高中数学单元测试——第三章空间向量与立体几何（适中版01）

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元复习卷，以基础概念与综合应用为梯度，通过新定义情境（如平面方程）与折叠问题设计，考查空间观念、推理能力及数学语言表达，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|空间直角坐标系对称点、基底判断等|第3题辨析基底性质，强化空间向量基本概念| |多选题|3题18分|空间向量概念、法向量等|第9题通过错误选项辨析向量性质，培养批判性思维| |填空题|3题15分|向量夹角、二面角取值范围|第13题结合向量夹角锐角求参数范围，渗透分类讨论思想| |解答题|5题77分|直三棱柱向量表示、折叠问题等|第18题以正方形折叠为背景，综合考查二面角计算，体现空间想象与逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第三章 空间向量与立体几何（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系点的对称问题直接得出结果. 【详解】由题意知，点关于平面对称的点为. 故选：A 2．（本题5分）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则可得结果. 【详解】. 故选：B. 3．（本题5分）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面， 因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确； 对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误； 对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误； 对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误； 故选：A 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 5．（本题5分）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 6．（本题5分）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由空间向量共面的基本定理即可求解. 【详解】设原点，，即， 则，，因为四点共面，所以，所以，． 故选：A. 7．（本题5分）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据平面外一点到平面的距离公式代入计算解方程即可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由题意可知，即， 解得或； 所以点的坐标为或. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 10．（本题6分）已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（    ） A． B．存在实数，使 C．不是平面的法向量 D．四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量的性质，结合法向量的性质、空间向量模的公式、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】对于A，， 所以A正确； 对于B，，假设存在存在实数，使， ，显然方程组无实数解， 因此假设不成立，所以不存在实数，使，所以B不正确； 对于C，不互相垂直， 所以不是平面的法向量，因此C正确； 对于D，， 所以， 四边形的面积为：， 因此D正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．长为 D．异面直线AC与所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】利用空间基底法，来进行空间向量的线性运算和数量积运算，即可判断各选项. 【详解】因为，根据过一点只有一条直线与平行，而与显然不共线，所以是不成立的，故A错误； 设，因为， 且， 则， 所以，故B正确； 因为， 即，所以长为，故C正确； 因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D错误； 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，，则_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】利用数量积大于0求解，即可去除同向共线时的情况求解. 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    【答案】 【分析】以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角大小建立不等式求解可得. 【详解】因为底面，底面， 所以，又为直角，所以两两垂直， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 因为为的中点，所以， 所以， 设为平面的法向量， 则，令得， 易知，平面的一个法向量为, 由图可知，二面角的平面角为锐角，记为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：    四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）， . （2）由题意可知，，， ， 所以． 所以 =. 16．（本题15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直， 如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以， 又平面，所以平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，证明，从而得出平面； （2）求得直线的方向向量，由（1）知平面的法向量，结合线面角的向量公式即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在直角三角形中利用三角形的面积求解； （2）利用空间向量法求解. 【详解】（1）为正方体，平面， 平面，， 正方体的棱长为1，，，， 设点到直线的距离为，则， ，，，，， 点到直线的距离为； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 正方体的棱长为1， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； ，， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为.    18．（本题17分）如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、，设，推导出底面，然后以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与所成角； （2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：连接、，设，则为的中点， 由已知，，则，， 所以为二面角的平面角，所以，因此， 因为，、平面，故底面． 以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设． 则、、、， ，， 所以，故直线与所成角为． （2）解：设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设，其中， ，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 由题意可得， 因为，解得，则，故， 因此，当时，平面与平面夹角的余弦值为. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【详解】（1）证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 空间向量与立体几何（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 6．（本题5分）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（本题5分）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（本题6分）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 10．（本题6分）已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（    ） A． B．存在实数，使 C．不是平面的法向量 D．四边形的面积为 11．（本题6分）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．长为 D．异面直线AC与所成角的余弦值为 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，，则_____. 13．（本题5分）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 16．（本题15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题17分）如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $