重难点培优01计数原理与概率统计与其他知识的交汇问题（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01计数原理与概率统计与其他知识的交汇问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 与数列的综合问题（★★★★） 2 题型二 与函数、导数的综合问题（★★★★） 12 题型三 与集合、基本不等式的综合问题（★★★★） 21 03 实战检测・分层突破验成效 24 检测Ⅰ组 重难知识巩固 24 检测Ⅱ组 创新能力提升 34 一、概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型： (1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式. (2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和. (3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限. 二、在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现 题型一 与数列的综合问题 1．今年5月11日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查主要数据结果，会上通报，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206万人，增长5.38%，年平均增长率为0.53%.如图是我国历次人口普查全国人口（单位：亿人）及年均增长率. (1)由图中数据，计算从2000年到2010年十年间全国人口的年平均增长率（精确到0.01%）；并根据历次人口普查数据指出全国人口数量的变化趋势； (2)假设从2020年起，每十年的年平均增长率是一个等差数列，公差为，试根据图中数据计算从2040年到2050年这十年间全国人口的增加量.（精确到万人） 【详解】（1）由图中数据可知：， 由图中数据可知：除第二个10年比第一10年增长率高之外，从第3个10开始，每10年人口增长率渐近下降； （2）设2020年的人口为，2030年人口为，2040年人口为，2050年人口为， 所以有， 同理可得：， ， 所以从2040年到2050年这十年间全国人口的增加量为： 所以从2040年到2050年这十年间全国人口负增长，约减少万人. 2.已知等差数列的前项和为，公差. (1)若，求的通项公式； (2)从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率. 【详解】（1）解：由等差数列的前项和为，公差， 因为，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. （2）解：由题意，从集合中任取3个元素，共有种不同的取法， 其中这3个元素能成等差数列有 ，有6种不同的取法， 所以事件的概率为. 3．已知某同学在任何一次拓展考试中获得满分的概率都为，且各次考试的成绩相互独立．以表示他参加n（，）次考试后从未连续取得2次满分的概率． (1)求，的值，并证明当n≥4时，； (2)证明：对任意，，． 【详解】（1）当时，， 设某同学在任何一次拓展考试中获得满分用表示，不是满分用表示， 当时，表示某同学参加次考试后从未连续取得2次满分的情况有以下5种： ，所以. 当时，要求，即某同学参加n次考试后从未连续取得2次满分概率，分类进行讨论；如果第次考试未取得满分， 那么前次从未连续2次满分和前次从未连续2次满分是相同的， 这个时候从未连续2次满分的概率是； 如果第次取得满分，第次未取得满分， 那么前次从未连续2次满分和前次从未连续取得2次满分是相同的， 这个时候从未连续2次满分的概率是； 所以当时， （2）当时，，当时，， 所以，因为，所以，所以， 则. 当时，， ，所以，所以，所以 ，所以当时，.当，，， ，所以当时，. 所以，对任意，， 4.某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下： 车型 A B C D E F 价格 9万元 12万元 18万元 24万元 30万元 40万元 占比 5% 15% 25% 35% 15% 5% (1)如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？ (2)车企推出两种付款方式： 全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%； 分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的． ①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001） ②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001） 【详解】（1）销售一辆车的价格的数学期望为： （万元）（亿） 所以，今年新能源车的销售额预计约为亿元 （2）①全款购车两年后资产总额为： （万元）. 分期付款购车两年后资产总额为： （万元） 因为，所以顾客选择全款购车方式收益更多. ②由①得：,所以 . 所以，这一措施对购买 车型有效． 5.如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列；若，求的最大值． 【详解】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面， 所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为， 当点在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 所以，. （2）， 所以， 又因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； ，， 若，则，所以， 又，，，所以，的最大值为. 6.已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 【详解】（1）二项式展开式的通项公式为：， 因为， 所以， 所以, 故； （2）由（1）知，等差数列首项，公差， 所以等差数列的通项公式为， 等差数列的前项和为． 7.（1）若，且的二项展开式中前三项的系数成等差数列，求的值，并求其二项展开式中所有的有理项； （2）若，求的值，并求系数最大的项． 【详解】（1）展开式的通项公式为， 由展开式中前3项的系数成等差数列，得，即，则， ，当且仅当时，是有理数， 所以展开式中所有的有理项为. （2）取，得； ，当时，，解得， 当时，；当时，，当时，， 即， 所以展开式第6项、第7项系数相等并且最大，为. 8.（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6点），每人每次投掷两颗， (1)甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率； (2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大点的概率； (3)若第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率. 【详解】（1）记两颗骰子点数相同为事件，则； （2）记投掷一次两颗骰子点数为，则的可能取值为，，，，， 所以， ， ， ， ， ， 记甲的点数和恰好比乙的点数和大点为事件， 则； （3）由（2）可知同时投掷两颗骰子点数和大于的概率为， 若先投掷的人第一轮获胜，其概率为； 若先投掷的人第二轮获胜，即第一轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为； 若先投掷的人第三轮获胜，即前两轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为； 若先投掷的人第四轮获胜，即前三轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为； ， 分析可得，若先投掷的人第（且）轮获胜，其概率为； 所以、、、组成以为首项，为公比的无穷等比数列， 所以， 从而，先投掷人的获胜概率为. 9.甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 【详解】（1）甲掷一次，两颗骰子点数相等的概率为            所以两颗骰子点数不同的概率为. （2）甲的点数和恰好比乙的点数和大点的情形如下表： 所以.                另解：设掷一次两颗骰子的点数和为，则. 则； ； ； ； ； .               所以甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的概率为 . （3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为 .          若甲第一轮获胜，概率为； 若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为； 若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；     由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；               于是，组成一个以为首项，为公比的无穷等比数列. 因为， 所以甲最终获胜的总概率为. 10．（24-25高三下·上海·阶段练习）若数列满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量． (1)若，求随机变量X的分布列与数学期望； (2)求，其中且． 【详解】（1）若，则中的数列有0，0，0；1，0，0；0，1，0；0，0，1；1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1； 从集合中任意取出两个不同数列，，， ∴X的取值有1，2，3，从8个数列中任选2个，共有种情况， 其中当时，若选择0，0，0，可从1，0，0；0，1，0；0，0，1任选1个，共有3种情况， 若选择1，1，1，可以从1，1，0；1，0，1；0，1，1任选1个，共有3种情况， 另外1，0，0和1，0，1；1，1，0两者之一满足要求，0，1，0和1，1，0；0，1，1两者之一满足要求，0，0，1和1，0，1；0，1，1两者之一满足要求，共有种情况，故， 当时，0，0，0，和1，1，1满足要求，1，0，0和0，1，1满足要求，0，1，0和1，0，1满足要求，0，0，1和1，1，0满足要求，共有4种情况，， ， 随机变量X的分布列： X 1 2 3 P 则随机变量X的数学期望为； （2）证明：数列是从集合中任意取出的两个数列， ∴数列为k项数列， ∴X的可能取值为：1，2，3，…，k， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列中有m项取值不同，有项取值相同， 从k项中选择m项，和在m项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字不同， ，这个问题是组合问题， ∴所有的情况会重复1次，∴一共有种情况， ， ∴随机变量X的分布列为： X 1 2 3 …… k P …… 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 题型二 与函数、导数的综合问题 12.为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中） 6 60 (1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？ (2)根据（1）的结果回答下列问题： （i）建立关于的回归方程； （ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？ (3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？ 【详解】（1）因为的线性相关系数， 的线性相关系数， ， 更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型. （2）（i）依题意，可得， ， ，关于的回归方程为. （ii）当时，金属含量的预报值为. （3）因为， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值， 故为10时，开采成本最大. 13.已知，设函数的表达式为（其中） (1)设，，当时，求x的取值范围； (2)设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围； (3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 【详解】（1）由题设，则，即，故， 又，则，所以. （2）由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立， 所以在上成立， 又在D上为严格增函数，即， 同时在上恒成立， 由解析式知：在上递减，只需，故， 由且，，即在上递减， 所以，故，可得. 综上，； （3）由题设，则且，，故， 所以， 而， ， 所以， 又，且，当且仅当时等号成立， 所以，同理，.......，且均在时等号成立， 所以， 综上，，即成立. 14．某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.    12.5 222 3.5 157.5 16800 4.5 1254 270 表中，. (1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 【详解】（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型. （2）令，所以. ，， 所以y关于μ的线性回归方程，因此，关于x的回归方程为. （3）由（2）可知，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以当研发费为30万元时，年利润z的预报值最大. 15.图图在玩一种击鼓游戏，其规则如下：每盘游戏都需击鼓两次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓两次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得60分，没有出现音乐则获得分，设每次击鼓出现音乐的概率为，且每次击鼓是否出现音乐相互独立. (1)设，每盘游戏所得的分数为，求的分布列； (2)图图多次试玩后发现，玩的局数越多总得分越少，据此估算的取值范围并说明理由； (3)将“在9盘游戏中恰有7次获得60分”记为事件，当事件发生的概率最大时，求的值. 【详解】（1）由题意得每盘游戏击鼓两次，每次出现音乐的概率为， 而每盘游戏所得的分数为，则的取值有10，，60， 若两次击鼓都不出现音乐，且每次不出现音乐的概率为，两次相互独立， 由独立事件概率公式得， 若两次都出现音乐，则， 若第一次出现音乐，第二次不出现音乐，概率为， 若第一次不出现音乐，第二次出现音乐，概率为， 由分类加法计数原理得， 则分布列如下表， （2）由题意得每次击鼓出现音乐的概率为， 若两次击鼓都不出现音乐，则， 若两次都出现音乐，则， 若第一次出现音乐，第二次不出现音乐，概率为， 若第一次不出现音乐，第二次出现音乐，概率为， 由分类加法计数原理得， 则， 因为玩的局数越多总得分越少，所以，解得， 因为，所以； （3）设获得60分的盘数为，且由上问得， 则，而我们把“在9盘游戏中恰有7次获得60分”记为事件， 结合二项分布概率公式得， 令， 则， 因为，所以，我们研究的正负即可， 令，则构造，我们研究的正负即可， 令，，此时满足，， 令，，此时满足，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 则取得最大值时，， 即当事件发生的概率最大时，的值为. 16.我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间，函数称为自映射函数.已知函数，. (1)判断时，函数是否为自映射函数.若是，请给出它的一个自映射区间；若不是，请说明理由； (2)若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率； (3)若存在自映射区间，求的取值范围. 【详解】（1）函数不是自映射函数， 若，存在自映射区间，则， 即至少有两个零点， 因为时，单调递增； 时，单调递减； 若要存在两个零点，则，不成立； 所以函数不是自映射函数. （2）因为恒成立，则在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即方程，即至少有两个不同实数解． 则的解集为，所以区间的选择共有种． 若，共有6种选择， 所以区间的长度的概率为． （3）因为在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即至少有两个零点， 因为时，单调递增； 时，单调递减； 若要存在两个零点，则，即． 此时，使得． 因为当时，，即函数单调递减， 所以，又， 所以，则，使得． 所以的取值范围为． 17.某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为＂可靠＂的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立. (1)为调查某零件A的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了50台仪器检测，请根据 下述列联表，判断是否有的把握认为“仪器可靠”与“某零件A达优等”有关？ 仪器可靠 仪器不可靠 合计 零件A达优等 41 4 45 零件A未达优等 2 3 5 合计 43 7 50 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.65 10.828 (2)若，现从某批100台仪器中抽取4台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差； (3)为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算2.3万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3万元？说明理由. 【详解】（1）设零假设为：“仪器可靠”与“某零件A达优等”无关． 确定显著性水平，计算 统计决断：由，而，则零假设不成立， 故有把握判定“仪器可靠性”与“某零件A达优等”有关. （2）由题意知的所有可能取值为，且服从参数为的二项分布，所以. ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 由二项分布期望公式和方差公式得. （3）每台仪器所需费为元，则的可能取值为100，400. ， ． 所以， 化简得， 令，解得， 当在区间上单调递增， 当在区间上单调递减， 所以当时，的最大值为． 故实施此方案，最高费用为元元，可能会超过预算. 18.已知函数，. (1)若，求； (2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称. （i）求，； （ii）若，，.证明：. 【详解】（1）， ，，，，，则，，，，， ，. 又， ，， （2）（i）当时，关于对称，则①， 对①式两边分别求导得②， 对②式两边分别求导得③， …… ， 令，代入上式得，即. 当时，关于点对称，则①， 对①式两边求导得②， 对②式两边求导得③， …… ， 令，代入上式得，即. 又，， 同理可得. （ii）由（i）知，，. 又，，，. 所以. 所以. 题型三 与集合、基本不等式的综合问题 19．已知集合中的任一个元素都是整数，当存在整数、，且时，称为“间断整数集”.进一步地，若“间断整数集”中任意两个元素的差的绝对值最小为，则称为“－间断整数集”.已知集合. (1)若集合的三元子集是“2－间断整数集”，求符合条件的元素所构成的集合； (2)若集合的四元子集是“1－间断整数集”，求集合的个数； (3)求集合的所有子集中，“间断整数集”的个数. 【详解】（1）因为集合是“2－间断整数集”，且， 所以或，解得， 所以符合条件的元素所构成的集合为. （2）因为集合是1－间断整数集”，所以集合至少有两个连续整数，且不能四个元素连续. 集合的四元子集有个， 其中无连续整数的四元子集个数等价于“从6个元素产生的7个空位中插入4个元素”， 所以无连续整数的四元子集个数为个， 又四个元素都连续的集合有个， 所以，满足条件的集合的个数为个. （3）集合的子集个数为个， 根据间断整数集的定义可知，和单元集合不满足题意，共11个； 连续的二元集合有9个，连续的三元集合有8个，连续的四元集合有7个， 连续的五元集合有6个，连续的六元集合有5个，连续的七元集合有4个， 连续的八元集合有3个，连续的九元集合有2个，连续的十元集合有1个， 综上，非间断整数集共有个， 所以合的所有子集中，“间断整数集”的个数为个. 20．（2025·上海杨浦·模拟预测）为吸引客流，某商场举办了“摸球赢好礼”活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能摸出黑球，便可晋级第二关游戏“赢积分、换好礼”. (1)小江正在参与第一关游戏.记事件为“小江摸出的第一个球是红球”，事件为“小江晋级了第二关游戏”，分别求； (2)小江成功晋级第二关游戏.已知第二关游戏规则如下:游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数，而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及白共个球，并充分搅匀.游戏过程中，顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子，充分搅匀后再进行下一局摸球，以此类推，直到摸完局球，第二关结束.记分规则如下: 颜色 黑色 红色 白色 得分 +10 在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分.最终积分越高，所换取的礼品价值越大. ①若小江决定摸球的局数，求她在第二局中所得积分的分布与期望； ②为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数? 【详解】（1） （2）①，则箱子中共有个球，其中黑、红及白， 由题意可知，的所有可能取值为10，5，，且 ， 所以其分布列如下： 10 5 . ②设小江应该设定摸球的次数为，则 每局期望为： 总期望为： 令 当且仅当时取等号，即，所以 所以小江应该设定摸球次时，收益最大. 21.甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，故. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是， 则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 由期望公式得数学期望为. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1.2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率. (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求 【详解】（1）X的取值为3，4，5，6 所以，， ，. 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以； （2）因为这人的合计得分恰为分，则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件， 所以， 设， ， 两式相减得， 所以， 所以； 2.张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求． 【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故， 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故， 第3天晨跑的情况分两种： 第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， 第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为， 故. （2）由题意得，张明第天晨跑后，下一次晨跑在第天的概率为， 张明第天晨跑后，再在第天晨跑的概率为， 所以， 即，则， 所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 由（1）得，，，所以， 所以， 则， 所以， 所以．（或） （3）记他前天中，第天晨跑的次数为． 由题意得，服从两点分布，且， 因为，且对于离散型随机变量，都有， 所以 ， 所以， 所以 所以. （或 3.某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”， 则， 故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为. （2）每组化验的次数可能是1或6， 记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”， 则， 可知， ， ， 所以的分布列为： 7 12 （3）， ， 所以， 令，则，即， 当时，，两边取以为底的对数，得到， 设函数，则， 当时；当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以的最大值为. 4.某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以，所以，，，，，而，所以随机变量的可能取值为，，，，所以 ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. （2）①证明：，即累计得分为分，是第一次掷骰子，向上点数不超过点，，则，累计得分为分的情况有两种： （i），即累计得分，又掷骰子点数超过点，其概率为， （ii）累计得分为分，又掷骰子点数没超过点，得分，其概率为， 所以，所以，，，，， 所以，，，，是首项为，公比为的等比数列. ②因为数列，，，，是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以 ， ， ， 各式相加，得， 所以，，，，， 所以活动参与者得到礼券的概率为：. 5.新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立. (1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望； (2)（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和； （ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式. 【详解】（1）可能取值为， ， ， ， 的数学期望； （2）（i）“总分恰为分”的概率为， 数列是以首项为，公比为的等比数列，记前项和为， 则前4项和； （ii）方法一：“已调查过的累计得分恰为分”的概率为， 得不到分的情况只有先得分，再得4分，概率为， 所以，即， ， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ， 方法二：得分分可以先得分，再得2分，也可以先得分，再得4分， “已调查过的累计得分恰为分”的概率为，则“得分”的概率为，“得分”的概率为， 所以， 由，得， ， ， （后面同方法一） 另解：由，得， ， . 又 . 6.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； (3)在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值. 【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ， 故第60百分位数落在内，设其为， 则， 解得，故第60百分位数为125； （2）一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为 （3）的可能取值为， ， ， ， 故， 令，设，则， 因为， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当，即时，取最大值. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为. (1)求与； (2)设，求与； (3)当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求. 【详解】（1）解法一：，. 解法二：，. （2）解法一：因为，所以，则. 若，则且，所以， 即， 所以，所以，即 由（1）可知，所以当时，. 又因为，所以， 所以， . 解法二：. ， 所以， . （3）当时，设随机变量满足：若是奇数，则，若是偶数，则.设. 当时，即为偶数，可得. 当时，即是偶数，可得. 当时，可分成两种情况：当时，与同为奇数或同为偶数；当时，与一奇一偶. 所以，即 当且为奇数时，，即； 当且为偶数时，，即. 当时，. 当时，. 综上可得，当且为偶数时，；当且为奇数时，. 2.2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换. (1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率； (2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值. 【详解】（1）记3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章为事件A，交换过程包含两种情况： ①第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用袋鼠徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第一种情况的概率为； ②第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用熊猫徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第二种情况的概率为； 所以3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率为. （2）记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”概率为， 则，第次交换后，乙的徽章只有两种可能，一种是3枚徽章都是相同动物， 另一种是3枚徽章中有1枚不同动物， 记第次交换后，乙的3枚徽章动物相同为事件，动物不同为事件， 则，记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”为事件C，因为在第次交换后徽章动物相同的条件下再交换后不可能是相同动物，即， 在第次交换后徽章动物不同的条件下再交换后可以变为相同动物，即， 再根据全概率公式可得： ， 所以， 则是等比数列，即， 所以； （3）又记“次交换后，甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动”概率为， 则， 第次交换后，甲的徽章只有两种可能，一种是包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 另一种是不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， ①甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，下次交换后还包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 此时发生的概率为； ②甲的徽章不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，则甲的3枚徽章中一定有两枚相同运动的徽章（比如两个乒乓球徽章，一个羽毛球徽章），乙的3枚徽章中也一定有两枚相同运动的徽章， 当甲、乙分别取出相同运动徽章中的一枚进行交换后， 甲的3枚徽章就可以变换为包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，此时发生的概率为； 再根据全概率公式可得：， 所以有， 即是等比数列，即， 当为奇数时，，且， 当为偶数时，， 所以当时，取到最大值. 3.为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅，若有不少于2幅作品入选，将获得“巧手奖”.7轮比赛中，至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准. (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅，记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X，求X的分布列和数学期望； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率不减小且共增加了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为：1，2，3 所以，，， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 所以数学期望. （2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为： . ，且，，也即，故可得：， 设， ， 所以在上单调递增， . 所以， 该同学在7轮比赛中获得“巧手奖”的次数， ，故预测该同学不能进入决赛. 4.马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 【详解】（1）设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，则为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意， 由全概率公式得：. （2）①设为“第天选择米饭套餐”，则， 根据题意， 由全概率公式得：， 因此，因为， 所以是以为首，为公比的等比数列． ②由①可得， 当为大于的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 5.不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量. (1)若，求和； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求证：且. 【详解】（1）； （2）， ∴ ， 令，得， 又在上单调递减， 且，，， 且对所有，都有，故的最小值为2. （3）， ∴， 设， 当时，；当时，， ∴，设， ， ∴，∴， 当时，， ，等号成立 ∴. 6.现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. (1)求点所有可能的坐标； (2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； (3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 【详解】（1）由题意，点可能的坐标为. （2）令向量， 则当时，；当时，； 当时，其中，且. 要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为. ①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶； ②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况： 奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇， 偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇； ③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇. 故为坐标原点的概率. （3）当不是3的倍数时，显然有. 以下讨论当是3的倍数的情况.不妨设，则掷得偶数的次数为次. 记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作. 定义操作小结：，其中可以为0. 在80次投掷产生的操作过程，可分为若干操作小结.注意到1个操作小节中有2次操作，每两个操作小节也由操作连接，所以共有个操作小节，如下图所示： 所以有其中. 由隔板法可知，上述不定方程共有组解，而每一组解对应着一种满足题意的投掷，于是有 .综上，有 因此，当，即时，取得最大值. 7.两个数列、，当和同时在时取得相同的最大值，我们称与具有性质，其中. （1）设的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；同样地，的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；判别与是否具有性质，请说明理由； （2）数列的前项和是，数列的前项和是，若与具有性质，，则这样的数列一共有多少个？请说明理由； （3）两个有限项数列与满足，，且，是否存在实数，使得与具有性质，请说明理由. 【详解】解：（1）展开式的通项为，则数列的通项为 故数列中的最大值为 展开式的通项为， 而当时，得， 所以与不具有性质 （2）令，则， 由，即， 解得， 因为， 所以当时，, 因为 与具有性质， 所以时，， 因为， 所以， 因为， 所以， 由，解得共有102个数列； （3）因为， 当，时， 所以 当时，符合上式 所以， 因为与是有限项数列，所以一定存在最大项， 设，因为与具有性质， 所以， 显然成立， 假设，则显然，矛盾 同理，也矛盾， 所以 8.从数据组中取出（是自然数，且）个不同的数构成一个新数据组.若对任意的，存在，，使得，，则称数据组为数据组Ω的一个k维基本数据库. (1)判断数据组是否为数据组的一个2维基本数据库； (2)若数据组：是数据组的一个2维基本数据库，请求出的最大值，并写出此时的2维基本数据库. (3)若数据组是数据组的一个k维基本数据库，求证：. 【详解】（1）因为， ， 所以数据组是数据组的一个2维基本数据库； （2）不妨设， 则组成的数据的个数最多有：，， ，，，，共6个， 所以， 当时，因为是组成的数据中最大的项，且必存在， 所以有，则， 而组成的数据中最小的项可能为或， 若，则由无法得到这一项，不满足题意； 若，则， 此时， ， 所以是数据组的一个2维基本数据库，满足题意； 所以的最大值为，此时的2维基本数据库. （3）不妨设， 则形如的正整数共有k个； 形如的正整数共有k个； 形如的正整数至多有个； 形如的正整数至多有个； 又数据组含n个不同的正整数，数据组是数据组的一个k维基本数据库， 故，化简得. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01计数原理与概率统计与其他知识的交汇问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 与数列的综合问题（★★★★） 2 题型二 与函数、导数的综合问题（★★★★） 7 题型三 与集合、基本不等式的综合问题（★★★★） 11 03 实战检测・分层突破验成效 14 检测Ⅰ组 重难知识巩固 14 检测Ⅱ组 创新能力提升 18 一、概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型： (1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式. (2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和. (3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限. 二、在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现 题型一 与数列的综合问题 1．今年5月11日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查主要数据结果，会上通报，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206万人，增长5.38%，年平均增长率为0.53%.如图是我国历次人口普查全国人口（单位：亿人）及年均增长率. (1)由图中数据，计算从2000年到2010年十年间全国人口的年平均增长率（精确到0.01%）；并根据历次人口普查数据指出全国人口数量的变化趋势； (2)假设从2020年起，每十年的年平均增长率是一个等差数列，公差为，试根据图中数据计算从2040年到2050年这十年间全国人口的增加量.（精确到万人） 2.已知等差数列的前项和为，公差. (1)若，求的通项公式； (2)从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率. 3．已知某同学在任何一次拓展考试中获得满分的概率都为，且各次考试的成绩相互独立．以表示他参加n（，）次考试后从未连续取得2次满分的概率． (1)求，的值，并证明当n≥4时，； (2)证明：对任意，，． 4.某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下： 车型 A B C D E F 价格 9万元 12万元 18万元 24万元 30万元 40万元 占比 5% 15% 25% 35% 15% 5% (1)如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？ (2)车企推出两种付款方式： 全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%； 分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的． ①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001） ②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001） 5.如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列；若，求的最大值． 6.已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 7.（1）若，且的二项展开式中前三项的系数成等差数列，求的值，并求其二项展开式中所有的有理项； （2）若，求的值，并求系数最大的项． 8.（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6点），每人每次投掷两颗， (1)甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率； (2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大点的概率； (3)若第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率. 9.甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 10．（24-25高三下·上海·阶段练习）若数列满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量． (1)若，求随机变量X的分布列与数学期望； (2)求，其中且． 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 题型二 与函数、导数的综合问题 12.为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中） 6 60 (1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？ (2)根据（1）的结果回答下列问题： （i）建立关于的回归方程； （ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？ (3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？ 13.已知，设函数的表达式为（其中） (1)设，，当时，求x的取值范围； (2)设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围； (3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 14．某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.    12.5 222 3.5 157.5 16800 4.5 1254 270 表中，. (1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 15.图图在玩一种击鼓游戏，其规则如下：每盘游戏都需击鼓两次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓两次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得60分，没有出现音乐则获得分，设每次击鼓出现音乐的概率为，且每次击鼓是否出现音乐相互独立. (1)设，每盘游戏所得的分数为，求的分布列； (2)图图多次试玩后发现，玩的局数越多总得分越少，据此估算的取值范围并说明理由； (3)将“在9盘游戏中恰有7次获得60分”记为事件，当事件发生的概率最大时，求的值. 16.我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间，函数称为自映射函数.已知函数，. (1)判断时，函数是否为自映射函数.若是，请给出它的一个自映射区间；若不是，请说明理由； (2)若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率； (3)若存在自映射区间，求的取值范围. 17.某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为＂可靠＂的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立. (1)为调查某零件A的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了50台仪器检测，请根据 下述列联表，判断是否有的把握认为“仪器可靠”与“某零件A达优等”有关？ 仪器可靠 仪器不可靠 合计 零件A达优等 41 4 45 零件A未达优等 2 3 5 合计 43 7 50 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.65 10.828 (2)若，现从某批100台仪器中抽取4台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差； (3)为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算2.3万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3万元？说明理由. 18.已知函数，. (1)若，求； (2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称. （i）求，； （ii）若，，.证明：. 题型三 与集合、基本不等式的综合问题 19．已知集合中的任一个元素都是整数，当存在整数、，且时，称为“间断整数集”.进一步地，若“间断整数集”中任意两个元素的差的绝对值最小为，则称为“－间断整数集”.已知集合. (1)若集合的三元子集是“2－间断整数集”，求符合条件的元素所构成的集合； (2)若集合的四元子集是“1－间断整数集”，求集合的个数； (3)求集合的所有子集中，“间断整数集”的个数. 20．（2025·上海杨浦·模拟预测）为吸引客流，某商场举办了“摸球赢好礼”活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能摸出黑球，便可晋级第二关游戏“赢积分、换好礼”. (1)小江正在参与第一关游戏.记事件为“小江摸出的第一个球是红球”，事件为“小江晋级了第二关游戏”，分别求； (2)小江成功晋级第二关游戏.已知第二关游戏规则如下:游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数，而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及白共个球，并充分搅匀.游戏过程中，顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子，充分搅匀后再进行下一局摸球，以此类推，直到摸完局球，第二关结束.记分规则如下: 颜色 黑色 红色 白色 得分 +10 在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分.最终积分越高，所换取的礼品价值越大. ①若小江决定摸球的局数，求她在第二局中所得积分的分布与期望； ②为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数? 21.甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1.2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率. (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求 2.张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求． 3.某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 4.某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 5.新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立. (1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望； (2)（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和； （ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式. 6.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； (3)在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为. (1)求与； (2)设，求与； (3)当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求. 2.2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换. (1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率； (2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值. 3.为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅，若有不少于2幅作品入选，将获得“巧手奖”.7轮比赛中，至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准. (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅，记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X，求X的分布列和数学期望； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率不减小且共增加了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 4.马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 5.不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量. (1)若，求和； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求证：且. 6.现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. (1)求点所有可能的坐标； (2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； (3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 7.两个数列、，当和同时在时取得相同的最大值，我们称与具有性质，其中. （1）设的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；同样地，的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；判别与是否具有性质，请说明理由； （2）数列的前项和是，数列的前项和是，若与具有性质，，则这样的数列一共有多少个？请说明理由； （3）两个有限项数列与满足，，且，是否存在实数，使得与具有性质，请说明理由. 8.从数据组中取出（是自然数，且）个不同的数构成一个新数据组.若对任意的，存在，，使得，，则称数据组为数据组Ω的一个k维基本数据库. (1)判断数据组是否为数据组的一个2维基本数据库； (2)若数据组：是数据组的一个2维基本数据库，请求出的最大值，并写出此时的2维基本数据库. (3)若数据组是数据组的一个k维基本数据库，求证：. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $