精品解析：山东省淄博实验中学2025-2026学年高三上学期第一次模块考试(期中)数学试卷

淄博实验中学、淄博齐盛高中高三年级第一学期第一次模块考试 数学 命题人：数学学科中心组 使用时间：2025年11月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则为（    ） A. 2 B. C. D. 3. 设向量则（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（ ） ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 8. 已知实数，，满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数与函数定义域均为，若存在非零实数使得，在定义域内满足，则称，满足“性质”，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则，满足“性质” B. 若，，则，满足“性质” C. 若，满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 D. 若，满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为_____. 13. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，则面积的最大值是______. 14. 已知，是平面内三个不同单位向量.若，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）求函数的单调减区间及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到函数的图象，若对都有恒成立，求实数的取值范围. 17. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 18. 一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球. （1）求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率； （2）求经过两次操作后，手上恰好有1个红球的概率； （3）设第次操作后停止试验概率为，求当取最大值时，的取值. 19. 已知函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值； （3）若函数有两个不同的极值点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博实验中学、淄博齐盛高中高三年级第一学期第一次模块考试 数学 命题人：数学学科中心组 使用时间：2025年11月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定，结合交集、补集运算即可求解. 【详解】因为， 所以或， 所以. 故选：B 2. 已知复数z满足，则为（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和模的概念即可计算． 【详解】由，得 ， 则， 故选：D 3. 设向量则（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模的定义、共线向量定理、向量垂直的坐标表示、向量的数量积公式逐一计算即可. 【详解】由已知得 ，，即，则选项不正确； ,不存在一个实数使成立，则选项不正确； ，即，则选项正确； 设与的夹角为，则， ∵，∴，则选项不正确； 故选：C. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将弦化切，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以，解得或， 又，所以，则， 所以. 故选：C 5. 已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（ ） ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差角的余弦公式判断①，根据正弦定理判断②，结合锐角三角形及正弦函数的性质判断③，结合两角和的余弦公式判断④. 【详解】对于①：若，即， 即，则， 所以，所以， 又，所以，所以，则，所以， 则一定是等腰三角形，故①正确； 对于②：在中，由正弦定理及，得，故②正确； 对于③：由是锐角三角形，得，所以， 又在上单调递增， 因此，即，故③正确； 对于④：由，得，在中，， 所以， 则，即，于是， 即，所以，因此是钝角，则为钝角三角形，故④错误. 故选：C 6. 设奇函数定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用函数单调性定义确定在的单调性，再结合奇偶性求解不等式. 【详解】设函数，由为上的奇函数，得， 则函数是上的偶函数，又， 依题意，对任意的，且，都有， 则函数在上单调递增，所以在上单调递减， 由，得， 不等式，即， 则，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 7. 若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的周期，作出函数和的图象，数形结合，观察图象的交点个数，即可确定答案. 【详解】因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数， 结合当时，，可作出的图象； 又函数，在同一坐标系中可作出其图象： 由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点， 则此时有5个零点； 当时，的图象和的图象有6个交点， 则此时有6个零点； 故在区间内的零点个数为， 故选：D 8. 已知实数，，满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为，，的图象与直线交点的横坐标，结合函数图象即可判断. 详解】依题意，令，则，，， 则，，可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标， 又与互为反函数，函数图象关于对称且的图象一直在的图象的上方， 即与没有交点，所以一定不成立； 在同一坐标系中画出函数，，和的图象，如图， 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 综上所述，，，都有可能成立，而不可能成立. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质，三棱锥的体积公式，等体积法，针对各个选项即可分别求解. 【详解】对A选项，如图，连接，则为中点， 又为的中点，所以， 又平面平面，平面，故A选项正确； 对B选项，因为在正方体中，所以平面平面， ，由已知得面，面， 则，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 故选：ABD. 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D. 【详解】对于A：因为， 则， 所以，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD 11. 函数与函数的定义域均为，若存在非零实数使得，在定义域内满足，则称，满足“性质”，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则，满足“性质” B. 若，，则，满足“性质” C. 若，满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 D. 若，满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据所给定义求出的值，即可判断A，B，举反例说明C，转化，得到，联立方程组，求得的解析式，根据函数的零点和极值点的定义与判断方法，可判定D正确. 【详解】对于A，若，则， 又，， 当，解得，所以，满足“性质”，故A正确； 对于B，由，则， 若，满足“性质”，则满足，解得不是定值， 即不存在非零实数使得在定义域内满足， 所以，不满足“性质”，故B错误； 对于C：若，满足“性质”，且， 所以存在非零实数，使得， 取，，则，满足条件， 但同时存在零点与极值点，故C错误； 对于D：若，满足“性质”，且， 存在非零实数，使得， 将替换为，可得， 联立方程组， 当时，方程组无解；当时，， 若函数存在零点，则方程有解，即有解，则满足且， 又由，令，可得，此时方程无解， 所以函数没有极值点； 反之：若函数有极值点，则方程有解，即有解， 因为且，所以，可得且， 令，可得，此时方程无解，即函数没有零点， 所以函数存在零点的充要条件为不存在极值点，故D正确. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由对数的运算性质得出，再由基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，所以，， 由对数的运算性质可得，故， 所以. 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 13. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，则面积的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合基本不等式可得，由三角函数性质计算可得，再由三角形面积公式计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 因为，在上单调递减， 所以，则， 所以的面积. 故答案为：. 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求出的范围. 【详解】函数，， 若，则， 由向量为平面内三个不同的单位向量，得向量两两垂直，显然不成立； 因此，不妨设， 则，不妨设，， 则，，， 则， 由，得，则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为等差数列，将，代入解出，，从而求出的通项公式； （2）由（1）问，写出的通项公式，然后利用分组求和求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 故 . 16. 已知函数. （1）求函数的单调减区间及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到函数的图象，若对都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数的单调性可得出函数的减区间，利用正弦型函数的对称性可求出函数的对称中心坐标； （2）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出函数在区间上的最大值和最小值，由已知得出，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为 ， 由得， 由可得， 所以函数的单调递减区间为，对称中心为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到函数的图象， 则， 当时，，则， 故， 由可得，则对任意的恒成立， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 17. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. 【小问3详解】 由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 18. 一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球. （1）求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率； （2）求经过两次操作后，手上恰好有1个红球的概率； （3）设第次操作后停止试验的概率为，求当取最大值时，的取值. 【答案】（1） （2） （3）8或9 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算. （2）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式求解. （3）依题意，列出的解析式，通过作商判断概率的增减性，即可求出的最大值以及此时的值. 【小问1详解】 “经过两次操作后，手上有1个黑球和1个红球”即第一次和第二次操作各取到了1个黑球和1个红球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上， 所以所求概率为. 【小问2详解】 “经过两次操作后，手上恰好有1个红球”， 即“两次操作中一次取到红球并留下，另一次无论取到何种颜色均放回”， 因此两次抛掷硬币，一次正面向上，一次反面向上， 所以所求概率为. 【小问3详解】 依题意，， 由， 当时，，当时，，当时，， 所以当或9时，取最大值. 19. 已知函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值； （3）若函数有两个不同的极值点，且，求证：． 【答案】（1）最小值为，无最大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)通过求导找函数单调性的分界点，进而确定极值（也是最值）。 (2)分别分析与的极值存在性（结合a的取值分类讨论），再根据“极值相等”列方程求解a. (3)先通过求导确定的极值点满足的关系，再构造函数结合单调性证明不等式. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为，求导得， 令，解得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值，也是最小值， 最小值为，无最大值. 【小问2详解】 对求导得， 因为存在极值，所以在上有解，解得（）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值，， 对，求导得 因为存在极值，所以有解，解得（）, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值, ,因为和极值相等，所以， 即， 因为，所以，即，因此，实数a的值为 【小问3详解】 由， 令， 即， 因为函数有两个不同的极值点， 所以①，②， 令③，则，代入②得： 由①得：，两式相减：， 所以， 又，得， 则，要证，即证， 即证，化简得， 即证，即 即证， 令， ，所以 即，所以在上单调递增， 所以，所以，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $