第十七章 因式分解单元复习（全章知识点总结+13大题型举一反三）2025-2026学年人教版数学八年级上册重难点培优专题复习

第十七章 因式分解 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 知识模块 具体内容 公式/方法要点 因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，与整式乘法是互逆运算 判定标准：结果为整式乘积，变形前后恒等（可用整式乘法检验） 提公因式法 1.公因式确定：定系数（最大公约数）、定字母（相同字母）、定指数（最低次幂） 2.提公因式步骤：找公因式→提公因式→验剩余因式 提负号需变号： 公式法 1.平方差公式：适用于二项式，两项异号且均为平方形式 2.完全平方公式：适用于三项式，两项为平方和，一项为两底数积的2倍 平方差公式： 完全平方公式： 十字相乘法 适用于二次三项式，分解为 关键：找到两个数、，满足， 分组分解法 分组原则：分组后组内可提公因式或用公式，组间能继续分解 常见分组方式：“二二分组”“一三分组” 因式分解步骤 1.先提公因式； 2.再用公式/十字相乘/分组分解； 3.最后检验是否彻底分解 彻底分解标准：每个因式不能再分解为两个整式的积 二、重难点突破 重难点 突破策略 公因式确定 1.系数取各项系数绝对值的最大公约数，注意符号（首项为负先提负号） 2.字母取各项相同字母，指数取最低次幂 3.多项式公因式：如与可转化为同一因式 公式灵活运用 1.平方差公式：识别“两项异号平方”特征，可多次运用（如） 2.完全平方公式：验证中间项是否为“2×底数积”，注意符号 十字相乘法应用 1.二次项系数为1时，聚焦常数项分解（正因数和负因数都需考虑） 2.分解后交叉相乘验证一次项系数，避免试错偏差 分解彻底性 每步分解后检查剩余因式：是否含公因式、是否符合公式结构，直到无法再分解为止 三、高频易错点警示 易错类型 典型错误示例 纠错方法 定义理解错误 把当作因式分解 牢记因式分解结果必须是整式乘积形式，不含加减运算 提公因式不彻底 分解得 提公因式后检查剩余因式，需提取到各项无公因式（正确：） 符号处理错误 分解得 先提负号再用公式（正确：）；注意 公式混淆错误 把分解为 明确平方差公式是“差”的平方，完全平方公式是“和/差”的平方，熟记公式结构特征 十字相乘系数错误 分解得 交叉相乘后求和需等于一次项系数（正确：，因，） 分解不彻底 分解得 检查每个因式是否可再分解（正确：） 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】因式分解的定义判断 1.核心知识点总结 因式分解的本质：多项式→整式乘积的恒等变形。 与整式乘法的区别：整式乘法是“积→多项式”，因式分解是逆向运算。 2.高频考点梳理 选择题形式判断变形是否为因式分解。 辨析含加减运算、分式形式的错误变形。 3.易错点警示 混淆“因式分解”与“整式乘法”（如把当作因式分解）。 误将含常数项的和式当作因式分解（如）。 4.解题技巧拆解 两步判断法：第一步看结果是否为“整式×整式”；第二步验证变形是否恒等（可反向用整式乘法检验）。 【例题1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·上海·月考）下列由左到右的变形是因式分解的是（   ） A．； B．； C．； D．； 【变式题1-3】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】提公因式法因式分解（公因式为单项式） 1.核心知识点总结 公因式“三定”原则：定系数（最大公约数）、定字母（相同字母）、定指数（最低次幂）。 提公因式法则：，首项为负先提“”号。 2.高频考点梳理 直接提取单项式公因式（如）。 含常数项公因式的提取（如）。 3.易错点警示 遗漏常数项的公因式（如分解只提，忽略系数最大公约数是2)。 提公因式后漏写“1”(如分解为，正确为)。 4.解题技巧拆解 先确定公因式：系数取各项系数绝对值的最大公约数，字母取相同字母的最低次幂。 提取后验证：用公因式乘剩余因式，结果需与原多项式一致。 【例题2】．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）因式分解： ． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东日照·期中）计算：等于 ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【题型3】提公因式法因式分解(公因式为多项式) 1.核心知识点总结 多项式公因式：如、，可通过符号转化统一()。 整体思想：将多项式公因式当作一个“整体”提取。 2.高频考点梳理 直接提取多项式公因式(如)。 需转化符号的多项式公因式(如)。 3.易错点警示 符号转化错误(如把误转为，实际)。 提取后剩余因式漏项(如分解为，正确为)。 4.解题技巧拆解 观察多项式结构，识别相同的多项式因式，必要时转化符号。 提取后合并同类项，确保剩余因式最简。 【例题3】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解 ． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式题3-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）因式分解的最终结果是（   ） A． B． C． D． 【题型4】公式法因式分解(平方差公式) 1.核心知识点总结 平方差公式适用条件：二项式、两项异号、两项均为完全平方形式()。 公式逆用：，可多次运用。 2.高频考点梳理 直接用公式(如、)。 含系数的平方差(如)。 多项式形式的平方差(如)。 3.易错点警示 对非平方形式误用公式(如无法用平方差公式分解)。 分解不彻底(如分解为，需继续分解为)。 4.解题技巧拆解 先判断是否符合“两项异号平方”特征，再确定、(可是单项式或多项式)。 分解后检查每个因式是否可再分解。 【例题4】．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）因式分解： ． 【变式题4-1】．（25-26九年级上·重庆·期中）因式分解 【变式题4-2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·海南海口·期中）分解因式： (1) (2) (3) 【题型5】公式法因式分解(完全平方公式) 1.核心知识点总结 完全平方公式适用条件：三项式、两项为完全平方和()、一项为或。 公式逆用：。 2.高频考点梳理 直接用公式(如、)。 含系数的完全平方(如)。 缺常数项或一次项的完全平方(如补项后分解)。 3.易错点警示 忽略中间项符号(如误分解为)。 中间项不是“2×底数积”时误用公式(如不是完全平方式)。 4.解题技巧拆解 先识别平方项，确定、，再验证中间项是否为或。 若首项为负，先提负号再判断(如)。 【例题5】．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）因式分解： ． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）因式分解： (1) (2) 【变式题5-2】．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2) 【题型6】提公因式法与公式法综合运用 1.核心知识点总结 因式分解优先级：先提公因式，再用公式。 综合运用步骤：提取公因式→剩余因式判断是否符合公式→彻底分解。 2.高频考点梳理 提公因式后用平方差公式(如)。 提公因式后用完全平方公式(如)。 3.易错点警示 跳过提公因式直接用公式(如误分解为，正确为)。 提公因式后忘记继续分解(如未分解为)。 4.解题技巧拆解 第一步观察各项是否有公因式，优先提取(包括系数、字母、多项式公因式)。 对提取后的剩余因式，按“二项式看平方差，三项式看完全平方”的思路选择公式。 【例题6】．（25-26八年级上·北京·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·北京·期中）分解因式：． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7】十字相乘法因式分解(二次项系数为1) 1.核心知识点总结 适用形式：二次三项式(二次项系数为1)。 分解规律：找到两个数、，使且，则。 2.高频考点梳理 常数项为正数的分解(如)。 常数项为负数的分解(如)。 3.易错点警示 常数项分解后符号错误(如误分解为，正确为)。 一次项系数计算错误(如分解为，正确为)。 4.解题技巧拆解 列常数项的因数对(包括正、负因数)，筛选和为一次项系数的因数对。 分解后交叉验证：，确保与原多项式一致。 【例题7】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 【变式题7-2】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为 ． 【题型8】十字相乘法因式分解（二次项系数不为1） 1.核心知识点总结 适用形式：二次三项式（，、、为整数，）。 分解规律：找到两对整数和，满足、，且，则。 2.高频考点梳理 二次项系数为质数（如、）。 二次项系数为合数（如、）。 常数项为负数的分解（如）。 3.易错点警示 二次项系数分解不全面（如只考虑，忽略）。 常数项符号搭配错误（如时，未使一对因数为正、一对为负）。 交叉相乘求和不等于一次项系数，直接写分解式（如误分解为，实际交叉和为，此处正确，但需注意验证步骤）。 4.解题技巧拆解 第一步分解的正因数对（按从小到大顺序，减少试错），分解的因数对（含正、负）。 第二步交叉相乘：，筛选结果等于的因数组合。 第三步验证：展开分解式，核对二次项、一次项、常数项是否与原多项式一致。 【例题8】．（2025八年级上·全国·专题练习）因式分解：． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 【题型9】分组分解法因式分解(提升) 1.核心知识点总结 分组原则：分组后组内可提公因式或用公式，组间能继续提取公因式。 常见分组方式：二二分组(如)、一三分组(如)。 2.高频考点梳理 分组后提公因式(如)。 分组后用公式(如)。 3.易错点警示 分组无目标，组间无法继续分解(如把分为，应分为，需先整理项序)。 分组后漏提公因式(如，未继续提取)。 4.解题技巧拆解 观察多项式项数：四项式优先二二分组，三项式可补项后一三分组。 分组后标记公因式，确保组间有相同因式可提取。 【例题9】．（2025八年级上·全国·专题练习）因式分解： 【变式题9-1】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）要把多项式分解因式，可以把它的前两项和后两项分别分成一组，并在前面一组提出a，后面一组提出b，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种分解因式的方法叫作“分组分解法”，仿照材料中提供的方法把分解因式，结果为 ． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）阅读下列材料：分解因式：． 解1：． 解2：． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【题型10】含参数的因式分解(提升) 1.核心知识点总结 利用“多项式恒等”性质：若，则对应项系数相等(，)。 参数求解思路：展开分解式→对比系数→列方程求解。 2.高频考点梳理 已知分解结果求参数(如，求、)。 已知一个因式求参数(如有因式，求)。 3.易错点警示 展开分解式时符号错误(如，漏记常数项符号)。 忽略参数的整数条件(如要求整数范围内分解，需筛选整数解)。 4.解题技巧拆解 设分解式为标准形式(二次三项式设为两个一次式乘积)。 展开后按“二次项系数、一次项系数、常数项”分别对比，列方程求解。 代入参数验证分解结果，确保正确。 【例题10】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·月考）若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于 ． 【变式题10-2】．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．6 B． C．6或 D．不能确定 【变式题10-3】．（25-26八年级上·北京·期中）若多项式有一个因式是，则的值为 ． 【题型11】因式分解的逆向应用(求值)(提升) 1.核心知识点总结 逆向应用本质：利用因式分解将代数式转化为乘积形式，代入已知条件求值。 常用场景：已知、或的值，求多项式的值。 2.高频考点梳理 提公因式法逆向求值(如已知，求的值)。 公式法逆向求值(如已知，求的值)。 3.易错点警示 未因式分解直接代入，计算复杂易出错(如已知，，求，未转化为)。 因式分解不彻底导致无法代入(如未分解为，无法利用求值)。 4.解题技巧拆解 分析所求代数式结构，优先因式分解(提公因式或用公式)。 将已知条件整体代入分解后的式子，简化计算。 【例题11】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求代数式的值． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，求的值 【变式题11-2】．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段练习）若，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； 【变式题11-3】．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)如图①，观察可以发现代数式能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为_________． ②若，利用上面的规律求的值． 【题型12】换元法因式分解(培优) 1.核心知识点总结 换元法思想：将复杂多项式中的重复部分设为新变量(如)，转化为简单多项式分解。 关键步骤：设元→分解→回代→彻底分解。 2.高频考点梳理 重复多项式换元(如)。 平方形式换元(如)。 3.易错点警示 换元后忘记回代原变量(如设，分解为后，未替换回)。 回代后未彻底分解(如，需继续分解为)。 4.解题技巧拆解 观察多项式，识别重复出现的“整体部分”(如多项式的平方、乘积形式)。 设新变量后按基础方法分解，回代后检查是否可进一步分解。 【例题12】．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的______； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？______（填“正确”或“不正确”），若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式进行因式分解． 【变式题12-1】．（24-25七年级下·江苏常州·月考）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，．． 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： (1)若x满足，则 ； (2)若x满足，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【变式题12-2】．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）阅读材料：在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 则原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_____． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【变式题12-3】．（24-25七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【题型13】因式分解解决实际问题(培优) 1.核心知识点总结 实际问题转化：将长度、面积、体积等实际量转化为多项式，通过因式分解求解。 常用场景：整除问题、倍数问题、最值问题。 2.高频考点梳理 面积相关问题(如长方形长和宽变化后，用因式分解表示面积差)。 整除与倍数问题(如证明多项式的值是某个数的倍数)。 3.易错点警示 实际量转化错误(如长方形面积差计算错误，导致多项式列错)。 因式分解不彻底，无法判断倍数关系(如证明是6的倍数，未分解为)。 4.解题技巧拆解 根据实际问题列出多项式表达式(如面积=长×宽，差值=新量-原量)。 对多项式因式分解，结合实际意义分析结果(如因数为正整数、倍数关系)。 【例题13】．（25-26七年级上·上海·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为、．若，，求图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请直接写出一个恒等式： ；注：长方体体积长宽高 (4)已知，，利用（3）中的恒等式求的值． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，则 ①图中阴影部分正方形的面积=______（结果填具体数值） ②若长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【变式题13-2】．（25-26八年级上·山西临汾·期中）请阅读下面材料并解决问题： 配方法是数学中重要的一种思想方法，如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将一个式子通过恒等变形转化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式来解决问题．并利用非负性的优势，能在方程求解场景中化繁为简，成为破解难题的金钥匙． 例：已知，求和的值． 解：由已知得： 即， ， ． 根据上述方法，解决问题： 已知，求的值． 【变式题13-3】．（25-26九年级上·福建厦门·期中）用转化的思想解方程：我们知道一元二次方程 的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法 求解…但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解，通过查阅资料，可以发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元高次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解方程．解：提取公因式，得．…第一步 分解因式，得．…第二步 或或．…第三步 ，，．…第四步 任务： (1)在上述材料中，第二步分解因式的依据是________． (2)请参照材料中的方法，解方程． (3)实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可以运用转化思想将解一元二次不等式转化为解一元一次不等式．请你尝试解不等式． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西北海·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南南阳·月考）当为正整数时，两个连续奇数和的平方差是（   ） A．的倍数 B．的倍数 C．的倍数 D．的倍数 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）因式分解： ； ； 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）若，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 9．（25-26九年级上·山东淄博·月考）若多项式可分解为则 ， ． 10．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·吉林长春·期中）因式分解： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 13．（25-26九年级上·重庆·期中）已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 14．（25-26七年级上·上海松江·月考）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 15．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 16．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 知识模块 具体内容 公式/方法要点 因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，与整式乘法是互逆运算 判定标准：结果为整式乘积，变形前后恒等（可用整式乘法检验） 提公因式法 1.公因式确定：定系数（最大公约数）、定字母（相同字母）、定指数（最低次幂） 2.提公因式步骤：找公因式→提公因式→验剩余因式 提负号需变号： 公式法 1.平方差公式：适用于二项式，两项异号且均为平方形式 2.完全平方公式：适用于三项式，两项为平方和，一项为两底数积的2倍 平方差公式： 完全平方公式： 十字相乘法 适用于二次三项式，分解为 关键：找到两个数、，满足， 分组分解法 分组原则：分组后组内可提公因式或用公式，组间能继续分解 常见分组方式：“二二分组”“一三分组” 因式分解步骤 1.先提公因式； 2.再用公式/十字相乘/分组分解； 3.最后检验是否彻底分解 彻底分解标准：每个因式不能再分解为两个整式的积 二、重难点突破 重难点 突破策略 公因式确定 1.系数取各项系数绝对值的最大公约数，注意符号（首项为负先提负号） 2.字母取各项相同字母，指数取最低次幂 3.多项式公因式：如与可转化为同一因式 公式灵活运用 1.平方差公式：识别“两项异号平方”特征，可多次运用（如） 2.完全平方公式：验证中间项是否为“2×底数积”，注意符号 十字相乘法应用 1.二次项系数为1时，聚焦常数项分解（正因数和负因数都需考虑） 2.分解后交叉相乘验证一次项系数，避免试错偏差 分解彻底性 每步分解后检查剩余因式：是否含公因式、是否符合公式结构，直到无法再分解为止 三、高频易错点警示 易错类型 典型错误示例 纠错方法 定义理解错误 把当作因式分解 牢记因式分解结果必须是整式乘积形式，不含加减运算 提公因式不彻底 分解得 提公因式后检查剩余因式，需提取到各项无公因式（正确：） 符号处理错误 分解得 先提负号再用公式（正确：）；注意 公式混淆错误 把分解为 明确平方差公式是“差”的平方，完全平方公式是“和/差”的平方，熟记公式结构特征 十字相乘系数错误 分解得 交叉相乘后求和需等于一次项系数（正确：，因，） 分解不彻底 分解得 检查每个因式是否可再分解（正确：） 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】因式分解的定义判断 1.核心知识点总结 因式分解的本质：多项式→整式乘积的恒等变形。 与整式乘法的区别：整式乘法是“积→多项式”，因式分解是逆向运算。 2.高频考点梳理 选择题形式判断变形是否为因式分解。 辨析含加减运算、分式形式的错误变形。 3.易错点警示 混淆“因式分解”与“整式乘法”（如把当作因式分解）。 误将含常数项的和式当作因式分解（如）。 4.解题技巧拆解 两步判断法：第一步看结果是否为“整式×整式”；第二步验证变形是否恒等（可反向用整式乘法检验）。 【例题1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义及方法逐项分析即可． 【详解】解： A：，故该选项不正确，不符合题意； B：，故该选项不正确，不符合题意； C：，故该选项正确，符合题意； D：右边 不是因式的乘积形式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C 【变式题1-1】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解的理解．根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的乘积的形式”，由此即可求解． 【详解】解：、，是因式分解，该选项符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·上海·月考）下列由左到右的变形是因式分解的是（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．据此一一判断即可． 【详解】解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．不是因式分解，故该选项不符合题意； ． ，原运算错误，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解： ，左边是多项式，右边是整式的积，选项A符合因式分解定义． ，左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，选项B不符合因式分解定义． ，左边是单项式，不是多项式，选项C不符合因式分解定义． ，右边不是积的形式，选项D不符合因式分解定义． 故选：A． 【题型2】提公因式法因式分解（公因式为单项式） 1.核心知识点总结 公因式“三定”原则：定系数（最大公约数）、定字母（相同字母）、定指数（最低次幂）。 提公因式法则：，首项为负先提“”号。 2.高频考点梳理 直接提取单项式公因式（如）。 含常数项公因式的提取（如）。 3.易错点警示 遗漏常数项的公因式（如分解只提，忽略系数最大公约数是2)。 提公因式后漏写“1”(如分解为，正确为)。 4.解题技巧拆解 先确定公因式：系数取各项系数绝对值的最大公约数，字母取相同字母的最低次幂。 提取后验证：用公因式乘剩余因式，结果需与原多项式一致。 【例题2】．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法因式分解．原式提取公因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东日照·期中）计算：等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是幂的运算性质，解题的关键是逆用同底数幂的乘法法则以及使用提取公因式法进行计算． 根据逆用同底数幂的乘法法则以及使用提取公因式法进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式题2-3】．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解中提取公因式的方法，解题的关键是确定各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂． 需要分别分析系数和相同字母的幂次，确定公因式． 【详解】解：∵系数6和3的最大公因数为3，字母部分和中，x的最低次幂为1，y的最低次幂为1， ∴公因式为． 故选：A． 【题型3】提公因式法因式分解(公因式为多项式) 1.核心知识点总结 多项式公因式：如、，可通过符号转化统一()。 整体思想：将多项式公因式当作一个“整体”提取。 2.高频考点梳理 直接提取多项式公因式(如)。 需转化符号的多项式公因式(如)。 3.易错点警示 符号转化错误(如把误转为，实际)。 提取后剩余因式漏项(如分解为，正确为)。 4.解题技巧拆解 观察多项式结构，识别相同的多项式因式，必要时转化符号。 提取后合并同类项，确保剩余因式最简。 【例题3】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．提出公因式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为 ． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法因式分解； （2）利用提公因式法因式分解． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）因式分解的最终结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解：∵ ． 故选：D． 【题型4】公式法因式分解(平方差公式) 1.核心知识点总结 平方差公式适用条件：二项式、两项异号、两项均为完全平方形式()。 公式逆用：，可多次运用。 2.高频考点梳理 直接用公式(如、)。 含系数的平方差(如)。 多项式形式的平方差(如)。 3.易错点警示 对非平方形式误用公式(如无法用平方差公式分解)。 分解不彻底(如分解为，需继续分解为)。 4.解题技巧拆解 先判断是否符合“两项异号平方”特征，再确定、(可是单项式或多项式)。 分解后检查每个因式是否可再分解。 【例题4】．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 直接应用平方差公式即可求解． 【详解】解：根据平方差公式，得． 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26九年级上·重庆·期中）因式分解 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，先提公因式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【答案】见解析 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 把进行因式分解得到，即可证明． 【详解】证明：∵ ， 又∵ ， 且， ∴ ， ∵ n是整数， ∴是8的倍数， 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·海南海口·期中）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解； （1）根据平方差公式因式分解即可求解； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可求解； （3）先提取公因式，再根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 【题型5】公式法因式分解(完全平方公式) 1.核心知识点总结 完全平方公式适用条件：三项式、两项为完全平方和()、一项为或。 公式逆用：。 2.高频考点梳理 直接用公式(如、)。 含系数的完全平方(如)。 缺常数项或一次项的完全平方(如补项后分解)。 3.易错点警示 忽略中间项符号(如误分解为)。 中间项不是“2×底数积”时误用公式(如不是完全平方式)。 4.解题技巧拆解 先识别平方项，确定、，再验证中间项是否为或。 若首项为负，先提负号再判断(如)。 【例题5】．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟知公式法分解方式是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式题5-2】．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）根据完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型6】提公因式法与公式法综合运用 1.核心知识点总结 因式分解优先级：先提公因式，再用公式。 综合运用步骤：提取公因式→剩余因式判断是否符合公式→彻底分解。 2.高频考点梳理 提公因式后用平方差公式(如)。 提公因式后用完全平方公式(如)。 3.易错点警示 跳过提公因式直接用公式(如误分解为，正确为)。 提公因式后忘记继续分解(如未分解为)。 4.解题技巧拆解 第一步观察各项是否有公因式，优先提取(包括系数、字母、多项式公因式)。 对提取后的剩余因式，按“二项式看平方差，三项式看完全平方”的思路选择公式。 【例题6】．（25-26八年级上·北京·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式和公式法因式分解是关键． （1）直接提取公因式3即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解． （1）直接提公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·北京·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查提公因式与公式法分解因式，掌握分解因式的方法与步骤是解题的关键． 先提公因式，再按照完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式进行分解是解题的关键． （1）提取公因式，即可得到答案； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可得到答案． （3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可得到答案； （4）利用十字相乘法进行分解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型7】十字相乘法因式分解(二次项系数为1) 1.核心知识点总结 适用形式：二次三项式(二次项系数为1)。 分解规律：找到两个数、，使且，则。 2.高频考点梳理 常数项为正数的分解(如)。 常数项为负数的分解(如)。 3.易错点警示 常数项分解后符号错误(如误分解为，正确为)。 一次项系数计算错误(如分解为，正确为)。 4.解题技巧拆解 列常数项的因数对(包括正、负因数)，筛选和为一次项系数的因数对。 分解后交叉验证：，确保与原多项式一致。 【例题7】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握十字相乘法的原理（找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项）是解题的关键． 通过十字相乘法，寻找两个数，使其和为，积为，进而对二次三项式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式，十字相乘法分解因式就是把三项式的两个平方项分别分解成两个单项式的乘积，单项式交叉相乘的和等于中间项，然后再横向书写． 【详解】解： ． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式的因式分解-十字相乘法，将多项式视为关于x的二次三项式，通过寻找两个数使其和为一次项系数，积为，利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中十字相乘法的应用，熟练掌握因式分解中十字相乘法是解题关键． 对于二次三项式，利用十字相乘法，将常数项分解为两个整数的乘积，这两个整数的和即为的可能值，列出所有分解情况并计算和，得到的所有可能值． 【详解】设 ，则展开后比较系数得 且 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 综上，整数的所有可能值为：． 故答案为． 【题型8】十字相乘法因式分解（二次项系数不为1） 1.核心知识点总结 适用形式：二次三项式（，、、为整数，）。 分解规律：找到两对整数和，满足、，且，则。 2.高频考点梳理 二次项系数为质数（如、）。 二次项系数为合数（如、）。 常数项为负数的分解（如）。 3.易错点警示 二次项系数分解不全面（如只考虑，忽略）。 常数项符号搭配错误（如时，未使一对因数为正、一对为负）。 交叉相乘求和不等于一次项系数，直接写分解式（如误分解为，实际交叉和为，此处正确，但需注意验证步骤）。 4.解题技巧拆解 第一步分解的正因数对（按从小到大顺序，减少试错），分解的因数对（含正、负）。 第二步交叉相乘：，筛选结果等于的因数组合。 第三步验证：展开分解式，核对二次项、一次项、常数项是否与原多项式一致。 【例题8】．（2025八年级上·全国·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法对二次三项式进行因式分解；通过寻找两个数，其乘积为二次项系数与常数项的乘积，且和为一次项系数，从而分解因式. 【详解】解： 原式 故答案为：. 【变式题8-2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． （1）根据题意利用十字相乘解题即可； （2）根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】（1）解：： 二次项系数，常数项． 验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以； （2）解：： 二次项系数， 常数项，验算交叉相乘之和：，不符合； 再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以． 【题型9】分组分解法因式分解(提升) 1.核心知识点总结 分组原则：分组后组内可提公因式或用公式，组间能继续提取公因式。 常见分组方式：二二分组(如)、一三分组(如)。 2.高频考点梳理 分组后提公因式(如)。 分组后用公式(如)。 3.易错点警示 分组无目标，组间无法继续分解(如把分为，应分为，需先整理项序)。 分组后漏提公因式(如，未继续提取)。 4.解题技巧拆解 观察多项式项数：四项式优先二二分组，三项式可补项后一三分组。 分组后标记公因式，确保组间有相同因式可提取。 【例题9】．（2025八年级上·全国·专题练习）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解中的分组分解法，解题的关键是合理分组后提取公因式． 首先将原式变形为，然后利用分组分解法分别提公因式得到，进一步提公因式分解即可． 【详解】 ． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）要把多项式分解因式，可以把它的前两项和后两项分别分成一组，并在前面一组提出a，后面一组提出b，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种分解因式的方法叫作“分组分解法”，仿照材料中提供的方法把分解因式，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将多项式重新分组，利用平方差公式和提公因式法进行分解． 【详解】解：将多项式 分组为： ， ∵，， ∴原式 ． 故答案为：． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）阅读下列材料：分解因式：． 解1：． 解2：． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）先将原式分组为，再利用提取公因式法进行分解； （2）先将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键正确理解题意，注意换元法和分组分解法的正确运用． （1）解法一：，原式化为，因式分解即可；解法二：设，原式化为，因式分解即可； （2）设，原式化为，因式分解即可，注意的分组分解应用． 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 【题型10】含参数的因式分解(提升) 1.核心知识点总结 利用“多项式恒等”性质：若，则对应项系数相等(，)。 参数求解思路：展开分解式→对比系数→列方程求解。 2.高频考点梳理 已知分解结果求参数(如，求、)。 已知一个因式求参数(如有因式，求)。 3.易错点警示 展开分解式时符号错误(如，漏记常数项符号)。 忽略参数的整数条件(如要求整数范围内分解，需筛选整数解)。 4.解题技巧拆解 设分解式为标准形式(二次三项式设为两个一次式乘积)。 展开后按“二次项系数、一次项系数、常数项”分别对比，列方程求解。 代入参数验证分解结果，确保正确。 【例题10】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，求出x的值是解决问题的关键． 根据是的一个因式得出的值，再将的值代入原式求解m即可． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴， ∴， 将代入得， ， ∴． 故选：D． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·月考）若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于 ． 【答案】11或/或11 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，由题意得，根据对应系数相等即可求解． 【详解】解： 可直接用完全平方公式分解因式， ， ， 或， 故答案为：11或． 【变式题10-2】．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．6 B． C．6或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式分解因式． 因为能用完全平方公式进行因式分解，所以，据此求出． 【详解】解：因为能用完全平方公式进行因式分解， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·北京·期中）若多项式有一个因式是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求整式中的系数，解题的关键是正确设另一个因式． 由于是多项式的一个因式，根据因式定理，当时，多项式的值为零． 【详解】解：将代入多项式，得 ， 计算得 ， ， ， 解得． 故答案为：． 【题型11】因式分解的逆向应用(求值)(提升) 1.核心知识点总结 逆向应用本质：利用因式分解将代数式转化为乘积形式，代入已知条件求值。 常用场景：已知、或的值，求多项式的值。 2.高频考点梳理 提公因式法逆向求值(如已知，求的值)。 公式法逆向求值(如已知，求的值)。 3.易错点警示 未因式分解直接代入，计算复杂易出错(如已知，，求，未转化为)。 因式分解不彻底导致无法代入(如未分解为，无法利用求值)。 4.解题技巧拆解 分析所求代数式结构，优先因式分解(提公因式或用公式)。 将已知条件整体代入分解后的式子，简化计算。 【例题11】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】300 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解等知识﹒先根据，，得到，再把因式分解为，再整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴﹒ ∴ 【变式题11-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，再根据完全平方公式，可得，即可求解． 【详解】解： ． 当，时，原式． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段练习）若，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)10 (2) (3)8或 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形公式的运用，因式分解的应用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据，整体代入，即可求解． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴； （3）当，时，， 当，时，， 综上可知，的值为8或． 【变式题11-3】．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)如图①，观察可以发现代数式能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为_________． ②若，利用上面的规律求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查因式分解的应用，掌握该知识点并认真观察图形是解题的关键； （1）根据图①可知可表示为长，宽为的长方形面积，据此可以得出因式分解后的结果； （2）①通过不同的方法计算这个正方体的体积，等号连接即可；②根据题意得到，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据图①可知可表示为长，宽为的长方形面积，那么有 ； （2）解：①这个正方体的体积可以表示为：， 也可以表示为， ∴， 故答案为：． ②因为， 所以． 【题型12】换元法因式分解(培优) 1.核心知识点总结 换元法思想：将复杂多项式中的重复部分设为新变量(如)，转化为简单多项式分解。 关键步骤：设元→分解→回代→彻底分解。 2.高频考点梳理 重复多项式换元(如)。 平方形式换元(如)。 3.易错点警示 换元后忘记回代原变量(如设，分解为后，未替换回)。 回代后未彻底分解(如，需继续分解为)。 4.解题技巧拆解 观察多项式，识别重复出现的“整体部分”(如多项式的平方、乘积形式)。 设新变量后按基础方法分解，回代后检查是否可进一步分解。 【例题12】．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的______； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？______（填“正确”或“不正确”），若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不正确， (3) 【分析】本题考查了因式分解等知识，熟知因式分解相关知识，理解整体思想是解题关键． （1）根据完全平方公式法即可求解； （2）利用完全平方式分解彻底即可求解； （3）把看作一个整体，利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解：小龙同学的解法中，第二步运用了完全平方公式分解因式． 故选：C （2）解：小龙的结果不正确，没有分解彻底． 设 原式 ； （3）解：把作为一个整体， ∴ ． 【变式题12-1】．（24-25七年级下·江苏常州·月考）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，．． 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： (1)若x满足，则 ； (2)若x满足，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，因式分解的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键． （1）根据题目提供的方法，进行计算即可． （2）根据题意可得，设，，将化成的形式，代入求值即可． （3）根据题意可得，，根据（1）中提供的方法，求出的结果就是阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵， 设，； 则，， ∴， 故答案为：． （2）解：设，，， ∴，， ∴ ． （3）解：由题意得，，， ∵长方形的面积为48， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ， ∴阴影部分的面积和为28． 【变式题12-2】．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）阅读材料：在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 则原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_____． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法． 故选：C； （2）解：， 设， 则：原式 ． 故答案为：； （3）解：， 设， 则：原式 ． 【变式题12-3】．（24-25七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据利用完全平方公式分解因式即可得； （2）括号里面可以再次用完全平方公式进行因式分解； （3）设，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：， 则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故选：C． （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）设 ． 【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 【题型13】因式分解解决实际问题(培优) 1.核心知识点总结 实际问题转化：将长度、面积、体积等实际量转化为多项式，通过因式分解求解。 常用场景：整除问题、倍数问题、最值问题。 2.高频考点梳理 面积相关问题(如长方形长和宽变化后，用因式分解表示面积差)。 整除与倍数问题(如证明多项式的值是某个数的倍数)。 3.易错点警示 实际量转化错误(如长方形面积差计算错误，导致多项式列错)。 因式分解不彻底，无法判断倍数关系(如证明是6的倍数，未分解为)。 4.解题技巧拆解 根据实际问题列出多项式表达式(如面积=长×宽，差值=新量-原量)。 对多项式因式分解，结合实际意义分析结果(如因数为正整数、倍数关系)。 【例题13】．（25-26七年级上·上海·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为、．若，，求图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请直接写出一个恒等式： ；注：长方体体积长宽高 (4)已知，，利用（3）中的恒等式求的值． 【答案】(1)2 (2)12 (3) (4)14 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，利用数形结合的思想求解是解题的关键； （1）用两种方式表示出大正方形面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，可得，，则，再根据结合（1）所求求出，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方体体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）解：由图①可知，大正方形面积为或， ， ∵，， ∴， ∴ （2）解：∵四边形和都是正方形， ，， ∵ ， ， 又∵， ， ∴， ， ∴ ， 即阴影部分的面积为； （3）解：由图③得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4）解：由（3）可得， ， ∵，， ∴， ∴． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，则 ①图中阴影部分正方形的面积=______（结果填具体数值） ②若长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2) (3)①576②384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设，由（1）中公式即可求解； （3）①设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解； ②设，则，由①得，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：①设正方形的边长为， 则 ②设，则：正方形的边长为， 由①知：， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 【变式题13-2】．（25-26八年级上·山西临汾·期中）请阅读下面材料并解决问题： 配方法是数学中重要的一种思想方法，如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将一个式子通过恒等变形转化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式来解决问题．并利用非负性的优势，能在方程求解场景中化繁为简，成为破解难题的金钥匙． 例：已知，求和的值． 解：由已知得： 即， ， ． 根据上述方法，解决问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用以及非负数的性质，解题关键是通过配方法将原式转化为完全平方式的和，再利用非负数的性质求解． 通过配方法将给定的等式转化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出的值，再代入计算的值． 【详解】解：由已知得：， 即， ， ， ， ． 【变式题13-3】．（25-26九年级上·福建厦门·期中）用转化的思想解方程：我们知道一元二次方程 的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法 求解…但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解，通过查阅资料，可以发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元高次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解方程．解：提取公因式，得．…第一步 分解因式，得．…第二步 或或．…第三步 ，，．…第四步 任务： (1)在上述材料中，第二步分解因式的依据是________． (2)请参照材料中的方法，解方程． (3)实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可以运用转化思想将解一元二次不等式转化为解一元一次不等式．请你尝试解不等式． 【答案】(1)平方差公式 (2)，； (3)或． 【分析】本题考查因式分解的应用，转化思想，熟练掌握转化思想是解题的关键． （1）第二步将分解为，是运用了平方差公式，据此即可解答； （2）参照材料中的方法，运用提公因式法与完全平方公式对方程左边进行因式分解，即可解答； （3）可以运用转化思想解一元二次不等式，将一元二次不等式转化为一元一次不等式组进行求解，据此可举例解答． 【详解】（1）解：第二步分解因式的依据是平方差公式． 故答案为：平方差公式； （2）解：， 提公因式，得， 分解因式，得， ∴或， ∴，； （3）解：可以运用转化思想解不等式， 因式分解，得， ∴或， ∴或． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，该选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，该选项不符合题意； C、是因式分解，该选项符合题意； D、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·广西北海·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．根据因式分解的方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南南阳·月考）当为正整数时，两个连续奇数和的平方差是（   ） A．的倍数 B．的倍数 C．的倍数 D．的倍数 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据平方差公式分解因式，可得：，可知一定是的倍数． 【详解】解： ， 一定是的倍数． 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，是完全平方式，符合题意 B选项=，不是完全平方式，不合题意误 C选项=，不是完全平方式，不合题意 D选项=，不是完全平方式，不合题意 故选：A 5．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，平方差公式的运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，将各式因式分解后进行判断即可． 【详解】解：①，它是利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ②，它不是利用平方差公式因式分解的，符合题意； ③，它是利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ④，它是利用平方差公式因式分解的，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）因式分解： ； ； 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：； ； 故答案为：， 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了求代数式的值、因式分解，熟悉相关性质是解题的关键． 由已知条件可得，然后将所求代数式拆项，整体代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ， 把代入，得 ． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：25． 9．（25-26九年级上·山东淄博·月考）若多项式可分解为则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 10．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用及三角形形状的判定，解题的关键是将已知等式通过配方转化为完全平方式的和，利用非负数的性质得出三边关系． 将已知等式进行整理，通过配方转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质得出三边相等，从而判定三角形形状． 【详解】解：整理，得， ， 即， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 三、解答题 11．（25-26八年级上·吉林长春·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 【答案】 【分析】由于整式可以写成两个因式的积，且其中一个因式已知，可设另一个因式为，通过比较系数求解即可．本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 比较系数得，， 解得，， ∴另一个因式为． 13．（25-26九年级上·重庆·期中）已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 【答案】(1) (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点． （1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 则， 解得， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ∴或（不符合三角形三边关系，舍） ∴是等腰三角形． 14．（25-26七年级上·上海松江·月考）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)时，为“完美数”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用 （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， 【详解】（1）解：， 是完美数， （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数． 15．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式，平方差公式，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 即的最小值为． 16．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 【答案】(1)是 (2)； (3) 【分析】题目主要考查因式分解，理解题意是解题关键． （1）根据题意，将代入整式计算即可判断； （2）根据题意将代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将、、代入整式计算，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $