2026年中考数学高频考点突破——一次函数与反比例函数的实际应用

2026年中考数学高频考点突破——一次函数与反比例函数的实际应用 1．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 3．为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 4．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．    (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 5．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．点在轴上，并且四边形是平行四边形． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 6．为适应日益激烈的市场竞争要求，某工厂从2021年1月且开始限产，并对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图像如图所示，试解决下列问题： (1)分别求该工厂对生产线进行升级改造前后，y与x之间的函数关系式； (2)到第几个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该工厂的资金紧张期，问该工厂资金紧张期共有几个月？ 7．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 8．在平面直角坐标系中（如图），点为直线和双曲线的一个交点， (1)求、的值； (2)若点，在直线上有一点，使得，请求出点的坐标； (3)在双曲线是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由． 9．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 10．如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”．学校现决定购买A、B两种品牌的排球．据了解，购买2个A种品牌的排球和1个B种品牌的排球需210元，购买1个A种品牌的排球和2个B种品牌的排球需180元． (1)求A、B两种品牌排球的单价分别为多少元? (2)学校决定购买A，B两种品牌的排球共50个，且购买A种品牌排球的数量不少于购买B种品牌的排球数量的一半，问学校购买A种和B种品牌排球各多少个时花费最少? 12．某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 13．某商店销售甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元． (1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)若该商店计划购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的数量不低于20件且不超过40件，设购进甲商品件，将两种商品全部售出后的总利润为元，求与的函数关系式，并求出利润的最大值． 14．元旦，小雅和爸爸、妈妈去草莓园采摘．已知该草莓园内的草莓价格是每千克30元．为满足游客需求，该草莓园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买每人20元的门票，采摘的草莓按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓在5千克及以内按原价收费，超过5千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过5千克时，分别求出关于的函数表达式； (2)若采摘量为10千克，选择哪种方案较划算？请说明理由． 15．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某店用120万元购进两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价−进价）销售量]． 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该店购进两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该店决定再用240万元同时购进两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ (3)若现需重新购进A、B两种新能源汽车共50辆，且A类不少于20辆，如何购进利润最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2)20°C (3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害 【分析】（1）利用待定系数法分别求一次函数和反比例函数解析式即可； （2）将代入线段AB解析式，即可求恒温系统设定恒温； （3）将y=10代入（1）中相应的函数解析式，然后即可得到这天内恒温系统最多可以关闭多长时间，才能避免蔬菜受到伤害． 【详解】（1）解：设线段AB解析式为 ∵线段AB过点， 代入得解得 ∴AB解析式为： 设双曲线CD解析式为： ∵ ∴ ∴双曲线CD解析式为： （2）解：∵B在线段AB上当时， ∴恒温系统设定恒温为20°C （3）解：把代入中，解得： ∴ 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据的面积为6，求得，根据的坐标即可求得的坐标； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：（1）把代入得：， 即反比例函数的表达式为， 把代入得：， 即的坐标为， 把、的坐标代入得： ，解得， 即一次函数的表达式为； （2）一次函数与轴交于点， ， ，点在轴上，且的面积为6， ， 或； （3）观察函数图象知，时的取值范围为． 3．(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：（），利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：，解得：， ∴（）， 当时，设y与x的函数关系式为：（）， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得：，解得：， 代入得，解得：． （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 4．(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为． (2)15小时 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】（1）解：当时，设直线解析式为：， 将代入得：，解得：， 故直线解析式为：； 当时，设反比例函数解析式为： ， 将代入得： ，解得：a=32， 故反比例函数解析式为： ； 所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为， 下降阶段的函数关系式为． （2）解：如图：由题意：，解得：；，， ∴ ∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间为15小时．    【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． 5．(1) (2) 【分析】（1）根据直线解析式分别求得的坐标，根据平行四边形的性质求得点的坐标，即可求解； （2）根据函数图象直接可得结论． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴点． 把代入， 得．解得． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴点． 将点代入， 得． ∴反比例函数的表达式是． （2）由（1）可知，根据函数图象可知：当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形，掌握反比例函数与一次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 6．(1)y＝10x－30 (2)到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元 (3)该工厂资金紧张期共有5个月 【分析】（1）根据题意列方程即可得到函数解析式； （2）把代入即可得到结论； （3）对于，时，得到，得到时，，对于，当时，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，设前5个月中y与x的函数关系式为， 把x＝1，y＝100代入得，k＝100， ∴y与x之间的函数关系式为 把x＝5代入得， 由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y＝10x＋b， 把x＝5，y＝20代入得，20＝10×5＋b， ∴b＝－30， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x－30； （2）解：由题意得，把y＝100代入y＝10x－30得100＝10x－30，解得：x＝13， ∴到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元； （3）解：对于，y＝50时，x＝2， ∵k＝100＞0，y随x的增大而减小， ∴x>2时，y＜50， 对于y＝10x－30，当y＝50时，x＝8， ∵k＝10＞0，y随x的增大而增大， ∴x＜8时，y＜50， ∴2＜x＜8时，月利润少于50万元， ∴该工厂资金紧张期共有5个月． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 7．(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 8．(1)k=-，m=-4； (2)点P的坐标为（4，-1）或（-12，3） (3)M（，） 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）．由对称性可知：OA=OC，推出当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）．当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，再利用中点坐标公式求解即可． （3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1．4），取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°，求出直线OD的解析式，再构建方程组确定点M的坐标． 【详解】（1）∵点A（-4，1）在直线y=kx和双曲线y=的图象上， ∴k=-，m=-4． （2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）． 由对称性可知：OA=OC， ∴当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）． 当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，此时P′（-12，3）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，-1）或（-12，3）． （3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1．4）， 取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°， ∵D（-）， ∴直线OD的解析式为y=-x， 由 ，解得 或 ， ∵点M在第二象限， ∴M（，）． 【点睛】此题考查反比例函数综合题，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 9．(1)4 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）首先根据一次函数解析式确定值，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入，即可求得的值； （2）首先求得点的坐标，根据，转化为，结合函数图像，直接求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， 可得，解得， 即的值为4； （2）如下图， ∵，， ∴当时，可有， 即， 联立直线与双曲线， 可得，解得或， ∴，， ∴结合图像可知，当时，或． 10．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定的长度， （1）在中，，，再用待定系数法即可求解； （2）求出点D坐标，观察函数图象即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，即可求解．， 【详解】（1）在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得： 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或； （3）设点P的坐标为， 则， ， 解得：或， 点P的坐标或 11．(1)A种品牌排球单价为80元，B种品牌排球单价为50元 (2)购买17个A种品牌排球，33个B种品牌排球时花费最少 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的综合运用，理解题意，找出数量关系正确列式是关键． （1）设A种品牌排球单价为x元，B种品牌排球单价为y元，结合题目中的数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个，由此列不等式得到，设学校采购这两种排球所需总费用为w元，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设A种品牌排球单价为x元，B种品牌排球单价为y元， ， 解得． 答：A种品牌排球单价为80元，B种品牌排球单价为50元； （2）解：设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个， 由题意可知， 解得，， 设学校采购这两种排球所需总费用为w元，则， 即， ∵， ∵w随m的增大而增大， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为17， ∴当时，w取得最小值，此时， ∴购买17个A种品牌排球，33个B种品牌排球时花费最少． 12．(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 13．(1)购进甲商品40件，乙商品60件 (2)，利润的最大值为900元 【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的实际应用，正确理解题意，建立方程和函数关系式是解题的关键． （1）设购进甲商品x件，乙商品y件，根据题意建立二元一次方程组求解即可； （2）先求出甲商品每件利润为元，乙商品每件利润为元，设购进甲商品n件，则乙商品为件，根据利润公式建立函数关系式，并利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设购进甲商品x件，乙商品y件， 根据题意， 解得 答：购进甲商品40件，乙商品60件； （2）解：甲商品每件利润为（元） 乙商品每件利润为（元） 设购进甲商品n件，则乙商品为件， 由题意得： 其中n满足 是一次函数， ∴y随n增大而减小 当时，y取最大值，即（元） ∴ 与的函数关系式为，利润的最大值为900元． 14．(1)， (2)选择乙方案较划算，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）利用按甲方案所需总费用=购买门票的费用+草莓的原价采摘量，可求出关于x的函数表达式；利用按乙方案当采摘量千克时，所需总费用=草莓的原价草莓的原价超过5千克的部分，可求出关于x的函数表达式； （2）代入，求出、的值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：甲方案：门票费用为元，草莓费用为元， ∴ 乙方案：当时，千克以内费用为元，超过部分费用为元， ∴， （2）解：当时， ， ， ∵， ∴选择乙方案较划算． 15．(1)购进A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车5辆 (2)共有三种购买方案：购买A种新能源汽车12辆，B种新能源汽车5辆；购买A种新能源汽车8辆，B种新能源汽车10辆；购买A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车15辆 (3)购进A种新能源汽车20辆，B种新能源汽车30辆时，所得利润最大 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该店购进A种新能源汽车x辆，B种新能源汽车y辆，根据某店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，全部销售后可获毛利润16万元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种新能源汽车m辆，B种新能源汽车n辆，根据该店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题； （3）设购进A种新能源汽车t辆，则购进B种新能源汽车辆，所得利润为万元，然后根据题意可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设该店购进A种新能源汽车x辆，B种新能源汽车y辆，由题意得： ， 解得：， 答：该店购进A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车5辆； （2）解：设购进A种新能源汽车m辆，B种新能源汽车n辆，由题意得： ，整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①购买A种新能源汽车12辆，B种新能源汽车5辆； ②购买A种新能源汽车8辆，B种新能源汽车10辆； ③购买A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车15辆． （3）解：设购进A种新能源汽车t辆，则购进B种新能源汽车辆，所得利润为万元，由题意得： ， ∴， ∴w随t的增大而减小， ∵A种新能源汽车不少于20辆， ∴， ∴当时，w有最大值， ∴； 答：当购进A种新能源汽车20辆，B种新能源汽车30辆时，所得利润最大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $