专题02 不等式与复数（含基本不等式的应用）（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题02 不等式与复数（含基本不等式的应用） 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 不等式 3 真题动向 必备知识 知识1不等式判断正误 知识2二次不等式及常见不等式的求解 知识3基本不等式常见模型 命题预测 考向1不等式的性质 考向2解常见不等式 考向3利用基本不等式求最值 考向4基本不等式中的恒成立问题 考点二 复数 19 真题动向 必备知识 知识1复数的有关概念 知识2复数的四则运算 命题预测 考向1复数的四则运算 考向2复数的几何意义 考向3与复数有关的最值问题 命题轨迹透视 近三年全国卷中，不等式与复数均为基础必考点，考情稳定且难度适中。不等式作为重点知识点，虽应用贯穿高中数学多章节，但核心围绕大小判断、求最值及取值范围展开，题型以一道选择题为主，分值5分，偶与函数、数列、解析几何交叉综合，侧重基础运算与思想应用。 复数则是必考内容，核心考查代数四则运算、共轭复数、模长及几何意义，题型为选择题或填空题（多位于前2题），分值5分，考题难度低档，命题形式固定无偏题。两者均为高考易得分模块，分值与考查内容稳定，是基础分的重要保障。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 不等式 二卷T4，5分 乙卷（理）T16，5分 I卷T1，5分 复数 二卷T1，5分 二卷T2，5分 甲卷（文）T1，5分 甲卷（理）T1，5分 I卷T2，5分 II卷T1，5分 甲卷（文）T2，5分 甲卷（理）T2，5分 乙卷（文）T1，5分 乙卷（理）T1，5分 I卷T2，5分 II卷T1，5分 2026命题预测 2026年全国卷不等式与复数考情将延续稳定态势。复数仍为5分客观题，聚焦代数四则运算、模长及几何意义，难度维持低档；不等式以选择题为主，5分左右，核心考查大小判断、最值求解，或与基础知识点轻度结合。二者均为易得分模块，备考需夯实基础运算与核心性质。 考点一 不等式 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，1，5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】Cnn 【分析】 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2．（2025·全国二卷·高考真题，4，5分）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题，12，5分）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 知识2二次不等式及常见不等式的求解 （1）解一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． （2）解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． （3）解和型不等式的一般步骤： ①；② 知识3基本不等式常见模型 （1），当且仅当时等号成立. （2），当且仅当时等号成立. （3），当且仅当时等号成立. （4），当且仅当时等号成立. （5）分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 【易错提醒】 ①利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正的前提条件； ②基本不等式做题时要严谨，需满足“一正二定三相等”，很多同学做题时求出最值之后，很多时候没有验证三相等，易出现错误 考向1不等式的性质 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由题设，所以，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：C. 2．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，则使得“”成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：当，，则，，此时成立，但是不成立，所以“”不是“”的充分条件，故A错误； 对B：取，，则，，所以成立，但不成立，所以“” 不是“”的充分条件，故B错误； 对C：因为，，两边同乘以，得，即，所以“”是“”的充分条件，故C正确； 对D：因为，又，所以，所以“”不是“”的充分条件，故D错误. 故选：C 3．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选）下列选项正确的有（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因，由，可得，故A正确； 对于B，若取，满足，但显然不满足，故B错误； 对于C，由可知可以同为正数，一正一负，或者一个为正数一个为0，易得以上情况都能使成立，故C正确； 对于D，因，故，即D正确. 故选：ACD. 4．（2025·四川·模拟预测）（多选）下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A、，则或， 当时，，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，， ，， 则，即，故C正确； 对于D，， 又，所以， 则， 即，故D错误． 故选：BC． 5．（2025·湖南永州·模拟预测）（多选）若实数x，y满足，则下列选项一定正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对A：当，时，满足，但，则不成立，故A错误； 对B：因为，所以，所以，故B正确； 对C：设，其中，， 则，故C正确； 对D：因为， 因为，，所以，所以成立，故D正确. 故选：BCD 6．（2025·陕西安康·二模）（多选）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A.，则，故A正确； B.若，则，不满足，故B错误； C.若，则，故C错误； D.因为，所以，所以， 即，故D正确. 故选：AD 考向2解常见的不等式 7．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式化为， 解得，所以不等式的解集为， 故答案为：. 8．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 又集合，所以. 故选：B. 9．（2025·四川资阳·一模）已知命题，命题，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】或， 因为成立，但不成立， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 10．（2025·海南·一模）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式可得，且，所以. 不等式的解集为. 故选：B. 11．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】在集合中，因为，所以， 则，解得，所以， 因为，故. 故选：B． 考向3利用基本不等式求最值 12．（2025·吉林长春·模拟预测）（多选）下列不等式正确的是（   ） A． B．的最小值是4 C．若，则 D． 【答案】AC 【详解】对于A：，， 因为，所以，即，故A正确； 对于B：，在上单调递减， 所以当时，取得最小值为5，故B错误； 对于C：因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，故C正确； 对于D：，即，，解得， 即，当时，， 又因为为增函数，所以，故D错误. 故选：. 13．（2025·26高三上·陕西商洛·月考）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 【答案】C 【详解】由， 则 . 当且仅当时取等号，即，再结合， 可得，时取等号. 故选：C 14．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：，当且仅当时取等号， 又，， 均为正实数， ，即，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：，， ，当且仅当，即时，，而，故B错误； 选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误； 选项D：， ，变形可得， 设，则，故同号， 当时， ，当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：． 15．（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号， 故选：A. 16．（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由，，且，得. 当且仅当，即，即，或时，等号成立. 所以，当，或时，取得最小值，最小值为4. 故选：A. 17．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，取等号. 令得：， 由得：， 所以：， ， 解得：或， 又因为，所以， 故，当且仅当，即时，取等号. 故选：D 18．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A，正实数，满足， 设，则， 因为，所以，整理得， 将其看作关于的一元二次方程，则，解得，故，A正确； D，因为，所以，故， 又，故，即，， 当且仅当时，等号成立，D正确； B，因为，所以，由D知，故， 当且仅当时，等号成立，解得，故，B错误； C，通过以上分析得，，等号成立的条件均为， 故，当且仅当时，等号成立，C正确. 故选：ACD 19．（2025·广东深圳·一模）若实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】令， 所以，两边平方并化简得， 同理， 由题知，则， 故，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 考向4基本不等式中的恒成立问题 20．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 21．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 22．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解. 23．（2025·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 24．（2025·山西晋中·二模）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为对任意，恒成立，只需满足， 因为，所以，当且仅当，即时取等号. 故实数的取值范围是. 故答案为： 25．设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【详解】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需， 故选：B 考点二 复数 1．（2024·全国甲卷·高考真题，1，5分）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】依题意得，，故. 故选：D 2．（2025·全国二卷·高考真题，2，5分）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 3．（2025·全国一卷·高考真题，1，5分）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，2，5分）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 5．（2024·全国甲卷·高考真题，1，5分）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【详解】由，则. 故选：A 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，1，5分）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】若，则. 故选：C. 知识1复数的有关概念 （1）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. （2）复数可以分类如下: 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 知识2复数的四则运算 设，则 （1）加法：； （2）减法：； （3）乘法：； （4）除法： 考向1复数的四则运算 1．（2025·陕西榆林·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，则， 所以． 故选：A 2．（2025·云南大理·模拟预测）已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】设复数，所以， 又，所以， 即，所以，解得，所以，则的虚部为. 故选：C 3．（2025·浙江·模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】由，得， 所以 故选：C. 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以，故， 所以， 故选：C. 5．（2025·广东江门·模拟预测）已知复数是的共轭复数，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 则 故． 故答案为：. 6．（2025·广东肇庆·一模）已知方程的两个复数根分别为，，则（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由得， 可得方程的两个复数根分别为，， 所以. 故选：D 考向2复数的几何意义 7．（2025·河南·一模）若复数满足，则在复平面内复数表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由， 复平面内复数z表示的点坐标为，在第四象限. 故选：D. 8．已知复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意有，则， 故. 故选：C 9．设是纯虚数，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ． 【答案】 【详解】由于是纯虚数，则设， 由 由于复数在复平面内对应的点位于实轴上， 所以，解得：，即：. 故答案为： 10．（2025·河南许昌·三模）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则可设， ， 复数在复平面内所对应的点为，又， 复数在复平面内所对应的点位于第四象限． 故选：D． 11．（2025·陕西·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为 又点在直线上， 所以，解得， 所以复数， ， 故选：D. 12．（2025·云南昆明·模拟预测）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第 象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 【答案】一 【详解】设，故，则 解得，，故在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限. 故答案为：一. 考向3与复数有关的最值问题 13．（2025·广东广州·模拟预测）复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设复数，则对应点的坐标为， 所以 所以复数对应的点到的距离为， 故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为 故选：C 14．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，故； 而， 故的最小值为， 故选:C． 15．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 18．在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为 ． 【答案】1 【详解】复数是纯虚数， ，，解得， ，其对应的点为， 为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上， 所以与之间的最小距离. 故答案为：. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与复数（含基本不等式的应用） 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 不等式 3 真题动向 必备知识 知识1不等式判断正误 知识2二次不等式及常见不等式的求解 知识3基本不等式常见模型 命题预测 考向1不等式的性质 考向2解常见不等式 考向3利用基本不等式求最值 考向4基本不等式中的恒成立问题 考点二 复数 8 真题动向 必备知识 知识1复数的有关概念 知识2复数的四则运算 命题预测 考向1复数的四则运算 考向2复数的几何意义 考向3与复数有关的最值问题 命题轨迹透视 近三年全国卷中，不等式与复数均为基础必考点，考情稳定且难度适中。不等式作为重点知识点，虽应用贯穿高中数学多章节，但核心围绕大小判断、求最值及取值范围展开，题型以一道选择题为主，分值5分，偶与函数、数列、解析几何交叉综合，侧重基础运算与思想应用。 复数则是必考内容，核心考查代数四则运算、共轭复数、模长及几何意义，题型为选择题或填空题（多位于前2题），分值5分，考题难度低档，命题形式固定无偏题。两者均为高考易得分模块，分值与考查内容稳定，是基础分的重要保障。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 不等式 二卷T4，5分 乙卷（理）T16，5分 I卷T1，5分 复数 二卷T1，5分 二卷T2，5分 甲卷（文）T1，5分 甲卷（理）T1，5分 I卷T2，5分 II卷T1，5分 甲卷（文）T2，5分 甲卷（理）T2，5分 乙卷（文）T1，5分 乙卷（理）T1，5分 I卷T2，5分 II卷T1，5分 2026命题预测 2026年全国卷不等式与复数考情将延续稳定态势。复数仍为5分客观题，聚焦代数四则运算、模长及几何意义，难度维持低档；不等式以选择题为主，5分左右，核心考查大小判断、最值求解，或与基础知识点轻度结合。二者均为易得分模块，备考需夯实基础运算与核心性质. 考点一 不等式 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，1，5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题，4，5分）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题，12，5分）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 知识2二次不等式及常见不等式的求解 （1）解一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． （2）解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． （3）解和型不等式的一般步骤： ①；② 知识3基本不等式常见模型 （1），当且仅当时等号成立. （2），当且仅当时等号成立. （3），当且仅当时等号成立. （4），当且仅当时等号成立. （5）分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 【易错提醒】 ①利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正的前提条件； ②基本不等式做题时要严谨，需满足“一正二定三相等”，很多同学做题时求出最值之后，很多时候没有验证三相等，易出现错误 考向1不等式的性质 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，则使得“”成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选）下列选项正确的有（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D． 4．（2025·四川·模拟预测）（多选）下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2025·湖南永州·模拟预测）（多选）若实数x，y满足，则下列选项一定正确的有（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西安康·二模）（多选）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 考向2解常见的不等式 7．不等式的解集为 . 8．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川资阳·一模）已知命题，命题，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（2025·海南·一模）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 考向3利用基本不等式求最值 12．（2025·吉林长春·模拟预测）（多选）下列不等式正确的是（   ） A． B．的最小值是4 C．若，则 D． 13．（2025·26高三上·陕西商洛·月考）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 14．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 16．（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 17．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 19．（2025·广东深圳·一模）若实数满足，则的最小值为 . 考向4基本不等式中的恒成立问题 20．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 23．（2025·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 24．（2025·山西晋中·二模）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 25．设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 考点二 复数 1．（2024·全国甲卷·高考真题，1，5分）设，则（    ） A． B． C． D．2 2．（2025·全国二卷·高考真题，2，5分）已知，则（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·全国一卷·高考真题，1，5分）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，2，5分）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题，1，5分）若，则（    ） A． B． C．10 D． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，1，5分）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 知识1复数的有关概念 （1）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. （2）复数可以分类如下: 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 知识2复数的四则运算 设，则 （1）加法：； （2）减法：； （3）乘法：； （4）除法： 考向1复数的四则运算 1．（2025·陕西榆林·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南大理·模拟预测）已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 3．（2025·浙江·模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知，且，则（   ） A． B． C． D．1 5．（2025·广东江门·模拟预测）已知复数是的共轭复数，则 . 6．（2025·广东肇庆·一模）已知方程的两个复数根分别为，，则（   ） A．0 B． C． D．3 考向2复数的几何意义 7．（2025·河南·一模）若复数满足，则在复平面内复数表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．已知复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 9．设是纯虚数，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ． 10．（2025·河南许昌·三模）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2025·陕西·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·云南昆明·模拟预测）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第 象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 考向3与复数有关的最值问题 13．（2025·广东广州·模拟预测）复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 18．在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为 ． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $