精品解析：重庆市第七中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

重庆市第七中学校2025-2026学年上期 初2026届半期考试数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 7的相反数是（ ） A. B. C. 7 D. 2. 书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种草莓的甜度情况 B. 调查火箭发射前所有零部件的安全性 C. 调查某小区垃圾分类情况 D. 某品牌新能源汽车的抗撞能力 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 5. 已知抛物线解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 估计值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 七七用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑩个图形中小圆圈的个数是（ ） A. 58 B. 64 C. 70 D. 76 9. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，G在上，，且，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知代数式，其中，且为整数，满足且，，，…，均为整数．则下列说法正确的共有几个（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的代数式共有4个； ③若，则原式的结果可能为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 12. 一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为_______． 13. 如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则_______． 14. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______． 15. 如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若，，则_______，点O到的距离_______． 16. 对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“临风数”．例如，四位数2367，∵，∴2367是一个“临风数”．若一个四位数是“临风数”，则的值为________；若一个四位数是“临风数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简：，再从，1，5三个数中选取一个合适的数值作为a的值代入求值． 20. 为了提升学生的交通安全意识，某校开展了以“珍爱生命”为主题的讲座．为了调查学生对交通安全知识的掌握情况，现对学生进行交通安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是： 79，90，80，69，68，68，91，67，98，77， 76，65，66，86，80，86，100，92，86，86； 八年级20名学生成绩在C组中的数据是： 83，84，86，87，88，86，89，89； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下： 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 b 众数 a 92 方差 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握交通安全知识更好？并说明理由； （3）若该校七年级有学生400名，八年级有学生600名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 21. 列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． （1）请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 22. 如图，在中，，于点D，动点P从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为，连接DP．的面积为，的面积与点P的运动路程x的比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数对x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，A、B、C、D、E分别是某城市五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，． （参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过B，C两点（点A在点B的左侧），其中，，与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是线段CA上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交AC于点D，E是y轴上一动点，当线段PD长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点D且与直线AC相交于另一点M，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在等腰中，，线段绕点A在平面上旋转． （1）如图1，若，线段旋转到延长线上，过点作，交于，，求的度数(用含α 的式子表示)； （2）如图2，若，线段绕点旋转过程中，点恰好落在边上，过点作，连接，使得且，求证：； （3）如图3，若，，连接，过点作，交延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第七中学校2025-2026学年上期 初2026届半期考试数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 7的相反数是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数定义． 根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数作答即可． 【详解】解：∵一个数a的相反数是， ∴7的相反数是． 故选：D． 2. 书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据各个图形的特征逐项判断即可． 【详解】解：用小篆书写的“志存高远”四个字， 其中可以看作是轴对称图形的是， 故选：C． 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种草莓的甜度情况 B. 调查火箭发射前所有零部件的安全性 C. 调查某小区垃圾分类的情况 D. 某品牌新能源汽车的抗撞能力 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A中，调查某种草莓的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B中，调查火箭发射前所有零部件的安全性，精确度要求高，事关重大，适合全面调查，故本选项符合题意； C中，调查某小区垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意； D中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； 故选：B． 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）． 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角与圆周角存在两倍的关系，由此可求出的度数． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍， ， ， ． 故选：D． 5. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为 ． 根据二次函数的顶点式解析式可直接得出顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 6. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的比例系数，熟练掌握以上知识点是解题的关键，将代入求值即可． 【详解】解：由题意，将代入， 得：， 解得：， 故选：B． 7. 估计值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算． 先化简表达式为，然后估计的值，判断其范围即可． 【详解】解：． ∵， ∴． ∴值应在6和7之间． 故选：C． 8. 七七用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑩个图形中小圆圈的个数是（ ） A. 58 B. 64 C. 70 D. 76 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律． 仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解． 【详解】第①个图形中一共有个小圆圈， 第②个图形中一共有个小圆圈， 第③个图形中一共有个小圆圈， …， ∴第个图形中一共有个小圆圈， ∴第⑩个图形中小圆圈的个数是. 故选：． 9. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，G在上，，且，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接，过点G作直线于点M，交于点N，证明和全等得，再证明进而可证明和全等得，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，继而得，即可解答． 【详解】解：连接，过点G作直线于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴ ∴， ， ∴等腰直角三角形， 又∵， ， ， ， ， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：，且， ∴． 故选：A． 10. 已知代数式，其中，且为整数，满足且，，，…，均为整数．则下列说法正确的共有几个（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的代数式共有4个； ③若，则原式的结果可能为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，分式的运算，把2分解为，，可判断①，由，，有10种排列方式，故可判断②；将分式变形为可判断③． 【详解】解：①当时，整数2可分解为，，， 所以，或，故①错误； ②整数2分解为，，有4种排列方式，即有4个代数式； 当整数2分解为时，有6种排列方式，即有6个代数式； 故有10个代数式，故②错误； ③， ∴对应的， ∴，且所有互异，故③正确， 所以，正确的结论有1个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，求一个数的立方根． 根据特殊角三角函数值及立方根的定义进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 则从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为． 故答案为：． 13. 如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则_______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质． 首先根据平行线的性质求出，进而求出，再利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：如图， 由题意知， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用． 设周平均增长率为，根据第三周阅读人次是第一周的倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设周平均增长率为， 则 （舍去负值） ． 故答案为：40． 15. 如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若，，则_______，点O到的距离_______． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】如图所示，连接，过点作，根据垂径定理得出，根据，求出，根据与相切，得出，从而求出，，即可得，证明是等边三角形，得出，根据F为的中点，得出，证明是直角三角形，勾股定理求出，等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作， 是的直径， ， ∵， ∴， ∵与相切， ， ，， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即点O到的距离． 故答案为：8，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 16. 对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“临风数”．例如，四位数2367，∵，∴2367是一个“临风数”．若一个四位数是“临风数”，则的值为________；若一个四位数是“临风数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为________． 【答案】 ①. 3 ②. 10917 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的整式的加减运算．根据“临风数”的定义可得，解方程求出的值即可；根据“临风数”定义得，得出是4的倍数，是5的倍数，设，分，，讨论求出最大数和最小数即可． 【详解】解：对于四位数有：， ∵， ∴中，，， ∴， 解得：； ∵ ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴是4倍数，是5的倍数， ∵，， ∴； 设， 则当时，； 当时，，； 当时，； 要使四位自然数最大，则，都要尽可能地大，且能被7整除， 当，时，， 此时，此时不成立； ， 此时，此时不成立； ， 此时，此时成立； ∴满足条件的最大数为：9738； 要使四位自然数最小，则，都要尽可能地小，且能被7整除， 当，时， 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 当，时， 若， 此时，此时成立； ∴满足条件的最小数是1179， ∴满足条件的四位数最大值与最小值的和为， 故答案为：10917． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，其所有整数解为 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及整数解，解题的关键是分别求解每个不等式，再确定不等式组的解集，进而找出整数解． 分别解不等式①和不等式②，求出各自的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后在解集中找出所有整数解． 【详解】解：解不等式① 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解不等式② 两边同乘6去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边除以5得． 所以不等式组的解集为，其所有整数解为． 18. 学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 【答案】作图见解析；①；②；③;④相等 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 作平分交与点，根据得到，根据角平分线定义得到，，因此，即可证明，得到，因此等腰三角形两腰上的高线的长度相等． 【详解】解：如图，作平分交于点 在中， ， 又平分，平分， ，， ， 又 ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度相等． 故答案为：①；②；③；④相等 ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简：，再从，1，5三个数中选取一个合适的数值作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据运算法则正确化简分式，利用分式有意义的条件排除不合适的数是解答本题的关键．把括号内通分，并将除法转换成乘法约分化简，根据分式有意义的条件得到，然后将适合的数值代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 20. 为了提升学生的交通安全意识，某校开展了以“珍爱生命”为主题的讲座．为了调查学生对交通安全知识的掌握情况，现对学生进行交通安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是： 79，90，80，69，68，68，91，67，98，77， 76，65，66，86，80，86，100，92，86，86； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是： 83，84，86，87，88，86，89，89； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下： 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 b 众数 a 92 方差 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握交通安全知识更好？并说明理由； （3）若该校七年级有学生400名，八年级有学生600名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 【答案】（1）； （2）八年级的学生掌握交通安全知识更好，理由见解析； （3）名． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和统计表，中位数和众数的定义，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义可求出的值，再根据八年级20名学生测试成绩在组的人数可求出； （2）根据中位数和众数的大小可得答案； （3）求出样本中七、八年级中优秀所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次， ∴众数， 八年级名学生成绩组有（人），组有（人），组有人，组有（人），将名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为， ∴， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：八年级的学生掌握交通安全知识更好，理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高． 【小问3详解】 解：七年级测试成绩为优秀（）的学生占比为： ， ∴七年级测试成绩为优秀（）的学生有： （名）， 八年级测试成绩为优秀（）的学生有： （名）， ∴七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有： （名）． 21. 列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． （1）请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 【答案】（1）每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元 （2）a的值为 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100”建立分式方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元； 【小问2详解】 解：降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，当时，，即是分式方程的解， 答：的值为． 22. 如图，在中，，于点D，动点P从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为，连接DP．的面积为，的面积与点P的运动路程x的比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数对x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一； （1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称性可得当点P在上时，； 综上所述，； 【小问2详解】 解：如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大； 【小问3详解】 解：联立得，此时，原方程无解； 联立得，解得或 由函数图象可知，当时，． 23. 如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，． （参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到） 【答案】（1）米 （2）小明先达到，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作于点，分别利用锐角三角函数比求出的长即可； （2）利用锐角三角函数求出各路线的长度，然后求出时间进行比较即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）, （米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴（米）， （米）， ∴小聪所用时间为：（分钟）， 小明所用的时间为：（分钟）， ∵， ∴小明先到达景点D． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过B，C两点（点A在点B的左侧），其中，，与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是线段CA上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交AC于点D，E是y轴上一动点，当线段PD长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点D且与直线AC相交于另一点M，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为或，过程见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）过点作轴于点，以为斜边作等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，假设，求出最大时的值，确定点坐标，通过等腰直角三角形的性质和锐角三角函数确定的最小值，然后利用解直角三角形进行求解即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质和等边，分别求出相关直线的解析式，然后联立解析式求出交点坐标即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点，以为斜边作等腰直角三角形， 当时，， 解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 假设， 则， 根据二次函数的性质，， 抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴其顶点横坐标为， ∴； 由等腰直角三角形的性质可得，， ∴当点在同一条直线上时，值最小，即的值最小； 此时，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）知，故可知新抛物线是原抛物线向左向下分别平移2个单位得到的，则新抛物线的表达式为，当时，符合所有条件的点坐标有两种情况： 情况一： 如图所示，当，下方时， 同上，通过点，，利用待定系数法求得直线的表达式为， 故设直线的表达式为，代入点得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立， 整理可得， 解得， ∴； 情况二：如图所示，当点在上方时，，延长交于点， ，， ，， 由以上可知直线表达式为， 设， ，即， ， 解得， ， 同理根据，，利用待定系数法可得直线的表达式为， 再与抛物线联立， 整理可得， ， 故， ， 综上，所有的点坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求函数表达式，解直角三角形，函数图象的平移规律，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题关键． 25. 如图，在等腰中，，线段绕点A在平面上旋转． （1）如图1，若，线段旋转到延长线上，过点作，交于，，求的度数(用含α 的式子表示)； （2）如图2，若，线段绕点旋转过程中，点恰好落在边上，过点作，连接，使得且，求证：； （3）如图3，若，，连接，过点作，交延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，，得，再根据直角三角形的性质得，最后由三角形的内角和定理即可求解； （2）过作于点，过点作交延长线于点，由旋转性质得，，证明，证明是等腰直角三角形，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （3）当时，取最大值，过作交于点，先证明点四点共圆，然后证明，则，设，，则，，，再由勾股定理得出，，最后解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过作于点，过作交延长线于点， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在中，， ∵不变， ∴最小时，最大，即有最大， 则根据垂线段最短可知：当时，取最大值，过作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，，， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，解一元二次方程，垂线段最短，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $