3.5 认识二元一次方程组（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，通过“鸡兔同笼”问题导入，从学生已学的一元一次方程解法过渡到设两个未知数，建立新旧知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于以实际问题为情境培养数学眼光，通过合作探究中的表格分析等量关系发展推理意识，结合典例精析与课堂练习强化模型意识。采用情境导入、合作探究等方法，小结清晰，学生能直观理解概念，教师可高效开展教学。

3.5 认识二元一次方程组 第3章 一元一次方程 ÷ 七年级上册数学（湘教版） 1. 了解二元一次方程、二元一次方程组和它的一个解的含义. 2. 能根据简单的实际问题列二元一次方程组，会检验一对数是不是某个二元一次方程 (组) 的解. 3. 通过问题情境得出二元一次方程 (组)，体会方程 (组)是刻画现实世界的一个有效模型，同时培养学生探究创新的精神，增强合作交流的意识. 重点：二元一次方程组及其解的含义. 难点：理解二元一次方程组的解的含义. 教学目标 还记得前面所学的《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题吗？ 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? 能否设两个未知数解决？ 解：设免有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 4x + 2(35－x) = 94. 情境导入 二元一次方程组 1 (1) 找出，上述趣题中的等量关系： 探究：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? (1) 兔的只数＋鸡的只数＝35； (2) 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. (2) 若设兔有 x 只，鸡有 y 只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？ 探究新知 合作探究 设兔有 x 只，鸡有 y 只， 脚数 35 只数 合计 鸡 兔 x y 4x 2y 94 4x＋2y＝94 x＋y＝35 能否类比一元一次方程尝试总结定义？ 知识要点 上述两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫作二元一次方程. 注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1， 而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程 就不是一次方程； (2) 方程的左右两边都是整式. 4x＋2y＝94 x＋y＝35 总结 判断要点： ①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0. 例1 判断下列方程是否为二元一次方程： 是 不是 是 不是 不是 不是 典例精析 例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋n ＝_____． 0 | m |＝1 |m－1|≠0 2n－1 ＝ 1 m ＝ －1 n ＝ 1 m＋n ＝0 典例精析 1. 若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m =____，n =____. 1 1 ∠1 = ∠2 2m - 1 = 1 m = 1 n = 1 3n - 2m = 1 练一练 知识要点 4x＋2y＝94 x＋y＝35 如何解决上述“鸡兔同笼”问题呢？ 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组. 两个等量关系需要同时成立. 二元一次方程组的解 2 合作探究 满足方程 x＋y＝35，且符合问题的实际意义 (鸡兔的只数) 的值有哪些？把它们填入表中. 思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 方程的解 x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ... x y x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ② 思考2　上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？ x = 12，y = 23. 公共解 总结 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. (12，23) x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ... 知识要点 一般地，对于未知数为 x，y 的二元一次方程组，若 x，y 分别用数 c1，c2 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2) 叫作这个方程组的一个解. x＝c1， y＝c2， 习惯上记作 求方程组的解的过程叫作解方程组. x＝12， y＝23. x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ② 例3 若 是关于 x、y 的方程 x－ky = 1 的解，则 k 的值为 . －1 x = -2， y = 3 典例精析 C 2. 二元一次方程组 的解是 ( ) A. C. D. B. x = 4， y = 2 x + 2y = 10， y = 2x x = 3， y = 6 x = 4， y = 3 x = 2， y = 4 总结 一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组只有一个解. 练一练 例4 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. x＝3， y＝4 (2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 典例精析 ∠1 = ∠2 分析：本题中等量关系如下： 购买练习本所花的钱＋购买圆珠笔所花的钱＝17 元， 购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1 元. 解：(1) 根据等量关系，得 3x＋2y＝17，① 3x－2y＝1. ② (2) 把 x 用 3，y 用 4 分别代入方程 ①② 可得： 方程 ① 左边的值是 3×3＋2×4＝17，方程①右边的值也是 17； 方程 ② 左边的值为 3×3－2×4＝1，方程②右边的值也是 1. x＝3， y＝4 因此， 是列出的二元一次方程组的一个解 二元一次方程 ①每个方程含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______ 使二元一次方程左右两边的值 的两个 的值 二元一次方程组 ①含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______； ③一共有__个方程 二元一次方程组的两个方程的______ 两 都是 1 两 都是 1 两 相等 公共解 未知数 解 解 课堂小结 1. 下列不是二元一次方程组的是 ( 　 ) B x + = 1， y + x = 2 A. x + y = 3， x - y = 1 B. C. D. 6x + 4y = 9， y = 3x + 4 x = 1， y = 1 2. 若 2x2m+3 + 3y3n-7 = 0 是关于 x、y 的二元一次方程， 则 m =______，n =______. -1 8 3 课堂练习 3. 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件.现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组. 解：设安排第一道工序为 x 人，第二道工序为 y 人.根据题意得 能力提升 4. 已知关于 x，y 的方程组 的解是 其中 y 的值不小心被蘸上了墨水，请问仍能求出 a 的值吗？如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由. x = 4 是方程的解 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $