培优03 与相似三角形有关的10种热考模型（专项训练）数学人教版九年级下册

培优03 与相似三角形有关的10种热考模型 题型1 A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 1．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 3．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图 ，在等边中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点 ．点处读数分别为18，14，1，3，则直尺的宽为 ． 4．（2025·广东河源·模拟预测）如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作半圆的切线交延长线于点，过点作于点，交半圆于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 5．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 6．（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 题型2 8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 7．（2024·江西·模拟预测）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为 ． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，已知：梯形中，，若，那么为（   ） A．1∶5 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶9 9．（2025·湖南·模拟预测）如图，将沿边向右平移得到，交于点，连接．若 ，，则的值为 ． 10．（2024·重庆·模拟预测）如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为 11．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，对角线交于点E，，点C关于的对称点为点F，连接与交于点G．若，则线段的长为 ． 12．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为 ． 13．（2024九年级下·山西吕梁·专题练习）如图，在中，，点D是边上的一点，且，连接，过点C作交的延长线于点E，则的长为 ． 14．（2024·安徽合肥·二模）如图，点C是线段上一点，和是等边三角形．连接和，交于P点，和交于F点，和交于G点． (1)求证：； (2)求证：． (3)若，求的值． 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线∶与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． (1)试求抛物线的解析式； (2)点P为第一象限抛物线上一点，连接交于点M，若，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，交x轴于点E，F（点E在点F的左侧），点P为抛物线第一象限内一动点，连接交y轴于点G，过点F作交抛物线于点Q，交y轴于点R，连接交y轴于点H，若P点的横坐标为t，求的值（用含t的式子表示）． 题型3 母子型相似模型 类型 母子相似模型 射影定理 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABC=∠ADB=90° 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 16．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测） 已知在中，，，E是的中点，交的延长线于F．求证：． 17．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，，．的角平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． 18．（24-25九年级下·全国·期末）如下图，四边形ABCD是正方形，G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．求证： (1)． (2)． 19．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 20．（2025·浙江金华·二模）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)过点作交于点，若，求的长． 21．（2024·山西阳泉·二模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 射影定理：如图1，在中，，是斜边上的高，财有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴（依据）， ∴， 即．    任务一：（1）材料中的依据是指________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明________； 任务二：应用： （1）如图2，正方形中，点是对角线、的交点，点在上，过点作于点，连接，证明：； （2）在图2中，若，的长为，则正方形的边长为________． 22．（2024·广东·模拟预测）如图，为的外接圆，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点D作于点F，交于点G，延长交于点H． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，求的值． 题型4 三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 23．（2024·贵州遵义·一模）阅读应用： 将生活中的问题抽象为数学问题的数学思想叫做建模思想．解决几何问题时，构建平面直角坐标系，利用坐标将图形的线段或角用数或式子表示，再根据相关几何关系、数量关系就可以利用代数方法解决几何问题，这就是平面几何解析思想，也是几何问题代数化的一种常用的转化思想． 生活现象： 如图1，在一直角边分别为20米、40米的直角三角形草地上修建正方形花坛，要求正方形与直角三角形的直角顶点重合，有一个直角顶点在斜边上，问：应怎样修建？ 【数学问题】 （1）如图2，以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，，求直线的函数解析式． 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，P为边上任意一点，过点P作，作，垂足分别为C，D，设点P的横坐标为t，那么可以用t表示出，当四边形是正方形时，请求出的长． 【初步应用】 （3）如图3，在中，，当四边形是正方形时，______．（第3问不写解答过程） 24．（2024·湖北·模拟预测）问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？ 25．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，则边上的高为_______________；根据“相似三角形性质”可以求得此时正方形的边长是_____________； 【问题解决】：若木板是面积为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考； （2）设，，边上的高，通过（1）的思路，最终求得，请你补充该小组的推导过程； （3）该小组发现若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可．该小组令．则只需探索函数的图象和性质： ①在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； 1 2 3 4 6 4 4 ②结合表格观察函数图象，以下说法正确的是______________； A．当时，随的增大而增大    B．该函数的图象可能与坐标轴相交 C．该函数图象关于直线对称    D．该函数在时有最小值 ③结合你所学过的知识，求出当底边长为多少时，内接正方形面积最大，最大值为多少？ 题型5 一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 26．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是矩形，E，F分别是边的中点，．若则线段的长为 ． 27．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 28．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）类比探究题： 【建立模型】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】 如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】 如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，求y与x的函数关系：y是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由． 29．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 30．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上． ①若，则______． ②若，与的周长分别为，则______，______． 【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长． 题型6 手拉手相似模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 31．（24-25九年级上·吉林·期中）（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 32．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 33．（2023·河南郑州·二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．    (1)【问题发现】 如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】 如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数； ②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】 如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值．   34．（2019·山东济宁·三模）背景材料： 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型． 例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE． 学习小组继续探究： （1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD； （2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE． 学以致用： （3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长． 题型7 对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 35．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 36．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 37．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）【问题提出】： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：正方形的两条对角绕相交于点O，正方形与正方形的边长相等，当正方形的顶点H在线段（不与A，C重合）上绕点H旋转的过程中，边交边于点M，边交边于点N；探究线段，之间的数量关系． 【操作发现】： （1）如图①，当点H与点O重合时，线段，之间的数量关系为 ； 【类比探究】： （2）如图②，当点H位于的中点时，在旋转过程中， ①试判断线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，求的长． 题型8 角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 38．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    39．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）主题式学习：苏外九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图，、分别为正方形的边、上的动点，连接、、，且满足 【常规探究】在图（1）中，求线段、、之间的数量关系． 【变式思考】如图（2），正方形的边长为，点为边上的点，连接，取的中点，为边上的点，且，若，求的长． 【拓展应用】如图（3），点为正方形的边上的点，点在直线上，求的最大值，请直接写出结果． 40．（22-23八年级下·陕西·阶段练习）【问题发现与证明】 如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接； （2）求证：． 【问题拓展与应用】 （3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金．   41．（2024·广东广州·二模）如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点． 我们很容易得到下面三个结论： 结论1： 结论2： 结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明） 有题目如下：(1)如图1，条件不变．求证：①；②． (2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明． 题型9 十字架模型 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 解题策略： 1）①⇒②③:由①BE=CF，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF(SAS)，可得②AE=BF，导角可得③AE⊥BF. 2）②→①③:由②AE=BF，结合正方形的性质，可证Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，可得①BE=CF，导角可得③AE⊥BF. 3）③⇒①②:由③AE⊥BF导角，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF（ASA），可得①BE=CF，②AE=BF. 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 42．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为_____________； （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，的值为__________________； 【性质探究】 （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：； 【拓展延伸】已知四边形是矩形，，； （4）如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值； （5）如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时，______________． 43．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F． (1)如图①，当点E与点B重合时，求证：． (2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． (3)若，求点A到线段的距离． 44．（2024·湖北·三模）数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 45．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 题型10 阿氏圆模型 46．（20-21九年级下·广东深圳·开学考试）如图，以点为圆心的圆与轴、轴分别交于点，与相切于点的直线交坐标轴分别于点、． (1)求的半径； (2)如图，连接，弦交轴于点，若，求的值． (3)如图，点为上一个动点，连接，求的最小值． 47．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 48．（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 49．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 50．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 与相似三角形有关的10种热考模型 题型1 A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 1．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯的高度等于6米； 故答案为：6． 3．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图 ，在等边中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点 ．点处读数分别为18，14，1，3，则直尺的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，先利用等边三角形的三线合一性质可得，从而在中利用勾股定理求出的长，然后根据题意可得：，，从而证明字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 是等边三角形， ， 等边的边长为， 如图，过点作，垂足为，延长交于点， 是等边三角形，， ， ， ， 由题意得：，， ，， ， ， ， ， ， 直尺的宽为， 故答案为：． 4．（2025·广东河源·模拟预测）如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作半圆的切线交延长线于点，过点作于点，交半圆于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）连接，首先求出，然后由切线得到，然后证明出，进而求解即可； （2）首先由得到，设，则，勾股定理求出，然后在中，解直角三角形求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ． 是半圆的切线， ． ． ， ． ． ． ． ． 平分． （2）解：在中，， ． 设，则． ． ． 解得， ．则． ， ． 在中，， ． ． 如图所示，连接， 为直径， ． ． ． ． ，即， ． ． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 综上：当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为或． 故答案为：或 6．（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （2）过点作，交于点，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中， ，， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型2 8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 7．（2024·江西·模拟预测）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定．根据三角形中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，已知：梯形中，，若，那么为（   ） A．1∶5 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶9 【答案】D 【分析】此考查了相似三角形的判定和性质．先求出，，再证明得到，,则，，即可求出． 【详解】解：∵与等高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，, ∴，， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 9．（2025·湖南·模拟预测）如图，将沿边向右平移得到，交于点，连接．若 ，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，由平移的性质得到：，，得出，根据相似三角形的性质得出，结合，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得到：，， ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴ ∵， ∴， 解得： ∴ 故答案为：． 10．（2024·重庆·模拟预测）如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点解题的关键． 根据矩形的性质得到，，利用角平分线的性质得到，利用勾股定理求出，通过证明得到，求出的长，再证明得到，求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， 又∵平分，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，对角线交于点E，，点C关于的对称点为点F，连接与交于点G．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，． 根据平行四边形的性质，勾股定理求出的长，由对称求出的长，证明，得到，进而推出，得到，即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵点C关于的对称点为点F， ∴垂直平分，， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、勾股定理，过作于，证明出，根据相似三角形的性质得到、，根据，可知，证明出，根据相似三角形的性质得到，根据，可得，在中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ，， 又， ， ， ∴ ， ， ， 在中，． 故答案为： ． 13．（2024九年级下·山西吕梁·专题练习）如图，在中，，点D是边上的一点，且，连接，过点C作交的延长线于点E，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求的长，由锐角三角函数可求的长，通过证明，可得，可求的长，由勾股定理可求的长，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（2024·安徽合肥·二模）如图，点C是线段上一点，和是等边三角形．连接和，交于P点，和交于F点，和交于G点． (1)求证：； (2)求证：． (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得证； （3）过点作于点，延长至，使得，连接，先利用勾股定理求出，再证出，根据相似三角形的性质求出的长，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据等量代换可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点，延长至，使得，连接， ∵和是等边三角形，， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）已证：， ∴， 由（2）已证：， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线∶与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． (1)试求抛物线的解析式； (2)点P为第一象限抛物线上一点，连接交于点M，若，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，交x轴于点E，F（点E在点F的左侧），点P为抛物线第一象限内一动点，连接交y轴于点G，过点F作交抛物线于点Q，交y轴于点R，连接交y轴于点H，若P点的横坐标为t，求的值（用含t的式子表示）． 【答案】(1) (2)P或 (3) 【分析】（1）先求出点C和点B的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）利用，得出，设，过M点和P点分别作，，交x轴于点E和点F，证得，利用三角形的相似得出，进而求出点M的坐标，再求出直线的解析式，把M点坐标代入，即可得到关于a的二元一次方程，解方程即可得出点P的坐标． （3）由抛物线平移的性质得到，求出与x轴的两个交点坐标，设，，，由平行的性质得出，进一步证明，由相似的性质得出，由正切的定义得出n和t的关系式，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵ ∴， ∵与x轴交于、B两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）设， ∵ ∴， 过M点和P点分别作，，交x轴与点E和点F点．如下图：    ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 设直线：， 把代入， 解得：， ∴直线：， 把代入， 得：， 整理得：， 解得：，， 当时， ， 当时，， ∴点P的坐标为：或 （3）由题意得：：， 即， 当时，即， 解得：，， ∴， 设，，， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ 即， 化简得：， ∴， ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，相似三角形的判定以及性质，平行线的性质等知识．掌握二次函数的性质以及相似三角形的判定以及性质是解题的关键 题型3 母子型相似模型 类型 母子相似模型 射影定理 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABC=∠ADB=90° 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 16．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测） 已知在中，，，E是的中点，交的延长线于F．求证：． 【答案】见详解 【分析】（1）由中，，，易得，又由，即可证得，即可得，易证得，可得，从而证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，，．的角平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，进行证明即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 即 ， 又 ， ． （2）解：由(1)可知，， ， 又∵的角平分线交于点， ∴， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ． 18．（24-25九年级下·全国·期末）如下图，四边形ABCD是正方形，G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题属于相似形结合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得 ，，由平行线的性质可得，由相似三角形的判定可证. 【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形， ． 又 ． （2）， ， ， ． 又 ． 19．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质得，，， ，证明，得，再证明，证明，即可证明； （2）由，结合，得，得，由， 得，可得，得，即可计算． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（2025·浙江金华·二模）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用两角对应相等证明； （2）先证，推出，再证，推出，设，则，，根据求出x值，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ． 21．（2024·山西阳泉·二模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 射影定理：如图1，在中，，是斜边上的高，财有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴（依据）， ∴， 即．    任务一：（1）材料中的依据是指________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明________； 任务二：应用： （1）如图2，正方形中，点是对角线、的交点，点在上，过点作于点，连接，证明：； （2）在图2中，若，的长为，则正方形的边长为________． 【答案】任务一：（1）两角分别对应相等的两个三角形相似；（2）见解析；任务二：（1）见解析；（2）6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明，据此即可解答； 任务二：（1）根据射影定理得，，则； （2）先证明，设，用表示出，，，，再利用相似三角形的性质得到，代入数据即可求解． 【详解】解：任务一：（1）∵，， ∴（两角分别对应相等的两个三角形相似）， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②； 如图， ，， ， 而， ∴， ， ∴； ③， 如图， ，， ， 而， ∴， ， ； 任务二：（1）证明：如图， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：设， 而， ，， 在中，， 在中，， ∵，即， 而， ， ， 即， 解得， ∴． 故答案为：6． 22．（2024·广东·模拟预测）如图，为的外接圆，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点D作于点F，交于点G，延长交于点H． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）圆周角的定理，垂径定理，得到，，根据角平分线的定义，等角的余角相等，对顶角相等，推出，即可得证； （2）连接，证明，推出，根据圆周角定理推出，即可得出结论； （3）设，证明，求出的长，进而得到的长，利用（2）中结论求出的长，进而得到的长，线段的和差关系求出的长，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径，， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）连接， 由（1）知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴设， ∵，为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由（2）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识定理，灵活进行角的转化，边的转化，是解题的关键． 题型4 三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 23．（2024·贵州遵义·一模）阅读应用： 将生活中的问题抽象为数学问题的数学思想叫做建模思想．解决几何问题时，构建平面直角坐标系，利用坐标将图形的线段或角用数或式子表示，再根据相关几何关系、数量关系就可以利用代数方法解决几何问题，这就是平面几何解析思想，也是几何问题代数化的一种常用的转化思想． 生活现象： 如图1，在一直角边分别为20米、40米的直角三角形草地上修建正方形花坛，要求正方形与直角三角形的直角顶点重合，有一个直角顶点在斜边上，问：应怎样修建？ 【数学问题】 （1）如图2，以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，，求直线的函数解析式． 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，P为边上任意一点，过点P作，作，垂足分别为C，D，设点P的横坐标为t，那么可以用t表示出，当四边形是正方形时，请求出的长． 【初步应用】 （3）如图3，在中，，当四边形是正方形时，______．（第3问不写解答过程） 【答案】（1）  （2）  （3） 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据得到，则，当四边形是正方形时得，列式求解即可； （3）根据题意得到是等腰三角形，如图所示，过点作于点，交于点，在中，运用勾股定理得到，四边形是矩形，设，则，证明，由此列式求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）∵直线的解析式为，设点P的横坐标为t， ∴， ∵， ∴， 当四边形是正方形时，， ∴， 解得，，即； （3）∵， ∴，是等腰三角形， 如图所示，过点作于点，交于点， ∴， 在中，， 当四边形是正方形时，， ∴， ∴， 同理，，且， ∴四边形是矩形， ∴设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，待定系数法求解析式，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 24．（2024·湖北·模拟预测）问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？ 【答案】（1）（2）（3）绿化改造所需费用至少为 【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键． （1）由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案； （2）由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题； （3）由二次函数的性质求出矩形面积的最大值即可解决问题； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵ ∴， ∴和的相似比是， ∴与的高之比等于相似比是． 故答案为：． （2）作于N，交于M， ∵， ∴， ∴， ∵的面积，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大； （3）延长交于E，作于F，交于点G，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 当矩形的面积最大时，费用最小， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为，则花卉的面积最小值为， 所以，绿化改造所需费用至少为元 25．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，则边上的高为_______________；根据“相似三角形性质”可以求得此时正方形的边长是_____________； 【问题解决】：若木板是面积为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考； （2）设，，边上的高，通过（1）的思路，最终求得，请你补充该小组的推导过程； （3）该小组发现若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可．该小组令．则只需探索函数的图象和性质： ①在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； 1 2 3 4 6 4 4 ②结合表格观察函数图象，以下说法正确的是______________； A．当时，随的增大而增大    B．该函数的图象可能与坐标轴相交 C．该函数图象关于直线对称    D．该函数在时有最小值 ③结合你所学过的知识，求出当底边长为多少时，内接正方形面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①见解析；②D；③当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，描点法画图，完全平方公式的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）过点作交于点，交于点，由三角形面积公式求出，再由勾股定理求出，进而求出即为边上的高，证明，根据相似三角形高之比等于相似比求解即可； （2）由三角形面积公式可得，由相似三角形的性质可得，即可作答； （3）①根据表格描点画图即可； ②结合表格观察函数图象，逐项判断即可； ③结合完全平方公式，求出，即当时，有最小值为，即可求出内接正方形面积最大值． 【详解】解：（1）如图，过点作交于点，交于点， 在直角中，，， ， ， ， ， 解得：，即边上的高为， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 解得：，即正方形的边长是， 故答案为：，； （2）设，，边上的高， 则， 锐角三角形的面积为， ， ， 由（1）可知，， ， ， ； （3）①如图即为所求作； ②结合表格观察函数图象， A．当时，随的增大先减小后增大，说法错误； B．该函数的图象不可能与坐标轴相交，说法错误； C．该函数图象没有对称轴，说法错误； D．该函数在时有最小值，说法正确； 故答案为：D； ③， ， ， 当，即时，有最小值为，此时， 当时，有最小值为， 有最大值， 有最大值为， 即当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 题型5 一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 26．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是矩形，E，F分别是边的中点，．若则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质．证明，可得，设，可得，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E，F分别是边的中点， ∴， 设，则， ∵ ∴，即， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， 即． 故答案为： 27．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 28．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）类比探究题： 【建立模型】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】 如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】 如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，求y与x的函数关系：y是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由． 【答案】（建立模型）见详解；（应用模型）；（拓展拔高）；当时，y有最大值 【分析】（建立模型）由“”可证； （应用模型）根据题意作出合适的辅助线，可以先证明．．和的关系，即可建立与的函数关系． （拓展拔高）证明，根据相似三角形的对应边的比相等求得与的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断． 【详解】（建立模型）：证明：， ， ， ； （应用模型）：解：作轴，作于点，如图所示， 由已知可得，，，点的纵坐标是， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵点到轴的距离为，点到轴的距离等于点到的距离1， ∴． （拓展拔高）解：由折叠可得， ∵平分， ∴， ， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 化简得：， 故y与x的函数关系式为：． 化简得：， ， 故当时，y有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、折叠的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，将题目中的当已知量，再证明，根据相似三角形的性质得出与的函数关系式是解题关键． 29．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 30．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上． ①若，则______． ②若，与的周长分别为，则______，______． 【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长． 【答案】（1）①，②，；或 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质； （1）①根据得到，进而得到； ②设，表示出其他线段及周长后，根据可得计算即可； （2）延长、交于点，可证是等边三角形，进而证明，设，表示出和的边长和周长，最后根据求解即可． 【详解】（1）①∵等边三角形 ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②设，则，， ∴周长分别为， 的周长分别为， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：，； （2）延长、交于点， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ，则 ∵，， ∴，，， ∴周长为， 的周长为， ∴代入可得， 解得， ∴或． 题型6 手拉手相似模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 31．（24-25九年级上·吉林·期中）（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，即可得出，再求出对应边的比，即可得出相似比； （2）根据得出，，进而得出，，即可求证； （3）过点作，作，连接，证明，得出比例线段，证明，得出比例线段，由勾股定理可求，的长，即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； ∴ 故答案为：； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过点作，作，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 32．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3)（或）， 【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． （2），M为中点，，，，证明，即可求解． （3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点D作于点F， ∵与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵M为中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴C，M，N三点共线． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴； 连接， ∵，M为中点， ∴CM⊥AB，，， ∴， ∴， ∵，N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生改变． （2）延长交于点H，连接， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用． 33．（2023·河南郑州·二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．    (1)【问题发现】 如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】 如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数； ②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】 如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】（1）证明，即可得到，，问题得证； （2）①连接、、，证明，再证明，即可得出结果；②证明，即有，即可求解； （3）证明为等边三角形，就有MN=CN，由条件可以得出，即有，可得，设为x，则有，用相似三角形的性质把用含x的式子表示出来，从而求出最大值． 【详解】（1）∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）①连接、、，AC    ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵和为等边三角形， ∴，，． ∴， 即． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为x，则有， ∴， ∴， ∴， ∴当时，NC有最大值是， 即点C在的中点时，线段最大，最大值是． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值的运用．在解答的过程中书写全等三角形时对应顶点的字母要写在对应的位置上，灵活运用顶点式求最值． 34．（2019·山东济宁·三模）背景材料： 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型． 例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE． 学习小组继续探究： （1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD； （2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE． 学以致用： （3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长． 【答案】（1）作图见解析，证明见解析；（2）见解析；（3） . 【分析】（1）由等边三角形的性质可得AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，可得∠DAC＝∠BAE，即可证△DAC≌△BAE，可得BD＝CE； （2）通过证明△ADE∽△ABC，可得，由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，即可得结论； （3）过点A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°，通过证明△AEC∽△ADB，可得 ，由锐角三角函数和勾股定理可求AE，DE，EC的长，即可求BD的长． 【详解】（1）作图 ∵△ABD和△ACE都是等边三角形 ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE ∴△DAC≌△BAE（SAS） ∴BE＝CD （2）如图， 在第一个图中，∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴ ∵将三角形ADE旋转一定的角度 ∴∠BAC＝∠DAE ∴∠BAD＝∠CAE，且 ∴△ABD∽△ACE； （3）如图，过点A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°， ∵∠AED＝∠ACB＝α，∠CAB＝∠DAE＝90° ∴△AED∽△ACB ∴ ∵∠CAB＝∠DAE＝90° ∴∠CAE＝∠DAB，且 ∴△AEC∽△ADB ∴ ∵△AED∽△ACB ∴∠ADE＝∠ABC ∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ADC＝∠ACB ∴∠ADC+∠ADE＝90° ∴∠EDC＝90° ∵tanα＝，AD＝12． ∴AE＝16 ∴DE＝ ＝20 ∴EC＝ ∵ ∴BD＝ 【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 题型7 对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 35．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）过点A作于点M，于点N，证明，易得，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）结合三角形面积公式易得，然后由求解即可； （3）证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值并求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点 M，于点 N， ∴平分； （2）由（1）可知：平分，， ∴， ； （3）∵ 四边形是奇异四边形，， 又∵， ∵平分， ， 由（1）知，平分， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∵，即 ， 解得 或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了新定义“奇异四边形”、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 36．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 【答案】（）④；（），；（）①；② 【分析】（）菱形、矩形、等腰梯形、直角三角形的性质即可求解； （）假设过点，，，不能作一个圆，过，，三点作，点不在圆上，若点在外，设与交于点，连接，由圆内接四边形性质可得，进而由补角性质可得，又由三角形外角性质得到，出现矛盾，故假设不成立，即得点在过，，三点的圆上，同理可证点在内的情况，即可求证； （）①由得四点共圆， 即可得，再根据圆周角定理即可求解；②证明得，据此解答即可求解． 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆， 故答案为：④； （）证明：假设过点，，，不能作一个圆， 如图，过，，三点作，点不在圆上， 若点在外， 设与交于点，连接，则， ， ， 而是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过，，三点的圆上， 同理可证点在内的情况， 故答案为：，； （）解：①∵ ， ∴四点共圆， ∵平分，， ∴， ∴； ②由①可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 37．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）【问题提出】： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：正方形的两条对角绕相交于点O，正方形与正方形的边长相等，当正方形的顶点H在线段（不与A，C重合）上绕点H旋转的过程中，边交边于点M，边交边于点N；探究线段，之间的数量关系． 【操作发现】： （1）如图①，当点H与点O重合时，线段，之间的数量关系为 ； 【类比探究】： （2）如图②，当点H位于的中点时，在旋转过程中， ①试判断线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，求的长． 【答案】（1）； （2）①，证明见解析；② 【分析】（1）根据正方形的性质可得四边形、是正方形，，，，从而可得，可证，即可得求解； （2）①根据正方形的性质和平行线的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定可得，从而可得，，利用等量代换可得，从而可证，可得，即可得出结论； ②根据相似三角形的性质可得，求得，利用勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求得，再根据求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①， 证明：过点H作，交于点P， ∵四边形是正方形，则， 为等腰直角三角形， ， 为的中点， ，， ，， ， 又∵， ， ， ， 即； ②， ， ， 又∵， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型8 角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 38．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【答案】；理由见解析（或；理由见解析） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 39．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）主题式学习：苏外九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图，、分别为正方形的边、上的动点，连接、、，且满足 【常规探究】在图（1）中，求线段、、之间的数量关系． 【变式思考】如图（2），正方形的边长为，点为边上的点，连接，取的中点，为边上的点，且，若，求的长． 【拓展应用】如图（3），点为正方形的边上的点，点在直线上，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】【常规探究】； 【变式思考】； 【拓展应用】． 【分析】（1）延长至，使，连接，可证得，从而，证得，从而，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于，作于，可得出，从而得出的值及，可证得，从而得出，根据勾股定理等知识求得，可证得，根据得出的值，进而得出的值，进一步得出结果； （3） 可判断当点在的延长线上，点在上时，存在最大值，作，交于，作于，则，，可证得，从而，从而得出，作的外接圆，作于，交于，当点在处时，最大，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图， ，理由如下： 延长至，使，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． ， ，即； （2）如图， 延长，交的延长线于，作于， 四边形是正方形， ，，， 在和， ， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 当点在的延长线上，点在上时，存在最大值， ， 作，交于，作于，则，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ． ， ， 作的外接圆，作于，交于， 当点在处时，最大， 由得， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助圆． 40．（22-23八年级下·陕西·阶段练习）【问题发现与证明】 如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接； （2）求证：． 【问题拓展与应用】 （3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）元 【分析】（1）由于与可以看作绕点A旋转的关系，根据旋转的性质知，从而得到辅助线的做法； （2）先证明，得到，，结合，易知，再证明即可得到； （3）如图，分别过点E，F作于点N，于点M，取中点H，连接交于点K，则， ，，利用F为中点，求出和，从而求出，再证明，得到，继而求出，最后用三角形面积公式求的面积和所需资金． 【详解】解：（1）根据旋转的性质知，从而得到辅助线的做法：延长到点G，使，连接； 故答案是：； （2）∵四边形为正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （3）如图，分别过点E，F作于点N，于点M，取中点H，连接交于点K    ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵点H是的中点，点为边的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴需投入的资金为：(元) 答：该公园种植郁金香需要投入元资金 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形和正确作出辅助线． 41．（2024·广东广州·二模）如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点． 我们很容易得到下面三个结论： 结论1： 结论2： 结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明） 有题目如下： (1)如图1，条件不变．求证： ①； ②． (2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）①连接，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出； ②延长，过点A作，交的延长线于点G，证明，得出，证明，得出，，根据三角形的面积得出得出，根据，，得出，即可证明结论； （2）方法一：延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，根据等腰直角三角形性质证明，，，证明，得出，，求出，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 方法二：过点E作与点H，过点F作与点I，相交于点G，连接，易得四边形、、为矩形，则，再证明四边形为正方形，得出，，进而得出点E、B、F三点共圆，且点G为圆心，则，根据勾股定理可得，，等量代换得到，，即可推出． 【详解】（1）证明：①连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∵A，B，E，Q四个点在同一个圆上， ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵A，P，F，D四个点在同一个圆上，， ∴为直径， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长，过点A作，交的延长线于点G，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：方法一： ．理由如下： 延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ， 即． 方法二： 过点E作与点H，过点F作与点I，相交于点G，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴四边形、、为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴点E、B、F三点共圆，且点G为圆心， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角是三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 题型9 十字架模型 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 解题策略： 1）①⇒②③:由①BE=CF，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF(SAS)，可得②AE=BF，导角可得③AE⊥BF. 2）②→①③:由②AE=BF，结合正方形的性质，可证Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，可得①BE=CF，导角可得③AE⊥BF. 3）③⇒①②:由③AE⊥BF导角，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF（ASA），可得①BE=CF，②AE=BF. 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 42．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为_____________； （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，的值为__________________； 【性质探究】 （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：； 【拓展延伸】已知四边形是矩形，，； （4）如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值； （5）如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时，______________． 【答案】（1） （2） （3）证明过程见详解 （4） （5） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由此即可求解； （2）根据矩形，勾股定理得到，再证明，，即，即可求解； （3）如图所示，过点作于点，则，则四边形是矩形，证明，，即可求解； （4）如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，可证，得，证，得，同理得，，所以，由此即可求解； （5）如图所示，连接，证，得，则，证，得，结合（4）可得，证，，得，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； （3）证明：∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （4）如图所示，过点作于点，作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴； （5）如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（4）可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 43．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F． (1)如图①，当点E与点B重合时，求证：． (2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． (3)若，求点A到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）证明，根据全等三角形的性质证明； （2）作于H，根据全等三角形的性质求出，再根据梯形的面积公式计算即可； （3）根据题意进行分类讨论：①当点F在线段上时，通过证明，即可解答；②当点F在延长线上时，通过证明，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， 适应， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：作于H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，点M是边的中点， ∴， 设为x，则，， ∴， ∵梯形的面积， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的函数解析式为． （3）解：①当点F在线段上时， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即点A到线段的距离为； ②当点F在延长线上时： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即点A到线段的距离为 综上：点A到线段的距离或． 44．（2024·湖北·三模）数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿平移至，交于点K，证明，即可解答； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至，证明，可得，从而得到．在上截取，连接，可证明，，，再结合，可得到，即可求解； （3）将线段沿平移至，可证得，可得到，从而得到，将线段沿平移至MN，连接，，则，根据勾股定理可得，从而得到的最小值为．再结合四边形为平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）将线段沿平移至，交于点K． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段沿平移至． ∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 将线段沿平移至MN，连接，，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴的最小值为． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识；熟练掌握平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 45．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，证明，由相似三角形的性质得出． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案． （3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图： 则四边形为矩形， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由（1）知：， ∴． （3）过C作于N，交的延长线于点M，如图3： ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型10 阿氏圆模型 46．（20-21九年级下·广东深圳·开学考试）如图，以点为圆心的圆与轴、轴分别交于点，与相切于点的直线交坐标轴分别于点、． (1)求的半径； (2)如图，连接，弦交轴于点，若，求的值． (3)如图，点为上一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）连接，由锐角三角函数可得，进而根据直角三角形的性质即可求解； （）连接，由圆周角定理可得，即得，设，，利用勾股定理可得，即得，又由直角三角形的性质可得，再由得到，代入计算即可求解； （）在轴上取一点，使，可得，得到，即得，得到求的最小值，即是求的最小值，当在同一直线上时，有最小值，最小值为的长度，进而利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵直线与相切于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的半径； （2）解：如图，连接，则， ∴， 设，， ∵， ∴在，由勾股定理可得， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴ ； （3）解：如图，在轴上取一点，使， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴求的最小值，即是求的最小值，当在同一直线上时，有最小值，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 47．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 48．（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点O作与点，易证，求出，即可证明结论； （2）连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，易得点在上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解； （3）在上取点，使得，且位于点O上方，连接，证明，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作与点， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H在上，且， ∴圆与相切； （2）解：最小值为，理由如下： 连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接， ∵， ∴， ∴点在上运动， 当三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， ∴最小值为； （3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，， ∴． 【点睛】本题主要考查点到圆上的最值问题，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造三角形相似是解题的关键． 49．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 50．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $