精品解析：上海市七宝中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

七宝中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，若，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据元素和集合关系，分两种情况讨论3是集合的哪个元素，再根据集合元素的互异性验证结果，确定的值． 【详解】集合，， 或， 当时，解得，此时，集合； 当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去． ． 故答案为：4． 2. 已知复数，，那么__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，，则， 所以， 故答案为：. 3. 若抛物线焦点到准线的距离为2，则实数______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由抛物线焦点和准线方程即可求解. 【详解】由题意抛物线即的焦点为，准线方程为， 则. 故答案为： 4. 已知正项等比数列的前项和为，若，则公比______. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，分和两种情况讨论，根据等比数列求和公式得到方程，解得即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 当时，则，所以，则，不符合题意； 当时，则，，所以， 所以，即，所以，解得或（舍去）； 综上可得. 故答案为： 5. 已知函数，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数导数的定义，求出指定导数值即可. 【详解】由题意得，， 则，可知； 故答案为：1. 6. 在的展开式中，常数项为___________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项，找到常数项即可. 【详解】根据二项式展开式通项，易知 故答案为：60. 7. 设，是两个不共线的向量，且，，，且，则_______. 【答案】5 【解析】 【分析】将，代入，根据向量相等的条件列出方程组解出即可得解. 【详解】，代入，并整理得， 又，所以，解得， 所以. 故答案为：5. 8. 样本数据的第30百分位数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将数据从小到大排序，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】将样本数据从小到大排列为2，6，7，10，15，18，20，24，42，57，共有10个数据， 则，所以第30百分位数为. 故答案为： 9. 已知正实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 化简可得. 因为，所以. 当且仅当，即时等号成立， 此时取得最小值. 故答案为：. 10. 如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的三条边，再利用是锐角三角形，结合余弦定理求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】 关于原点对称，双曲线焦点关于原点对称， 四边形是平行四边形，则， ，， 设点在左支，根据双曲线定义得：， 联立可得， 的三条边：，， 是锐角三角形， 的三个内角均为锐角，即 ：，则； ： ，不等式恒成立； ：，则， 双曲线的离心率的取值范围为：． 故答案为： 12. 某比赛考场的规格为每场35名考生，分为7行5列，如下图依照蛇形方式进行座位号编排.为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加比赛，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有______种. 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 1 14 15 28 29 第一排 2 13 16 27 30 第二排 3 12 17 26 31 第三排 4 11 18 25 32 第四排 5 10 19 24 33 第五排 6 9 20 23 34 第六排 7 8 21 22 35 第七排 【答案】3420 【解析】 【分析】考虑甲、乙、丙不同行不同列且奇偶一致，对甲的为奇数排及偶数排及乙丙情况分类讨论，最后应用乘法原理及加法原理计算求解. 【详解】由题意，由于甲、乙、丙不同行不同列且奇偶一致，故分类讨论， ①当甲、乙、丙为奇数时，不妨从甲开始继续分类 1）当甲选择奇数排时，有12种选择，由于甲、乙不同行不同列且奇偶一致， 故乙有种选择， 故丙有8种选择，共种； 2）当甲选择偶数排时，有6种选择，由于甲、乙不同行不同列且奇偶一致， 故乙需要分类讨论， 当乙选择偶数列时，有2种选择，丙有12种选择， 当乙选择奇数列时， 有12种选择，丙有8种选择，共种； ②当甲、乙、丙为偶数时，不妨从甲开始继续分类， 1）当甲选择奇数排时，有8种选择，由于甲、乙不同行不同列且奇偶一致， 故乙需要分类讨论， 当乙选择偶数列时，有3种选择，丙有9种选择， 当乙选择奇数列时， 有9种选择，丙有7种选择，共种； 2）当甲选择偶数排时，有9种选择，由于甲、乙不同行不同列且奇偶一致， 故乙需要分类讨论， 当乙选择偶数列时，有8种选择，丙有7种选择， 当乙选择奇数列时， 有4种选择，丙有9种选择，共种； 综上，共种． 故答案为：3420. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知函数，，则的最大值与最小正周期分别为（ ） A. 3， B. 3， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式，对函数进行化简，进而根据正弦函数性质，求出函数最大值与最小正周期. 【详解】由题意得，其中， 则最大值为，最小正周期为. 故选：C. 14. 一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（ ） A. km B. km C. km D. km 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由题意可得示意图，则 所以 由正弦定理可得，故（）. 故选：A 15. 定义平面向量之间的一种运算＂＂如下：对任意的，令.下面说法中正确的个数是（ ）. ①若与共线，则② ③④对任意的，有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义，利用向量共线的条件和向量的数量积的运算法则逐一验证各个选项. 【详解】说法①： 由题存在实数使得和. 代入运算：. 因此，当向量共线时，运算结果为 0.说法①正确. 说法②： 左边：. 右边：. 因此，，除非结果为 0，否则不相等. 反例：取，，则 ，而. 说法②错误. 说法③： ，，. 所以 右边为，与左边相等. 说法③正确. 说法④： 左边：， 右边：， 两边相等.说法④正确. 正确说法：①、③、④，共 3 个；错误说法：②. 因此，正确说法的个数为 3 个. 故选： C. 16. 一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（ ）（加工过程中不计损耗） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先求出圆台的相关数据，再确定四棱台的形状，进而分析余下木料的情况，找出能车削出最大半径球的木料并计算其半径. 【详解】 为上底面圆心，为下底面圆心，记棱台为， 棱台最大时，上下边之比为，不妨设，则， 所以球在与圆台围成部分可更大， 记中点为中点为交上底面圆于交下底面圆周于， 设球半径最大为，球心为，则如图，球与相切， 设，则，则， 所以，得． 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. （1）求角； （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等变换构造正弦函数求角； （2）结合面积公式与余弦定理，利用完全平方公式配方法求边长和，进而得周长. 小问1详解】 对变形，得，即. 因，故，所以，解得 【小问2详解】 由，，得. 由余弦定理，代入，， 得，即. 则，故. 因此，△ABC的周长为. 18. 已知数列满足. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）记，证明：. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）两边同取倒数即可得，再根据等差数列的定义与通项公式即可得到答案； （2）裂项得，再求和即可. 【小问1详解】 由，两边取倒数，可得， 即有数列是首项，公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，可得，故. 【小问2详解】 由， 可得 19. 已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面与底面垂直，，当时，． （1）当时，求三棱锥的体积； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）分别取和的中点，连接，由面面垂直的性质可得平面，进而证明平面，可求得，利用可求体积； （2）方法一：分别取和的中点为，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量法可求得，进而可求最大值.方法二：延长交直线于点，连接，过点作于点，为所求两平面夹角，求解即可. 【小问1详解】 如图，分别取和的中点，连接， 因平面平面，且平面平面， 又为等边三角形，为的中点， 则，即平面，则. 由，则为的中点，则， 故四边形为平行四边形， 则．又，且， 则平面， 则，又为的中点， 则有. 故. 【小问2详解】 方法一：当时，三棱柱为正三棱柱， 分别取和的中点为，则两两互相垂直， 以为原点，分别以为，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由（1）知，则，由得 取平面的法向量为，设平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，易得， 则 令，则，即， 则， 当时，取最大值， 故当，即为棱中点时，平面与平面夹角的余弦值取最大值. 方法二：由（1）知， 延长交直线于点，连接，过点作于点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为所求两平面夹角，且， 又，故当且仅当点与点重合时，有最小值1， 由余弦函数单调性知有最大值，此时. 20. 已知椭圆的离心率为，且经过点.是E的左、右焦点.过的直线与E交于两点. （1）求E的标准方程； （2）若的内切圆半径为，求的方程； （3）点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率以及过点建立方程组求解即可； （2）由等面积法求出到直线的距离，设，由点到直线距离公式求解即可； （3）将与椭圆联立，先证明直线过定点，再写出的表达式，代入韦达定理，结合基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 由题意，解得， 则E的标准方程为. 【小问2详解】 由，且， 可得（其中为到直线的距离）. ，设，由，解得， 故或. 【小问3详解】 设，则， 将代入椭圆方程得， 所以， 直线的方程为， 令，得， 代入直线方程以及韦达定理可得， 即直线过定点， 面积， 当且仅当时取等号，故的最大值为. 21. 已知曲线，曲线，其中. （1）求曲线在处的切线； （2）证明：E与F存在唯一交点； （3）在（2）的条件下，设交点为，作在点处的切线，交轴于点，证明: 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数求出切线斜率，再由点斜式即可求解； （2）构造函数，将问题等价转化成研究函数的零点，分和两段依次分析函数的函数值情况和单调性情况即可得证； （3）先利用导数依次求出在点处的切线方程和点B，利用两点间的距离公式和将题设所要求证的问题等价转换成求证，再构造函数，利用导数分析其在上的单调性即可求证. 【小问1详解】 对求导得， 当时，切线斜率为，， 所以所求切线方程为； 【小问2详解】 记. 则当时，，故， 而，故此时无零点； 当时，函数和均为减函数， 所以严格递减，且，故有唯一零点. 综上，与有唯一交点. 【小问3详解】 由（2）得，对求导得， 故在点处的切线斜率为 所以在点处的切线方程为， 令得，故， 要证，只需证即. 由（）式得，故只需证. 记在上单调递增， 所以，即，故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，若，则___________． 2. 已知复数，，那么__________. 3. 若抛物线的焦点到准线的距离为2，则实数______. 4. 已知正项等比数列的前项和为，若，则公比______. 5. 已知函数，则___________. 6. 在的展开式中，常数项为___________. 7. 设，是两个不共线的向量，且，，，且，则_______. 8. 样本数据的第30百分位数为__________. 9. 已知正实数满足，则的最小值为______． 10. 如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为___________． 12. 某比赛考场规格为每场35名考生，分为7行5列，如下图依照蛇形方式进行座位号编排.为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加比赛，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有______种. 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 1 14 15 28 29 第一排 2 13 16 27 30 第二排 3 12 17 26 31 第三排 4 11 18 25 32 第四排 5 10 19 24 33 第五排 6 9 20 23 34 第六排 7 8 21 22 35 第七排 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知函数，，则最大值与最小正周期分别为（ ） A. 3， B. 3， C. ， D. ， 14. 一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（ ） A. km B. km C. km D. km 15. 定义平面向量之间一种运算＂＂如下：对任意的，令.下面说法中正确的个数是（ ）. ①若与共线，则② ③④对任意的，有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（ ）（加工过程中不计损耗） A. B. C. 1 D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. （1）求角； （2）求的周长. 18. 已知数列满足. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）记，证明：. 19. 已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面与底面垂直，，当时，． （1）当时，求三棱锥的体积； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 20. 已知椭圆离心率为，且经过点.是E的左、右焦点.过的直线与E交于两点. （1）求E的标准方程； （2）若的内切圆半径为，求的方程； （3）点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由. 21. 已知曲线，曲线，其中. （1）求曲线在处切线； （2）证明：E与F存在唯一交点； （3）在（2）的条件下，设交点为，作在点处的切线，交轴于点，证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $