培优02 相似三角形与几何综合问题（10种题型）（专项训练）数学人教版九年级下册

培优02 相似三角形与几何综合问题 题型1 利用相似三角形列函数关系式 在求线段之间的函数关系时，与求线段的长类似，先找出函数中两个变量对应的线段所在的三角形，然后利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来. 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． （法二：同理，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C．） 2．（2025·安徽滁州·三模）如图，在正方形中，，延长至点E，且，连接，点F沿着（不与端点A，E重合）的路径运动，到达E点运动结束．每秒运动的长度为1，设点F的运动时间为x，的面积为y，则y关于x的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，，然后分两种讨论，当时，得到，当时，过点F作交BE于点G，则，证明出，得到，然后代入求解即可． 【详解】四边形为正方形， ，， ， ，， ，， 如图，当时，， 如图2，当时，过点F作交BE于点G，则， ， ， ，即， ， 观察图象可知选A． 故选：A． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1） ； （2）设，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 1 ． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形和等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）通过证明，得到，代入数据即可求解； （2）利用相似三角形的性质得到，作于，利用三线合一性质得到，进而得到，再通过证明，得到，代入数据即可求出关于的函数解析式． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ； 故答案为：1． （2）， ， ， ， ， ， 如图，作于， ，， ，， ， ， ， ， 又，即， ， ， ， ，， ， 整理得：， 关于的函数解析式为． 故答案为：． 4．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． (1)求证：； (2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等判断三角形相似即可； （2）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得出，求出，， 然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ． （2）解：在中，， ． 由（1）知， ， ， ， ， ． 是边上的动点，且不与点A，B重合， ， 关于的函数解析式为． （3）解：，且， 当时，有最大值， 即当的长为时，的面积最大． 5．（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）是的直径，得到，，再进一步得到，根据切线的判定定理即可得出结论； (2)连接证明，得到，进一步证明，得到，，设，则，由，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图所示 ∵是的直径，    ∴， ∴， ∵由题意得：， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，且为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 题型2 运用相似三角形解决三角板问题 6．（2025·河南周口·三模）如图（1），在 中 ，，， 将含角的直角三角板的锐角顶点放至点 处，斜边交于点， 直角边交于点，．小华进行了如下探究． (1)他发现，且通过推理验证是正确的，请写出你的证明过程． (2)他设，． ①请你直接写出与的函数关系式． ②请在图（2）中画出该函数的大致图象，并写出该图象的一条性质． 【答案】(1)见解析 (2)①；②画图见解析，当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，画函数图象； （1）先证明，，即可证明； （2）①勾股定理求得，设，，根据（1）得出，进而得出与的函数关系式； ②根据列表，描点画出函数图象，结合函数图象，写出一条性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵在 中 ，，， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴， （2）解：①∵，， ∴ 设，． ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ②列表， 描点连线，如图所示， 当时，随的增大而减小 7．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）【综合实践】延时课上，某数学兴趣小组用大小不同的两个等腰直角三角板进行探究．已知，三角板与三角板均为等腰直角三角板，其中，，，设与的夹角为． (1)【问题发现】如图1所示，当时，请填空： ①的值为___________； ②与所夹锐角为___________度． (2)【类比探究】如图2所示，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (3)【拓展延伸】如图3所示，在直角三角形中，，，若，当点到直线的距离为1时，直接写出的长． 【答案】(1)①，② (2)结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由，可由平行线分线段成比例得到：，与所夹锐角就是； （2）三角板与三角板均为等腰直角三角板，可得：，，从而证明：即可证明； （3）先由等腰直角的底边长求出的长度；根据和为直角，判断、、、四点共圆，再利用四点共圆性质得出为等腰直角三角形；分点在左侧和右侧两种情况，在中运用勾股定理求出的长度； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵三角板为等腰直角三角板，其中，，， ∴， ∴， ∴与所夹锐角就是：； 故答案：①，②； （2）若，请问（1）中的结论是成立的， 理由如下： 如图所示：延长、相交于，与相交于， ∵三角板与三角板均为等腰直角三角板，其中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论①成立； ∴外角定理可得：：， 外角定理可得：， ∴， ∴与所夹锐角为：， ∴结论②成立； （3）∵在直角三角形中，，， ∴， 如图，当点在左侧时，过点作于点， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，且由题知点到直线的距离为1， ∴， ∴在中有：， ∴； 如图，当点在右侧时，过点作于点， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形，且由题知点到直线的距离为1， ∴， ∴在中有：， ∴； 综上：的长为：或． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形性质与判定、旋转性质、四点共圆及勾股定理等知识，解题关键是通过证明三角形相似找到相等角度和线段比值关系，通过四点共圆的知识快速得到相等角度，并依据不同条件灵活运用相关几何定理求解．当然第（3）问还可以用相似三角形的性质和判定解决问题． 8．（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③； (2)见解析 【分析】（1）①如图所示，连接BE，首先得到，然后证明出，得到； ②作，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可； ③同②的方法求解即可；如图所示，当且，点F在上，设，则，然后由得到，进而求解即可； （2）由【探究一】中（2）知当时，，设，则，表示出，得到当时，与重合时，面积取最小，求出，，得到当时，；当时，取得最大，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接BE． ①当时，为中点， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， 在和中， ， ； ②；理由如下： 作，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， ． ③；理由如下： 作，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， ； 如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形 ∴设，则 ∴ ∴ 由题意得， ∴ ∴当时，和没有交点 ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则， ， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形， ， ，， ，， 在等腰中， ， 当时，； 当时，取得最大， ，，， 在中， ， ，此时面积最大， ． 【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知中，，，，点在边上，．将一块含的直角三角板绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边、始终分别与的边、相交于点、． (1)在三角板DEF的旋转过程中，若，，则_____； (2)在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是请说明理由： (3)如图3，连接，取的中点P，在旋转过程中，点N在从点C运动到点B的过程中，直接写出P点运动的路径长． 【答案】(1)2； (2)的值为定值，定值为2； (3)． 【分析】（1）先判定和均为等腰直角三角形，然后根据长求出，从而得出和，即可求出结果； （2）作，判定四边形是矩形，根据等腰直角三角形的性质求出的长，根据角度关系，判定，得对应线段成比例；过M点作于T ，过N点于S，得和均为等腰直角三角形，根据线段，角度关系推出，得到线段间比例关系，从而求得的值； （3）连接，根据直角三角形斜边中线性质，得线段相等，然后得P在的垂直平分线上；设的中点为T，当N与C重合时，当点N与B点重合时，分别求出长相加即可． 【详解】（1）解：如图1， 中，， ， 又 ，， ， 和均为等腰直角三角形， ，， ， ， . 故答案为：2. （2）的值为定值，理由如下：如图2，过D点分别作， ， 又 ， 四边形是矩形， ， 和均为等腰直角三角形， ，， ， ， 又 ， ， ， 如图2，过M点作于T ，过N点于S，则和均为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； （3）连接，如图3， ，P为的中点， ， P在的垂直平分线上， 当N与C重合时，P在线段的中点处，设的中点为T，如图4， 过点C作于K，过点D作于点J， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点N与B点重合时，连接，如图5， ， ， ， ， ， 点P的运动路径长为. 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，三角函数，垂直平分线性质等，根据题目作出合适的辅助线是本题解题的关键． 题型3 运用相似三角形解决裁剪问题 10．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 11．（2024·浙江湖州·一模）甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小． (2)请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长．） 【答案】(1)甲同学方案中拼成的正方形边长为，乙同学方案中拼成的正方形边长为，甲同学方案中拼成的正方形边长较大． (2)方案见解析． 【分析】（1）由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长，根据勾股定理，得．证，，得， 设，则，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为，进而比较即可得解． （2）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解． 【详解】（1）解：甲同学方案中拼成的正方形边长为． 对于同学，如图，由拼成条件可得， 记直角三角形为，根据勾股定理，得． ∵，，， ∴，， ∵，， ，， ， 设，则 ∴， 解得， 乙同学方案中拼成的正方形边长为． ， 甲同学方案中拼成的正方形边长较大． （2）解：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下 边长计算如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， 根据拼接要求，为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴即， 解得． ∴根据勾股定理，得 ，即满足要求的正方形边长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 12．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条． (1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为______； (2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由． (3)圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为（，且为整数）的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值______． 【答案】(1)； (2)从下往上剪第张纸片是正方形纸片； (3)或或． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）设第一张矩形纸片长为，得出等腰三角形彩纸的腰长为，由三角形相似即可列出方程，求解即可； （2）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可； （3）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可． 【详解】（1）解：设第一张矩形纸片长为， 等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为， 等腰三角形彩纸的腰长为， 由三角形相似可得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片， 由三角形相似可得：， 解得：， 从下往上剪第张纸片是正方形纸片； （3）解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片， 由三角形相似可得：， 解得：， ， 或或， 故答案为：或或． 13．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践 【主题】探究顶角为的等腰三角形 【实践操作】步骤1：如图1，在白纸上剪一个顶角为的等腰三角形； 步骤2：如图2，沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合； 步骤3：如图3，沿着虚线折叠，点恰好落在上． 【实践探索】 (1)证明：． (2)证明：． (3)若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，得到，由（1）知，，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据折叠的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，设，得到，由（）知，，列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合， ，， ， ， ， ； （2）证明：由（1）知， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ； （3）解：沿着虚线折叠，点恰好落在上， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ，， 由（2）知，， ∴， 或(不合题意舍去)， ， 故的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型4 运用相似三角形解决格点问题 14．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格作图，解直角三角形，相似三角形的性质与判定； （1）取格点，连接交于点，点即为所求； （2）取格点，，连接交于点，点即为所求； （3）构造直角三角形，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）如图②中，点即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图③中，点即为所求． ∵， ∴． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16．（24-25九年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．下列各图均是以格点O为圆心的圆，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，点A、点B、点C均为格点，在圆上作格点D，使； (2)在图②中，点B为格点，点A为圆上任意一点，在圆上作点C，使； (3)在图③中，点A、点C为格点，圆上一点B在网格线上，，在圆上作点D、E，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题主要考查了限定工具作图、圆周角定理、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识即可解答． （1）直接根据同弧所对的圆周角相等作图即可； （2）根据直径所对的圆周角为作图即可； （3）根据两组对应角相等的三角形是相似三角形以及圆周角定理作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． 取圆与方格纸相交的点，连接，由同弧所对的圆周角定理可得：、、． （2）解：如图：点C即为所求； 连接并延长交圆O于C，连接，则． （3）解：如图：点E、D即为所求； 连接并延长交圆O与点D，延长交圆O于点E，则， ∵， ∴， ∴． 17．（2025·江苏徐州·二模）按要求完成作图，保留作图痕迹，并写出简要的文字说明． (1)如图1，在中，已知，请用圆规和无刻度的直尺在上作出点D，使得； (2)如图2，在正方形网格中，每个正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，仅用无刻度的直尺在上作出点M，使得； (3)如图3，在正方形网格中，点A、B、C均在格点上，若点D也在给定的网格的格点上，且，则满足条件的格点有______个；请仅用无刻度的直尺在图中作出一个符合条件的角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7，见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于E，以A为圆心，以的长为半径画弧交于D，则点D即为所求； （2）取格点，连接交于M，则点M即为所求；可证明； （3）取格点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，优弧经过的格点都为符合题意的点D，取格点，格点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，以A为圆心，以的长为半径画弧交于D，则点D即为所求； （2）解：如图所示，取格点，连接交于M，则点M即为所求； （3）解：如图所示，取格点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，优弧经过的格点都为符合题意的点D，，取格点，格点即为所求； 可证明是的外角圆，由同弧所对的圆周角相等可得优弧经过的格点都为符合题意的点D， 可证明，则格点即为所求； ∴一共有7个格点符合题意； 18．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题提出： 如图1，在等边中，点，，分别为三边上的动点，连接，交于点，．记，，探究，之间的等量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当点与顶点重合，时，直接写出的值为______； （2）再探究一般情况，在图1中完成探究得出，之间的等量关系． 问题拓展： （3）如图3，连接，若平分，请直接写出的值______．（用含、的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）当时，则，可证得，则，即可求得答案； （2）过点D作交于点G，设，，则，再证得，，即可求得答案； （3）过点D作交于点G，先证得，，则． 【详解】解：（1）如图，当时，则， ∵为等边三角形， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）如图，过点D作交于点G， ∵， 设，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （3）如图3，过点D作交于点G， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 题型5 运用相似三角形探究线段之间的关系 19．（2025·山东聊城·三模）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： (1)如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是 ；位置关系是 ．请说明理由． 探索猜想： (2)如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)依然成立，见解析 【分析】（1）根据在直角三角形中，两条直角边对应边成比例可得，再由相似即可得与的数量关系，再延长根据即可得到与的位置关系． （2）根据两边对应成比例及其夹角相等可得，再根据相似三角形的性质可得与的数量关系和位置关系． 【详解】（1）解：因为点F，H恰好为边，的中点，且，， 所以，， 又因为在和中， ，， 所以， 所以，， 延长交于点M，如图， 因为中，， 又因为， 所以， 所以在中，，即， 所以． （2）解：当时，且， 因为四边形和为矩形， 所以， 所以， 即， 由（1）知，，， ，， 所以， 所以， ，， 记与交于点P，与交于点N，如图， 因为，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定与性质，分别由直角三角形和普通三角形证明相似的方法，证明出是解决本题的关键． 20．（2025·河南南阳·二模）【问题提出】 在微专题复习课上，王老师引导同学们以“直角三角板的旋转”为主题开展探究活动：将一大一小两个等腰直角三角板和按图1放置，，点在内，连接并延长到点，使 ，连接，．探究线段与的关系． 【思路探究】 “诸葛小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作交的延长线于点，这样可以将和的关系转化为和的关系； “孔明小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）【推理论证】 请你写出线段与的关系并证明（可以用不同于前面的思路）； （2）【能力提升】 “创新小组”在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，将绕点在平面内旋转，当，，时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），，理由见解析；（2）的长为8或15 【分析】（1）勤学小组的解法：将线段借助平行线进行平移，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系，即可得证；“善思小组”的解法：结合F为的中点构造三角形的中位线，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系，即可得证． （2）当点在内部时，可证得C、D、F共线，根据可求得，进而得出结果；同样求得当点在外部时的结果． 【详解】解：（1），，理由如下： 证法1：如图1，延长至，使，连接，延长交的延长线于点， ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点A、H、B、C共圆， ∴， ∴， ∴； 证法2：如图2，延长至，使，连接，延长交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）设， 如图3，当点在内部时， 由（1）知，，， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴C、D、F三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴，(舍去)， ∴； 如图4，当点在外部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 综上所述：的长为8或15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据题意画出图形． 21．（2021·广东清远·二模）如图，在矩形中，，，动点，分别从点，点同时以每秒个单位长度的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点运动到点时，，两点同时停止运动，设点运动的时间为（），连接，过点作，与边相交于点，连接． (1)如图，当时，延长交边于点．求证：； (2)在（）的条件下，试探究线段，，三者之间的等量关系，并加以证明； (3)如图，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】()先根据运动速度和时间求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据矩形的性质可得，从而可得，，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； ()如图(见解析)，连接，先根据()三角形全等的性质可得，再根据垂直平分线的判定与性质可得，然后根据勾股定理、等量代换即可得证； ()先根据角平分线的性质得出，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一得出，又分别在和中，利用余弦三角函数可求出的值，从而可得的长，最后根据平行线分线段成比例定理即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，，，根据勾股定理得，， 由运动知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）结论：， 理由：如图， 连接，由（）知，， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴． （3）如图， 由运动知，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，过点作于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、矩形的性质、余弦三角函数、平行线分线段成比例定理等知识点，较难的是题（），熟练利用三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线合一是解题关键． 22．（2025·云南·模拟预测）如图，AB是的直径，C是上一点，连接AC，E是AC的中点，且EF⊥AB交AB于点H，交于点F，延长AC至点K，连接BK，BC，CF，CF交AB于点D． (1)若，求∠A的度数； (2)若，，，求证：BK是的切线； (3)若，则线段DH与HF之间存在关系，求m的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角，相似三角形的判定与性质，切线的判定，中位线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是，即可解答． （2）由AB是的直径，，，，可得． ，，继而证明，可证明，即可解答． （3）过点C作于点G，可证EH为的中位线，从而求出， 设，则，证明，则， 设，则，证明，有，即， 设，，同理可得，得， 有，即可解答． 【详解】（1）解：∵AB是的直径， ∴． ∵， ∴． （2）证明：∵AB是的直径， ∴． 又∵，，， ∴，， ∴（由线段关系找相似）， ∴，∴， 又∵，∴，即（由直角找相切），∴， ∵AB是的直径， ∴BK是的切线； （3）如图，过点C作于点G， ∵，E是AC的中点， ∴， ∴EH为的中位线， ∴，， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，∴，则， 连接AF，BF，∴， 易得， ∴，即， 设， ∴， ∴①， 易得， 同理可得， ∴， ∴②， 联立①②得， ∴， ∴，即， 又∵，即， ∴． 题型6 运用相似三角形解决尺规作图问题 23．（2025·山西长治·二模）阅读与思考 小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务． 问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图） 方法一： 作法步骤： （1）以A为端点作射线． （2）在射线上依次截取线段． （3）连接，过点E作的平行线交AB于点C． 证明：，． （依据） 方法二： 作法步骤： （1）以为一边作出等边． （2）以为的一半为一边作出等边． （3）连接交于点C． 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴…… 任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________ 任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程． 任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明） 【答案】[任务一] 平行线分线段成比例定理；[任务二]见解析；[任务三]见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质等知识点． 任务一：由平行线分线段成比例定理即可判定； 任务二：根据等边三角形导角得到，则，那么，则，即可得到． 任务三：分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则，那么四边形是菱形，则，再在射线上截取，则，那么，所以，那么，由可得，则，因此，故． 【详解】解：任务一： 证明：，． （平行线分线段成比例定理）， 故答案为：平行线分线段成比例定理； 任务二： 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 任务三： 解：如图，点即为所求： 24．（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹），连接交于F点，并证明：； (2)若的半径等于4，且与相切于A点，求劣弧的长度和阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2)劣弧的长度为，阴影的面积为 【分析】（1）作的角平分线即可得出弧的中点，连接，根据圆周角定理得出相等的角，证明，即可得出结论； （2）连接，根据垂直和等边得出，然后利用弧长公式和扇形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线交于点E，交于点， ∴点E为所求的劣弧的中点． 证明：连接， ∵， ∴． ∴． ∴． 即； （2）解：如图，连接， ∵与相切，为半径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴劣弧的长度． ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，切线的性质，扇形和弧长公式，解题的关键是掌握以上性质和公式． 25．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中的值为___________； (2)在图2中作出边上的点E，使得； (3)在图3中作出边上的点不与点B重合,使得 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用相似三角形的性质求解； （2）取格点P，Q，连接交于点E，点E即为所求； （3）取格点T，连接交于点F，连接，点F即为所求利用直角三角形斜边中线性质可得结论 本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，， ∽， 故答案为：； （2）解：如图2中，点E即为所求； （3）解：如图3中，点F即为所求． 26．（2025·山东·模拟预测）教材中有这样一段文字：“在比例式中，如果，那么．我们把b叫做a和c的比例中项．”在学习过程中，有些几何图形中的线段满足的关系，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的各点．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图①中，在上求作一点D满足； (2)在图②中，在上求作一点D满足． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了比例中项的概念、相似三角形的判定与性质、圆的基本性质（直径所对的圆周角为直角、同圆半径相等、圆周角定理）以及尺规作图的基本操作（作一个角等于已知角、作线段的垂直平分线），解题的关键是将线段的平方关系转化为相似三角形的对应边成比例关系，再结合所给几何图形的特征，通过尺规作图构造出满足条件的图形。 （1）要满足，先将其转化为比例式，因等式两边有公共角，故只需构造一组对应角相等；用尺规在内部作，使与交于点，利用二角对应相等可得，根据相似三角形对应边成比例即可推出，点即为所求； （2）要满足，需先构造辅助圆以获得直角条件；连接，用尺规作的垂直平分线，找到的中点，以为圆心、为半径作，与的交点即为、；因是的直径，故，结合（同圆半径相等）及圆周角定理（），可推得，再由公共角，利用判定定理得，根据相似三角形对应边成比例推出，同理可证满足条件。 【详解】（1）解：以为一边，在内部作，与的交点即为所求的点D． 理由：由作图可知：， ， ， ， ；即点为满足题意的点； （2）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，与的交点即为求作的点． 理由：连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 为满足题意的点，同理可证为满足题意的点． 题型7 运用相似三角形解决最值问题 27．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，证明见解析；②见解析，旋转过程中的最小值为1 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，点为中点， ∴， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①． 证明：如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴是等腰三角形，则， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ②如图所示，取中点，连接， ∵，则 又， ∴当取得最小值时最小 ∴当与点重合时，在上，此时点与点重合， ∴ 又 ∴ ∴旋转过程中的最小值为． 28．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】 如图①，在矩形中，．点在射线上，试探究的最小值． 【问题探究】 如图②，小明首先在右侧作，利用，将转化为，这样就将双变量（）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点的轨迹问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， ∴． ． ． 四边形是矩形， ． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题探究】中的点，使的值最小，此时的值是______．（保留作图痕迹） 【答案】问题探究：证明见解析；问题解决：图见解析，； 【分析】问题探究：根据相似三角形性质和判定定理证明，即可推出； 问题解决：用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆，连接，交于点，点即为所作； 结合问题探究可知，结合直角三角形性质得到，当三点共线时，的值最小，为的长， 结合为定长，推出此时最小，即的值最小，再利用勾股定理求解，即可解题； 【详解】问题探究：解：证明：由【问题探究】的作法可知，， ∴． ． ． 四边形是矩形， ． ， ， ， ， ， 即有， ， ； 问题解决：所作点，如图所示： 结合问题探究可知， 由作图过程可知，为的中点， ，， ， 当三点共线时，的值最小，为的长， 为定长， 此时最小，即的值最小， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形性质和判定定理，复杂作图，作线段垂直平分线，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 29．（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） 【分析】（1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选②，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选③，先证明，再列出比例式，变形即可得； （2）先判定是直角三角形，再说理，先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形； （3）先写出结论线段的长为，再说明理由，先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值， 此时与重合，求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】解：（1）选①证明：，， ， ， ， ， ； 选②证明：，， ， ， ， ， ； 选③证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下： 是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于， 过作交于，过作交于， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动， 当时，取得最小值， 此时与重合， ， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形有关的动点问题，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． 30．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图1，已知是的直径，点在半径上（点与点不重合），过点作的垂线交于点，连结，过点作的平行线交于点，交射线于点．    (1)求证：； (2)已知：； ①若，求的长； ②求的最大值； (3)如图2，已知的半径为4，连结，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①8；②36 (3) 【分析】（1）连结，由题意易得，，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，，，然后问题可求解； ②设，则有，，然后根据可得，进而列出函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解； （3）连结，由题意可分若，若，两种情况进行分类求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，连结，   为的直径， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①， ∴， 又， ∴，， ∴，， ； ②设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为36； （3）解：如图②，连结，    ∵， ∴， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，则可分： ①若， 的半径为4， ∴，解得：， ∴点与点重合，舍去； ②若，设的长为， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：， 解得：（负根舍去）， 即， 当为等腰三角形时，的长为． 【点睛】本题主要考查圆周角的性质、三角函数、二次函数的最值、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的定义，熟练掌握圆周角的性质、二次函数的最值、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的定义是解题的关键． 31．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 【答案】(1)①，理由见解析② (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①证明，即可解答； ②延长交于点G，证明，得到，设，则，根据勾股定理可得，，再证明，得到，证明，得到，即可求解； （2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①，理由如下：             如图1，由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；                                     ②如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：x， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图3，由折叠可得： 当中边上的高最小时，的面积最小， 即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为， 故答案为：． 题型8 运用相似三角形解决折叠问题 32．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质， （1）要证是等腰三角形，则需要证中有两条边相等，由折叠的性质和长方形对边平行的性质即可证得结论； （2）由折叠可得，要证，则需要证明，进而结合（1）中结论即可得证； （3）结合（1）中结论，可延长交的延长线于点 N，进而得到，再结合正方形的性质、勾股定理求出，即可求出的值； 【详解】（1）证明：由折叠知， 在长方形中，， ∴，    ∴ ， ∴ ， ∴ 重合部分是等腰三角形； （2）证明：同理（1）可知， ∴，    ∵四边形是长方形， ∴， 由折叠知，， ∴，   ∴； （3）如图，延长交的延长线于点 N， 同（1）可得， ∴    设，则， ， ，   ， ∵， ∴， ． 33．（2025·内蒙古·模拟预测）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到两角相等，结合直角证明； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解x；利用相似三角形的性质求出的值，从而求得的长； （3）延长交于M点，连接，设，用y分别表示出与即可得出两者的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是矩形， ， ， 点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ， ， ， ; （2）四边形是矩形， P为的中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得：， ， ， ， ， 即， ， ， ; （3）．理由如下：如图2，延长交于M点，连接， 点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ， 为中点， 设， ， H为中点， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 34．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在矩形中，，点E是上一点，M是上一点，将四边形沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上，连接． (1)【特殊呈现】当时．求证：； (2)【类比探究】当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明（用含k的式子表示）； (3)【拓展应用】当时，沿矩形对角线剪开后得到，点M是上一点，连接，过点B作于E，的延长线交于F，若的周长为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论不成立，，理由见解析 (3) 【分析】（1）作，交于G，交DF于Q，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由可判定，由全等三角形的性质得； （2）作，交于G，交于Q，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得； （3）作于Q，可求得，，，由三角函数得， ，进而求得，，，由正切函数求得，可证得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， 作，交于G，交于Q， 点D和点F关于对称， ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ，，， ，四边形是平行四边形， ，， （）， ， ； （2）解：（1）中的结论不成立，， 理由如下： 作，交于G，交于Q， ∵四边形是矩形， ，，， 由（1）可知：，， ， ∴； （3）解：作于Q， ∵， ∴可设，，则， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，能熟练利用解直角三角形的知识进行求解是解题的关键． 35．（2025·四川成都·模拟预测）综合与实践： 【特例】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，当点恰好落在上时，求证：； 【探究】 （2）如图2，当四边形为矩形时，，其他条件不变，试判断与之间的数量关系，并证明； 【拓展】 （3）如图3，当四边形为菱形时，，，其他条件不变，当时，求的长．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）的长为． 【分析】（1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可； （3）根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由翻折性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 由翻折性质可知，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知，，， ∵， ∴； （3）如图3，过E作，交延长线于H，作的平分线，交于G，    ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识． 题型9 运用相似三角形解决多结论问题 36．（2024·广东·二模）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，点E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则：①；②；③；④若，则．正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】对于①，连接，根据正方形的性质，证明，得到，再证明，即可得到结论； 对于②，证明，再根据相似三角形的性质推理即可； 对于③，先证明，得到，再证明，得到，即可证明结论； 对于④，过点E作于点N，于点M，先证明，再求出，即可逐步求得及的值． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ，故①正确； ，， 又 ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ∴， ， ，故③正确； 过点E作于点N，于点M，连接， 则四边形是矩形， ， ，， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 37．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）如图，为等边三角形，，连接，F为的中点，连接并延长到点G，使，连接．下列结论： ①；②若，则；③在②的条件下，若，则． 其中正确的有（　　） A．①②③都正确 B．只有①②正确 C．只有②③正确 D．只有①③正确 【答案】A 【分析】①通过全等三角形的判定定理证得，可得， 得B、C、G三点共线，然后根据“全等三角形的对应边相等”推知； ②由可得，，由，得B、C、G三点共线，由，可得，可得，可得是等边三角形，可得，即得； ③过点D作于点Q．构建矩形，得．得．设，根据，得，，得，即得． 【详解】解：①如图1，∵点F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 故本选项正确； ②如图1，∵， ∴， ∴， ∵， ∴B、C、G三点共线， ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故本选项正确； ③如图2，过点D作于点Q． ∵， ∴． 又， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 设， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故本选项正确； 综上所述，正确的结论是①②③． 故选A． 【点睛】本题考查了相似综合题．熟练掌握等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形外角定理，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 38．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们运动的速度都是．若点、点同时开始运动，设运动时间为的面积为，已知与之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质等，由图可知，整个运动过程分为段，点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，再逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ①当时，点在上，点在BC上，且， ∴是等腰三角形，故①正确； ②，故②错误； ③∵，， ∴当时，点在上，点在处， ∴，故③正确； ④如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形； 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，故④错误； ⑤∵是直角三角形， ∴当且仅当点在上时，与相似， 此时，，且， ∴或， 即或， 解得或（不合，舍去）， ∴当与相似时，，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤， 故选：． 39．（2024·四川眉山·一模）如图，点是正方形对角线的交点，． 中，，过点，，分别交，于点，，连接，，．若，．下列四个结论： ①； ②； ③； ④的周长是． 其中正确结论的为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．连接，过点作于点，利用全等三角形的判定及性质以及相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：是正方形， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在正方形中，，， ，， 在和中， ， ， ，即，故②正确； ，， ， ，即， ， ， ， ，， ，故③错误； 在和中， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中点，是直角三角形， ，， 是直角三角形，为的中点， ， 的周长，故④正确． 故选：． 【点睛】 40．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若 则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键 ①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；②正确．证明 ，可得结论；③正确．证明即可；④正确．证明四边形四边相等即可． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ， ，即， ， ；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即，故③正确； ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故④正确． 故选：D． 题型10 相似三角形与函数综合 41．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）． (1)当时，求反比例函数的解析式及B点的坐标． (2)直线与反比例函数图象的另一支交于点C，连接交y轴于点D．若，求直线的函数解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式中，可求出反比例函数解析式，再求两函数的交点即可； （2）设，，则，可求，再由A、C关于原点对称，可得，过B作轴，过点D作于点F，过点C作于点，，可证明，得到，则可求出，，进而得到，，再利用待定系数法求解即可． 本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或 ∴； （2）解：设，， ∵点A和点B都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即， 由反比例函数的对称性可得，A、C关于原点对称， ∴； 过B作轴，过点D作于点，过点C作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 42．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，N的坐标为或． 【分析】（1）由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入得解得，即可得抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，设，求出，直线BC解析式为，可得，，由，可得，即，故，，再求出，可得，根据二次函数性质可得答案； （3）由，得直线CD解析式为，可得，即知，要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或，设，求出，，，分两种情况列方程可解得答案． 本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形等知识，能分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ， 抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，如图： 设， 在中，令得， ， 由，得直线BC解析式为， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ，抛物线对称轴为直线，轴， ， ， ， 当时，的最大值为， 此时， 的最大值为，此时点P的坐标为； （3）存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图： 由，得直线CD解析式为， 令得， ， ， 直线OC是线段BM的垂直平分线， ， ， 要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或， 设， ，，，， ，，， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得， ∴． 综上所述，N的坐标为或． 43．（2025·山东临沂·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴，轴分别交于点，点，与反比例函数图象交于第一象限的点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线右侧的点在反比例函数图象上，的面积为，直线与轴交于点，求． 【答案】(1) (2)或3 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后根据中点坐标公式可得，进而问题可求解； （2）由题意可分当点在第一象限时，则过点作轴交直线于点，过点作轴于点，当点在第三象限时，则过点作轴于点，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】（1）解：由直线与直线交于点，可知：，即， ∴， ∴，即， ∴， 令时，则有，令时，则有， ∴， ∵，即点为中点， ∴根据中点坐标公式可得点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可分：当点在第一象限时，则过点作轴交直线于点，过点作轴于点，如图所示： 由（1）可知：，反比例函数解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； 当点在第三象限时，则过点作轴于点，如图所示： 同理可得， ∴，则， ∵轴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或． 44．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)存在，点坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：存在点使，理由如下： 假设存在点使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得，（不合题意舍去）， 则坐标为， ，， ， ， 存在点使； （3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点的坐标为， 设，，， 当是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去），   ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点坐标为，，，． 45．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，在坐标轴上，对角线相交于点P，点B的坐标为，双曲线分别交矩形的边，于D，E两点，连接，，． (1)若双曲线经过点，求该双曲线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)若点D为线段上除B，C外的任意一点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质及点的坐标，即可求出点的坐标，代入双曲线的解析式，即可求出的值，即可求出答案； （2）根据双曲线的解析式即可求出点，点的坐标，即可得到线段的长度，即可利用矩形的面积减去三个三角形的面积求出答案； （3）根据双曲线分别交矩形的边于两点，通过设点的坐标为，即可得到点的坐标为，即可得到线段的长度，即可得到，从而判断出，即可得到，故判断出结论成立． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ， ∵点是对角线的交点， ∴点的坐标为． ∵双曲线经过点， ， ∴该双曲线的函数解析式为． （2）解：∵双曲线分别交矩形的边于两点， ∴点的坐标为，点的坐标为． ， ∴， ， ． ∴的面积为． （3）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴设点的坐标为， 则该双曲线的函数解析式为， 则点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数、平行线的判定，矩形的性质以及相似三角形的判定方面的知识，属于综合型较强的题型，找到彼此间的联系是解决该类型题型的关键 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 相似三角形与几何综合问题 题型1 利用相似三角形列函数关系式 在求线段之间的函数关系时，与求线段的长类似，先找出函数中两个变量对应的线段所在的三角形，然后利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来. 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽滁州·三模）如图，在正方形中，，延长至点E，且，连接，点F沿着（不与端点A，E重合）的路径运动，到达E点运动结束．每秒运动的长度为1，设点F的运动时间为x，的面积为y，则y关于x的函数图象为（   ） A．B．C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1） ； （2）设，则关于的函数解析式为 ． 4．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． (1)求证：； (2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 5．（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式． 题型2 运用相似三角形解决三角板问题 6．（2025·河南周口·三模）如图（1），在 中 ，，， 将含角的直角三角板的锐角顶点放至点 处，斜边交于点， 直角边交于点，．小华进行了如下探究． (1)他发现，且通过推理验证是正确的，请写出你的证明过程． (2)他设，． ①请你直接写出与的函数关系式． ②请在图（2）中画出该函数的大致图象，并写出该图象的一条性质． 7．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）【综合实践】延时课上，某数学兴趣小组用大小不同的两个等腰直角三角板进行探究．已知，三角板与三角板均为等腰直角三角板，其中，，，设与的夹角为． (1)【问题发现】如图1所示，当时，请填空： ①的值为___________； ②与所夹锐角为___________度． (2)【类比探究】如图2所示，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (3)【拓展延伸】如图3所示，在直角三角形中，，，若，当点到直线的距离为1时，直接写出的长． 8．（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知中，，，，点在边上，．将一块含的直角三角板绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边、始终分别与的边、相交于点、． (1)在三角板DEF的旋转过程中，若，，则_____； (2)在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是请说明理由： (3)如图3，连接，取的中点P，在旋转过程中，点N在从点C运动到点B的过程中，直接写出P点运动的路径长． 题型3 运用相似三角形解决裁剪问题 10．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 11．（2024·浙江湖州·一模）甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小． (2)请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长．） 12．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条． (1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为______； (2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由． (3)圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为（，且为整数）的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值______． 13．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践 【主题】探究顶角为的等腰三角形 【实践操作】步骤1：如图1，在白纸上剪一个顶角为的等腰三角形； 步骤2：如图2，沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合； 步骤3：如图3，沿着虚线折叠，点恰好落在上． 【实践探索】 (1)证明：． (2)证明：． (3)若，请直接写出的长． 题型4 运用相似三角形解决格点问题 14．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 16．（24-25九年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．下列各图均是以格点O为圆心的圆，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，点A、点B、点C均为格点，在圆上作格点D，使； (2)在图②中，点B为格点，点A为圆上任意一点，在圆上作点C，使； (3)在图③中，点A、点C为格点，圆上一点B在网格线上，，在圆上作点D、E，使． 17．（2025·江苏徐州·二模）按要求完成作图，保留作图痕迹，并写出简要的文字说明． (1)如图1，在中，已知，请用圆规和无刻度的直尺在上作出点D，使得； (2)如图2，在正方形网格中，每个正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，仅用无刻度的直尺在上作出点M，使得； (3)如图3，在正方形网格中，点A、B、C均在格点上，若点D也在给定的网格的格点上，且，则满足条件的格点有______个；请仅用无刻度的直尺在图中作出一个符合条件的角． 18．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题提出： 如图1，在等边中，点，，分别为三边上的动点，连接，交于点，．记，，探究，之间的等量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当点与顶点重合，时，直接写出的值为______； （2）再探究一般情况，在图1中完成探究得出，之间的等量关系． 问题拓展： （3）如图3，连接，若平分，请直接写出的值______．（用含、的式子表示） 题型5 运用相似三角形探究线段之间的关系 19．（2025·山东聊城·三模）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： (1)如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是 ；位置关系是 ．请说明理由． 探索猜想： (2)如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 20．（2025·河南南阳·二模）【问题提出】 在微专题复习课上，王老师引导同学们以“直角三角板的旋转”为主题开展探究活动：将一大一小两个等腰直角三角板和按图1放置，，点在内，连接并延长到点，使 ，连接，．探究线段与的关系． 【思路探究】 “诸葛小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作交的延长线于点，这样可以将和的关系转化为和的关系； “孔明小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）【推理论证】 请你写出线段与的关系并证明（可以用不同于前面的思路）； （2）【能力提升】 “创新小组”在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，将绕点在平面内旋转，当，，时，请直接写出线段的长． 21．（2021·广东清远·二模）如图，在矩形中，，，动点，分别从点，点同时以每秒个单位长度的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点运动到点时，，两点同时停止运动，设点运动的时间为（），连接，过点作，与边相交于点，连接． (1)如图，当时，延长交边于点．求证：； (2)在（）的条件下，试探究线段，，三者之间的等量关系，并加以证明； (3)如图，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值． 22．（2025·云南·模拟预测）如图，AB是的直径，C是上一点，连接AC，E是AC的中点，且EF⊥AB交AB于点H，交于点F，延长AC至点K，连接BK，BC，CF，CF交AB于点D． (1)若，求∠A的度数； (2)若，，，求证：BK是的切线； (3)若，则线段DH与HF之间存在关系，求m的值． 题型6 运用相似三角形解决尺规作图问题 23．（2025·山西长治·二模）阅读与思考 小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务． 问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图） 方法一： 作法步骤： （1）以A为端点作射线． （2）在射线上依次截取线段． （3）连接，过点E作的平行线交AB于点C． 证明：，． （依据） 方法二： 作法步骤： （1）以为一边作出等边． （2）以为的一半为一边作出等边． （3）连接交于点C． 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴…… 任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________ 任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程． 任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明） 24．（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹），连接交于F点，并证明：； (2)若的半径等于4，且与相切于A点，求劣弧的长度和阴影部分的面积（结果保留π）． 25．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中的值为___________； (2)在图2中作出边上的点E，使得； (3)在图3中作出边上的点不与点B重合,使得 26．（2025·山东·模拟预测）教材中有这样一段文字：“在比例式中，如果，那么．我们把b叫做a和c的比例中项．”在学习过程中，有些几何图形中的线段满足的关系，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的各点．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图①中，在上求作一点D满足； (2)在图②中，在上求作一点D满足． 题型7 运用相似三角形解决最值问题 27．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 28．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】 如图①，在矩形中，．点在射线上，试探究的最小值． 【问题探究】 如图②，小明首先在右侧作，利用，将转化为，这样就将双变量（）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点的轨迹问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， ∴． ． ． 四边形是矩形， ． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题探究】中的点，使的值最小，此时的值是______．（保留作图痕迹） 29．（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 30．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图1，已知是的直径，点在半径上（点与点不重合），过点作的垂线交于点，连结，过点作的平行线交于点，交射线于点．    (1)求证：； (2)已知：； ①若，求的长； ②求的最大值； (3)如图2，已知的半径为4，连结，当为等腰三角形时，求的长．   31．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 题型8 运用相似三角形解决折叠问题 32．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 33．（2025·内蒙古·模拟预测）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 34．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在矩形中，，点E是上一点，M是上一点，将四边形沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上，连接． (1)【特殊呈现】当时．求证：； (2)【类比探究】当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明（用含k的式子表示）； (3)【拓展应用】当时，沿矩形对角线剪开后得到，点M是上一点，连接，过点B作于E，的延长线交于F，若的周长为24，，求的长． 35．（2025·四川成都·模拟预测）综合与实践： 【特例】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，当点恰好落在上时，求证：； 【探究】 （2）如图2，当四边形为矩形时，，其他条件不变，试判断与之间的数量关系，并证明； 【拓展】 （3）如图3，当四边形为菱形时，，，其他条件不变，当时，求的长．    题型9 运用相似三角形解决多结论问题 36．（2024·广东·二模）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，点E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则：①；②；③；④若，则．正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 37．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）如图，为等边三角形，，连接，F为的中点，连接并延长到点G，使，连接．下列结论： ①；②若，则；③在②的条件下，若，则． 其中正确的有（　　） A．①②③都正确 B．只有①②正确 C．只有②③正确 D．只有①③正确 38．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们运动的速度都是．若点、点同时开始运动，设运动时间为的面积为，已知与之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 39．（2024·四川眉山·一模）如图，点是正方形对角线的交点，． 中，，过点，，分别交，于点，，连接，，．若，．下列四个结论：①；②；③；④的周长是．其中正确结论的为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 40．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ；若，则；若 则四边形是菱形．上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 题型10 相似三角形与函数综合 41．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）． (1)当时，求反比例函数的解析式及B点的坐标． (2)直线与反比例函数图象的另一支交于点C，连接交y轴于点D．若，求直线的函数解析式． 42．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 43．（2025·山东临沂·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴，轴分别交于点，点，与反比例函数图象交于第一象限的点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线右侧的点在反比例函数图象上，的面积为，直线与轴交于点，求． 44．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 45．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，在坐标轴上，对角线相交于点P，点B的坐标为，双曲线分别交矩形的边，于D，E两点，连接，，． (1)若双曲线经过点，求该双曲线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)若点D为线段上除B，C外的任意一点，求证：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $