精品解析：辽宁省锦州市太和区2025-2026学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

2025—2026学年度上学期期中阶段检测 九年级数学试卷 （考试时间为90分钟 试卷总分100分） 一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，共20分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，不是一元二次方程； B．，是一元二次方程； C．，不是一元二次方程； D．，不是一元二次方程； 故选：B． 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 3. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率． 利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋子中黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 即布袋中黄球可能有个． 故选D． 4. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. 26° B. 52° C. 128° D. 154° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形中对角线的平分的性质是解决本题的关键 ． 由菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分每组对角，即可求的度数，再由菱形中即可求解 ． 【详解】解：在菱形中，因为， 所以， 即， 又因为在菱形中，， 所以， 可得， 所以的度数为 ． 故选：C ． 5. 如图，是斜边上的中线，且，则（ ） A. 14 B. 13 C. 7 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是斜边上的中线，且， ∴； 故选A． 6. 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查利用列举法求概率，求出所有的传球方法共有多少种，找出最后球在乙手上的的情况，即可得最后球在乙手上的概率． 【详解】解：用甲→乙→丙表示一种传球方法， 所有传球方法共有：甲→乙→甲； 甲→乙→丙； 甲→丙→甲； 甲→丙→乙； 则共有4种传球方法，最后球在乙手上的有1种情况， ∴最后球在乙手上的概率为， 故选：A 7. 下列命题中真命题的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，特别是从对角线的特征来判定各特殊平行四边形．根据矩形、菱形、正方形的判定即可判断各选项． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形．故A是假命题． B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故B是假命题． C、对角线相等的平行四边形是矩形正确．故C是真命题． D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故D是假命题． 故选：C． 8. 关于x的方程有实根，则（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，需掌握一元二次方程的根与之间的关系是解此题的关键．本题分两种情况进行讨论：①，是一元一次方程，必有实数根；②，是一元二次方程，可得判别式，继而可得：，解此不等式即可求得答案． 【详解】解：分两种情况： ①若，则方程为，必有实数根； ②若，则方程是一元二次方程，那么， 解得：． 综上可知，当时，关于x的方程有实根． 故选：B． 9. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据“增长率问题”及题意可直接列出方程，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D． 10. 如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 12. 一元二次方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先通过移项将方程右边化为0，再提取公因式，把方程转化为两个一次方程求解． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 13. 如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则_________（填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【解析】 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得： B A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 14. 如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 故答案为：5． 15. 正方形边长为，在边上，在边上，．则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．掌握“将军饮马”模型，理解当，，三点共线时，取得最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，，得到，， 再利用“”证明得到，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，则，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ，，， ， 的最小值为， 故答案为： ． 三、解答题：（第16题每小题4分，共16分） 16. 解方程∶ （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）；（因式分解法） （4）．（选择适当的方法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解： ，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：原方程变形为： 即：， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：移项得． ∴，， ∴， ∴ ∴，． 四、解答题：（第17、18题各6分，第19题8分，共20分） 17. 旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F （1）“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________； （2）试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，树状图求概率： （1）根据事件的分类进行判断，概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：“分给李某座位A”是随机事件； 分给李某座位有5种等可能情况，其中分给李某座位A的概率为； 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 共有种等可能情况，其中相邻座位的情况数有种， ∴分给李某和张某相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率是． 18. 学校有一个面积为平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 【答案】活动场地的长为20米，宽为10米 【解析】 【分析】设活动场地垂直于墙的边长为米，则另一边长为米，由长方形的面积计算公式结合活动场地的面积，可得出关于的一元二次方程，解方程得的值，再结合确定的值即可． 【详解】解：设活动场地垂直于墙的边长为米，则另一边长为米，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：． 当，符合题意． 答：活动场地的长为20米，宽为10米． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 19. “双十一”已经成为全民“购物节”．一家网店平时平均每天销售20套玩具，每套可以赚44元．该网店准备在“双十一”降价促销，已知每套玩具每降价1元，每天可以多销售5套．若该网店在保证“双十一”当天盈利1600元的前提下，想尽量减少资金投入，你认为每套玩具应降价多少元？ 【答案】降价4元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设每套玩具应降价元，则降价后每套玩具的利润为元，每天销量为元，根据“盈利单套玩具利润销量”列出方程并求解，结合“尽量减少资金投入”，即可获得答案． 【详解】解：设每套玩具应降价元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∴要盈利1600元，每套玩具应降价4元或36元， ∵想尽量减少资金投入， ∴应降价4元． 五、解答题：（第20题6分，第21题8分，共14分） 20. 如图，在菱形中，点E、F分别是上的点，连接，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质推出，证明，即可得出结论． 【详解】略 21. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2） 证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 六、解答题：（第22题6分，第23题9分，共15分） 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 仿照上述方法，求解代数式的最大值． 【答案】代数式的最大值是21． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值是21． 23. 已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． （1）如图1，当时，求证：四边形是正方形； （2）如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； （3）如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （2） ①， 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明四边形是矩形，再得，即可解决问题； （2）①证明，可得即可； ②先根据正方形的性质得，则，，所以，由得，则，即可证明，于是得，根据四边形的面积的面积正方形的面积，即可解决问题； （3）延长至点G，使，连接，证明，可得，，所以为等腰直角三角形，所以四边形的面积等腰直角三角形的面积，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积； 【小问3详解】 解：如图，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形的面积等腰直角三角形的面积． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，根据正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中阶段检测 九年级数学试卷 （考试时间为90分钟 试卷总分100分） 一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，共20分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. 26° B. 52° C. 128° D. 154° 5. 如图，是斜边上的中线，且，则（ ） A. 14 B. 13 C. 7 D. 3.5 6. 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中真命题的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8. 关于x的方程有实根，则（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 12. 一元二次方程的解为________． 13. 如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则_________（填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 14. 如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为______． 15. 正方形边长为，在边上，在边上，．则的最小值为___________． 三、解答题：（第16题每小题4分，共16分） 16. 解方程∶ （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）；（因式分解法） （4）．（选择适当的方法） 四、解答题：（第17、18题各6分，第19题8分，共20分） 17. 旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F （1）“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________； （2）试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 18. 学校有一个面积为平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 19. “双十一”已经成为全民“购物节”．一家网店平时平均每天销售20套玩具，每套可以赚44元．该网店准备在“双十一”降价促销，已知每套玩具每降价1元，每天可以多销售5套．若该网店在保证“双十一”当天盈利1600元的前提下，想尽量减少资金投入，你认为每套玩具应降价多少元？ 五、解答题：（第20题6分，第21题8分，共14分） 20. 如图，在菱形中，点E、F分别是上的点，连接，，求证：． 21. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 六、解答题：（第22题6分，第23题9分，共15分） 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 仿照上述方法，求解代数式的最大值． 23. 已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． （1）如图1，当时，求证：四边形是正方形； （2）如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； （3）如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $