精品解析：河南省安阳市第五中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题

安阳五中教育集团2025—2026学年上期期中考试（试题卷） 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在本试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．依据中心对称图形的概念即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球．下列事件是必然事件的是（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的概念． 由于白球只有个，摸出个球必然至少有一个黑球，其他选项不一定成立． 【详解】解：∵ 袋子中有个黑球和个白球，共个球， ∴ 摸出个球，白球最多只能摸出个， ∴ 摸出的个球中至少有一个黑球， ∴ 事件“至少有个球是黑球”是必然事件． A、符合题意； B、有可能是个黑球，所以该选项不是必然事件，不符合题意； C、有可能是个白球和个黑球，所以该选项不是必然事件，不符合题意； D、有可能是个黑球，所以该选项不是必然事件，不符合题意； 故选：A ． 3. 二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数平移规律：左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 的图象向左平移1个单位长度可得， ， 故选D． 【点睛】本题考查函数图像平移规律，解题关键是熟练掌握规律：左加右减，上加下减． 4. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 5. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接OC、OD， 分别与相切于点C，D， ∴， ， ∴， 的长， 故选：B 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴． ∴该角度可以为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，图形的旋转，等边三角形的性质，熟练掌握弧，弦，圆心角的关系是解题的关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 8. 如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质. 由旋转的性质可得，由线段中点的定义证明，进而可证明为等边三角形，则． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 9. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用图象判断即可． 【详解】解：如图，当时， 当时，； A、，本选项不符合题意； B、当时，，本选项不符合题意； C、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意； D、当时，，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案． 【详解】解：∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟， ∴AB=1×6=6， ∵， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=6， 当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系， 当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系， ∴a对应动点Q和点C重合，如图： ∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点C作，交于点E ， ∴， ∴，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 【答案】0，（答案不唯一，即可）． 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以 解得 故答案为：0，（答案不唯一，即可） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 12. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是通过画树状图求出所有可能的结果数和符合条件的结果数，再根据概率公式计算． 画树状图可知，共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种，从而求出抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【详解】解：设女生为A，个男生分别是，，， 画树状图如下， 共有种机会均等的结果，其中抽到的个学生恰好是一男生与一女生的情况有种． 抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率为． 故答案为：． 13. 如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：四边形中，， ， 车轮的直径为26英寸，约， 需要的铁皮面积约是， 故答案为：． 14. 在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，张溟鲲起跳后与地面的高度h（单位：m）与他起跳后的运动时间（单位：s）之间的关系式大致是，则张溟鲲从起跳到落地需要______s． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题目给出的运动方程，张溟鲲的跳远运动可以看作一个抛体运动，其运动方程是高度关于时间的二次函数，形式为．要求解张溟鲲从起跳到落地所需的时间，即求解当时，即抛体落地时的时间． 本题考查二次函数关系式，该题的关键在于理解抛体运动中高度关于时间的二次函数关系，并能熟练运用方程求解技巧．本题通过设定高度为零来求解时间，实际上是求抛体从起始点出发并最终回到起始点的总时间，即抛体的飞行时间．此题不仅考察了学生对物理概念的理解，也检验了其数学解题能力，特别是对方程求解的掌握． 【详解】将代入方程中，得到． 将方程简化，得到，进一步得到． 解得（起跳时刻，舍去），． 所以张溟鲲从起跳到落地需要的时间是1秒． 故答案为：1． 15. 如图，矩形ABCD中，,，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】画图，分两种情况：点P在B的右侧或左侧.根据旋转和矩形性质，运用勾股定理，分别求出BP和PC，便可求出PD． 【详解】(1)如图，当P在B的右侧时，由旋转和矩形性质得： AP=AD=5，AB=CD=3, 在直角三角形ABP中，BP=， 所以，PC=BC-BP=5-4=1， 在直角三角形PDC中，PD=, (2)如图，当点P在B的左侧时，由旋转和矩形性质得： AP=AD=5，AB=CD=3, 在直角三角形APB中，PB=， 所以，PC=BC+PB=5+4=9, 在直角三角形PDC中，PD=, 所以，PD的长度为 故答案为 【点睛】本题考核知识点：矩形，旋转，勾股定理. 解题关键点：由旋转和矩形性质得到边边相等，由勾股定理求边长，熟练掌握其性质是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题重点考查了一元二次方程的求解，包括直接开平方法和因式分解法求解方程，直接开平方法即通过开平方运算解一元二次方程的方法，用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项，将方程右边化为0，熟练掌握一元二次方程求解方法是解题的关键． （1）通过移项，化系数为，直接开平方得到的值， （2）先去括号，然后合并同类项，进行因式分解，最后求得的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将绕点O顺时针旋转90度，得到．在图中画出旋转后的； （2）作关于坐标原点成中心对称的； （3）的坐标_________，的坐标_________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，旋转和中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据中心对称的性质，画出即可； （3）根据图形直接写出两个点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图可知：． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有一个根是，求k的值． （2）若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）把代入方程求出k的值即可； （2）根据方程有两个实数根得到，求解可得k的取值范围；根据根与系数的关系可得，再整理并将整体代入得到关于k的一元二次方程求解即可； 【小问1详解】 解：把代入方程得： 解得：或； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根 ∴，解得：； ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）． ∴． 19. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：的切线． 作法： ①作射线； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D； ③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B； ④作直线． 则直线即为所求作的的切线. 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接，． 由作图可知， ， ． ∴ ． ∵ 点A在上， ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ． 【答案】（1） 补全图形如图所示， （2）；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【解析】 【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可； （2）结合作图，完成证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接，． 由作图可知， ，． ∴， ∵ 点A在上， ∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键． 20. 如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点． （1）求证：平分； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴于点． ∴． ∵于点， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分． （2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键 21. 网络销售已经成为一种比较热门的销售方式，某电商购进一种单价元的商品，为减少库存．未来天，这种商品将开展“每天降价元”的促销活动，即从活动开始的第一天起每天的销售单价均比前一天降元，通过市场调查发现，该商品的销售单价每降元，每天销售量增加件，活动前的销售单价为元，每天销售件，设活动开始后的第天（为正整数）所获的利润为（元） （1）求出与之间的函数关系式； （2）哪一天所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） ； （2） 第天所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解答． 活动第天的销售单价为元，每天的销售量为件，根据利润销量单位利润，可得函数关系式：； 根据二次函数的性质可知当时，取最大值，又因为促销活动只有天，所以当时所获利润最大，把代入函数解析式计算即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：活动第天的销售单价为元，每天的销售量为件， 可得：， 整理得：； 【小问2详解】 解：二次函数中， 有最大值， 二次函数的对称轴为， 当时，取最大值， 由题意可知：， 当时，有最大值， 最大值为， 第天所获利润最大，最大利润是元． 22. 某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图1，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图2．已知米，在石头运动过程中，当石头与轴的水平距离为4米时，离水平地面的距离最大，为1.8米，斜坡所在直线的函数表达式为． （1）求出石头的运动轨迹所在抛物线的函数表达式． （2）如图3，点是石头运动轨迹上任一点，过点作轴交坡面于点．求石头运动过程中到坡面的铅直高度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），设抛物线的顶点式，再将点代入求出答案； 对于（2），设，再表示出，然后配方得出顶点式，并讨论极值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得点，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式为， 把代入关系式， 解得， 所以，抛物线的关系式为； 【小问2详解】 解：， 设， ∴． ∵， ∴当时，有最大值，为米． 23. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①② （2），证明： 连接，如图2： ∵为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）①根据题型先证明，进而即可得出线段之间的数量关系； ②根据，得出，进而根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）设， ①当在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又由（2）易知， ∴， ∴， 解得，即， ； ②当点在延长线上时， 同理可证， ∴， 又在中， ， ∴， 解得，即， ； 故的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳五中教育集团2025—2026学年上期期中考试（试题卷） 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在本试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球．下列事件是必然事件的是（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球 3. 二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 5. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 9. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（ ） A. B. C. 6 D. 12 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 12. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是_____． 13. 如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是_____． 14. 在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，张溟鲲起跳后与地面的高度h（单位：m）与他起跳后的运动时间（单位：s）之间的关系式大致是，则张溟鲲从起跳到落地需要______s． 15. 如图，矩形ABCD中，,，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于_________. 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将绕点O顺时针旋转90度，得到．在图中画出旋转后的； （2）作关于坐标原点成中心对称的； （3）的坐标_________，的坐标_________． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有一个根是，求k的值． （2）若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 19. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：的切线． 作法： ①作射线； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D； ③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B； ④作直线． 则直线即为所求作的的切线. 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接，． 由作图可知， ， ． ∴ ． ∵ 点A在上， ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ． 20. 如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点． （1）求证：平分； （2）连接，若，，求的长． 21. 网络销售已经成为一种比较热门的销售方式，某电商购进一种单价元的商品，为减少库存．未来天，这种商品将开展“每天降价元”的促销活动，即从活动开始的第一天起每天的销售单价均比前一天降元，通过市场调查发现，该商品的销售单价每降元，每天销售量增加件，活动前的销售单价为元，每天销售件，设活动开始后的第天（为正整数）所获的利润为（元） （1）求出与之间的函数关系式； （2）哪一天所获利润最大，最大利润是多少元？ 22. 某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图1，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图2．已知米，在石头运动过程中，当石头与轴的水平距离为4米时，离水平地面的距离最大，为1.8米，斜坡所在直线的函数表达式为． （1）求出石头的运动轨迹所在抛物线的函数表达式． （2）如图3，点是石头运动轨迹上任一点，过点作轴交坡面于点．求石头运动过程中到坡面的铅直高度的最大值． 23. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $