4.3.2 第2课时 余角和补角（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦余角和补角的概念及性质，以比萨斜塔情境和折叠长方形纸片活动导入，衔接角的度量与计算，通过具体实例搭建从直观到抽象的学习支架，帮助学生理解互余互补关系。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过表格观察归纳性质发展推理意识，用方程思想解决角度问题提升运算能力，几何语言与表格小结强化符号意识。既助学生发展空间观念与逻辑推理，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

4.3 角 第4章 图形的认识 4.3.2 角的度量与计算 第2课时 余角和补角 ÷ 七年级上册数学（湘教版） 1. 在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质. 2. 运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理. 3. 通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想. 重点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质， 并能运用性质. 难点：运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理. 教学目标 1 2 比萨斜塔 ∠1 与∠2 有什么数量关系？ 情境导入 1 3 比萨斜塔 ∠1 与∠3 有什么数量关系？ 活动：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了 4 个角. 1 2 4 3 思考： 1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？ ∠1 +∠2 = 90°. 2. ∠3 与∠4 有什么数量关系？ ∠3 +∠4 = 180°. 余角和补角的概念 1 探究新知 2 如果两个角的和等于一个直角 ( 90° )，那么说这两个角互为余角 ( 简称互余 ). 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和 ∠2互余. 1 几何语言表示为： 若∠1 +∠2 = 90°， 则∠1与∠2互为余角 如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么说这两个角互为补角 ( 简称互补 ). 如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补. 3 4 几何语言表示为： 若∠3+∠4 = 180°， 则∠3 与∠4 互为补角 知识要点 1. 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15° 24° 66° 75° 46.2° 43.8° 练一练 2. 图中给出的各角，哪些互为补角？ 10° 30° 60° 80° 100° 120° 150° 170° ∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90) 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° (90－x)° (180－x)° 观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____. 90° 观察与思考 5）如果∠1 = 30°，∠2 = 25°，∠3 = 35°，那么∠1、∠2、∠3 这三个角互为余角. （ ） 3）同一个角的补角比它的余角大 90 度. （ ） 4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. （ ） 2）一个角的补角必为钝角. （ ） 1）一个角的余角必为锐角. （ ） × √ × √ × 判一判 余角和补角的性质 2 (1) 如图 (a)， ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，那么∠2 与∠3 有什么大小关系? 想一想 由于∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180° 所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1. 因此 ∠2 =∠3 (等量代换) . 同角(或等角)的补角相等. 1 2 3 (a) (2) 如图 (b)，∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，那么∠5 与∠6 有什么大小关系? 由于∠4 +∠5 = 90°，∠4 +∠6 = 90° 所以∠5 = 9° - ∠4，∠6 = 90° - ∠4. 因此 ∠5 =∠6 (等量代换) . 同角(或等角)的余角相等. 4 5 6 (b) 例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数. 解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOD = 90° -∠AOB = 90° - 29.66° = 60.34°. 又因为 OC 是∠BOD 的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 29.66° 所以 30.17° 典例精析 3. 如图，已知 O 为 AD 上一点，∠AOC 与∠AOB 互补，OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON = 40°，试求∠AOC 与∠AOB 的度数． O D A B C N M 解：设∠AOB = x. 因为∠AOC 与∠AOB 互补， 所以∠AOC = 180° - x． 练一练 所以 解得 x = 50°. 则 180° - x = 130°. 即∠AOB = 50°，∠AOC = 130°. O D A B C N M 因为 OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线， 所以∠AOM = (180° - x)，∠AON = . 例2 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个 角的度数. 解：设这个角为 x°，则这个角的余角为 (90 - x)°， 补角为 (180 - x)°. 根据题意，得 ， 解得 x = 45. 因此，这个角为 45°. 典例精析 4.已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多 30°，求∠B的度数. 解：设∠B 的度数为 x°，则 ∠A 的度数为 (3x + 30)°. 根据题意得： x + ( 3x + 30 ) = 90. 解得 x = 15. 故 ∠B 的度数为 15°. 方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题. 练一练 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 2 1 4 3 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠3 +∠4 = 180° 或∠3 = 180° -∠4 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 课堂小结 2. 一个角的余角是它的 2 倍，这个角的度数是（ 　） A．30° B．45° C．60° D．75° A 1. 下列说法正确的是（　　） A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角 D 课堂练习 3. 已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若∠A = 60°，则∠C 的度数是_______. 150° 4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= . 62° 28° 5. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 (180－x)°， 余角是 (90－x)°. 根据题意，得 180－x = 4(90－x). 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60°. 6. 如图，已知直线 AB 和 CD 相交于点 O，OM 平分∠BOD，∠MON 是直角，∠AOC = 50°. (1)求∠BOD的度数. 解 ：因为 ∠AOC +∠AOD =180°， ∠BOD +∠AOD = 180° 且 ∠AOC = 50°， 所以∠BOD =∠AOC = 50° (同角的补角相等). 因此，∠BOD 的度数是 50°. (2) 求 ∠DON 的度数. 解：因为 OM 平分∠BOD 且∠BOD = 50° (已知)， 所以∠DOM = ∠BOD = ×50° = 25°. 因为 ∠DON 与∠DOM 互余， 所以 ∠DON = 90° -∠DOM = 90° - 25° = 65°. 因此， ∠DON 的度数是 65°. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $