专题16.6 完全平方公式（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题16.6 完全平方公式 教学目标 1. 掌握完全平方公式以及完全平方公式的特点，完全平方公式的几何意义并能够熟练应用其解决问题。 2. 掌握添加括号的法则，能够熟练的运用。 教学重难点 1. 重点 （1） 完全平方公式。 2. 难点 （1）利用完全平方公式的变形求值； （2）利用完全平方公式的。 知识点01 完全平方公式 1. 完全平方公式： ①完全平方和公式： 两个数的和的平方，等于这两个数的 平方 的和 加上 这两个数乘积的两倍。 即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。 ②完全平方差公式： 两个数的差的平方，等于这两个数的 平方 的和 减去 这两个数的乘积的两倍。 即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。 2. 完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 平方的和 加上这两项的 两倍 。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 3. 完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 4. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 【即学即练1】 1．计算： （1）（﹣2m+n）2： （2）（﹣2m﹣n）2： （3）（2a+b）2﹣（2a﹣b）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（﹣2m+n）2 ＝（﹣2m）2﹣2•2m•n+n2 ＝4m2﹣4mn+n2； （2）（﹣2m﹣n）2 ＝（﹣2m）2+2•（﹣2m）•（﹣n）+（﹣n）2 ＝4m2+4mn+n2； （3）（2a+b）2﹣（2a﹣b）2 ＝（4a2+4ab+b2）﹣（4a2﹣4ab+b2） ＝8ab． 【即学即练2】 2．利用完全平方公式进行简便运算： （1）1012＝（ 　100　 +　1　 ）2＝　10201　 ； （2）9.82＝（ 　10　 ﹣　0.2　 ）2＝　96.04　 ． 【答案】（1）100；1；10201； （2）10；0.2；96.04． 【解答】解：（1）1012＝（100+1）2＝10201， 故答案为：100；1；10201； （2）9.82＝（10﹣0.2）2＝96.04， 故答案为：10；0.2；96.04． 【即学即练3】 3．已知a﹣b＝3，ab＝10，那么a2+b2的值为（　　） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】C 【解答】解：将a﹣b＝3两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9， 把ab＝10代入得：a2+b2﹣20＝9， 则a2+b2＝29． 故选：C． 【即学即练4】 4．已知（a+b）2＝25，ab＝6，则a﹣b等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．以上都不正确 【答案】C 【解答】解：∵（a+b）2＝25，ab＝6， ∴a﹣b ＝± ＝± ＝±1， 故选：C． 【即学即练5】 5．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 【答案】D 【解答】解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2， ∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2， ∴墨迹覆盖的这一项是±20xy， 故选：D． 【即学即练6】 6．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：　（a+b）2＝a2+b2+2ab ； 图2表示：　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy和（x﹣y）2的值； （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是 　32　 ． 【答案】（1）：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）8；4； （3）32． 【解答】解：（1）图1中，由图可知， ， 由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和， 即（a+b）2＝a2+b2+2ab， 图2中，由图可知，，S四个长方形＝4ab， 由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形， 即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． （2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy， ∴， ∵x+y＝6，x2+y2＝20， ∴xy（62﹣20）＝8， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4． （3）由题意得AB＝AC+CB， ∵AB＝12， ∴AC+CB＝12， ∵S1+S2＝80， ∴AC2+CB2＝80， ∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC⋅CB， ∴ （122﹣80） ＝32， ∴阴影部分的面积＝CD•CB＝AC•CB＝32， 即图中阴影部分的面积为32． 故答案为：32． 知识点02 添括号法则 1. 添括号法则： 在条加括号时，若括号前面时正号，括到括号里面的每一项都 不变号 ，若括号前面是负号，则括到括号里面的每一项都要 变号 。 即：＝（）；＝（ ） 【即学即练1】 7．计算： （1）（a﹣2b+3c）2； （2）（3x+y﹣2）（3x﹣y+2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（a﹣2b+3c）2 ＝（a﹣2b）2+9c2﹣6c（a﹣2b） ＝a2﹣4ab+4b2+6ac﹣12bc+9c2； （2）（3x）2﹣（y﹣2）2＝9x2﹣y2+4y﹣4． 题型01 利用完全平方公式计算 【典例1】下列等式一定成立的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 【答案】D 【解答】解：A．（x+y）2＝x2+2xy+y2，因此选项A不符合题意； B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，因此选项B不符合题意； C．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2＝（x+y）2，因此选项C不符合题意； D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝（y﹣x）2，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（4m+n）2 ＝16m2+8mn+n2； （2） ＝y2﹣y； （3）（﹣a﹣b）2； ＝a2+2ab+b2； （4）（﹣a+b）2 ＝a2﹣2ab+b2． 【变式2】计算： （1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2． （3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝x2﹣2•x•6+62 ＝x2﹣12x+36； （2）原式＝（﹣2x）2+2•（﹣2x）•（﹣y）+（﹣y）2 ＝4x2+4xy+y2； （3）原式＝（﹣p）2+2•（﹣p）•3q+（3q）2 ＝p2﹣6pq+9q2； （4）原式＝[4m2﹣n2]2 ＝16m4﹣8m2n2+n4． 【变式3】计算： （1）（2a+b﹣3c）（2a﹣b+3c）； （2）（a﹣2b+3c）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝[2a+（b﹣3c）][2a﹣（b﹣3c）] ＝4a2﹣（b﹣3c）2 ＝4a2﹣b2+6bc﹣9c2． （2）原式＝[（a﹣2b）+3c]2 ＝（a﹣2b）2+6c（a﹣2b）+9c2 ＝a2﹣4ab+4b2+6ac﹣12bc+9c2． 题型02 利用完全平方公式简便运算 【典例1】用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：原式＝20252﹣2×2025×2024+20242 ＝（2025﹣2024）2 ＝12 ＝1． 故答案为：1． 【变式1】用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01； （2）2022+202×196+982． 【答案】（1）100；（2）90000． 【解答】解：（1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝10.12﹣2×10.1×0.1+0.12＝（10.1﹣0.1）2＝100； （2）2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982＝（202+98）2＝3002＝90000． 【变式2】利用完全平方公式简便计算： （1）20192； （2）1012+992． 【答案】（1）4076361； （2）20002． 【解答】解：（1）原式＝（2020﹣1）2 ＝4080400﹣4040+1 ＝4076361； （2）原式＝（100+1）2+（100﹣1）2 ＝10000+200+1+10000﹣200+1 ＝20002． 题型03 利用完全平方公式变形求值 【典例1】已知x+y＝7，xy＝2，则x2+y2的值为　45　 ． 【答案】45． 【解答】解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∴x2+y2＝72﹣2×2＝45． 故答案为：45． 【变式1】若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 【答案】A 【解答】解：∵a2﹣b2＝15， ∴（a+b）（a﹣b）＝15， ∵（a﹣b）2＝9， ∴a﹣b＝±3， ∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴a﹣b＝﹣3， ∴a+b＝﹣5， ∴（a+b）2＝25， ∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝25﹣9＝16， ∴ab＝4， 即ab的值为4， 故选：A． 【变式2】已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 【答案】C 【解答】解：∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， ∴12﹣4×2＝（a﹣b）2， ∴（a﹣b）2＝4， 故选：C． 【变式3】若（x+y）2＝25，xy＝6，则x2+y2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．37 【答案】A 【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，xy＝6， ∴x2+2×6+y2＝25， ∴x2+y2＝25﹣12＝13． 故答案选：A． 【变式4】已知3，则的值为（　　） A．9 B．7 C．11 D．6 【答案】C 【解答】解：∵3， ∴（）22＝9， ∴11． 故选：C． 题型04 利用完全平方公式的特点求值 【典例1】如果x2+ax+4是一个完全平方式，那么a是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【答案】D 【解答】解：∵x2+ax+4是一个完全平方式， ∴x2+ax+4＝x2±2x×2+22， ∴a＝±2×2＝±4． 故选：D． 【变式1】x2﹣（m+1）x+49是完全平方式，求m的值是（　　） A．6或﹣8 B．13 C．﹣8 D．13或﹣15 【答案】D 【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+49是完全平方式， ∴﹣（m+1）＝±14， 即m+1＝﹣14或m+1＝14， 解得：m＝13或﹣15， 故选：D． 【变式2】若x2﹣3（a+1）x+16是一个完全平方式，则a的值为　或　 ． 【答案】或． 【解答】解：∵x2﹣3（a+1）x+16是完全平方式， ∴中间项﹣3（a+1）x＝±2x•4， 即﹣3（a+1）＝±8． 当﹣3（a+1）＝8时，﹣3a﹣3＝8，解得； 当﹣3（a+1）＝﹣8时，﹣3a﹣3＝﹣8，解得． 故答案为：或． 【变式3】多项式4x2+1加上一个单项式后，就会成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①﹣2，②±4x，③﹣3x2，④4x4中的（　　） A．② B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：①多项式4x2+1加上﹣2后，多项式为4x2+1﹣2＝4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），是平方差不是完全平方，不符合题意； ②多项式4x2+1加上±4x后，多项式为4x2+1±4x＝（2x±1）2，是完全平方，符合题意； ③多项式4x2+1加上﹣3x2后，多项式为4x2+1﹣3x2＝x2+1，不是完全平方，不符合题意； ④多项式4x2+1加上4x4后，多项式为4x2+1+4x4＝（2x2+1）2，是完全平方，符合题意． 故选：C． 题型05 完全平方公式的几何意义 【典例1】如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】C 【解答】解：图中左下角的正方形面积可以表示为：（a﹣b）2，也可以表示为a2﹣2ab+b2， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故选：C． 【变式1】如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示a+b，a﹣b与ab之间的关系，则这个关系是（　　） A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2ab C．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣4ab 【答案】A 【解答】解：图②中，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，四个图①长方形的面积和为4ab， 所以有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故选：A． 【变式2】在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵由选项A可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴选项A不符合题意； ∵由选项B可得（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴选项B不符合题意； ∵由选项C可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． ∴选项C不符合题意； ∵由选项D可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∴选项D符合题意； 故选：D． 【变式3】如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A．x+y＝8 B．x﹣y＝3 C．4xy+9＝64 D．x2+y2＝25 【答案】D 【解答】解：∵该图案的面积为64，小正方形的面积为9， ∴大正方形的边长为8，小正方形的边长为3， ∴x+y＝AQ+DQ＝AD＝8，因此选项A不符合题意； x﹣y＝HP﹣EP＝HE＝3，因此选项B不符合题意； 由于一个长方形的面积为4xy，因为4个长方形的面积与小正方形的面积和为大正方形的面积，所以有4xy+9＝64，因此选项C不符合题意； ∵x+y＝8，x﹣y＝3， ∴（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝9，即x2+2xy+y2＝64，x2﹣2xy+y2＝9， ∴x2+y2， 因此选项D符合题意； 故选：D． 题型06 乘法公式的综合应用 【典例1】计算： （1）（2x+y﹣3z）2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2x+y﹣3z）2 ＝[（2x+y）﹣3z]2 ＝（2x+y）2﹣2•（2x+y）•3z+9z2 ＝4x2+4xy+y2﹣12xz﹣6yz+9z2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4） ＝[（x+4）﹣y][（x+4）+y] ＝（x+4）2﹣y2 ＝x2+8x+16﹣y2． 【变式1】计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝（a﹣2b）2﹣2×（a﹣2b）×3c+9c2 ＝a2+4b2﹣4ab﹣6ac+12bc+9c2 ＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc； （2）原式＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2 ＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2 ＝﹣5y2﹣2xy+2yz． 【变式2】计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝（a﹣2b）2﹣2×（a﹣2b）×3c+9c2 ＝a2+4b2﹣4ab﹣6ac+12bc+9c2 ＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc； （2）原式＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2 ＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2 ＝﹣5y2﹣2xy+2yz． 1．将展开得到（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解： ， 故选：A． 2．下列单项式中，与整式4x2+1相加后不能组成某个整式的平方的是（　　） A．4x4 B．4x C．﹣4x D．2x 【答案】D 【解答】解：4x4+4x2+1＝（2x2+1）2，则A不符合题意， 4x2+4x+1＝（2x+1）2，则B不符合题意， 4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，则C不符合题意， 4x2+2x+1不能写成某个整式的平方，则D符合题意， 故选：D． 3．若M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2，则M，N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2， ∴M﹣N ＝（x+2）（x+4）﹣（x+3）2 ＝x2+6x+8﹣x2﹣6x﹣9 ＝﹣1＜0， ∴M＜N， 故选：B． 4．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【答案】C 【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34， 解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13． 故选：C． 5．已知（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7，则ab的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】D 【解答】解：（a+b）2＝15①，（a﹣b）2＝7② ①﹣②得：4ab＝8， 解得：ab＝2． 故选：D． 6．乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（　　） A．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2 C．（3a+b）2＝9a2+6ab+b2 D．（3a﹣b）2＝9a2+6ab+b2 【答案】B 【解答】解：阴影部分可以看作是边长为3a﹣b的正方形，阴影部分的面积表示为：（3a﹣b）2， 阴影部分的面积还可以表示为：（3a）2﹣3a×b×2+b2＝9a2﹣6ab+b2， 故验证的公式为：（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2． 故选：B． 7．如图，点B是线段AC上一点，以AB，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，若AC＝5，S1+S2＝13，则长方形S3面积为（　　） A．25 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解答】解：如图， 设AB＝a，BC＝b， ∵AC＝5，S1+S2＝13， ∴a+b＝5，a2+b2＝13， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴25＝13+2ab， ∴ab＝6， ∴S3＝BD•BC＝6， 故选：B． 8．若（2x+m）2＝4x2+4mx+1，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 【答案】C 【解答】解：（2x+m）2＝4x2+4mx+m2＝4x2+4mx+1， 则m2＝1， 那么m＝±1， 故选：C． 9．有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【解答】解：正方形A的边长为a，正方形B的边长b， 由题意得，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab， ∴a2+b2＝1+2ab＝1+12＝13， 即：A、B两个正方形的面积之和为13， 故选：D． 10．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝8，ab＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【解答】解：根据题意得： 当a+b＝8，ab＝12时， ＝14． 故选：A． 11．若（2x﹣3）2＝4x2+ax+9，则a＝　﹣12　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（2x﹣3）2＝4x2﹣12x+9＝4x2+ax+9， 则a＝﹣12， 故答案为：﹣12． 12．若（x+m）2＝x2+8x+n，则m+n＝　20　 ． 【答案】20． 【解答】解：∵（x+m）2 ＝x2+2mx+m2 ＝x2+8x+n， ∴2m＝8，n＝m2， ∴m＝4，n＝16， ∴m+n＝4+16＝20， 故答案为：20． 13．已知x+y＝5，xy＝4，则x2﹣xy+y2的值为　13　 ． 【答案】13． 【解答】解：根据题意可知，（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25， ∴x2+y2＝25﹣2xy＝25﹣2×4＝25﹣8＝17， ∴x2﹣xy+y2 ＝x2+y2﹣xy ＝17﹣4 ＝13． 故答案为：13． 14．小江将（2021x+2022）2展开后得到，小华将（2022x﹣2021）2展开后得到，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为　4043　 ． 【答案】4043． 【解答】解：∵（2021x+2022）2根据完全平方公式展开得到， ∴； ∵（2022x﹣2021）2根据完全平方公式展开得到， ∴， ∴ ＝（2022+2021）×（2022﹣2021） ＝4043． 故答案为：4043． 15．有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 　95　 ． 【答案】95． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1中阴影正方形的边长为a﹣b， ∴面积为（a﹣b）2＝5， ∵图2中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝45， ∴a2﹣2ab+b2＝a2﹣45+b2＝5， ∴a2+b2＝50， ∴图2中大正方形的面积为（a+b）2＝a2+2ab+b2＝50+45＝95． 故答案为：95． 16．运用完全平方公式计算： （1）（2x﹣2）2+（3x+1）2； （2）（x+y）2﹣（x﹣y）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2x﹣2）2+（3x+1）2 ＝4x2﹣8x+4+9x2+6x+1 ＝13x2﹣2x+5； （2）（x+y）2﹣（x﹣y）2 ＝x2+2xy+y2﹣（x2﹣2xy+y2） ＝x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝4xy． 17．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）时就可以将x﹣y看成一个整体，式子转化为：（x﹣y）2﹣32＝x2﹣2xy+y2﹣9．请借助整体思想完成： （1）（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝77，求x2+y2； （2）已知（x+2024）2+（x+2026）2＝100，求x+2025． 【答案】（1）9； （2）±7． 【解答】解：（1）∵（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）77， 由平方差公式，得（x2+y2）2﹣4＝77， ∴（x2+y2）2＝81， ∵x2≥0，y2≥0， ∴x2+y2＝9； （2）∵（x+2024）2+（x+2026）2＝100，即（x+2025﹣1）2+（x+2025+1）2＝100， 由完全平方公式展开，得（x+2025）2﹣2（x+2025）+1+（x+2025）2+2（x+2025）+1＝100， ∴2（x+2025）2＝100﹣2，即（x+2025）2＝49， ∴x+2025＝±7． 18．阅读理解： 已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19， 参考上述过程解答： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．求x2+y2和（x+y）2的值； （2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求x﹣y的值． 【答案】（1）x2+y2的值为5，（x+y）2的值为1； （2）±1． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝﹣3， ∴（x﹣y）2＝9，即x2﹣2xy+y2＝9， ∵xy＝﹣2， ∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9+2×（﹣2）＝9﹣4＝5； ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1； （2）∵x+y＝7，x2+y2＝25， ∴， ∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝1， ∴x﹣y＝±1． 19．原题呈现：若a2+b2+4a﹣2b+5＝0，求a、b的值． 方法介绍： ①看到a2+4a可想到如果添上常数4恰好就是a2+4a+4＝（a+2）2，这个过程叫做“配方”，同理b2﹣2b+1＝（b﹣1）2，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为（a+2）2+（b﹣1）2＝0由平方的非负性可得a+2＝0且b﹣1＝0． 经验运用： （1）若4a2+b2﹣20a+6b+34＝0，求a+b的值． （2）若a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0，求a+b+c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4a2+b2﹣20a+6b+34＝0， （4a2﹣20a+25）+（b2+6b+9）＝0， （2a﹣5）2+（b+3）2＝0， 2a﹣5＝0且b+3＝0， 即：a＝2.5，b＝﹣3 ∴a+b＝﹣0.5； （2）a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0， （a2﹣2ab+b2）+（4b2﹣4b+1）+（c2+6c+9）＝0， （a﹣b）2+（2b﹣1）2+（c+3）2＝0， ∴a＝b，c＝﹣3， ∴a+b+c3＝﹣2． 20．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，在整式运算中时常利用几何直观的面积法获取结论． （1）如图1，大正方形是由四个全等的长方形（长为a，宽为b）和一个小正方形组成，请用两种不同的方法表示图中阴影部分（小正方形）的面积：①　（a﹣b）2 ；②　（a+b）2﹣4ab ；请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ； （2）利用图1阴影部分面积得到等量关系，解决下列问题． 【直接应用】若（x﹣y）2＝13，xy＝2，则（x+y）2的值是　21　 ； 【拓展应用】为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图2所示面积为200m2的长方形空地ABCD中（其中AD＞AB）划出长方形AEFG和长方形JKCL，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池JNFM（JM＞JN），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求AB和AD的长． 【答案】（1）（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）21； （3）AB＝10m，AD＝20m． 【解答】解：（1）图1中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，阴影部分也可以看作大正方形面积与四个空白长方形的面积差，即（a+b）2﹣4ab， 所以有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）由（1）可得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， ∵（x﹣y）2＝13，xy＝2，即13＝（x+y）2﹣4×2， ∴（x+y）2＝13+8＝21， 故答案为：21； （3）由题意得，NF＝JM＝3m，JN＝MF＝2m， 设AB＝am，AD＝bm， ∴EN+DG＝（b﹣3）m，BE+GM＝（a﹣2）m， ∵图中阴影部分的区域总周长为50m， ∴2（EN+DG）+2（BE+GM）＝2（b﹣3）+2（a﹣2）＝50， 即a+b＝30， ∵长方形空地ABCD的面积为200m2， ∴ab＝200， 解得a1＝10，a2＝20， ∴当a＝10时，b＝30﹣10＝20；当a＝20时，b＝30﹣20＝10， 又∵AB＜AD，即a＜b， ∴a＝10，b＝20， 即AB＝10m，AD＝20m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.6 完全平方公式 教学目标 1. 掌握完全平方公式以及完全平方公式的特点，完全平方公式的几何意义并能够熟练应用其解决问题。 2. 掌握添加括号的法则，能够熟练的运用。 教学重难点 1. 重点 （1） 完全平方公式。 2. 难点 （1）利用完全平方公式的变形求值； （2）利用完全平方公式的。 知识点01 完全平方公式 1. 完全平方公式： ①完全平方和公式： 两个数的和的平方，等于这两个数的 的和 这两个数乘积的两倍。 即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。 ②完全平方差公式： 两个数的差的平方，等于这两个数的 的和 这两个数的乘积的两倍。 即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。 2. 完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 加上这两项的 。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 3. 完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 4. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 【即学即练1】 1．计算： （1）（﹣2m+n）2： （2）（﹣2m﹣n）2： （3）（2a+b）2﹣（2a﹣b）2． 【即学即练2】 2．利用完全平方公式进行简便运算： （1）1012＝（ 　 　 +　 　 ）2＝　 　 ； （2）9.82＝（ 　 　 ﹣　 　 ）2＝　 　 ． 【即学即练3】 3．已知a﹣b＝3，ab＝10，那么a2+b2的值为（　　） A．27 B．28 C．29 D．30 【即学即练4】 4．已知（a+b）2＝25，ab＝6，则a﹣b等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．以上都不正确 【即学即练5】 5．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 【即学即练6】 6．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：　 ； 图2表示：　 ； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy和（x﹣y）2的值； （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是 　 　 ． 知识点02 添括号法则 1. 添括号法则： 在条加括号时，若括号前面时正号，括到括号里面的每一项都 ，若括号前面是负号，则括到括号里面的每一项都要 。 即：＝（ ）；＝（ ） 【即学即练1】 7．计算： （1）（a﹣2b+3c）2； （2）（3x+y﹣2）（3x﹣y+2）． 题型01 利用完全平方公式计算 【典例1】下列等式一定成立的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 【变式1】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【变式2】计算： （1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2． （3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2． 【变式3】计算： （1）（2a+b﹣3c）（2a﹣b+3c）； （2）（a﹣2b+3c）2． 题型02 利用完全平方公式简便运算 【典例1】用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是　 　 ． 【变式1】用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01； （2）2022+202×196+982． 【变式2】利用完全平方公式简便计算： （1）20192； （2）1012+992． 题型03 利用完全平方公式变形求值 【典例1】已知x+y＝7，xy＝2，则x2+y2的值为　 　 ． 【变式1】若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 【变式2】已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 【变式3】若（x+y）2＝25，xy＝6，则x2+y2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．37 【变式4】已知3，则的值为（　　） A．9 B．7 C．11 D．6 题型04 利用完全平方公式的特点求值 【典例1】如果x2+ax+4是一个完全平方式，那么a是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【变式1】x2﹣（m+1）x+49是完全平方式，求m的值是（　　） A．6或﹣8 B．13 C．﹣8 D．13或﹣15 【变式2】若x2﹣3（a+1）x+16是一个完全平方式，则a的值为　 ． 【变式3】多项式4x2+1加上一个单项式后，就会成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①﹣2，②±4x，③﹣3x2，④4x4中的（　　） A．② B．①③ C．②④ D．①②③④ 题型05 完全平方公式的几何意义 【典例1】如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【变式1】如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示a+b，a﹣b与ab之间的关系，则这个关系是（　　） A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2ab C．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣4ab 【变式2】在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A．x+y＝8 B．x﹣y＝3 C．4xy+9＝64 D．x2+y2＝25 题型06 乘法公式的综合应用 【典例1】计算： （1）（2x+y﹣3z）2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4）． 【变式1】计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 【变式2】计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 1．将展开得到（　　） A． B． C． D． 2．下列单项式中，与整式4x2+1相加后不能组成某个整式的平方的是（　　） A．4x4 B．4x C．﹣4x D．2x 3．若M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2，则M，N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 4．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 5．已知（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7，则ab的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 6．乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（　　） A．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2 C．（3a+b）2＝9a2+6ab+b2 D．（3a﹣b）2＝9a2+6ab+b2 7．如图，点B是线段AC上一点，以AB，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，若AC＝5，S1+S2＝13，则长方形S3面积为（　　） A．25 B．6 C．9 D．12 8．若（2x+m）2＝4x2+4mx+1，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 9．有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 10．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝8，ab＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 11．若（2x﹣3）2＝4x2+ax+9，则a＝　 　 ． 12．若（x+m）2＝x2+8x+n，则m+n＝　 　 ． 13．已知x+y＝5，xy＝4，则x2﹣xy+y2的值为　 　 ． 14．小江将（2021x+2022）2展开后得到，小华将（2022x﹣2021）2展开后得到，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为　 　 ． 15．有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 　 　 ． 16．运用完全平方公式计算： （1）（2x﹣2）2+（3x+1）2； （2）（x+y）2﹣（x﹣y）2． 17．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）时就可以将x﹣y看成一个整体，式子转化为：（x﹣y）2﹣32＝x2﹣2xy+y2﹣9．请借助整体思想完成： （1）（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝77，求x2+y2； （2）已知（x+2024）2+（x+2026）2＝100，求x+2025． 18．阅读理解： 已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19， 参考上述过程解答： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．求x2+y2和（x+y）2的值； （2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求x﹣y的值． 19．原题呈现：若a2+b2+4a﹣2b+5＝0，求a、b的值． 方法介绍： ①看到a2+4a可想到如果添上常数4恰好就是a2+4a+4＝（a+2）2，这个过程叫做“配方”，同理b2﹣2b+1＝（b﹣1）2，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为（a+2）2+（b﹣1）2＝0由平方的非负性可得a+2＝0且b﹣1＝0． 经验运用： （1）若4a2+b2﹣20a+6b+34＝0，求a+b的值． （2）若a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0，求a+b+c的值． 20．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，在整式运算中时常利用几何直观的面积法获取结论． （1）如图1，大正方形是由四个全等的长方形（长为a，宽为b）和一个小正方形组成，请用两种不同的方法表示图中阴影部分（小正方形）的面积：①　 ；②　 ；请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系　 ； （2）利用图1阴影部分面积得到等量关系，解决下列问题． 【直接应用】若（x﹣y）2＝13，xy＝2，则（x+y）2的值是　 　 ； 【拓展应用】为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图2所示面积为200m2的长方形空地ABCD中（其中AD＞AB）划出长方形AEFG和长方形JKCL，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池JNFM（JM＞JN），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求AB和AD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $