精品解析：北京市第三十五中学2025-2026学年高一上学期期中测试数学试题

北京市第三十五中学2025-2026学年高一上学期期中测试 数学试题 I卷 一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分.每小题只有一个正确选项） 1. 已知集合，则A∩B＝ A. {0} B. {0，1} C. {1，2} D. {0，1，2} 2. 已知命题，使得”，则为（ ） A. “” B. ” C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 10 4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（ ） A. B. 当时， C. 函数有且仅有一个零点 D. 函数可能无零点 7. 已知，则“”是“不等式的解集为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（ ） A. f（﹣x1）＞f（﹣x2） B. f（﹣x1）＝f（﹣x2） C. f（﹣x1）＜f（﹣x2） D. f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定 9. 数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ） A. B. C. D. 10. 对于集合，称定义域与值域均为的函数为集合上的等域函数.若，使为上的等域函数，则负数的取值范围是（ ） A. B. C. D. II卷 二、填空题（共5个小题，每题5分，共25分.） 11. 函数的定义域是___________. 12. 已知一元二次方程的两根为，则=___________. 13. 关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的的值为______. 14. 已知函数，则___________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是___________. 15. 设函数的定义域为，若满足：“，都存在，使得”则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数具有性质； ②所有奇函数都具有性质； ③若函数和函数都具有性质，则函数也具有性质； ④若函数，具有性质，则. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题（共6个大题，共85分） 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明：在区间上是增函数； （3）写出函数的最值，及取到最值时对应的值（不需说明理由，直接写出结论即可）. 18. 已知关于的不等式的解集为. （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，集合中有且仅有1个整数，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集. 19. 已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为-4. （1）求的解析式； （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围. 20. 某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. （1）求的值； （2）试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 21. 设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． （1）试判断集合和是否具有性质？并说明理由． （2）若．证明：A不可能具有性质． （3）若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第三十五中学2025-2026学年高一上学期期中测试 数学试题 I卷 一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分.每小题只有一个正确选项） 1. 已知集合，则A∩B＝ A. {0} B. {0，1} C. {1，2} D. {0，1，2} 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合B，再根据集合的交集的概念得到结果. 【详解】集合=；，则A∩B＝{0，1}. 故答案为B. 【点睛】与集合元素有关问题的思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2. 已知命题，使得”，则为（ ） A. “” B. ” C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于存在量词的命题的否定，只需改变量词，否定结论即得. 【详解】命题，使得”的否定为：”. 故选：B. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数和函数单调性相关知识逐一判断即可． 【详解】对于A，是偶函数，不符合题意； 对于B，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于C，是奇函数，在和单调递减，不符合题意； 对于D，是奇函数，且，在上单调递增，符合题意； 故选：D ． 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，结合不等式的性质求出的取值范围即可. 【详解】因为，所以 又，所以， 所以的取值范围是， 故选：A. 6. 已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（ ） A. B. 当时， C. 函数有且仅有一个零点 D. 函数可能无零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB；利用零点存在性定理判断CD. 【详解】对于A，因为函数是上的增函数，所以，正确； 对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，正确； 对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，正确； 对于D，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，错误， 故选：D. 7. 已知，则“”是“不等式的解集为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出“不等式的解集为”的等价条件，再考查两个范围之间的包含关系即得结论. 【详解】由题意，不等式的解集为，可分为两种情况： ①当时，不等式为，显然符合题意； ②当时，需使，解得. 综上，可得不等式的解集为 ， 因是的真子集，故“”是“不等式的解集为”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（ ） A. f（﹣x1）＞f（﹣x2） B. f（﹣x1）＝f（﹣x2） C. f（﹣x1）＜f（﹣x2） D. f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】 由条件可得在上是增函数，根据条件可得，所以，从而得出答案. 【详解】是R上的偶函数，且在上是减函数 故在上是增函数 因为且，故； 所以有，又因为 所以有 故选：A. 9. 数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从图中观察，显然图1的阴影部分面积不小于图2矩形的阴影面积，建立不等式即可. 【详解】为等腰直角三角形,且，， ， ,四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 10. 对于集合，称定义域与值域均为的函数为集合上的等域函数.若，使为上的等域函数，则负数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接按探讨，结合的取值情况确定，再利用一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】当，则，依题意有，从而在上单调递增， 于是，则方程，即有两个不等的负实根， 因此，又，解得， 所以负数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题确定函数的单调性，得出，再构造一元二次方程，利用一元二次方程根的分布求解是关键. II卷 二、填空题（共5个小题，每题5分，共25分.） 11. 函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的解析式有意义可得. 【详解】要使函数有意义，则，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知一元二次方程的两根为，则=___________. 【答案】19 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方和公式进行求解即可. 【详解】一元二次方程的两根为，，所以有， 因此， 故答案为： 13. 关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的的值为______. 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据条件，得到，解得，即可求解. 【详解】因为的一元二次方程有一个正根和一个负根， 所以，解得，所以满足条件的的值为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 14. 已知函数，则___________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可得第一空；根据题意求的解析式并作出图象，分析可知函数与有两个不同交点，结合图象即可得结果. 【详解】因为， 则，所以‘ 当时，单调递减，且； 当时，单调递减，且，则； 则，作出函数的图象如下： 若方程有两个不同解，等价于函数与有两个不同交点， 结合图象可得，所以实数k的取值范围是. 故答案为：； 15. 设函数的定义域为，若满足：“，都存在，使得”则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数具有性质； ②所有奇函数都具有性质； ③若函数和函数都具有性质，则函数也具有性质； ④若函数，具有性质，则. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据函数具有性质，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论. 【详解】由题知，若满足性质即：“，都存在，使得” 则的值域关于原点对称. 对于①，函数，值域为关于原点对称，显然具有性质，故正确； 对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意的都有， 则值域关于原点对称，显然具有性质，故正确； 对于③，设，，值域为，具有性质， ，，值域为，具有性质， ，，值域为，不具有性质，故错误； 对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称. 又 ，时，的值域为， 则，解得，故正确. 故答案为:①②④. 三、解答题（共6个大题，共85分） 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或； （2）. 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式和一元二次不等式，再由集合的交并补运算可得； （2）先解绝对值不等式，再将集合的运算关系转化为包含关系可得. 【小问1详解】 由，得到或，即或， 再由，得，解得，所以， 或，，如图： 或； 【小问2详解】 由，且，得到， 又因为，且，所以，解得，如图： 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明：在区间上是增函数； （3）写出函数的最值，及取到最值时对应的值（不需说明理由，直接写出结论即可）. 【答案】（1） 由题意知的定义域关于原点对称， 且，所以为奇函数. （2） 设任意， 因为，所以，所以，即 故函数在上单调递增 （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）直接根据函数的奇偶性定义可得； （2）直接用单调性的定义证明可得； （3）根据函数的单调性可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数在上单调递增， 故当时，， 故当时，. 18. 已知关于的不等式的解集为. （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，集合中有且仅有1个整数，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 当，不等式的解集为； 当且，即时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）把代入求解即可； （2）含参讨论解一元二次不等式，结合不等式解集中的整数解计算即可； （3）根据题意，分，，，讨论求解即可． 【小问1详解】 因为，所以当时，. 将代入得，解得； 【小问2详解】 由，因式分解得， 因为，所以，不等式的解集=， 因为集合A中有且仅有1个整数，这个整数只能是0， 所以， 解得； 【小问3详解】 由，因式分解得， 当，不等式的解集为； 当且，即时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为-4. （1）求的解析式； （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二次函数对称轴、最值已知，则可设顶点式，代入点求解即可； （2）在恒成立转化为，由二次函数性质求出，解不等式即可； （3）由二次函数性质，分与讨论，列不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，设， 则，， 则. 【小问2详解】 令在恒成立即， 当时，，即. 【小问3详解】 在上只有一个零点， 当时，即，解得或 当时，不满足题意，舍去， 当时，满足题意， 当时，当，解得，此时在上只有一个零点， 由于，当时，此时，此时， 解得或（舍去），满足条件，因此， 综上：的取值范围是. 20. 某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. （1）求的值； （2）试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 【答案】（1） （2） （3）万元 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的条件直接可得； （2）分别计算生产投入费用、维护投入费用、广告费用即可得年总成本； （3）根据基本不等式可得利润最高值. 【小问1详解】 由题意，当时，，解得. 【小问2详解】 由题意，设生产（万件）产品的广告费用x（万元），维护投入费用万元，生产投入费用万元. 所以该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式为： ，； 【小问3详解】 设年利润为万元， 则， 因为，所以， 当且仅当即时，取最大值， 所以广告费用为万元时，厂家的年利润最高. 21. 设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． （1）试判断集合和是否具有性质？并说明理由． （2）若．证明：A不可能具有性质． （3）若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值． 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由如下： 因为，又， 但，所以集合不具有性质， 因为，又， 但， 所以集合具有性质. （2） 将集合中的元素分为如下个集合， ， 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为， 所以A不可能具有性质. 先说明连续11项中集合中最多选取5项， （3）920 【解析】 【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可； （2）将分为个子集，结合抽屉原理证明结论； （3）先证明连续个自然数中至多有个元素属于，由此可得集合A中元素个数不超过个，再举例说明存在含有个元素的满足要求的集合. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩. 故中属于集合的元素个数不超过5个. ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项； 从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素. 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. 【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $