精品解析：广东省梅州市兴宁市宋声学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

兴宁市宋声学校九年级中段考数学试卷 说明：1．考试范围：上册第一章～第四章． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．含2个未知数，故不是一元二次方程； B．含2个未知数，故不是一元二次方程； C．的分母含未知数，故不是一元二次方程； D．是一元二次方程； 故选D． 2. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．移项后用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 故选D 3. 一元二次方程x2﹣6x＝﹣5配方后可变形为（　　） A. （x﹣3）2＝4 B. （x+3）2＝4 C. （x﹣3）2＝13 D. （x+3）2＝13 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式配方，再得出选项即可． 【详解】解：x2﹣6x＝﹣5， 配方得：x2﹣6x+9＝﹣5+9， （x﹣3）2＝4， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是熟练运用配方法进行一元二次方程变形． 4. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF=3：2，BC=6，CE的长为（ ） A. 2 B. 7 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式可得出答案. 【详解】∵AB∥CD∥EF ∴ ∴ 故选C. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，准确找到对应边是关键. 5. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让绿灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让绿发光的有2种情况， ∴能让绿发光的概率为． 故选：D． 6. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．由，可得出进而得出解出即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选：B 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 8. 关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 当时，此方程有两个相等的实数根 B. 当时，此方程有两个不相等的实数根 C. 当时，此方程没有实数根 D. 此方程的根的情况与m的值无关 【答案】B 【解析】 【分析】先求得一元二次方程根的判别式，根据的值进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程， 即， ∴，， 当，即时，此方程没有实数根， 当，即时，此方程有两个相等的实数根， 当，即，此方程有两个相等的实数根， 故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 9. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数n 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数m 38 96 260 620 1236 1857 2472 3090 “正面向上”的频率 0.380 0.480 0.520 0.620 0.618 0.619 0.618 0.618 下面有3个推断： ①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618； ③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次． 其中合理的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ② 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握其定义“大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率”； 根据频率估计概率的知识点逐一判断即可． 【详解】解：①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，但 “正面向上”的概率不一定是0.620，此推断错误； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618，此推断正确； ③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次，此推断正确． 故选：C． 10. 如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，连接，若的面积与矩形的面积的满足关系，则的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，依题意，设，，则，其中，进而分别表示出，根据已知条件，结合完全平方公式，即可求解． 【详解】解：依题意，设，，则，其中， ∵将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形， ∴，, ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴，即． 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键． 【详解】解：． 12. 小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是. 故答案为：． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根和与积的表达式，再结合已知条件 ，通过代数运算求解的值，并验证判别式确保有实数根． 【详解】解：对于一元二次方程， 由根与系数的关系，得， 已知， 联立方程：， 解得：， 代入，得， 即， 解得：． ， 当时，； 当时，； 均满足有实数根， 故的值为． 故答案为：． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，则信号塔的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，，，证明，得到，即可求出信号塔的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 15. 如图，菱形的面积为，，O为的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质可得，，得出是等边三角形，可得，，再由点O为的中点，与互相平分，可得点O是线段的中点，从而得出，再由菱形的面积为，求得，最后由直角三角形斜边中线的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， 点O为的中点，与互相平分， 点O是线段的中点， ， ∴， ∵，即， ， ∵， ，即， 菱形的面积为， ， ， ， 中，是斜边上的中线， ， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 17. 如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； （2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 【答案】（1） 如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； （2） 当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 【解析】 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 截至2025年4月21日，动画电影《哪吒2》以全球票房156亿元的佳绩跻身全球票房第五名，成为中国文化自信与技术实力的重要象征．现有4张分别印有Q版图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人、D无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中．若搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，用画树状图或列表的方法求出两次取出的2张卡片中的图案分别为“A哪吒”和“B敖丙”的概率． 【答案】两次取出的2张卡片中的图案分别为“A哪吒”和“B敖丙”的概率为 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率． 画树状图展示所有等可能的结果数以及取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，作出树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， 两次取出的两张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 答：取出张卡片为“哪吒”和“敖丙”的概率为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在矩形中，连接． （1）请用尺规作出的垂直平分线，分别交与于点，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示，即为的垂直平分线． （2） 证明：如图所示，连接，设交于点， ∵为的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的尺规作图、矩形的性质及菱形的判定； （1）分别以、为圆心，大于长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点即可； （2），连接，设交于点，根据垂直平分线的性质可得，，证明，得出，可得四边形是平行四边形，进而根据邻边相等，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 21. 阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：； （2）已知实数，满足，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【小问1详解】 解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. （1）如图1，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？能围成一个面积为的矩形场地吗？ （2）如图2，要设计一个长为，宽为的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为，若要使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 【答案】（1）围成一面靠墙，其它三边分别为，，的矩形可以一个面积为的矩形场地，不能围成一个面积为的矩形场地；（2）每个横彩条的宽度为，每个竖条彩宽为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意并列出正确的方程． （1）设垂直于墙的一面为，那么另一边长为，根据题意列出方程进行求解判断即可； （2）根据横竖彩条的宽度之比为设每个横彩条得宽度为，则每个竖彩条得宽度为，再根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：（1）设垂直于墙的一面为，那么另一边长为， 由题意得当， 解得，， 围成一面靠墙，其它三边分别为，，的矩形， 当， 整理得， ∴此方程无实数解，所以不能围成一个面积为的矩形场地； （2）∵横竖彩条的宽度之比为， ∴设每个横彩条得宽度为，则每个竖彩条得宽度为， 依题意方程可列为， 解得：或， ∵, ∴不符合题意， ∴， ∴每个横彩条的宽度为，每个竖条彩宽为． 23. （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形、为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，通过角的和差得到，即可通过证得； （2）过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，由矩形的性质可得，，从而得出，，证明，从而可得，再由相似三角形的性质求解即可； （3）由平行四边形的性质可得，，由是直角三角形，，得出或；当时，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则，从而可得，设，则，设，则，证明，再证明，得出，再结合勾股定理可得，从而得出，设，则，由相似三角形的性质求出，再根据，计算得出，进而得出，最后由勾股定理计算；当时，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，设，由题意可得，，求出，，证明，求出，进而可得；再根据，求出，进而可得，最后再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ， ∵四边形和四边形都是矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 又∵是直角三角形，， ∴或 当时，如图，过点作的垂线交于点，则， ， ∴， 设，则， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，四边形和四边形都是矩形， 此时， 过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ∵四边形和四边形都是矩形，，，设， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴， ∴， 解得， ∴，即点Q与点O重叠， 此时； 综上所述，当与重叠部分的面积是的面积的时，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁市宋声学校九年级中段考数学试卷 说明：1．考试范围：上册第一章～第四章． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程x2﹣6x＝﹣5配方后可变形为（　　） A. （x﹣3）2＝4 B. （x+3）2＝4 C. （x﹣3）2＝13 D. （x+3）2＝13 4. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF=3：2，BC=6，CE的长为（ ） A. 2 B. 7 C. 4 D. 5 5. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 8. 关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 当时，此方程有两个相等的实数根 B. 当时，此方程有两个不相等的实数根 C. 当时，此方程没有实数根 D. 此方程的根的情况与m的值无关 9. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数n 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数m 38 96 260 620 1236 1857 2472 3090 “正面向上”的频率 0.380 0.480 0.520 0.620 0.618 0.619 0.618 0.618 下面有3个推断： ①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618； ③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次． 其中合理的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ② 10. 如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，连接，若的面积与矩形的面积的满足关系，则的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为______． 12. 小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是________． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为________． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，则信号塔的高度为______． 15. 如图，菱形的面积为，，O为的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： 17. 如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； （2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 18. 截至2025年4月21日，动画电影《哪吒2》以全球票房156亿元的佳绩跻身全球票房第五名，成为中国文化自信与技术实力的重要象征．现有4张分别印有Q版图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人、D无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中．若搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，用画树状图或列表的方法求出两次取出的2张卡片中的图案分别为“A哪吒”和“B敖丙”的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在矩形中，连接． （1）请用尺规作出的垂直平分线，分别交与于点，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 20. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 21. 阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：； （2）已知实数，满足，求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. （1）如图1，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？能围成一个面积为的矩形场地吗？ （2）如图2，要设计一个长为，宽为的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为，若要使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 23. （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $