第三章 空间向量与立体几何章末复习（高效培优讲义,8知识&11大题型&强化训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 教学目标 1.逻辑推理：通过例题讲解让学生掌握用向量解决空间角问题这一方法，能培养学生逻辑推理的核心素养； 2.数学运算：通过例题的完成，经历解题运算，能培养学生数学运算的核心素养； 3.直观想象：利用图形描述数学问题，建立数与形的联系，培养学生直观想象的核心素养. 教学重难点 重点：空间向量法解决立体几何空间角与空间距离问题 难点：空间向量法解决立体几何中探究性问题及新定义题 知识点01 空间直角坐标系 1．建立空间直角坐标系 (1)在平面直角坐标系的基础上，通过原点O，再增加一条与平面垂直的z轴，如图所示，就建立了三个维度的空间直角坐标系，可记为空间直角坐标系O－xyz. (2)在空间直角坐标系O-xyz中，点叫做坐标原点，轴，轴，轴统称为坐标轴. 由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，x,y轴确定的平面记作xOy平面,y，z轴确定的平面记作yOz平面，z,x轴确定的平面记作zOx平面. 2.空间中点的坐标表示 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个三元有序数组来表示，有序实数组叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点P的坐标（即横坐标），叫做点P的坐标（即纵坐标），叫做点P的坐标（即竖坐标）. 3..空间两点间的距离公式 空间中任意两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)间的距离 |M1M2|=. 特别地,空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离为|=. 4.空间直角坐标系中的中点坐标公式 已知空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),若线段P1P2的中点为P0(x0,y0,z0), 则 这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,它是平面直角坐标系中的中点坐标公式的拓展. 【深度剖析】 空间中点坐标公式可以看作平面内中点坐标公式的升级版,只是比平面内的坐标多了一个竖坐标而已 【即学即练】 1．（25-26高二上·江苏·期中）已知的三个顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·云南德宏·期中）在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川成都·期中）已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（   ） A． B． C．1 D．2 知识点02 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【即学即练】 1．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 知识点03 共线向量与共面向量 1．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． 共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)． 1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 用途 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 2.直线l的方向向量 如图O∈l，在直线l上取非零向量，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λ. 定义：把与平行的非零向量称为直线l的方向向量． 【即学即练】 1．下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 2．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 知识点04 空间向量的数量积 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2.投影向量及直线与平面所成的角 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 3. 空间向量数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 【即学即练】 1．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 知识点05 空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标运算 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2.空间向量的长度及夹角的坐标计算公式 设空间中两个向量满足,则 (1)模长公式：； (7)夹角公式:当时， cos〈a，b〉＝＝. 【即学即练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 2．（25-26高二上·河北保定·期中）设空间向量，则（    ） A．6 B．9 C．-6 D．-9 知识点06 空间平行、垂直的向量表示 1.空间中平行关系的向量表示 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 线线平行(线线不重合) l∥m⇔l∥m 线面平行(线不在平面内) l∥α⇔l⊥n1 面面平行(两个平面不重合) α∥β⇔n1∥n2 2.空间中垂直关系的向量表示 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 线线垂直 l⊥m⇔l⊥m 线面垂直 l⊥α⇔l∥n1 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2 【即学即练】 1．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 2．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知为直线l的方向向量，为平面的法向量，那么下列说法中正确的是（   ） A． B．或 C． D． 知识点07 空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ （1） 两异面直线所成角的范围是 （2） 两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ (1)线面角的范围为. (2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ (1)两个平面的夹角的范围是 (2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 【即学即练】 1.如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 知识点08 空间距离及向量求法 分类 点到直线的距离 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直线l上的投影向量为 （＝(a·u) ·u.）， 则PQ＝＝ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量， PQ＝ 注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 【即学即练】 1．已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2.已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 题型01 空间向量的线性运算 【典例1】四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【变式1-1】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式1-2】如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，    （1）； （2）； （3）； （4）存在实数，，使得． 则其中正确的结论是 ．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）． 题型02 四点共面问题 【典例2】已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为 ． 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【变式2-1】是三棱锥底面所在平面内的一点，满足的一组数对是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知为空间任意一点，四点中任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（） A． B． C． D．2 题型03 空间共线向量定理的应用 【典例3-1】在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例3-2】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式3-1】设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【变式3-2】在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 题型04 空间向量的数量积的应用 【典例4-1】设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 1.利用空间向量的数量积求两向量的夹角：本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 2.利用空间向量的数量积求线段的长度：空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 3.利用空间向量的数量积证垂直：立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【变式4-1】在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【变式4-2】、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【变式4-3】在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 题型05 用空间向量解决平行问题 【典例5-1】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【典例5-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 1、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可. 坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. 2、利用空间向量证明线面平行 (1)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (2)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 【变式5-1】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【变式5-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型06 用空间向量解决垂直问题 【典例6-1】（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【典例6-2】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明. (2)求证平面. 1、用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. 2、用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 3、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 【变式6-1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【变式6-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 题型07 用空间向量解决空间角问题 【典例7-1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【典例7-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 异面直线所成的角：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 线面角：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 二面角：如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或， 【变式7-1】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式7-2】（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型08 用空间向量解决空间距离问题 【典例8-1】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【变式8-1】如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【变式8-2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 题型09 空间向量与立体几何的综合问题 【典例9】如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 利用空间向量解决立体几何的综合问题时，一般采用各个击破的策略，即针对位置关系、空间角、空间距离分别采用相应的策略求解. 【变式9-1】如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型10 夹角、距离中的最值（范围问题） 【典例 10-1】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【典例 10-2】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．    (1)若，证明：面面； (2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 对于夹角、距离中的最值（范围）问题，往往利用相应的夹角、距离公式建立函数关系式，利用函数思想求最值或范围. 【变式10-1】（24-25高二上·河北保定·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点. (1)证明：平面平面. (2)是否存在点M，使得平面？若存在，求PM的长；若不存在，说明理由. (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【变式10-2】如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 题型11空间向量中的新文化、新定义问题 【典例 11-1】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， 为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的正弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求． 数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点. 【变式11-1】（24-25高二上·河南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式11-2】（23-24高二上·山东菏泽·月考）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 一、单选题 1．（25-26高二上·福建·期中）在空间直角坐标系中，设点是点关于平面的对称点，点是点关于轴的对称点，则线段的长度等于（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江·期中）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则 A． B． C． D． 7．（河北省名校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·安徽·月考）在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（浙江省环大罗山联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若空间向量，，，满足，，则 C．若构成空间的一个基底，则，，必共面 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 10．已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 11．（25-26高二上·福建厦门·月考）如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，下列结论正确是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点E，使得与所成的角为 C．的最小值为 D．面积的取值范围为 三、填空题 12． （25-26高三上·上海徐汇·期中）已知正四面体，设沿，，方向的力分别为1N，2N，3N，则这三个力的合力的大小为 ． 13．如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    14．（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是 ． 四、解答题 15．如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 16．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点. (1)求证：CF//平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（25-26高二上·湖南·期中）如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)设的中点为，，点为线段上（不含端点）一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（25-26高三上·福建漳州·月考）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 19．（25-26高二上·山东日照·阶段练习）如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：； (2)已知三棱锥，外接球球心为. ①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值. 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 教学目标 1.逻辑推理：通过例题讲解让学生掌握用向量解决空间角问题这一方法，能培养学生逻辑推理的核心素养； 2.数学运算：通过例题的完成，经历解题运算，能培养学生数学运算的核心素养； 3.直观想象：利用图形描述数学问题，建立数与形的联系，培养学生直观想象的核心素养. 教学重难点 重点：空间向量法解决立体几何空间角与空间距离问题 难点：空间向量法解决立体几何中探究性问题及新定义题 知识点01 空间直角坐标系 1．建立空间直角坐标系 (1)在平面直角坐标系的基础上，通过原点O，再增加一条与平面垂直的z轴，如图所示，就建立了三个维度的空间直角坐标系，可记为空间直角坐标系O－xyz. (2)在空间直角坐标系O-xyz中，点叫做坐标原点，轴，轴，轴统称为坐标轴. 由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，x,y轴确定的平面记作xOy平面,y，z轴确定的平面记作yOz平面，z,x轴确定的平面记作zOx平面. 2.空间中点的坐标表示 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个三元有序数组来表示，有序实数组叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点P的坐标（即横坐标），叫做点P的坐标（即纵坐标），叫做点P的坐标（即竖坐标）. 3..空间两点间的距离公式 空间中任意两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)间的距离 |M1M2|=. 特别地,空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离为|=. 4.空间直角坐标系中的中点坐标公式 已知空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),若线段P1P2的中点为P0(x0,y0,z0), 则 这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,它是平面直角坐标系中的中点坐标公式的拓展. 【深度剖析】 空间中点坐标公式可以看作平面内中点坐标公式的升级版,只是比平面内的坐标多了一个竖坐标而已 【即学即练】 1．（25-26高二上·江苏·期中）已知的三个顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】应用空间两点间距离公式计算求解. 【详解】的三个顶点为，，， 设的中点为，， 则边上的中线长为. 故选：C. 2．（25-26高二上·云南德宏·期中）在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点关于平面对称点的知识确定正确答案. 【详解】点关于平面的对称点是， 所以点关于平面的对称点B的坐标为. 故选：C 3．（25-26高二上·四川成都·期中）已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】设点的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解. 【详解】由题：设，点到点与点的距离相等， 所以， ，， 解得：， 则点的竖坐标为 故选：A 知识点02 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【即学即练】 1．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 2．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 知识点03 共线向量与共面向量 1．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． 共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)． 1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 用途 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 2.直线l的方向向量 如图O∈l，在直线l上取非零向量，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λ. 定义：把与平行的非零向量称为直线l的方向向量． 【即学即练】 1．下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【详解】对于A，当同向时，， 当反向时，，故A错误； 对于B，若共线，则或四点共线，故B错误； 对于C，若共线时，则可知A，B，C三点共线，不一定为1， 比如，，可得A，B，C三点共线，必要性不成立，故C错误； 对于D，因为三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知四点共面，故D正确， 故选：D 2．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 知识点04 空间向量的数量积 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2.投影向量及直线与平面所成的角 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 3. 空间向量数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 【即学即练】 1．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 2．如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 知识点05 空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标运算 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2.空间向量的长度及夹角的坐标计算公式 设空间中两个向量满足,则 (1)模长公式：； (7)夹角公式:当时， cos〈a，b〉＝＝. 【即学即练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得， 所以，则. 故选：D. 2．（25-26高二上·河北保定·期中）设空间向量，则（    ） A．6 B．9 C．-6 D．-9 【答案】B 【分析】根据向量平行，列等式求解即可. 【详解】因为，所以，解得 故选：B. 知识点06 空间平行、垂直的向量表示 1.空间中平行关系的向量表示 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 线线平行(线线不重合) l∥m⇔l∥m 线面平行(线不在平面内) l∥α⇔l⊥n1 面面平行(两个平面不重合) α∥β⇔n1∥n2 2.空间中垂直关系的向量表示 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 线线垂直 l⊥m⇔l⊥m 线面垂直 l⊥α⇔l∥n1 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2 【即学即练】 1．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以， 故选：B 2．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知为直线l的方向向量，为平面的法向量，那么下列说法中正确的是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线方向向量和平面的法向量之间的关系，判断直线和平面的位置关系即可. 【详解】当直线方向向量和平面的法向量平行时，线面垂直，所以A错误，C正确； 当直线方向向量和平面的法向量垂直时，线面平行或线在面内，所以B正确，D错误； 故选：BC. 知识点07 空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ （1） 两异面直线所成角的范围是 （2） 两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ (1)线面角的范围为. (2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ (1)两个平面的夹角的范围是 (2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 【即学即练】 1.如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 2．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 知识点08 空间距离及向量求法 分类 点到直线的距离 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直线l上的投影向量为 （＝(a·u) ·u.）， 则PQ＝＝ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量， PQ＝ 注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 【即学即练】 1．已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D    故选：D 2.已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 题型01 空间向量的线性运算 【典例1】四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为， 所以，点为的中点， 所以，即. 故选：B 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【变式1-1】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】 ， 所以， 故选：C.    【变式1-2】如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，    （1）； （2）； （3）； （4）存在实数，，使得． 则其中正确的结论是 ．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）． 【答案】（1）（3） 【详解】解：（1）是线段的中点，，正确； （2）取的中点，连接，．则，因此不正确； （3），因此正确； （4）、分别是线段、的中点，，与平面不平行， 不存在实数，，使得． 综上可得：只有（1）（3）正确． 故答案为：（1）（3）． 题型02 四点共面问题 【典例2】已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用空间向量基本定理得到，进而可得到，结合条件有，即可求出结果. 【详解】因为点在平面上，由空间向量基本定理知，， 得到，即， 又，所以，解得， 故答案为：. 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【变式2-1】是三棱锥底面所在平面内的一点，满足的一组数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量基本定理得到，代入验证即可. 【详解】因为根据共面向量基本定理得，从而， 代入选项验证，只有B选项满足条件. 故选：B. 【变式2-2】已知为空间任意一点，四点中任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题设条件推得,再由四点共面可求得. 【详解】因为, 所以由, 得, 即, 因为为空间任意一点,满足任意三点不共线,且四点共面, 所以,故. 故选:C. 题型03 空间共线向量定理的应用 【典例3-1】在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 【典例3-2】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式3-1】设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【答案】0 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 【变式3-2】在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 【答案】1 【详解】，又， 所以点P在射线上； ，又， 所以点Q在射线上；    因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线， 因为正方体有平面，而平面，所以 又，平面，所以平面， 平面，所以， 所以当点Q在上时，即时， 故答案为：1. 题型04 空间向量的数量积的应用 【典例4-1】设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 【典例4-2】在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 1.利用空间向量的数量积求两向量的夹角：本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 2.利用空间向量的数量积求线段的长度：空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 3.利用空间向量的数量积证垂直：立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【变式4-1】在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【详解】    设，，，则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. 【变式4-2】、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 【变式4-3】在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 【答案】 【详解】设点在直线上的投影分别为， 因为，则， 由的面积可得， 则，， 且为边的中点，可得，， 由二面角的平面角为，可得， 因为 ， 即，所以空间中线段的长为. 故答案为：. 题型05 用空间向量解决平行问题 【典例5-1】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 【典例5-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 【答案】(1)垂直；(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从而可解； （2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． （2）设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即． 即点D的坐标为． 1、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可. 坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. 2、利用空间向量证明线面平行 (1)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (2)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 【变式5-1】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 【变式5-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【分析】（1）证法1：建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，可得，由线面平行的判定定理证明即可； 证法2：求出平面的法向量，判断即可证明 （2）求出平面的一个法向量，判断与关系即可证明； 【详解】（1）以为原点，，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 令正方体的棱长为2，则，，，，，． 证法1：，，因为，所以，又平面，平面，所以平面． 证法2：设平面的一个法向量，，，根据，可得，令，则，，即， 因为，平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量，，，根据，可得，取，则，所以，则，所以平面平面． 题型06 用空间向量解决垂直问题 【典例6-1】（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【详解】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 【典例6-2】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明. (2)求证平面. 【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）如图： 平面中：延长到，使；延长到，使. 因为，所以， 所以点为的重心. 所以 ， 所以. 又因为， 即. 因为 . 所以. （2）如图： 因为平面，平面，所以； 又，，平面，，所以平面， 又平面，所以. 又因为， 所以， 所以； 在中，，，所以. 又， 所以， 所以. 在中，，，所以. 在中，，，， 因为，所以. 又，平面，，所以平面. 1、用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. 2、用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 3、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 【变式6-1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面.(2)证明见解析 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 【变式6-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 【分析】(1)线面垂直的性质定理可证,先证平面，即可得到结论； (2)建立空间直角坐标系，由（1）知为平面的一个法向量，根据可证. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接. 根据题意可知该四棱锥为正四棱锥，平面，平面，. 又四边形为正方形，. 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，. ，，，，， ，，由平面，知为平面的一个法向量. 又，且不在平面，平面. 题型07 用空间向量解决空间角问题 【典例7-1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】首先将异面直线的方向向量运用向量的线性运算表示出来，然后计算它们的数量积和向量的模，最后利用异面直线夹角的余弦公式求得答案. 【详解】根据题意可知，. 所以. 因为，，，， 所以，. 所以. 根据勾股定理可得，， 所以异面直线所成角的余弦值为： . 【典例7-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）连接与交于点， 在菱形中，， 底面平面， 平面，， 平面， 平面； （2）取的中点，连接， 为中点，中，， 底面底面， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设， ，即，由此可求， 设平面，平面的法向量分别为， ， ∴即取； 同理，即，取； 设二面角的平面角为，则， 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为． 异面直线所成的角：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 线面角：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 二面角：如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或， 【变式7-1】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2） 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为θ，，则. 【变式7-2】（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 又且平面，平面. 平面，. （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，可得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，得， 由且得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线、、两两垂直， 以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 令，， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是， 化简得，又，故解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 题型08 用空间向量解决空间距离问题 【典例8-1】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 【典例8-2】如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. （2）由于，平面，平面，故平面， 因此直线到平面的距离与点到平面的距离相等. ，，，， 设平面的法向量为，则，且， 令，则. 又，故到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为. 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【变式8-1】如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 【变式8-2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 题型09 空间向量与立体几何的综合问题 【典例9】如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 【答案】D 【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则， 设，，则， 设异面直线与所成的角为， 则， 因，由于，则时，， 又，，于是，则， 又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误； 对于C.设，，则， 由上述分析，，， 当时，无解，故C错误； 对于D.，令，得， 即对于任意的M，存在点P使得，故D正确. 故选：D. 利用空间向量解决立体几何的综合问题时，一般采用各个击破的策略，即针对位置关系、空间角、空间距离分别采用相应的策略求解. 【变式9-1】如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在，点在线段上且与点的距离为2 【详解】（1）依题意可得四边形是菱形， 又，连接，则是正三角形， 取的中点，连接，得，． 因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即平面， 又，平面，所以，， 所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．    由直四棱柱的棱长均为6，且， 则，所以， 从而点的坐标为． （2）由，则， 则结合（1）得，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 又， 所以点到平面的距离为． （3）设，则， 设平面的一个法向量为， 则，即结合（2）得， 取，则，，所以， 又， 则， 化简得，解得或， 因为，所以，即． 故当点在线段上且与点的距离为2时，平面与平面夹角的余弦值为． 【变式9-2】（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【详解】（1）    如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）存在点E，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 题型10 夹角、距离中的最值（范围问题） 【典例 10-1】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解. 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为. 【典例 10-2】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．    (1)若，证明：面面； (2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理证明即可； （2）方法一：作出线面角所成平面角，计算即可；方法二：建立空间直角坐标系，运用线面角向量法计算即可. 【详解】（1）因为，所以三点共线， 所以，又因为，所以．    因为面ABCD，面ABCD，所以．              因为面面，所以面．        又因为面，所以面面． （2）方法一： 由 可知． 从而． 又因为， 所以E在线段上．                       过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE 则即为直线EB与平面ABCD所成角                 ．                   取最短时，取最大， 在中，， 为中点时，，此时最短， ．              方法二： 以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 那么，设．      由， 可得面的一个法向量为，        由， 可得面的一个法向量为．                       于是由可得．                  所以．面ABCD的一个法向量为．           设直线EB与平面ABCD所成角为，那么 ．                                 因此当时取到最大值．    对于夹角、距离中的最值（范围）问题，往往利用相应的夹角、距离公式建立函数关系式，利用函数思想求最值或范围. 【变式10-1】（24-25高二上·河北保定·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点. (1)证明：平面平面. (2)是否存在点M，使得平面？若存在，求PM的长；若不存在，说明理由. (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，使得平面， (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面； （2）由线面平行的判定定理可证当为中点时，平面，由勾股定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，设，利用向量法表示平面与平面夹角的余弦值，即可求解. 【详解】（1） 连接，因为底面ABCD是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）存在点，当为中点时，平面， 理由如下： 取的中点，连接，，， 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 在直角三角形中，， 所以在直角三角形中，； （3） 取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 设， ，，，，， 所以，，，， ， 设平面的法向量为， 所以，所以， 令，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 当时，， 当时，， 所以当时，最大，此时， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 【变式10-2】如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，，， 所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面． （2）解：因为底面，平面， 所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 因为，， 所以，即，令，可得． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设，， 则，， 设到直线的距离为，则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 题型11空间向量中的新文化、新定义问题 【典例 11-1】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法与同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】在堑堵中，平面，，，， 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以， 因此，直线与平面所成角的余弦值为． 故选：A． 【典例11-2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， 为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的正弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求． 【答案】(1)2；(2)；(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用向量的坐标运算将条件等式转化为关于的方程求解可得； （2）利用法向量方法求二面角； （3）设，，利用向量的坐标运算将条件转化为垂直关系，结合模长等量关系，建立的方程组求解可得. 【详解】（1）由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，由已知， 则, 则， 则， 且. 由题意知, 所以有， 则，解得（舍去）， 故的长为. （2）由（1）知，, 又为的中点，则，， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则. 故平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，且， 则， 故. 故二面角的正弦值为. （3）由（1）可得， 由题意，设，， 则 则， 由可知，， 且，由， 则，解得； 则， 则解得，， 则， 又，解得. 数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点. 【变式11-1】（24-25高二上·河南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：C 【变式11-2】（23-24高二上·山东菏泽·月考）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量求线线角含参数问题，将该几何体还原成正方体，建立空间直角坐标系，求解. 【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2， 所以，，所以，则， 设直线与直线所成角为， 则， 即，解得或（舍）. 故选：B. 【变式11-3】（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 【答案】(1)D为中点；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）D为中点 根据已知结论可得直线即为，若为三条等距的平行线， 所以D为中点； （2）如图所示， 取的三等分点的中点，的中点， 过三点，，作平面，过三点作平面， 因为，又，所以； 又，且，所以； 又因为，且， 所以平面, 再过点分别作平面与平面平行， 那么四个平面依次相互平行， 由线段被平行平面截得的线段相等知，其中毎每相邻两个平面间的距离相等， 故即为所求平面（注：也可将正四面体放入正方体内说明） （3）设正四面体的棱长为，综合（2）有的中点， 再取的中点，连接交于， 则由等边三角形的性质可知为的中点，且， 则以为坐标原点，以平行于直线且过点的直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 令为的三等分点，为的中点， 则，， 所以，，. 设平面的法向量， 则有，即，取，则， 即. 又相邻平面之间的距离为1， 所以点到平面的距离为， 解得. 由此可得，边长为的正四面体满足条件. 可知所求正四面体的体积. 一、单选题 1．（25-26高二上·福建·期中）在空间直角坐标系中，设点是点关于平面的对称点，点是点关于轴的对称点，则线段的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得对称点的坐标，进而计算出线段的长度. 【详解】点关于平面的对称点为， 点关于轴的对称点为， 所以. 故选：A 2．在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意，. 故选：D. 3．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 4．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究点线距离即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则， 因为为的重心，，所以， 所以，则， 故点到直线的距离为. 故选：A 5．（25-26高二上·浙江·期中）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标确定，进而可得解. 【详解】 建立上图所示坐标系， 则，，，， 即，， 则，， 可得，， 则， 即， 所以当，且时，取得最小值为， 故选：B. 6．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过分别作，的高，垂足分别为，， 因为平面平面，， 且平面平面，所以平面， 因为平面，平面， 所以，，又，故，，两两垂直， 以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则由题意可知，，，， 故，，故， 故选：C 7．（河北省名校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直二面角确定坐标系原点和坐标轴，建立空间直角坐标系，然后根据边长长度求出的空间坐标，最后根据空间两点距离公式求出结果. 【详解】取的中点，连接. 因为折叠前四边形为正方形，， 所以. 因为平面与平面的夹角为直二面角， 所以平面，且. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为正方形边长为4，则，所以. 所以. 故选：C. 8．（24-25高二上·安徽·月考）在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以时，，即的最大值是. 故选：B. 二、多选题 9．（浙江省环大罗山联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若空间向量，，，满足，，则 C．若构成空间的一个基底，则，，必共面 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 【答案】AC 【分析】根据共线向量的定义判断A，判断与的关系即可判断B，根据空间向量共面定理判断C，得到，即可判断D. 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，，则或与共面但不共线，故B错误； 对于C：因为，所以，，必共面，故C正确； 对于D：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以， 则或，故D错误. 故选：AC 10．（多选）已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【分析】写出点的坐标可判断A选项，利用空间向量的坐标运算可判断B选项，利用求平面法向量的方法求解可判断C，利用空间点到平面的距离的向量解法可求D. 【详解】由题意得，，故A正确； ，所以，，故B不正确； 由题意得，，，， 所以，， 设是平面的法向量，则, 令，则，，则，故C正确 ，则点到平面的距离为，故D不正确. 故选：AC 11．（25-26高二上·福建厦门·月考）如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，下列结论正确是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点E，使得与所成的角为 C．的最小值为 D．面积的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A，根据高和底面均为定值可判断；对B，建系，利用夹角公式进行判断；对C，转化到同一个平面，利用余弦定理计算；对D，表示出点P到直线的距离，然后用面积公式计算判断． 【详解】对A，点E到平面的距离是定值，为定值， 所以三棱锥的体积为定值，A正确； 对B，建立空间直角坐标系： ，，，设， 所以，， 若与所成的角为， 则， 则，即舍去， 所以存在点E，使得与所成的角为，B错误； 对C，将平面沿着旋转到平面，如图： 的最小值等于CM的长， 因为，，，，，则， 所以，， 所以， ，C正确； 对D，设，， ，所以，，， 点P到直线的距离为， 由，当 时，有 ；当时，有， 所以面积的最小值为，最大值为， 所以面积的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12． （25-26高三上·上海徐汇·期中）已知正四面体，设沿，，方向的力分别为1N，2N，3N，则这三个力的合力的大小为 ． 【答案】N 【分析】根据题意不妨设，，，结合数量积求合力的模长即可. 【详解】不妨设，，， 由题意可知：，且， 所以， 则三个力的合力， 可得， 即，所以这三个力的合力的大小为N. 故答案为：N 13．如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是 ． 【答案】2 【分析】先利用已知条件，构造空间直角坐标系，得出对应点坐标，设，进而得出坐标，利用垂直关系得出数量积为0，构造关于的方程，解方程求出根的个数即为满足的点的个数． 【详解】，底面为直角梯形，取中点，则，又，即，底面是矩形，， 又底面，，以点为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ， ， 点是线段上的动点，设，设点， ， ，，化简得， 解得或，，两个解均有效， 满足条件的点共有2个． 故答案为：2． 四、解答题 15．如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2） ， 所以线段的长为． 16．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点. (1)求证：CF//平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合，进而证得平面； （2）由（1）知平面的一个法向量为，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 又因为，所以， 因为平面，所以平面. （2）解：由（1）知平面的一个法向量为，且， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 17．（25-26高二上·湖南·期中）如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)设的中点为，，点为线段上（不含端点）一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，及线面垂直的判定定理可得； （2）根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，设，由直线与平面所成角的正弦值为，求得参数的值，根据求平面与平面的夹角的向量方法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为，平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为的中点为，，所以，又，， 则，，，，， 所以，，，，，， 设，则，所以， 则， 由（1）知，平面，取平面的一个法向量 设直线与平面所成的角为， 则， 整理得， 解得（舍去）. 则 设平面的法向量为， ，则，取，则； 设平面的法向量为， ，则，取，则， 于是， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（25-26高三上·福建漳州·月考）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】(1) (2)存在， (3). 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，然后计算，最后再证明面面垂直即可； （2）通过参数来表示空间向量的坐标，再利用空间向量法来求线面角，即可得到参数方程求值； （3）先利用几何法找到体积最大值，再利用等体积法来求内切球半径即可. 【详解】（1） 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； （2）由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴， 过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得，或-4（舍）故当时，存在， 使直线与平面所成角的正弦值为； （3）设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大值， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 19．（25-26高二上·山东日照·阶段练习）如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：； (2)已知三棱锥，外接球球心为. ①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2)①的最小值为；②证明见详解；二面角的余弦值为 【分析】（1）通过勾股定理证明线线垂直从而推出线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直；（2）①通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得出与动点的坐标的关系，从而由基本不等式求最值；②构造直角三角形，利用平面三角形中的余弦定理构建边与角的方程，进而化简可证明三维空间的三面角余弦定理，进而代入数值求出二面角的余弦值 【详解】（1）因为，，，由勾股定理得，. 因是等腰直角三角形，且，所以，. 在中，，所以，即. 因，，与相交于点，且平面，所以平面. 而平面，所以. （2）过点作平面. 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系. 因为，所以. 因为，，与相交于点，且平面，所以平面. 则，，，线段的中点 因三棱锥底面为直角三角形，所以三棱锥的外接球球心在底面斜边上的中点的上方. 又因为球心距离点和的距离相等，所以球心. ①因为线段的中点，所以；为线段中点，所以 点在线段上运动，设，. ，，设平面的法向量为. 则，不妨令，则平面的一个法向量为. ，，设平面的法向量为. 则，不妨令，则平面的一个法向量为. 平面与平面的夹角为，则 因，所以要求的最小值，即求的最大值. . 设，则，则. 则，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. ②证明：点为射线上一点，过作交于，作交于，连接，则是二面角的平面角. 在中，由余弦定理得，； 在中，由余弦定理得，. 两式相减得， 由勾股定理得，，， 所以有 两边同时除以得，，即. 在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得. 设二面角的大小为， 则， 代入解得，所以二面角的余弦值为 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $