2026年中考数学复习之小题决胜演练方程与不等式

2026年中考数学复习之小题决胜演练 方程与不等式 一．选择题 1．若x＝6是关于x的一元一次方程x+a＝2的解，则a的值为（　　） A．5 B．4 C．﹣5 D．﹣4 2．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　） A．若a2＝ab，则a＝b B．若a＝b，则 C．若a＝b，则a﹣2＝b+2 D．若3a﹣2b＝2，则2b＝3a﹣2 3．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．图2三阶幻方中填写了一些数和字母，则x+y＝（　　） A．﹣3 B．﹣13 C．3 D．13 4．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A．2a＜2b B．a+5＜b+5 C．﹣4a＜﹣4b D．﹣a﹣3＞﹣b﹣3 6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．数学课上，李老师在黑板上写了关于x的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．A同学说：当m＜﹣5时，方程的解为负数；B同学说：当m＞﹣5时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（　　） A．A，B同学都答对 B．A，B同学都答错 C．只有A同学答对 D．只有B同学答对 8．解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣3）＝1+x B．1﹣2（x﹣3）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣3）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（3﹣x）＝1+x 9．若方程（a﹣1）x|a|+1﹣x+2＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定 10．若一元二次方程2x2+5x﹣2＝0有一个根是a，则式子4a2+10a的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 二．填空题 11．下列关于x的方程说法正确的有 　 　 ．（只填序号） ①|x|＝a一定有两个解； ②|x|+|x+1|＝a有解，则a≥1； ③|x﹣1|+|x+a|＝3有解，则﹣4≤a≤2； ④||x﹣1|﹣2|＝a有三个解，则a＝2； ⑤若方程a|x|＝x+a（a＞0且a≠1）有两个解，则0＜a＜1． 12．对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b两数中较大的数，例如max{﹣2，3}＝3．按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为 　 　 ． 13．如图，如果横向、纵向的分数之和相等，那么B＝　 　 ． 14．已知二元一次方程组且x+y＝m，x﹣y＝n，则nm的值为　 　 ． 15．如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为　 　 ． 16．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是　 　 ． 17．若关于y的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和是　 　 ． 18．如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a，b后，按照程序图运行，会输出一个结果．若a＝5，b＝x时，输出的结果为2，则x的值为 　 　 ． 19．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则b＝　 　 ． 20．设x1与x2为一元二次方程的两根，则x1+x1x2+x2的值为 　 　 ． 三．解答题 31．定义：如果两个方程的解相差n（n为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“n﹣和谐方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣和谐方程”． （1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“n﹣和谐方程”，则n＝　 　 ． （2）若关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”，求m的值． 32．观察下列式子，定义一种新运算： 1*2＝3×1﹣2＝1； （﹣5）*4＝3×（﹣5）﹣4＝﹣19； 6*（﹣1）＝3×6+1＝19； （﹣2）*（﹣3）＝3×（﹣2）+3＝﹣3． （1）请你想一想：a*b＝ 　 　 （用含a，b的式子表示）； （2）如果a＞b，比较a*b与b*a的大小，并说明理由； （3）如果a*（﹣7）＝（﹣3）*a，求a的值． 33．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，求m的值． 34．若关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求a+b的值． （2）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为mq﹣np．例如2×5﹣3×4＝﹣2，求的值． 35．我们规定：的运算法则为＝a﹣b×c，例如：＝1﹣2×3＝﹣5． （1）填空：若＝0，则x＝　 　 ，若＞0，则x的取值范围为　 　 ； （2）若＝＝k，x+y≥0，求实数k的取值范围． 36．对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n＝am﹣bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6＝5a﹣6b+5． （1）已知2▽3＝1，3▽（﹣1）＝10． ①求a、b的值； ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围； （2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n＝n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系． 37．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为x（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3，则p＝　 　 ，q＝　 　 ； （2）方程x3的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a4+b4的值； （3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值． 38．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“　 　 阶分式”； （2）分式与分式A互为“5阶分式”，求分式A． 39．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 40．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，求m，n的值． m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0， ∴（m2﹣2m+n2）+（n2﹣10n+25）＝0． ∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0． ∵（m﹣n）2≥0，（n﹣5）2≥0， ∴m﹣n＝0，n﹣5＝0． ∴n＝5，m＝5． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求x﹣y的值； （2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的周长的最大值； （3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由． 参考答案 一．选择题 1．若x＝6是关于x的一元一次方程x+a＝2的解，则a的值为（　　） A．5 B．4 C．﹣5 D．﹣4 【分析】将x＝6代入x+a＝2中，计算求解即可． 【解答】解：由条件可得6+a＝2， 解得a＝﹣4， 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．解题的关键在于正确的计算． 2．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　） A．若a2＝ab，则a＝b B．若a＝b，则 C．若a＝b，则a﹣2＝b+2 D．若3a﹣2b＝2，则2b＝3a﹣2 【分析】根据等式的对称性和移项法则，需逐一判断各选项是否符合等式性质． 【解答】解：A、若a2＝ab，当a＝0时，b可为任意值，a＝b不一定成立，不符合题意； B、若a＝b，则，但c＝0时分母为零，无意义，不符合题意； C、若a＝b，则a﹣2＝b﹣2，选项变形错误，不符合题意； D、若3a﹣2b＝2，变形得3a﹣2＝2b，即2b＝3a﹣2，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是关键． 3．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．图2三阶幻方中填写了一些数和字母，则x+y＝（　　） A．﹣3 B．﹣13 C．3 D．13 【分析】根据每行、列和对角线上的数字和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴x+y＝﹣5﹣8＝﹣13， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】方程组两方程左右两边相加表示出x+y，代入x+y＝2024计算即可求出k的值． 【解答】解：， ①+②得：6x+6y＝6k+6， 整理得：x+y＝k+1， 代入x+y＝2024得：k+1＝2024， 解得：k＝2023． 故选：B． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 5．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A．2a＜2b B．a+5＜b+5 C．﹣4a＜﹣4b D．﹣a﹣3＞﹣b﹣3 【分析】根据不等式的三个性质进行判断即可． 【解答】解：A、∵a＞b，∴2a＞2b，故不符合题意； B、∵a＞b，∴a+5＞b+5，故不符合题意； C、∵a＞b，∴﹣4a＜﹣4b，故符合题意； D、∵a＞b，∴﹣a﹣3＜﹣b﹣3，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 由①得，x＞1， 由②得，x≤2， 故不等式组的解集为：1＜x≤2． 在数轴上表示为： ． 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键． 7．数学课上，李老师在黑板上写了关于x的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．A同学说：当m＜﹣5时，方程的解为负数；B同学说：当m＞﹣5时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（　　） A．A，B同学都答对 B．A，B同学都答错 C．只有A同学答对 D．只有B同学答对 【分析】解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 【解答】解：解分式方程得：x＝m+5， 当m＜﹣5时，x＝m+5＜0，解为负数，A同学说法正确； 当m＞﹣5时，x＝m+5＞0且m≠0时，解为正数，B同学说法错误， 故选：C． 【点评】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法． 8．解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣3）＝1+x B．1﹣2（x﹣3）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣3）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（3﹣x）＝1+x 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断． 【解答】解：分式方程整理得：， 去分母得：1﹣2（x﹣3）＝x﹣1． 故选：B． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 9．若方程（a﹣1）x|a|+1﹣x+2＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定 【分析】根据一元二次方程的定义得出|a|+1＝2且a﹣1≠0，由此求出a的值即可． 【解答】解：若方程（a﹣1）x|a|+1﹣x+2＝0是关于x的一元二次方程， 则|a|+1＝2， 解得a＝±1， ∵a﹣1≠0， ∴a≠1， ∴a＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 10．若一元二次方程2x2+5x﹣2＝0有一个根是a，则式子4a2+10a的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】利用方程根的定义，将a代入方程得到等式，然后通过代数变换求值． 【解答】解：∵a是方程2x2+5x﹣2＝0的根， ∴2a2+5a﹣2＝0， 即2a2+5a＝2． 4a2+10a＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 二．填空题 11．下列关于x的方程说法正确的有 　②③④　 ．（只填序号） ①|x|＝a一定有两个解； ②|x|+|x+1|＝a有解，则a≥1； ③|x﹣1|+|x+a|＝3有解，则﹣4≤a≤2； ④||x﹣1|﹣2|＝a有三个解，则a＝2； ⑤若方程a|x|＝x+a（a＞0且a≠1）有两个解，则0＜a＜1． 【分析】根据绝对值的意义，分别化简方程，根据方程的解分别判断，即可求解． 【解答】解：①|x|＝a，当a＝0时，方程只有一个解，故①不正确； ②|x|+|x+1|表示数轴上的点到原点的距离与到﹣1的距离的和为a， 当x＜﹣1或x＞0时，则a＞1， 当﹣1＜x＜0时，a＝1， ∴|x|+|x+1|＝a有解，则a≥1，故②正确； ③|x﹣1|+|x+a|表示数轴上的点到﹣a与1的距离的和为3， ∵|x﹣1|+|x+a|＝3有解， ∴|x+a|＝3﹣|x﹣1|≥0， ∴|x﹣1|≤3， ∴﹣3≤x﹣1≤3，即﹣2≤x≤4， ∴﹣2≤﹣a≤4， ∴﹣4≤a≤2；故③正确； ④||x﹣1|﹣2|＝a有三个解，则a≥0， 当x≥1时，原方程为|x﹣1﹣2|＝a即|x﹣3|＝a， 当1≤x＜3时，3﹣x＝a，解得：x＝3﹣a＞0， 当x＞3时，原方程为x﹣3＝a，解得：x＝3+a＞0， 当x＜1时，原方程为|1﹣x﹣2|＝a即|﹣x﹣1|＝a， 当﹣1≤x＜1，原方程为：x+1＝a，解得：x＝a﹣1， 当x＜﹣1，即﹣x＞1，原方程为﹣x﹣1＝a，解得：x＝﹣a﹣1， ∵原方程有3个解，3﹣a≠3+a≠a﹣1，a﹣1≠﹣a﹣1≠3﹣a， ∴当3﹣a＝a﹣1时，解得：a＝2， 当3+a＝﹣a﹣1时，解得：a＝﹣2（舍去）， ∴a＝2，故④正确； ⑤若方程a|x|＝x+a（a＞0且a≠1）有两个解，则0＜a＜1， 当x＝0，则a＝0， 当x＞0时，原方程为ax＝x+a，解得：， ∴， ∴a＞0且a﹣1＞0，即a＞1， 当x＜0时， ∵a|x|＝x+a， 则原方程为﹣ax＝x+a， ∴， 即a+1＞0，则a＜﹣1和a＞0矛盾， ∴a＞1，故⑤不正确； 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了绝对值的意义，一元一次方程的解，注意需分类讨论． 12．对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b两数中较大的数，例如max{﹣2，3}＝3．按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为 x＝﹣1　 ． 【分析】根据新规定分x≥﹣x、x＜﹣x分别解方程即可． 【解答】解：当x≥﹣x，即x≥0时，x＝﹣2x﹣1，解得x，不满足x≥﹣x，舍去； 当x＜﹣x，即x＜0时，﹣x＝﹣2x﹣1，解得x＝﹣1，符合题意； ∴方程max{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元一次方程，理解新规定运算法则是解题的关键． 13．如图，如果横向、纵向的分数之和相等，那么B＝　3　 ． 【分析】根据横向、纵向的分数之和相等，列出二元一次方程，即可解决问题． 【解答】解：根据题意得：2+A﹣1A﹣3+B， 解得：B＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 14．已知二元一次方程组且x+y＝m，x﹣y＝n，则nm的值为　﹣1　 ． 【分析】利用加减消元法可得x+y＝3，x﹣y＝﹣1，则可得到m＝3，n＝﹣1，据此代入计算即可． 【解答】解：， ①+②，得3x+3y＝9， 等式两边同时除以3，得x+y＝3， ②﹣①，得x﹣y＝﹣1． 由题意可知：x+y＝m，x﹣y＝n， ∴可得：m＝3，n＝﹣1， 把m＝3，n＝﹣1代入，nm＝（﹣1）3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，有理数的乘方，掌握解二元一次方程组的方法，有理数乘方的运算法则是解题的关键． 15．如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为　5　 ． 【分析】先解关于y的不等式组，得到解集并推导出有解的条件为a≤4；再解关于x的方程，得到x的表达式，要求有整数解，故a﹣2是4的因数，结合a≤4且a≠2，得到所有符合条件的整数a，统计个数． 【解答】解：解不等式组， 解第一个不等式：，两边乘5得3y+1≤10，即3y≤9，y≤3； 解第二个不等式：2a+1﹣3y≤0，即﹣3y≤﹣2a﹣1，两边乘﹣1（不等号方向改变）得3y≥2a+1，即； 不等式组的解集为． 不等式组有解，当且仅当，解得2a+1≤9，即a≤4． 解方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x， 展开得ax﹣3x﹣3＝1﹣x， 移项得ax﹣3x+x＝1+3，即（a﹣2）x＝4． 当a≠2时，． 方程有整数解，则为整数，故a﹣2是4的因数，即a﹣2＝±1，±2，±4， 解得a＝3，4，6，1，0，﹣2． 结合a≤4且a≠2，得a＝﹣2，0，1，3，4，共5个整数． 故答案为：5． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，掌握其相关知识点是解题的关键． 16．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是　94　 ． 【分析】先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可． 【解答】解：不等式组， 解不等式①，得x≤9； 解不等式②，得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的最大整数解是9， ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 即， 解得21＜a≤25， ∵a为整数， ∴a＝22，23，24，25， ∴22+23+24+25＝94， 即满足条件a所有的整数解的和是94， 故答案为：94． 【点评】本题主要考查了不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 17．若关于y的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和是　7　 ． 【分析】先根据所给方程的解为非负数，得出a的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【解答】解：解方程可得， ∵此分式方程的解为非负数， ∴， 解得a≥﹣1， 解不等式组得， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得﹣1＜a≤4， ∵当a＝3时，x＝2， 此时分式方程无解，故舍去， ∴﹣1＜a≤4且a≠3， 则符合条件的所有整数a的和是：0+1+2+4＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及分式方程的解，熟知解一元一次不等式组及解分式方程的步骤是解题的关键． 18．如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a，b后，按照程序图运行，会输出一个结果．若a＝5，b＝x时，输出的结果为2，则x的值为 　或10　 ． 【分析】分类讨论；分x＜5，x＞5两种情况，解分式方程即可． 【解答】解：由题意得：当x＜5时， 方程为， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 当x＞5时， 方程为， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是分式方程的解； 综上，x的值为或10． 故答案为：或10． 【点评】本题考查了解分式方程，结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键． 19．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则b＝　±1　 ． 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，代入系数计算即可． 【解答】解：对于一元二次方程 ，其中a＝1，一次项系数为b，常数项， 判别式Δ＝b2﹣4ac， 由于方程有两个相等的实数根，故Δ＝0，即， 解得b＝±1， 故答案为：±1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握其性质是解题的关键． 20．设x1与x2为一元二次方程的两根，则x1+x1x2+x2的值为 　10　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算两根之和与两根之积，再代入表达式求值． 【解答】解：由根与系数的关系，得，， x1+x1x2+x2＝（x1+x2）+x1x2＝6+4＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． 三．解答题 21．定义：如果两个方程的解相差n（n为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“n﹣和谐方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣和谐方程”． （1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“n﹣和谐方程”，则n＝　2　 ． （2）若关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”，求m的值． 【分析】（1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）由方程3（x﹣4）＝12的解及关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”，可得出关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的解为x＝2， 【解答】解：（1）∵方程2x＝5x﹣12的解为x＝4，方程3（x﹣1）＝x+1的解为x＝2，4﹣2＝2， ∴方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“2﹣和谐方程”． 故答案为：2； （2）∵方程3（x﹣4）＝12的解为x＝8，关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”， ∴关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的解为x＝8﹣6＝2， ∴5×（2﹣1）﹣2（m﹣2）＝3+2×2， 解得：m＝1， ∴m的值为1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 22．观察下列式子，定义一种新运算： 1*2＝3×1﹣2＝1； （﹣5）*4＝3×（﹣5）﹣4＝﹣19； 6*（﹣1）＝3×6+1＝19； （﹣2）*（﹣3）＝3×（﹣2）+3＝﹣3． （1）请你想一想：a*b＝ 　3a﹣b （用含a，b的式子表示）； （2）如果a＞b，比较a*b与b*a的大小，并说明理由； （3）如果a*（﹣7）＝（﹣3）*a，求a的值． 【分析】（1）由给出的式子得出运算的方法即可； （2）根据新定义可得：a*b＝3a﹣b，b*a＝3b﹣a，相减可判断大小； （3）根据新定义将已知式化简，解方程即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：a*b＝3a﹣b， 故答案为：3a﹣b； （2）a*b＞b*a，理由如下： ∵a*b＝3a﹣b，b*a＝3b﹣a， ∴a*b﹣b*a＝（3a﹣b）﹣（3b﹣a）＝4a﹣4b＝4（a﹣b）， ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴a*b﹣b*a＞0， ∴a*b＞b*a； （3）∵a*（﹣7）＝（﹣3）*a， ∴3a+7＝﹣9﹣a， ∴a＝﹣4． 【点评】此题考查定义新运算的方法，结合整式的加减和解方程是解本题的关键． 23．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，求m的值． 【分析】将y＝2﹣x代入方程组，求出m的值即可． 【解答】解：∵x+y＝2， ∴y＝2﹣x， 将y＝2﹣x代入方程组， ∴， 解得x＝2，m＝2． 【点评】本题考查二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 24．若关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求a+b的值． （2）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为mq﹣np．例如2×5﹣3×4＝﹣2，求的值． 【分析】（1）关于x，y的方程组与有相同的解，得到，利用加减消元法求出x，y，再代入含有a，b的方程求出a，b，即可求解a+b； （2）将x＝1，y＝﹣1，a＝﹣4，b＝﹣3代入，根据新定义计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，， 解该方程组得：， ∴a+3＝﹣1，2+1＝﹣b， 解得：a＝﹣4，b＝﹣3， ∴a+b＝﹣4+（﹣3）＝﹣7； （2）将x＝1，y＝﹣1，a＝﹣4，b＝﹣3代入， ∴． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是关键． 25．我们规定：的运算法则为＝a﹣b×c，例如：＝1﹣2×3＝﹣5． （1）填空：若＝0，则x＝　0.25　 ，若＞0，则x的取值范围为x＞2　 ； （2）若＝＝k，x+y≥0，求实数k的取值范围． 【分析】（1）根据运算法则列方程及不等式，再解一元一次方程和解一元一次不等式，即可； （2）根据运算法则，得到，解得：，根据x+y≥0，得，从而确定k的取值范围． 【解答】解：（1）∵的运算法则为＝a﹣b×c， 当＝0时，得：﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0， 解得：x＝0.25； 当＞0时，得：3x﹣2（x+1）＞0， 解得：x＞2， 故答案为：0.25，x＞2； （2）∵＝＝k，x+y≥0， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，掌握实数的新运算法则． 26．对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n＝am﹣bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6＝5a﹣6b+5． （1）已知2▽3＝1，3▽（﹣1）＝10． ①求a、b的值； ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围； （2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n＝n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系． 【分析】（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可； ②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可； （2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案． 【解答】解：（1）①∵2▽3＝1，3▽（﹣1）＝10， ∴， 解得：a＝1，b＝2； ②∵，a＝1，b＝2， ∴xa﹣（2x﹣3）b+5＝﹣3x+11＜9， 3xa﹣（﹣6）b+5＝3x+17≤t， 即， 解得：， ∵关于x的不等式组，有且只有两个整数解， ∴23， 解得：23≤t＜26， 即字母t的取值范围是23≤t＜26； （2）∵m▽n＝n▽m， ∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5， ∴ma﹣nb﹣na+mb＝0， ∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0， ∴（a+b）（m﹣n）＝0， ∵m、n为任意数， ∴m﹣n不一定等于0， ∴a+b＝0， 即a、b应满足的关系式是a+b＝0． 【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键． 27．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为x（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3，则p＝　﹣6　 ，q＝　1　 ； （2）方程x3的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a4+b4的值； （3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值． 【分析】（1）根据题意可知p＝x1•x2，q＝x1•x2，代入求值即可； （2）根据题意可知a+b＝3，ab＝﹣2，再将a4+b4根据完全平方公式变形为（a2+b2）2﹣2a2b2＝[（a+b）2﹣2ab]2﹣2（ab）2，代入求值即可； （3）将方程2x2n变形为：2x+1n﹣1+n+2，然后再根据这种特定形式下方程的解求值即可； 【解答】解： （1）∵关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 方程xq的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3， ∴p＝x1•x2＝﹣2×3＝6 q＝x1•x2＝﹣2+3＝1 故答案为﹣6，1． （2）方程x3的两个解分别为x1＝a，x2＝b，则a+b＝3，ab＝﹣2 a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝[（a+b）2﹣2ab]2﹣2（ab）2 把a+b＝3，ab＝﹣2代入上式得： a4+b4＝161 答：a4+b4的值是161． （3）2x2n可变形为： 2x+1n﹣1+n+2 根据题意可得：2x+1＝n﹣1或2x+1＝n+2 即 x1，x2．（x1＜x2） 代入1 答：求的值是1． 【点评】本题考查分式方程的解相关知识点，属于一道阅读型的题目，有一定难度，尤其是（3）题，需要将原方程进行变形，目的是更加贴合题目中的特定形式，这种变形后再计算的方法在一些难度稍大的数学题种常见，需要多加注意． 28．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“　6　 阶分式”； （2）分式与分式A互为“5阶分式”，求分式A． 【分析】（1）根据两个分式相加等于6即可； （2）根据题意两个分式相加等于5，建立等式计算即可． 【解答】解：（1）∵6， ∴分式与互为“6阶分式”； 故答案为：6； （2）∵分式与分式A互为“5阶分式”， ∴A＝5， 解得A． 【点评】本题主要考查了分式的混合运算，正确理解题意和熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 29．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得b+c＝k+2，bc＝2k，再利用完全平方公式得到（k+2）2﹣2×2k＝36，求得，据此求解即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：由条件可知b+c＝k+2，bc＝2k，（k＞0）， ∵Rt△ABC斜边长a＝6， ∴b2+c2＝62＝36， ∴（b+c）2﹣2bc＝36，即（k+2）2﹣2×2k＝36， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴△ABC的周长为． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系．熟练掌握以上知识点是关键． 30．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，求m，n的值． m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0， ∴（m2﹣2m+n2）+（n2﹣10n+25）＝0． ∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0． ∵（m﹣n）2≥0，（n﹣5）2≥0， ∴m﹣n＝0，n﹣5＝0． ∴n＝5，m＝5． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求x﹣y的值； （2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的周长的最大值； （3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由． 【分析】（1）依据题意，由x2+2xy+2y2+4y+4＝0，可得（x+y）2+（y+2）2＝0，从而可以计算得解； （2）依据题意，由a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，可得（a﹣4）2+（b﹣6）2＝0，则a＝4，b＝6，又△ABC的三边长为a，b，c，从而2＜c＜10，又a，b，c，均为正整数，可得c的最大值为9，从而可以得解； （3）依据题意，由a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，从而a2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+b2＝0，故（a﹣b）2+（c﹣b）2＝0，进而a﹣b＝0，c﹣b＝0，最后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵x2+2xy+2y2+4y+4＝0， ∴x2+2xy+y2+y2+4y+4＝0， ∴（x+y）2+（y+2）2＝0． ∴x+y＝0，且y+2＝0． ∴y＝﹣2，则x＝2． ∴x﹣y＝2﹣（﹣2）＝4． （2）由题意，∵a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0， ∴a2﹣8a+16+b2﹣12b+36＝0， ∴（a﹣4）2+（b﹣6）2＝0． ∴a﹣4＝0，b﹣6＝0． ∴a＝4，b＝6． 又∵△ABC的三边长为a，b，c， ∴2＜c＜10， 又∵a，b，c，均为正整数， ∴c的最大值为9， ∴△ABC的周长的最大值为4+6+9＝19． （3）由题意，∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0， ∴a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0， ∴a2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+b2＝0， ∴（a﹣b）2+（c﹣b）2＝0． ∴a﹣b＝0，c﹣b＝0． ∴a＝b＝c． ∴△ABC是等边三角形． 【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、三角形三边关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 1 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