精品解析：福建省厦门市大同中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

福建省厦门市大同中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 （满分：150分；考试时长：120分钟） 注意事项：1.答题前填写好自己的班级、姓名、座号 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求. 1. 已知集合，，则中元素个数（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A B. C. 1 D. 2 4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 24 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　） A. c＜a＜b B. a＜b＜c C. b＜a＜c D. c＜b＜a 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a<b<0，则下列不等式成立的是（ ） A. |a|>|b| B. C ab<b2 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. ““是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最大值为 C. 若不等式解集为，则 D. 命题“，使得”的否定为“，使得” 11. 已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（ ） A. B. 若在R上单调递增，则 C. 是奇函数 D. 是奇函数 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______________. 13. 已知幂函数的图象过点，则______. 14. 定义为，中的最大值，函数的最小值为，如果函数在R上单调递减，则实数的取值范围为___________． 四、解答题、共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集U＝R，集合A＝{x|m﹣2＜x＜m+2，m∈R}，集合B＝{x|﹣4＜x＜4}． （1）当m＝3时，求A∩B，A∪B； （2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16. （1）计算； （2）若，求的值. （3）已知，求的最大值 17. 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足． （1）试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式； （2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值． 18. 已知，． （1）当时，求的解集； （2）若解集为，求实数的值； （3）当时，求关于的不等式的解集. 19. 已知函数． （1）若，判断的奇偶性并加以证明． （2）当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值． （3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门市大同中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 （满分：150分；考试时长：120分钟） 注意事项：1.答题前填写好自己的班级、姓名、座号 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为,故A错误, 对于B，，与定义域相同，对应关系也相同，故B符合， 对于C，，与的对应关系不相同，故C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域不相同，故D错误， 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数概念计算即可. 【详解】由题意知. 故选：D 4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义及基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】解：对于A：是奇函数在上为减函数，故A错误； 对于B：是非奇非偶函数，在区间上为增函数，故B错误； 对于C：是奇函数，在上为减函数，故C错误； 对于D：定义域为，函数在区间上为增函数， 又，所以是奇函数，故D正确； 故选：D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】对所求的式子进行适当的变形再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为7. 故选：B 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 7. 已知a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　） A. c＜a＜b B. a＜b＜c C. b＜a＜c D. c＜b＜a 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可以判断，的大小，根据幂函数的单调性可以判断，的大小，综合可得结果. 【详解】∵，可得是单调减函数， ∵，∴， ∵，可得为减函数， ∵，∴ ， 综上可得，故选D. 【点睛】本题考查大小比较，解题的关键是利用指数函数、幂函数的单调性，常见的做法还有可能与 1比较，属于基础题. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式可以判断出该函数的单调性，再结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为对于任意两个实数且，不等式恒成立， 所以有，或， 即，或， 所以当时，函数单调递增， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以当时，函数单调递增， 由，或， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由， 由， 由， 所以不等式的解集为， 故选：D 二、多选题：每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a<b<0，则下列不等式成立的是（ ） A. |a|>|b| B. C. ab<b2 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合不等式的性质逐项分析判断作答. 【详解】因，则，即，A正确； 因，即有，则，即，B不正确； 因，则，C不正确； 由选项A知，，则，又，于是得，即，D正确. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. ““是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最大值为 C. 若不等式的解集为，则 D. 命题“，使得”的否定为“，使得” 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，解不等式，根据两个不等式解集的包含关系，得到A正确；B选项，化简得到，B正确；C选项，由不等式解集得到，，从而得到；D选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】A选项，，解得或，，解得或， 由于或可以推出或，但或不能推出或， 故““是“”的必要不充分条件，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，由题意得，，故， 则，C错误； D选项，命题“，使得”的否定为“，使得”，D错误. 故选：AB 11. 已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（ ） A. B. 若在R上单调递增，则 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，令得，或1，根据函数单调性排除，A正确；C选项，令，变形得到，不满足，C错误；B选项，由单调性得到，由条件得，故B正确；D选项，变形得到，故为奇函数，D正确； 【详解】A选项，中，令得， ，解得，解得或1， 令得，即， 若，满足上式， 若得，但函数在R上单调，故，不合要求， 综上，，A正确； C选项，中，令得，当时，， 由于只有时，才有，当为其他数时，不满足， 故不是奇函数，C错误； B选项，在R上单调递增，， 故， 因为，所以， 所以，故B正确； D选项，因为，所以， 当时，，， 所以， 故为奇函数，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域求解即可. 【详解】由题可得：，解得：且， 所以函数的定义域为：； 故答案为： 13. 已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据待定系数法求得函数的解析式，然后可得的值． 【详解】由题意设， ∵函数的图象过点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题． 14. 定义为，中的最大值，函数的最小值为，如果函数在R上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案． 详解】 由题意，在同一坐标系下画出的图象，可知 ，且 则，因为为减函数， 必有， 解可得：，即m的取值范围为； 故答案为． 四、解答题、共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集U＝R，集合A＝{x|m﹣2＜x＜m+2，m∈R}，集合B＝{x|﹣4＜x＜4}． （1）当m＝3时，求A∩B，A∪B； （2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}；（2）[﹣2，2]． 【解析】 【分析】（1）m＝3时，得到集合A＝{1＜x＜5}，然后进行交集、并集的运算即可； （2）根据p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，得到不等式组，解出即可． 【详解】（1）当m＝3时，A＝{x|1＜x＜5}； ∴A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}； （2）若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集； ∴，解得：﹣2≤m≤2， 当时，，当时，，A是B的真子集都成立， 所以实数m的取值范围是：[﹣2，2]． 16. （1）计算； （2）若，求的值. （3）已知，求的最大值 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂和根式的运算性质求解即可；（2）对条件两边平方即可求解；（3）利用基本不等式即可求解. 详解】（1） （2）由，可得， 则 （3）因为，所以， ， 当且仅当，即时取等号； 所以的最大值为. 17. 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足． （1）试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式； （2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）最小值为12100，最大值为20200． 【解析】 【分析】（1）函数关系近似满足，，即可得到商品的日销售金额关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式； （2）由函数关系近似满足，判断函数的单调性判断出函数的最值，即该商品的日销售金额的最值． 【小问1详解】 由题意，得 【小问2详解】 ①当时，因为，当且仅当， 即时取等号. 所以当t＝10时，有最小值12100； 当t＝1时，有最大值20200； ②当时，∵在[25，30]上递减， ∴当t＝30时，有最小值12400 ∵12100＜12400，∴当t＝10时， 该商品的日销售金额取得最小值为12100，最大值为20200． 18. 已知，． （1）当时，求的解集； （2）若的解集为，求实数的值； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）4 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）代入直接运算求解即可； （2）由题意可知，且是方程的解，利用韦达定理运算求解； （3）由题意可得：，分类讨论两根大小分析求解. 【小问1详解】 当时，由，即，解得， 所以解集为. 【小问2详解】 由的解集为，可知，且是方程的解， 则，解得， 所以实数的值为4. 【小问3详解】 由题意可得：， 因为，令，解得或1，则有： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 已知函数． （1）若，判断的奇偶性并加以证明． （2）当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值． （3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）奇函数；证明见解析 （2）证明见解析；最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）证得，即可得到为奇函数. （2）将代入，由定义法证明在[1，）上的单调性即可，再由单调性即可求得最小值. （3）首先参变分离，然后将题目转化为大于函数在上的最大值即可. 【小问1详解】 因为， 定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 【小问2详解】 当时，， 且，有． 所以，函数在上单调递增， 函数在上的最小值为． 【小问3详解】 若对任意恒成立， 则， 所以，问题转化为大于函数在上的最大值． 且函数在上单调递减， 所以最大值为， 故实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $