浙江省强基联盟A卷2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

浙江强基联盟2025年11月高二联考 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D D A C 1.D由k=一 一知倾斜角为爱，故选D, 之.By=Asin(or十g+B的最小正周期T=行故选B 3.C因为a>6>0.所以2+号>2，≥0，所以名+号+2>2.故选C 4.A圆的一般方程x2十y2十2x十4y-6=0台(x十1)2十(y十2)2=11，所以圆心为(-1，-2).故选A. 5,D因为两条直线平行，所以宁-。品≠号。=-2放选D 6.D以B1为原点建立如图空间直角坐标系，B1(0,0,0),A(2,0,2),C(0,2,2), C0,20,B0,0.2.BE=SAB,CF=号BC,E号0.2，F(0,2,2 B “B方=（号0,2），B产=(0，号，2)，B言=(00,2)，设平面EFB,的法向量为n 2 B1龙.n=0, 3x+2=0 (x,y,z), BF.n=0 3 令=-1，解得x=3,y=号得到n y+2x=0 3,D,设点B到平面EFB的距离为d,dB·m3故选D 7.A取△ABC的中心为O,球心为O,,要保证外接球球心到三棱锥的每一个点的距离相等，所以OO⊥平面 ABC,:SA⊥平面ABC,.SA∥O1O,可以画出如图截面，设O1O=x,:△ABC为等边三角形，且边长为 √3，.OA|=1,.|SO1|=AO1=r,.可以建立方程√x十1=(2-x)十1，解得x=1,那么r= √+1下=√瓦.故选A. 8C方法一：当H点在？输正半轴上时，点A区，2)在椭圆上，所以导+是-1，所以+- y=kx十， 方法二：i)当k存在时，设直线AB为y=k.x十m,A(x,y1),B(x2,y2).与椭圆联立 +芳-1.得到公+ x2 ak).x2+2akm.x十a2m2-a2b=0,根据韦达定理可得：x1十x2= 6+a6n2=am2-a2形 2 a2km 6+a2k2,0A⊥OB →OA.Oi=0,即12+yy2=0,y=kx1十m,y2=kx2十m,.1x十yy=(1+k).x1x3+km(x十x2） +m2=1+k)a2m-(1+2)a222a2k2m2 b2+a22 场产+6+akm-c+m-0tka b2十a2k2 b2十a2k 2,:1OH= m=V2→m2=2(k2+1),x1+为=@2+)m-+)a6=1+)2+2-a)=0. √k+ b+ak b2+ak2 即1+2十2疗-)=0，等式两边同时除以1+石，可得导+层-1-0，即2+合=子 ⅱ)当k不存在时，如方法一.故选C. 【高二数学卷参考答案第1页（共4页）】 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 11 ACD BC ABD 9ACD对于A2a=4正确：对于B,短销%=2V加，错误：对于C由e=台-√吾=√-受=号得 4 到m=3,正确：对于D,e= -√-√-∈(0,)3<m<4,正确：故选ACD a 10.BC:圆心O到直线1的距离d= 2E“.当k=0时，d=22,:MN1=2√=d,r=3, k2十1 ∴.MN|mn=2√32一(22)=2，故A错；设这三个点到直线距离为d,恰有三个点，则圆心到直线距离d =-d=3-2=1d=2-1,解得k=土7，放B正确：5w=号r产sin0=号sin0,又sn0- R2十I =1S=号，放C正确：设M),N.:S=号AB1(+)=号AB·m-x= 32k 4 9k2+1 3引-…S=3m-西一=√m+)=4=√D+市=2√+，令 +1=≥11m-=2√-2V月-2V8话+宽e0.当 t 品即19时-有最大值为平S=3--27y2,故D错故选C 11.ABD过点P作PP'⊥平面ABC1D1,P'在AC上，且PP|=1,过点P'作P'O⊥A,D,连接PO,|PO 即为P到AD1的距离，显然P与A重合时，距离最小为AA,|=1,所以A正确：：AC∥AC1∴.AC∥平 面ACD点P到平面ACD的距离为定值Vp-ACD为定值，所以B正确：假设PD1∥平面AEC成 立，则平面ACD,∥平面AEC1,又AC∥AC,则AD1∥EC1,与AD1∥BC1矛盾，所以假设不成立，C选 项错误：连接DP交AB于点Q,当号<AQ<1时，截面为五边形，如图I)所示：当0<AQ<或AQ=1 时，截面为四边形，如图(2)(3)所示，故D正确.故选ABD. Di D B B D --20 B 0 图(1) 图(2) 图(3) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-213.(2,-21n2)14.[0,2√15] 12.-2.a⊥b,∴.a·b=0,a·b=-1+(-m)-1=0,∴.m=-2. 〔11 13.(2,-21n2》:F-直≠0r≠0且x≠4r)的定义域为(-0,0)U(0,4U(4,+0),对称 x≠0 中心的很坐标x=0生-2，由f2)=n号-子=一2n2可得对称中心为2，-2n2》. 2 14.[0,2V5]由O=号A知AQ=20P=4,所以Q点轨迹方程C:(x-4)2+y2=16,由圆性质知 QM=OQ2-OMz=√OQ2-4,因为|AO引=4∈(2,6)，所以两圆相交，所以1OQ|∈[2,8]，故 QM∈[0,2w15]. 【高二数学卷参考答案第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.解：(1)由频率分布直方图可知：(0.004十0.008+0.012十a)×25=1,解得a=0.016. …5分 0.012 (②)一个学期自修时间落在[75.100)的抽取人数为7×0.012千0.06-3。…9分 0.016 一个学期自修时间落在[100.125)的抽取人数为7X0.012千0.06=4.…13分 16.解：(1)由题意知C1到y轴的距离为1，r=√2，根据圆的弦长公式得：|AB=2√r一严=2，所以|AB=2, 另：在C1中令x=0得y=士1，所以AB引=2.……5分 (2)由C1C2=3√2→√/32十a2=18>a=士3.…10分 ③)不妨设P(-4,0),Q(0,-4),所以PQ=42,设点E到L的距离为d。因为C,到1的距离为所 以号-反<d<号+反.所以Sm=PQ·dE[6.10. 15分 1+9 a2十4=1, 17.解：(1)由题意： a2 4” 解得公=4，=3，则椭圆C的方程为：号十苦-1， 5分 (2)由题意：M+2N庐=0，设M(x1y),N(xy),因为F(1,0), 所以M市=(1-x1,-y),2N庐=2(1-x2,-y),可得十2x2=3. 7分 设直线MN的方程为y=k(x-1), y=k(x-1), 联立 ∴.(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. 8k2 电韦达定理得x十x=3十419二4-12 3+4k2 ,…10分 2=9+462 -9+4k2 3+4农1=3十4k2, 即装·2解得= 3+4·3+4k 2· 14分 直线MN的方程为y=士5(x一1D.…。 15分 2 18.解：(1)证明：因为O是AB的中点，AB=2,所以OA=OB=1. 在△A1OA中，OA=1,A1O=2,A1A=√5. 所以OA+A1O=1+2=5=A1A,所以∠A1OA=90°，即A1O⊥OA. 又AO⊥BC,BC∩AO=B,OAC底面ABC,BCC底面ABC, 所以AO底面ABC…5分 (2)以O为原点，OA为x轴，过O作平行于BC的直线为y轴，A1O为轴，建立坐标系， 由题可得：O(0,0,0),A(1,0,0),B(-1,0,0),C(-1,2,0),A1(0,0,2),C(-2,2,2)(CC1∥A1A且长度相 等)，AC=(-3,2,2).…7分 又平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),所以sin0= |AC·nL= 0+0+2 2 |AC1n√(-3)2+2+2×1/17 =217 17 综上：AC与平面ABC所成角的正弦值为2T 17· 12分 【高二数学卷参考答案第3页（共4页）】 (3)设平面A1BC的一个法向量为n1=(x,y,x), 所以 n1·BA=0即 x十2x=0, n·BC=0,即{-r+2y+22=0,令=-1，则c=2y=2. 所以1=(2,2，-1)，又平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),…14分 -1 所以cos0= n·n1 Tm1m=1X/2+2+(-1) 3’…16分 所以平面A:BC与底面ABC所成夹角的余弦值为3· ……17分 19.解：(1)设P(a,0),Q(0,b),因为PQ=3,所以a2+b=9①， 设T(x,,由PT=1,且P时=号F.可得P7=(女-a),P=(-a,b. T-q=- 3a, 号7，b=3y②， -b 将@代入①.可得号+少=1， 所以动点T的轨迹C的方程为写+y=1 …5分 (2)设T(x0y),则xo>0,y<0, 因为△OB:R与△A,TR的面积相等，则△TA:B2与△OAB:的面积相等，则有OT∥A,B:, 又A:2.0),品(0,1)，所以km=马=-之 故直线0T的方程为y=一 7分 1 y= 2, 由 解得x品=2， 4十y2=1, 即-Ew=-合X2=- 2 则点T的坐标为亿，-号. 10分 (3)设AB:x=my十√3，A(x1y1),B(x2,y2). 由r=my3(m2+4)y+2W3my-1=0, x2+4y2=4, 2v3m 1 则十为=一经w=十4 12分 Sa十号Sm-Saw=S十SE=(Sa十 1 S△GMN=S△DMN+S△DNG-S△DMG= Sa0e)=7··DE·AM=8DE·AB.… 14分 由(1)，|AB|=√m2+I|y-y2|=√m+T·√(y十)-4yy=Vm+I·√(y+2)-4y2 =√m2+1· 2√3m 16m2+16_4(m2+1), m2+4 +4X1 Xm+4Vm+百·√m+ m十4， 用-元代换m可得DE到=4m卫 4m2+1, 所以5吉AB1DE-吉1m中出.P≥2 (m2+1)2 8(m2+1)28 m2+4 m+4+4m2+1)=25(m2+1)=25: 2 当且仅当m2+4=4m2+1即m2=1时，(SMNG=25 8 …………………………………… 17分 【高二数学卷参考答案第4页（共4页）】浙江强基联盟2025年11月高二联考 数学 试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 吹 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.直线x+√3y一2025=0的倾斜角为 A晋 B. C.3 D.6 长 2.在下列函数中，以π为最小正周期的是 点 A.f(x)=sin x B.f(x)=sin 2x 分 C.f(x)=sin x+cos x D.f(x)=tan 2x 3.设a,b,c∈R且a>b>0,则 3 A.acbc B.ac2>bc2 D.a-c<b+c 4.已知圆的方程为x2+y+2.x十4y一6=0，则圆心坐标为 A.(-1,-2) B.(-2,-1) C.(-2,-4) D.(-4,-2) 5.“a=1”是“直线ax+2y十a=0与直线x十(a+1)y+1=0互相平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在直三棱柱ABC-A1BC1中，BA⊥BC,BA=BC=BB1=2,E,F分别是棱AB,BC上的点， 且BE=3AB,CF=BC,则点B到平面EFB,的距离为 A吉 B号 C.06 D.3V106 53 53 7.已知三棱锥S-ABC,底面△ABC是边长为V3的正三角形，SA⊥平面ABC且SA=2,则三 棱锥S一ABC的外接球的半径为 A.√2 B.1 c 【高二数学第1页（共4页）】 8.已知0为坐标原点，直线1与椭圆E:若+若=1(a>>0)文于A.B两点，0H1AB,垂足为 H,若OA⊥OB,OH=2,则是+是的值为 A.② B.√2 c D.2 2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知椭图C:聋+片-10<m<),则下列说法正确的是 A.椭圆C长轴长为4 B.椭圆的短轴长为m C.若椭圆C的离心率为)，则m=3 D.当椭圆C的离心率e∈(0，号)时，3<m<4 10.已知圆O:x2十y2=9,直线l:y=kx十2√2与圆O交于M,N两点，则下列正确的是 A.MN的最大值为2 B.当圆O上恰有3个点到直线的距离为2时，k=士√7 C.△OMN面积的最大值为号 D.A(0,3),B(0,一3)，四边形AMBV面积的最大值为6 11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB,中点，点P在线段AC(包括端点)上 运动，则下列结论正确的是 A.点P到直线A,D1的距离的最小值为1 B.三棱锥P一A1C1D的体积为定值 C.直线PD1∥平面A,EC D.过D,P,E作平面截正方体表面所得的图形一定是四边形或五边形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知向量a=(-1,m,-1),b=(1,-1,1),若a⊥b,则m=▲ 13.已知函数f(x)=1n1-1 x 4 ,则函数f(x)的对称中心为▲ 14.已知圆0：x+y=4,P是圆0上的动点，点A(4,0),点Q满足O=)A0,过点Q做圆0 的切线，切点为M,则QM的取值范围为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(13分) 假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年级学生一个学期自修时间（单 位：小时)，所得数据都在[50,150]内，将所得的数据分成4组：[50,75)，[75,100)， [100,125),[125,150],得到如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0.012 0.008 0.00 05075100125150时间1小时 (1)求a的值. (2)从[75,100)和[100,125)这两组用按比例分层抽样的方法抽取7名学生，则[75,100)和 [100,125)中抽取的人数分别是多少？ 16.(15分) 已知直线l:x+y+4=0,圆C1:(x-1)2十y2=2;C2:(x-4)2十(y-a)2=8, (1)圆C与y轴交于A,B两点，求|AB: (2)若圆C1与C2外切，求a的值： (3)若直线1与两坐标轴交于P,Q两点，E在圆C1上，求△EPQ面积的取值范围. 17.(15分) 已知椭周C后+芳=-1o>6>0)经过点P1,受且离心率为分，P是有焦点，过焦点F的 y 直线交椭圆C于M,N两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若MF=2FV,求直线MN的方程. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在三棱柱ABC一AB:C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，AB =BC=2,∠ABC=90°，O为AB的中点，A1O=2,AA1=√5，且BC⊥平 面ABB1A1. (1)求证：AO⊥底面ABC: (2)求AC与平面ABC所成角的正弦值： (3)求平面A,BC与底面ABC所成夹角的余弦值. 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段PQ的两个端点P,Q分别在x轴，y轴上滑 动，PQ=3,点T是线段PQ上一点，且|PT=1,点T随线段PQ的滑动而运动， (1)求动点T的轨迹C的方程； (2)若点T在第四象限，点A2(2,0),B2(0,1),直线B2T交x轴于点R,若△OB2R与 △A2TR的面积相等，求点T的坐标； :K (3)过点F(3,0)的直线l交轨迹C于A,B两点，过点F与l垂直的直线交轨迹C于D,E 两点，其中B,D在x轴上方，M,N分别为线段AB,DE的中点，设G为直线AE与直线 BD的交点(D点在线段BG上)，求△GMN面积的最小值， 【高二数学第4页（共4页）】