2026年中考数学一轮复习之小题决胜演练 一次函数

2026年中考数学复习之小题决胜演练 一次函数 一、选择题 1．已知直线y＝﹣3x+2经过点A（1，y1）和点B（﹣2，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 2．如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：dm）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（　　） A．旋转木马转一圈需要60s B．当x＝30s时，小明与入口的距离为42dm C．小明与入口的距离为38dm时，旋转木马恰好转了80s D．当x＜30s时，y随x的增大而增大 3．直线y＝kx+b经过一、三、四象限，则直线y＝bx+k的图象是（　　） A． B． C． D． 4．一辆快车从高新区云巴线的彩虹湖站开往烯谷中心站，一辆慢车从云巴线的烯谷中心站开往彩虹湖站，两车同时出发，设快车离烯谷中心站的距离为y1（km），慢车离烯谷中心站的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km），y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当时，两车相遇；③当时，两车相距60km；④当两车相距200km时，或．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 6．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（　　） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 7．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出y与x之间的函数表达式（　　） 时间：（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 A．y＝2+4x B．y＝6+4x C．y＝6﹣4x D．y＝2﹣4x 8．已知关于x的一次函数y＝ax+4﹣2a．当﹣2≤x≤5时，函数有最大值7，则a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝4 C．a＝0.75或a＝1 D．a＝﹣0.75或a＝1 9．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C、D位于第一象限，直线将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的，面积为S，则S关于t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（x＞15），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 　 　 ． 12．已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为　 　 ． 13．如图，根据程序框图计算函数y的值，若输入x的值为7，则输出y的值为﹣2，若输入x的值为﹣8，则输出y的值为　 　 ． 14．函数的自变量x的取值范围是　 　 ． 15．如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（﹣3，1）照射在平面镜（x轴）上的点B（﹣1，0）处，其反射光线BC交y轴于点，再被平面镜（y轴）反射得光线CD，则直线CD的函数表达式为 　 　 ． 16．已知直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、三、四象限，那么直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第　 　 象限． 17．已知函数y＝|x﹣a|． （1）若a＝1，当0≤x≤2时，y的取值范围是　 　 ； （2）当1≤x≤3时，y有最小值5，则a的值是　 　 ． 18．如图1，直角坐标系中点A（2，0）、B（0，4）、C（﹣2，0）、D（0，﹣4），过点（3，0）的直线y＝kx+b，与四边形ABCD交于点P，Q（点P和点Q可以重合）．以k的值为点的横坐标，线段PQ的长度m为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数m的图象与横轴两交点之间的距离为 　 　 ． 19．甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则甲、乙两车相距50km时，对应t的值是 　 　 ． 20．已知函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0）．则函数y1＝a（﹣x+h﹣2）2+m+2025（a＞0），当y1＜0时，自变量x的取值范围是 　 　 ． 三．解答题 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）请直接写出：点A的坐标为 　 　 ；点B的坐标为 　 　 ；AB的长为 　 　 ； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过点C（1，3），且与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B． （1）求直线l1的解析式和点B的坐标； （2）直线l2经过点C，且与x轴交于点D（﹣5，0），点M是直线l1上一点，且S△DCM＝6，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是直线l2上一点，点Q是x轴上一点，当点A、B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 23．【初步探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），两条直线与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C，求△ABC的面积； 【灵活应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，△ABC是某校将要扩建的校园活动区示意图，AB边所在直线的表达式为，AC边所在直线的表达式为y＝﹣x+6，AB与AC交于点A（3，3），AG为垂直于边BC的一条跑道，点D为线段BG上的动点，连接AD，△ABD为休闲区域，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F，△ADF为运动区域，△DFE为扩建的拉伸区域，当△DEF为直角三角形时，求出点D的坐标． 24．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% （1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式． （2）什么情况下，两家商场的收费相同？ （3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为W元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 25．如图，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过原点的直线与直线AB相交于点C（﹣4，2）． （1）求点B的坐标； （2）求△OBC的面积； （3）在直线AB上是否存在点M，使△OCM的面积与△AOB的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1，相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求直线l1的解析式； （2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，当MN＝2时，求点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 27．甲、乙两人开车同时分别从相距30km的A、B两地出发，相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两人距A地的距离y甲（km）、y乙（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式； （2）求出乙行驶多长时间与甲相遇； （3）当x为何值时，甲、乙相距8km？ 28．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为（2，0）， ①当B点坐标为（5，1）时，点A，B的“合成矩形”的面积是　 　 ； ②若点P在直线y＝﹣2x+2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为（0，0），点D为直线y＝x+b（b≠0）上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 29．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C．其中B（0，6），C点横坐标为4． （1）求直线l1的解析式； （2）如图2，点P是线段OC上的一动点（不与端点重合），过点P作PQ∥y轴交l1于点Q，过点Q向y轴作垂线，垂足为M，连接PM，若四边形PCQM的面积为8，求此时点P的坐标； （3）点E为直线l2上的一点，当∠EBC+∠AOC＝45°时，直接写出所有符合条件的点E的坐标． 30．2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）A，C两区相距 　 　 米，a＝ 　 　 ； （2）求线段EF所在直线的函数解析式； （3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 参考答案 一、选择题 1．已知直线y＝﹣3x+2经过点A（1，y1）和点B（﹣2，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合1＞﹣2，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵直线y＝﹣3x+2经过点A（1，y1）和点B（﹣2，y2），且1＞﹣2， ∴y1＜y2． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 2．如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：dm）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（　　） A．旋转木马转一圈需要60s B．当x＝30s时，小明与入口的距离为42dm C．小明与入口的距离为38dm时，旋转木马恰好转了80s D．当x＜30s时，y随x的增大而增大 【分析】如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：dm）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是60s，当x＝30s时，小明与入口的距离为42dm，当x＜30s时，y随x的增大而增大，即可作答． 【解答】解：A、图象的每一次循环需要的时间是60s，则旋转木马转一圈需要60s，故该选项不符合题意； B、当x＝30s时，小明与入口的距离为42dm，故该选项不符合题意； C、当小明与入口的距离为38dm时，旋转木马不一定转了80s（如图所示），故该选项符合题意； D、当x＜30s时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键． 3．直线y＝kx+b经过一、三、四象限，则直线y＝bx+k的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线y＝kx+b经过一、三、四象限，可得k＞0，b＜0，然后再根据一次函数的性质，即可写出y＝bx+k图象经过哪几个象限． 【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、三、四象限， ∴k＞0，b＜0， ∴y＝bx+k图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质判断出k、b的正负． 4．一辆快车从高新区云巴线的彩虹湖站开往烯谷中心站，一辆慢车从云巴线的烯谷中心站开往彩虹湖站，两车同时出发，设快车离烯谷中心站的距离为y1（km），慢车离烯谷中心站的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km），y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当时，两车相遇；③当时，两车相距60km；④当两车相距200km时，或．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【分析】由图象可知两地相距300千米，且当x＝3时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；求出x时，两车的路程即可判断③；分两车相遇之前和当两车相遇之后，两种情况解答，即可判断④． 【解答】解：①由图可得，当x＝3时，快车到达烯谷中心站， ∴a＝3，故①正确； ②，V慢车60km/h， ∴相遇时即100x+60x＝300， ∴x，故②正确； ③当x时，快车行驶的路程为100150km，慢车行驶的路程为6090km， ∴两车相距300﹣150﹣90＝60km，故③正确； ④当两车相遇之前，相距200km，即100x+200+60x＝300， ∴x． 当两车相遇之后，相距200km，即100x+60x﹣200＝300， ∴x． ∴此时快车早已到达，故不合题意， ∴当x时，两车相距200km，故④错误． 综上可知①②③正确． 故选：A． 【点评】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键． 5．下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义解答即可． 【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 6．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（　　） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【分析】①根据速度等于路程除以时间求解． ②先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解． ③根据甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒，列出不等式求出t的取值，再求当乙到达终点停止运动后t的取值，即可求解． ④用总路程减去甲走过的路程即可． 【解答】解：①∵乙用80秒跑完400米， ∴乙的速度为米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为t秒， 5t﹣4t＝12， ∴t＝12秒， ∴12×5＝60米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒， ∴5（t﹣12）﹣4（t﹣12）≥32， ∴t≥44， 当乙到达终点停止运动后， 4t+12＜400﹣32， ∴t＜89， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：400﹣4×（3+80）＝400﹣332＝68米， 即甲距离终点还有68米． 故④正确； 正确的个数为①③④． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键． 7．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出y与x之间的函数表达式（　　） 时间：（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 A．y＝2+4x B．y＝6+4x C．y＝6﹣4x D．y＝2﹣4x 【分析】由表格数据可知，每增加1个小时，圆柱体容器液面高度y增加4厘米，据此解答即可求解． 【解答】解：由表格数据可知，每增加1小时，圆柱体容器液面高度y增加4厘米， ∴y＝6+4（x﹣1）＝2+4x， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂表中数据的变化情况是解题的关键． 8．已知关于x的一次函数y＝ax+4﹣2a．当﹣2≤x≤5时，函数有最大值7，则a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝4 C．a＝0.75或a＝1 D．a＝﹣0.75或a＝1 【分析】分类讨论：a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝5时，y有最大值7，然后把y＝7代入函数关系式可计算出对应a的值；a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣2时，y有最大值7，然后把y＝7代入函数关系式可计算对应a的值． 【解答】解：根据一次函数的性质，分类讨论如下： ①a＞0时，y随x的增大而增大， 则当x＝5时，y有最大值7，把x＝5，y＝7代入函数关系式得7＝5a+4﹣2a， 解得a＝1； ②a＜0时，y随x的增大而减小， 则当x＝﹣2时，y有最大值7，把x＝﹣2，y＝7代入函数关系式得7＝﹣2a+4﹣2a， 解得a＝﹣0.75， 所以a＝1或a＝﹣0.75， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质．熟练掌握该知识点是关键． 9．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C、D位于第一象限，直线将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的，面积为S，则S关于t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】对t分以下两种情况讨论：当时，其阴影部分是一个等腰直角三角形，直角边为 ；当 时，其阴影部分的面积可用正方形的面积减去剩下的部分面积，剩下的部分是一个边长为的等腰直角三角形．根据分析写出解析式即可写出答案． 【解答】解：当0≤t时，其阴影部分是一个等腰直角三角形，直角边为 ，St2； 当 时，其阴影部分的面积可用正方形的 面积减去剩下的部分面积，剩下的部分是一个边长为 的等腰直角三角形， ∴﹣S， ∴S据此可画出S关于t的函数图象大致是C． 故选：C． 【点评】本题考查函数图象，对t分类讨论写出其解析式是解决问题的关键． 10．如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把P（﹣2，n）代入yx中计算出n的值，从而得到P（﹣2，3），然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【解答】解：把P（﹣2，n）代入yx得n（﹣2）3， 即P（﹣2，3）， ∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3）， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题． 二．填空题 11．小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（x＞15），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 y＝4x+15（x＞15）　 ． 【分析】依据题意付款金额＝单价×数量解答即可建立函数关系式． 【解答】解：∵该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折， 由题意得：y＝5×15+（x﹣15）×0.8×5＝4x+15， 故答案为：y＝4x+15（x＞15）． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 12．已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为k＞2　 ． 【分析】根据“自变量系数小于零时，y的值随x的值增大而减小，”得，再求解即可． 【解答】解：由题意得， ∵， ∴k＞2， 故答案为：k＞2． 【点评】本题考查正比例函数的性质，掌握其性质是解题的关键． 13．如图，根据程序框图计算函数y的值，若输入x的值为7，则输出y的值为﹣2，若输入x的值为﹣8，则输出y的值为　19　 ． 【分析】把x＝7代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值，再将x＝﹣8代入y＝﹣2x+3中即可得出结论 【解答】解：当x＝7时，可得， 可得：b＝3， 当x＝﹣8时，可得：y＝﹣2×（﹣8）+3＝19， 故答案为：19． 【点评】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键． 14．函数的自变量x的取值范围是x＜3　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：3﹣x＞0， 解得：x＜3， 故答案为：x＜3． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 15．如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（﹣3，1）照射在平面镜（x轴）上的点B（﹣1，0）处，其反射光线BC交y轴于点，再被平面镜（y轴）反射得光线CD，则直线CD的函数表达式为 y＝﹣0.5x+0.5　 ． 【分析】可设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把点A、B的坐标代入可得k和b的值，即可求得直线AB的解析式，易得AB∥CD，则直线AB和CD一次项的系数相等，进而设出直线CD的解析式，把点C的坐标代入可得直线CD的函数表达式． 【解答】解：由题意得：∠ABE＝∠CBO，∠BCO＝∠DCF，∠BOC＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣2∠CBO，∠DCB＝180°﹣2∠BCO， ∴∠ABC+∠DCB＝180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠BCO＝360°﹣2（∠CBO+∠BCO）＝360°﹣2×90°＝180°， ∴AB∥CD， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣0.5x﹣0.5， ∴设直线CD的解析式为：y＝﹣0.5x+m， ∵BC交y轴于点C（0，）， ∴m， ∴直线CD的解析式为：y＝﹣0.5x+0.5， 故答案为：y＝﹣0.5x+0.5． 【点评】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：镜面反射中入射光线与镜面所在的直线的夹角与反射光线与镜面所在的直线的夹角相等；两直线平行，一次项的系数相等． 16．已知直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、三、四象限，那么直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第　一、二、四　 象限． 【分析】根据k、b的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【解答】解：由题意得，k＞0，b＜0， ∴﹣k＜0，﹣b＞0， ∴直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟知对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，一次函数图象必过一、三象限；当k＜0时，一次函数图象必过二、四象限；当b＞0时，一次函数图象与y轴交于正半轴；当b＜0时，一次函数图象与y轴交于负半轴；或者说：当k＞0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 17．已知函数y＝|x﹣a|． （1）若a＝1，当0≤x≤2时，y的取值范围是　0≤y≤1　 ； （2）当1≤x≤3时，y有最小值5，则a的值是　8或﹣4　 ． 【分析】（1）把a＝1代入，再根据一次函数的性质即可求解； （2）根据一次函数的性质，分三种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）当0≤x≤1时，y＝1﹣x， 由条件可知y随着x的增大而减小， 当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝0， ∴0≤y≤1， 当1≤x≤2时，y＝x﹣1， 由条件可知y随着x的增大而增大， ∴当x＝1时，y＝0，当x＝2时，y＝1， ∴0≤y≤1 ∴y的取值范围为：0≤y≤1， 故答案为：0≤y≤1； （2）当a≥3时，y＝|x﹣a|＝a﹣x， ∵1≤x≤3，x越大，y＝a﹣x越小， ∴当x＝3时，y取得最小值， ∴y的最小值为a﹣3， ∵y有最小值5， ∴a﹣3＝5， ∴a＝5+3＝8， 当a≤1时，y＝|x﹣a|＝x﹣a， ∵1≤x≤3，x越大，y＝x﹣a越大， ∴当x＝1时，y取得最小值， ∴y的最小值为1﹣a， ∵y有最小值5， ∴1﹣a＝5， ∴a＝﹣5+1＝﹣4， 当1＜a＜3时，， 由条件可知a﹣1＝5， ∴a＝5+1＝6， ∵a＝6不满足1＜a＜3这个条件， ∴舍去， 综上所述：a的值是8或﹣4， 故答案为：8或﹣4． 【点评】本题主要考查了绝对值的性质，一次函数的性质，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握绝对值的性质，进行分类讨论是解决此题的关键． 18．如图1，直角坐标系中点A（2，0）、B（0，4）、C（﹣2，0）、D（0，﹣4），过点（3，0）的直线y＝kx+b，与四边形ABCD交于点P，Q（点P和点Q可以重合）．以k的值为点的横坐标，线段PQ的长度m为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数m的图象与横轴两交点之间的距离为 　　 ． 【分析】根据题意得出函数m与横轴两个交点坐标的纵坐标为0，即m＝0，再结合图1得出当直线y＝kx+b经过点B和点D时的k值，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 当直线y＝kx+b经过点B时， ， 解得， 则此时的函数解析式为y． 同理可得， 当直线y＝kx+b经过点D时的解析式为y， 所以函数m经过点（）和（）， 所以函数m的图象与横轴两交点之间的距离为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 19．甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则甲、乙两车相距50km时，对应t的值是 　5：50或6：15或8：45或9：10　 ． 【分析】据整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系，即可得到正确结论． 【解答】解：由图示知：A，B两城相距300km，甲车从5：00出发，乙车从6：00出发；甲车10：00到达B城，乙车9：00到达B城； 乙车的平均速度为：300÷（9﹣6）＝100（km/h）， 甲车的平均速度为：300÷（10﹣5＝60（km/h）， 设甲车出发x小时后两车相距50千米， 根据题意，得①60x＝50，解得：x； ②60x﹣100（x﹣1）＝50，解得：x； ③100（x﹣1）﹣60x＝50，解得：x； ④60x＝250，解得：x； 综上所述，甲、乙两车相距50km时，对应t的值是5：50或6：15或8：45或9：10． 故答案为：5：50或6：15或8：45或9：10． 【点评】本题考查了函数图象，以及一次函数的应用，解题的关键是从函数图象中获得正确的信息． 20．已知函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0）．则函数y1＝a（﹣x+h﹣2）2+m+2025（a＞0），当y1＜0时，自变量x的取值范围是 　﹣4＜x＜1　 ． 【分析】先根据二次函数的对称轴求出，从而可得两个函数的解析式，再根据二次函数图象的平移可得函数与x轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质求解即可得． 【解答】解：∵函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0）， ∴这个函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， 函数的图象是由原函数的图象向左平移1个单位长度所得到的， ∴函数与x轴的交点坐标为（﹣3﹣1，0），（2﹣1，0），即为（﹣4，0），（1，0）， 又∵a＞0， ∴抛物线的开口向上， ∴y1＜0时自变量x的取值范围是﹣4＜x＜1， 故答案为：﹣4＜x＜1． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 三．解答题 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）请直接写出：点A的坐标为 　（3，0）　 ；点B的坐标为 　（0，4）　 ；AB的长为 　5　 ； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别令x＝0、y＝0求出点A和点B坐标，进而利用勾股定理求出AB的长； （2）由题易得AB＝AC＝5，即可得OC＝8，设设OD＝x，则CD＝DB＝x+4，在Rt△OCD中利用勾股定理建立方程求解即可； （3）先求出△PAB的面积，进而求出PB的长，据此求解即可． 【解答】解：（1）令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝3， ∴A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， 则AB5， 故答案为：（3，0），（0，4），5； （2）由A（3，0）得AO＝3， 又∵由题意得：AC＝AB＝5， ∴OC＝AO+AC＝3+5＝8， 故点C（8，0）， 设OD＝x，则CD＝DB＝x+4， 在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2， ∴x2+82＝（x+4）2 解得x＝6， ∴点D的坐标为（0，﹣6）； （3）由（2）知OC＝8，OD＝6， ∴S△PABS△OCD12， ∵S△PABPB＝12， ∴PB＝8， ∵B（0，4）， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查了直线和坐标轴的交点、坐标与图形性质、折叠的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过点C（1，3），且与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B． （1）求直线l1的解析式和点B的坐标； （2）直线l2经过点C，且与x轴交于点D（﹣5，0），点M是直线l1上一点，且S△DCM＝6，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是直线l2上一点，点Q是x轴上一点，当点A、B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可得解； （2）先求出△ACD的面积，再求出△ACM的面积，根据面积公式求出点M的纵坐标，即可得解； （3）分情况讨论，以AB为边、以AB为对角线，画出图形求解即可． 【解答】解：（1）设直线l1解析式为y＝kx+b，将点C和点A坐标代入得， ， 解得， ∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4， 令x＝0，得y＝4， ∴B（0，4）； （2）∵D（﹣5，0）， ∴AD＝9， ∴S△ADC3， 当点M在点C下方时， 此时S△ADM＝S△ACD﹣S△DCM， 解得yM， ∴﹣x+4， ∴x， ∴M（，）； 当点M在点C上方时， 此时S△ADM＝S△ACD+S△DCM， 解得yM， ∴﹣x+4， ∴x， ∴M（，）； 故答案为： （3）由C（1，3），D（﹣5，0）可得直线l2的解析式为yx， 当AB为边时且PQ在AB右侧，如图， 此时yP＝yB＝4， ∴x4， 解得x＝3， ∴P（3，4）； 当AB为边时且PQ在AB左侧，如图， 此时yP＝﹣4， ∴x4， 解得x＝﹣13， ∴P（﹣13，﹣4）； 当以AB为对角线时，此时与第一种情况点P重合； 综上，P（3，4）或（﹣13，﹣4）． 【点评】本题主要考查了一次函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的而关键． 23．【初步探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），两条直线与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C，求△ABC的面积； 【灵活应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，△ABC是某校将要扩建的校园活动区示意图，AB边所在直线的表达式为，AC边所在直线的表达式为y＝﹣x+6，AB与AC交于点A（3，3），AG为垂直于边BC的一条跑道，点D为线段BG上的动点，连接AD，△ABD为休闲区域，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F，△ADF为运动区域，△DFE为扩建的拉伸区域，当△DEF为直角三角形时，求出点D的坐标． 【分析】（1）把B（﹣6，0）代入y＝kx+3，求出k值，把A（2，n）代入，求出n的值，再把点A代入y＝﹣2x+b，求出b值，进而求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）分∠EDF＝90°和∠DFE＝90°两种情况，进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），两条直线与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C，将点B的坐标代入y＝kx+3得： ﹣6k+3＝0， 解得：， ∴直线AB的表达式为， 把点A（2，n）代入中，得：n2+3＝4， ∴A（2，4）， 把（2，4）代入y＝﹣2x+b中，得：﹣2×2+b＝4， 解得：b＝8， ∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+8， ∴当y＝0时，得：﹣2x+8＝0， 解得：x＝4， ∴点C（4，0）， ∴当BC＝10，△ABC的边BC上的高为4， ∴； （2）∵点A在直线AB上， ∴， ∴a＝2，即直线AB的表达式为， 当y＝0时，得：， 解得：x＝﹣6， ∴B（﹣6，0）， 当△DEF为直角三角形时，共有两种情况， ①如图2.1，当∠EDF＝90°时，由题意得：， ∴∠ADF＝135°﹣90°＝45°， ∵AG⊥x轴， ∴∠AGD＝90°， ∴AG＝DG＝3， ∵OG＝3， ∴D（0，0）； ②如图2.2，当∠DFE＝90°时，由题可知AG＝3，BG＝9，BD＝DE， ∴， ∴， 设DF＝m，则DE＝BD＝9﹣m， 在Rt△DFE中，由勾股定理得：DE2＝DF2+FE2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述，点D的坐标为（0，0）或 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数图象与性质，勾股定理，折叠的性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 24．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% （1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式． （2）什么情况下，两家商场的收费相同？ （3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为W元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 【分析】（1）根据题意列出算式即可； （2）令y1＝y2，解方程求出x的值即可； （3）根据总运费＝甲商场的运费+乙商场的运费列出函数解析式，再根据函数的性质求出最值． 【解答】解：（1）y1＝6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＝4500x+1500； y2＝（1﹣20%）×6000x＝4800x； （2）设学校购买x台电脑， 则若两家商场收费相同，则： 4500x+1500＝4800x 解得：x＝5， 即当购买5台时，两家商场的收费相同； （3）W＝50a+（10﹣a）60＝600﹣10a， ∵﹣10＜0， ∴当a取最大时，费用最小， ∵甲商场只有4台， ∴a取4，W＝600﹣40＝560， 即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元． 【点评】此题考查了一元一次不等式实际应用问题，涉及了不等式与方程的解法，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解，此题难度适中． 25．如图，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过原点的直线与直线AB相交于点C（﹣4，2）． （1）求点B的坐标； （2）求△OBC的面积； （3）在直线AB上是否存在点M，使△OCM的面积与△AOB的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得B的坐标； （2）根据题意得出C的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得M的横坐标为2或﹣10，通过直线的解析式即可求得M的坐标． 【解答】解：（1）由直线AB：y＝x+6可知：令x＝0，则y＝6， ∴B（0，6）； （2）∵C（﹣4，2）， ∴点C与y轴的距离是4， ∵B（0，6）， ∴△OBC的面积6×4＝12； （3）存在； ∵直线AB：y＝x+6， ∴A（﹣6，0），B（0，6）， ∴S△OBA6×6＝18， ∴S△OCM＝S△OBA＝18， 当点M在线段CB的延长线上时设M（x，y）， ∵S△OCM＝S△OBC+S△MBO＝12OB•|xM|＝18， ∴OB•|xM|＝6， ∴|xM|＝2， ∴M的横坐标为﹣2（舍）或2， 代入直线AB：y＝x+6得，y＝8， ∴M的坐标为（2，8）， 当点M在线段BC延长线上时，设M（x，y）， ∵S△OCM＝S△MBO﹣S△OBCOB•|xM|﹣12＝18， ∴|xM|＝10， ∴M的横坐标为﹣10或10（舍去）， 代入直线AB：y＝x+6得，y＝﹣4， ∴M的坐标为（﹣10，﹣4）． 综上所述：M的坐标为（2，8）或（﹣10，﹣4）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1，相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求直线l1的解析式； （2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，当MN＝2时，求点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）先求得C（1，3），再运用待定系数法即可求得直线l1的解析式； （2）设D（m，0），则，N（m，3m），分两种情况：当m＜1时，，当m＞1时，，分别根据MN＝2建立方程求解即可得出答案； （3）过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0），利用勾股定理可得AC，设E（x，0），则AE＝|x﹣3|，分三种情况：当AE＝AC时，当AC＝CE时，当EA＝EC时，分别求出点E的坐标即可． 【解答】解：（1）∵直线l2：y＝3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1， ∴C（1，3）， 设直线l1的解析式为y＝kx+b，把A（3，0）、C（1，3）代入，得： ， 解得：， ∴直线l1的解析式为； （2）设D（m，0），则，N（m，3m）， 如图2，当m＜1时，， ∵MN＝2， ∴， 解得：， ∴； 当m＞1时，， ∵MN＝2， ∴， 解得：， ∴D； 综上所述，点D的坐标为或； （3）存在．理由如下： 如图3，过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0）， ∴AH＝3﹣1＝2，CH＝3， 在Rt△ACH中，， 设E（x，0），则AE＝|x﹣3|， 当AE＝AC时，， 解得：或， ∴或； 当AC＝CE时， ∵CH⊥x轴，即CE⊥AE， ∴AH＝EH，即AE＝2AH＝4， ∴E（﹣1，0）； 当EC＝EA时，（x﹣1）2+32＝（3﹣x）2， 解得：， ∴， 综上所述，点E的坐标为或或（﹣1，0）或． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 27．甲、乙两人开车同时分别从相距30km的A、B两地出发，相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两人距A地的距离y甲（km）、y乙（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式； （2）求出乙行驶多长时间与甲相遇； （3）当x为何值时，甲、乙相距8km？ 【分析】（1）分别计算出甲、乙两人的速度，进而表示出甲、乙两人距A地的距离和运动时间的关系即可； （2）联立（1）中得到的函数解析式，求得公共解即可得到两人相遇的时间； （3）取（1）中得到的两个一次函数相减的绝对值等于8，求解即可． 【解答】解：（1）甲的速度为：50km/h，乙的速度为：60km/h， ∴y甲＝50x，y乙＝30﹣60x； （2）由题意得：， 解得：， 答：乙行驶小时与甲相遇； （3）|30﹣60x﹣50x|＝8， |30﹣110x|＝8， ①30﹣110x＝8， 解得：x， ②30﹣110x＝﹣8， 解得：x． 答：x为或时，甲、乙相距8km． 【点评】本题考查一次函数的应用．根据两人的速度得到甲、乙两人距A地的距离和运动时间的关系是解决本题的关键． 28．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为（2，0）， ①当B点坐标为（5，1）时，点A，B的“合成矩形”的面积是　3　 ； ②若点P在直线y＝﹣2x+2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为（0，0），点D为直线y＝x+b（b≠0）上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 【分析】（1）①由A的坐标为（2，0），B的坐标为（5，1），得出“合成矩形”的长为3，宽为1，求出面积； ②根据正方形的边长相等，建立2﹣a＝﹣2a+2的方程求解； （2）根据正方形面积公式，求出点D的坐标，代入函数表达式，求b的取值范围． 【解答】解：（1）①点A，B的“合成矩形”如图1， ∵A的坐标为（2，0），B的坐标为（5，1）， ∴AM＝5﹣2＝3，BM＝1． ∴点A，B的“合成矩形”AMBN的面积S＝AM•BM＝3． 故答案为：3． ②如图2，当点P在直线y＝﹣2x+2上， 设点P（a，﹣2a+2）． 当点P在x轴上方时， 点A，P的“合成矩形”为正方形， 则正方形的边长为2﹣a和﹣2a+2， 可得方程2﹣a＝﹣2a+2， 解得a＝0， ∴点P的坐标为（0，2）． 当点P在x轴下方时， 同理可得2﹣a＝2a﹣2， ∴， ∴点， ∴点P在直线y＝﹣2x+2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形时，P点的坐标为（0，2）或； （2）点O的坐标为（0，0）， 如图4，O，D的“合成矩形”为正方形OMDN时， 且点N在x轴上，点M在y轴上． 当点D在x轴的上方，且正方形面积等于2时， ， ∴， 点D代入直线y＝x+b得：． ∵正方形面积不小于2， ∴b的取值范围为． 同理可得，当点D在x轴下方时， ∴b的取值范围为． 综上所述，b的取值范围为或． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了学生对新定义的理解和运用能力、正方形的性质、以及一次函数的图象和性质，待定系数法求直线解析式等知识，综合性较强，有一定的难度，利用数形结合解决此类问题的关键． 29．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C．其中B（0，6），C点横坐标为4． （1）求直线l1的解析式； （2）如图2，点P是线段OC上的一动点（不与端点重合），过点P作PQ∥y轴交l1于点Q，过点Q向y轴作垂线，垂足为M，连接PM，若四边形PCQM的面积为8，求此时点P的坐标； （3）点E为直线l2上的一点，当∠EBC+∠AOC＝45°时，直接写出所有符合条件的点E的坐标． 【分析】（1）求出C点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设P（m，m），则Q（m，﹣m+8），由四边形PCQM的面积PQ×4＝8，求出m即可求P点坐标； （3）过点C作CN⊥x轴交于N点，在y轴上取点G，使OG＝2，证明△BGH≌△ONC（ASA），可求H（2，2），直线BM与直线OC的交点为E；直线BM与x轴交点为M（3，0），作M点关于直线AB的对称点M'，则∠MBC＝∠ABM'，由对称可知AM'⊥OA，则M'（6，3），直线BM'与直线OC的交点为E． 【解答】解：（1）∵C点横坐标为4， ∴C（4，2）， 设直线l1的解析式为y＝kx+6， ∴2＝4k+6， 解得k＝﹣1， ∴直线l1的解析式为y＝﹣x+6； （2）设P（m，m），则Q（m，﹣m+6）， ∴PQ＝﹣m+6mm+6， ∴四边形PCQM的面积（m+6）×4＝8， 解得m， ∴P（，）； （3）过点C作CN⊥x轴交于N点， ∴CN＝2， 在y轴上取点G，使OG＝2， ∵OB＝6， ∴BG＝ON＝4， ∵∠CON＝∠GBH，∠BGH＝∠CNO， ∴△BGH≌△ONC（ASA）， ∴GH＝CN＝2， ∴H（2，2）， 直线BM的解析式为y＝﹣2x+6， 当﹣2x+6x时，解得x， ∴E（，）； 当y＝0时，x＝3， ∴M（3，0）， 作M点关于直线AB的对称点M'，则∠MBC＝∠ABM'， ∵∠OAB＝45°， ∴∠BAM'＝45° ∴AM'⊥OA， ∴M'（6，3）， ∴直线BM'的解析式为yx+6， 直线BM'与直线OC的交点为E， 当x+6x时，解得x＝6， ∴E（6，6）； 综上所述：E点坐标为（，）或（6，3）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． 30．2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）A，C两区相距 　240　 米，a＝ 　7.5　 ； （2）求线段EF所在直线的函数解析式； （3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【分析】（1）由图象直接可得A，B两区的距离和B，C两区的距离，从而求出A，C两区的距离，再由时间＝路程÷速度求出机器人甲到达B区时所用时间，即a的值即可； （2）由时间＝路程÷速度求出机器人乙到达B区时所用时间，从而得到点E的坐标，根据速度＝路程÷时间求出EF段的速度，再由路程＝速度×时间求出线段EF所在直线的函数解析式即可； （3）分别讨论机器人甲在B区左侧时、机器人乙到达B区并开始返回时至机器人甲在B区停留结束时、机器人甲从B区出发至到达C区三个时间段内机器人甲、乙相距30米时对应x的值即可． 【解答】解：（1）由图象可知，A，B两区相距150米，B，C两区相距90米，则A，C两区相距150+90＝240（米）， 机器人甲到达B区时所用时间为150÷20＝7.5（分）， ∴a＝7.5． 故答案为：240，7.5． （2）机器人乙到达B区时所用时间为90÷10＝9（分）， ∴E（9，0）， 机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷（15﹣9）＝15（米/分）， 则y＝15（x﹣9）＝15x﹣135， ∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝15x﹣135（9≤x≤15）． （3）当0≤x≤7.5时，当机器人甲、乙相距30米时，得20x+10x+30＝240， 解得x＝7， 当9≤x≤12时，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135＝30， 解得x＝11， 当12＜x≤15时，机器人甲的速度为90÷（15﹣12）＝30（米/分），则y＝30（x﹣12）＝30x﹣360，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135﹣（30x﹣360）＝30， 解得x＝13， ∴机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $