可得到的最小值. 【详解】双曲线中 ，，，，， 圆半径为，， ， (当且仅当共线且在之间时取等号)， ， 当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号． 的最小值是7． 故答案为：7. 14. 已知直线与椭圆切于点，与圆交于，两点，圆在点，处的切线交于点，为坐标原点，则弦长的最小值为_____________；的面积的最大值为_________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，利用四点共圆，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减得出直线的方程，直线与过点的椭圆的切线重合，可得，利用弦长公式计算，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，三角形的面积公式和三角恒等变换以及三角函数的基本性质求出所求的最大值． 【详解】对于①：设，由，可得四点共圆， 可得以为直径的圆的方程为， 联立圆，相减可得的方程为， 又直线与椭圆相切，可得过的切线方程为，即， 由两直线重合的条件可得， 由于在椭圆上，可设， 即有， 圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 则， 则当，即时，弦长取最小值为． 对于②：， ， ， 即有 ， 当，即时取等号， 所以的面积的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四面体中，，，，设. （1）求的值； （2）已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【答案】（1）36 （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）根据空间向量的线性，结合模长公式即可求解. 【小问1详解】 由，，可得 , 所以 【小问2详解】 由于是线段中点，点满足， 所以, 故, 所以, 所以 16. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）若直线交于，两点，且的面积为2，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求得，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理，弦长公式及三角形面积公式列方程求实数的值即可． 【小问1详解】 ∵双曲线的实轴长为2，∴，即， ∵右焦点到渐近线的距离为， ∴，即，得， ∴双曲线的方程为． 【小问2详解】 设， 联立，得， ∴，， ∴， 点到直线的距离为， ∴的面积为， 整理得，解得． 17. 如图，四棱锥中，，，，，． （1）证明：； （2）若平面平面，且四棱锥的高为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）如图，取中点O，连接． 由，且O为中点，则． 由于，且，， 则四边形为正方形，也即． 由于，，平面，且， 故平面． 又平面，故． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点O，连接，证明平面即可； （2）以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得平面平面，且为交线， 故平面，则为四棱锥的高，故． 以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，． 故，，． 设平面的法向量，平面的法向量． 则，即，令，解得； ，即，令，解得． 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，由圆与直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时，则直线，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. 【小问1详解】 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 【小问3详解】 法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 19. 已知圆，圆.动圆与圆外切，且与圆内切，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率不为的直线与相交于点，（在的左侧）. ①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②设直线，相交于点，点为的内心，记，，的面积分别为，，，证明：为定值. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据动圆与两定圆的位置关系得出点满足椭圆的定义，进而求出轨迹方程； （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出与的比值，化简得出定值； ②根据三角形内心的性质和三角形面积公式进行推导，得出为定值. 【小问1详解】 设动圆的半径为，圆心。 已知圆，则圆心，半径；圆，则圆心，半径； 因为动圆与圆外切，且与圆内切，所以，； 则； 根据椭圆的定义可得点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，与椭圆联立： ，消去得：， 设，，由韦达定理得：，； 直线的斜率，直线的斜率， 因此：， 代入，，得：， 分子：， 分母：， 因此，代入斜率比得：， 故为定值； ②设的内心到三边的距离为， ，因，故， ，， 因此：， 直线：，由①知，故直线可写为：，即：，直线过和，斜率为，其方程为：，联立直线与的方程，消去后解得：， 代入的方程得，即； ，则：， ， 因为点在椭圆上，故由椭圆方程，得； 将代入化简得： ，. 由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故，，， 因此：，； 故：， 因，故，所以，故：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属科技中学2025-2026学年上学期第二次阶段性测试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 高二数学备课组命制 高二数学备课组审核 2025.10.30 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 14 C. 12 D. 2. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ） A. 0 B. ±1 C. D. 5. 在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 已知是双曲线的左、右焦点，在双曲线上存在点满足，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线上存在两点，，且，圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 11. 在棱长为的正方体中，有，则（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为 C. 四棱锥外接球的表面积为 D. 若为平面内的动点，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且，则到直线的距离为_____________. 13. 已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______． 14. 已知直线与椭圆切于点，与圆交于，两点，圆在点，处的切线交于点，为坐标原点，则弦长的最小值为_____________；的面积的最大值为_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四面体中，，，，设. （1）求的值； （2）已知是线段中点，点满足，求线段的长. 16. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）若直线交于，两点，且的面积为2，求实数的值. 17. 如图，四棱锥中，，，，，． （1）证明：； （2）若平面平面，且四棱锥的高为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 19. 已知圆，圆.动圆与圆外切，且与圆内切，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率不为的直线与相交于点，（在的左侧）. ①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②设直线，相交于点，点为的内心，记，，的面积分别为，，，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $