精品解析：河南省驻马店市第二初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

驻马店市二中2025—2026学年上学期核心素养能力检测 九年级 数学 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 3. 把方程化成的形式，则m，n的值是（ ） A. ，8 B. 3，8 C. 3， D. ， 4. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程（为常数）的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定根的情况 7. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的面积为64，则的面积为（ ） A. 16 B. 32 C. 128 D. 256 8. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则直线的图象必经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第二、三象限 D. 以上均不正确 10. 如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果x：y＝3：2，那么的值是__． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ． 13. 在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______． 14. 如图，四边形是矩形，点D，G分别在和上，是的高，，，，则矩形的周长是______cm． 15. 如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，在上选一点P，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点Q，连接，，已知正方形纸片的边长为，当时，的长为______ ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，． （1）作出关于轴对称的图形； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧画出，使它与原三角形相似比为； （3）求的面积． 19. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 20. 如图，在中，，，分别取边上的中点D，E，连接并延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则四边形的面积为______． 21. 驻马店市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 22. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一直线上，求灯泡到地面的高度是多少？ 23. （1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店市二中2025—2026学年上学期核心素养能力检测 九年级 数学 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2次，的整式方程叫做一元二次方程，根据定义依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、为分式方程，不符合题意； B、只有当时，它为一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、含有两个未知数，且未知数最高次数为3次，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质与菱形的性质．注意熟记菱形与矩形的性质区别是关键． 由菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，即可求得答案． 【详解】解：∵菱形具有的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分； 矩形具有的性质：对角线相等，四个角都是直角，对角线互相平分； ∴菱形具有而矩形不具有的性质是：对角线互相垂直． 故选：A． 3. 把方程化成的形式，则m，n的值是（ ） A. ，8 B. 3，8 C. 3， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再比较系数得出m和n的值． 【详解】解：∵， 移项得：， 配方得：， 即，与比较， ∴，． 故选：B． 4. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 5. 将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用树状图求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，熟记概率公式是解题的关键． 根据题意画出树状图即可得到两次摸出球上的汉字可以组成“河南”的概率． 【详解】解：将标有“最”“美”“河”“南”四个汉字的小球分别记为：， 画树状图如下： 由图可知共有种，其中两次摸出球上汉字可以组成“河南”的结果有种， ∴两次摸出球上汉字概率为：． 故选：D． 6. 关于一元二次方程（为常数）的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式，得出，再根据平方的非负性，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程（为常数）的判别式为：， 又∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根． 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的面积为64，则的面积为（ ） A. 16 B. 32 C. 128 D. 256 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得到，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 8. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程．可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故选：B． 9. 若，则直线的图象必经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第二、三象限 D. 以上均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．先结合，得，整理，再进行分类讨论，然后根据的正负性进行分析，即可得出直线经过的象限，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 把上面三个式子相加，得 即 ∴ ①当时，可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，， ∵ ∴ 此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：C． 10. 如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果x：y＝3：2，那么的值是__． 【答案】． 【解析】 【分析】根据已知条件得出，再把化成，然后代值计算即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 13. 在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了利用估计概率，根据摸到红球的频率稳定在得到摸到白球的频率稳定在附近，进而得到摸到白球的概率为，然后列式求解即可． 【详解】∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到白球的频率稳定在附近， ∴摸到白球的概率为， ∴（个） ∴口袋中红球可能有6个． 故答案为：6． 14. 如图，四边形是矩形，点D，G分别在和上，是的高，，，，则矩形的周长是______cm． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行可推导出，根据相似三角形的性质可得，代入数据可得结论． 【详解】解：∵， ， ，即， 解得：， ． ∴矩形的周长为． 故答案为：48． 15. 如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，在上选一点P，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点Q，连接，，已知正方形纸片的边长为，当时，的长为______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】由折叠及正方形的性质得到，，再由“”易证；分当点在线段上和当点在线段上两种情况，再根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在正方形中， ∴，， 根据折叠的性质可得：， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折运动，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 ∴； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴． 17. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率． 【答案】（1）400， 补全条形统计图如下所示： （2）800名 （3） 【解析】 【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解； （3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，（名）， ∴D等级的人数为：（名）， 故答案为：400； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果， ∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，． （1）作出关于轴对称的图形； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧画出，使它与原三角形相似比为； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，为所作； （2） 如图，为所作； （3）6． 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得到、、的坐标，然后描点连线即可得到所求图形； （2）把A、B、C三点坐标都乘以，得到、、的坐标，然后描点连线即可得到所求图形； （3）利用割补法，把三角形的面积转化为正方形和四个直角三角形的面积之差进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积 【点睛】本题考查了轴对称变换，位似变换，三角形的面积，解题关键是掌握位似变换：在直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形的对应点的坐标比等于或． 19. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 20. 如图，在中，，，分别取边上的中点D，E，连接并延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则四边形的面积为______． 【答案】（1） 证明：∵，边上的中点为点E， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边上的中点为D， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，且，再证四边形是平行四边形，然后根据斜边中线和等边三角形的判定得到，最后由菱形的判定即可得出结论； （2）由可得，再由平行线可得，利用勾股定理求出的长，最后根据菱形面积底乘高，进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 21. 驻马店市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得， 整理，得， ∴ 解得， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴不合题意，舍去． ∴． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 22. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一直线上，求灯泡到地面的高度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴ ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得： 23. （1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长， 【答案】 （1）证明：如图1，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）结论成立，证明： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）7； 【解析】 【分析】（1）如图1，由可得，即可证得，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图2，由可得，即可证得，然后运用相似三角形的性质即可解决问题． （3）证明，求出，再证，可求，进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∴，或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，能够通过角将问题转化为一线三等角是解题的关分键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $