专题18.7 列分式方程解应用题（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

本初中数学讲义聚焦“列分式方程解应用题”核心知识点，前承分式方程的概念与解法，通过“审、设、列、解、验、答”六步流程构建学习支架，系统梳理从实际问题中抽象等量关系、建立分式方程并求解验证的完整思路。 本资料特色在于以真实情境驱动教学，如AI数据处理、冬奥会“冰墩墩”购买等实例，引导学生用数学眼光发现数量关系。通过“即学即练+题型变式”设计，强化从实际问题抽象方程的推理能力，培养数学思维。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖不同情境，帮助学生巩固步骤、查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题18.7 列分式方程解应用题 教学目标 1. 掌握列分式方程解应用题的基本步骤，并能够熟练的用列分式方程解决相关应用题。 教学重难点 1. 重点 （1） 列分式方程解应用题。 2. 难点 （1）列分式方程解应用题的基本步骤以及解应用题。 知识点01 列分式方程解应用题 1. 列分式方程解应用题的基本步骤： ①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 。 ②设：设出未知数。 ③列：列出分式方程。 ④解：解分式方程。 ⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。 ⑥答：写出答案。 【即学即练1】 1．全国两会期间，DeepSeek大火，从大会发言人、部长们的点赞，到代表委员们的热议，DeepSeek参与掀起的“人工智能+”浪潮席卷而来．某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树x（x＞80）棵，乙组比甲组每天多植树20棵． （1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； （2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确． 题型01 从实际问题中抽象出分式方程 【典例1】小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从泰山站到北京站的距离是467千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省2小时30分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米/时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米/时，根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 题型02 列分式方程解实际问题 【典例1】2022年北京冬奥会物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，各种冰墩墩的玩偶，挂件等饰品应运而生．某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为“校园读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元． （1）其中700元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．求A，B两种饰品的单价． （2）购买当日，正逢“五一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买A，B两种饰品共120件；问最多购买A种饰品多少件？ 【变式1】正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？ （2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 【变式2】中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵30元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的2倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费9100元、3500元购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元？ （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨20%、10%，乙公司预算不超过10180元为80名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽？ 【变式3】某水果超市两次去批发市场采购同一品种的苹果，第一次用800元购进了若干千克，很快实完，第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了10%． （1）求第一次购买苹果的进价； （2）求第二次购买苹果的数量； （3）该水果超市按以下方案卖出第二次购买的苹果；先以a元/千克的价格售出m千克，再以15元/千克的价格售出剩余的全部苹果（不计损耗），共获利1500元，若a，m均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，直接写出a和m的值． 【变式4】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：　　 元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 　元　 ． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【变式5】“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，如表是两个工程队的施工计划． 甲工程队 原计划施工速度为x千米/天，完成12千米后，剩余任务的施工速度变为原计划施工速度的1.5倍，这样比原计划提前了4天完成任务． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t1天； B方案：设完成施工任务所需的时间为t2天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米．特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且m≠n． （1）甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 1．某校八年级学生到距学校15km的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发40min后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度． 设自行车的速度为xkm/h．根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．贵州黄果树瀑布景区为提升游客体验，决定对景区内的步行道进行改造，景区内需要改造的步行道共长10km，为了不影响游客在景区的体验，需要尽快完成步行道改造，景区实际每天多安排了5个工人进行工作，实际每天改造的步行道比原计划多500m，结果提前6天完成了景区的改造，设原计划每天改造xkm，由题意列方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．某园林绿化工程队承接了60万平方米的园林绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了30%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．某工程队在环山路改造一条长4000米的人行道，为减少施工对交通造成的影响，施工时每天比原计划×××，结果×××，设实际每天改造人行道x米，可得方程，根据已有信息，题中缺失的条件应补充为（　　） A．多铺设20米；提前10天完成 B．少铺设20米；延迟10天完成 C．多铺设20米；延迟10天完成 D．少铺设20米；提前10天完成 5．数学课上，甲乙丙丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距360km，张老师、王老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4：3，两车的平均速度分别是多少？”列出了如下方程： ①设豪华客车的平均速度是xkm/h，则甲列的方程为：；乙列的方程为：； ②设普通客车的平均速度是xkm/h，则丙列的方程为：；丁列的方程为：； 则四位同学列出的方程正确的是（　　） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 6．一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同，已知水流的速度是2km/h，则轮船在静水中航行的速度为（　　）km/h． A．18 B．20 C．22 D．25 7．2025年10月26日在天津礼堂举行马拉松赛事，各位跑友齐聚天津礼堂，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约21km）项目，前12km以原计划平均速度vkm/h完成，之后身体竞技状态下降，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚15min到达目的地，则v的大小为（　　） A．9 B．10 C．12 D．21 8．某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 9．甲、乙两名工人共同生产一批无人机．已知甲、乙两人聊天时的对话信息如下： 甲说：“我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5h．” 乙说：“我3h完成的工作量与甲4h完成的工作量相等．” 则乙单独完成这项任务所需时间是（　　） A．12h B．13h C．14h D．15h 10．为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（　　） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 11．小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200m，3000m，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4min出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是xm/min，根据题意可列方程为　 ． 12．2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭发射成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个“长征二号F”模型的进价贵50%，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为x元，则可列方程为　 ． 13．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接2025年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了A、B两种糖果，其中A类糖果的价格比B类糖果的价格每千克多2元，花100元购买A类糖果的数量与花90元购买B类糖果的数量相同，则A类糖果的价格　 　 元/千克． 14．题目如下：“学校师生去距学校45km的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行2h后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑车的速度”．阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是　 　 ． 解：设张老师骑车的速度为xkm/h． 依题意，得 15．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 　55　 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 　 　 元． 16．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20 （1）解法一所列方程中的x表示 　 　 （填序号），解法二所列方程中的x表示 　 　 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． （2）请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 17．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，该小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩． 购置充电桩的相关信息如下表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：x元/个 单价：1.5x元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 18．中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． （1）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采x片茶叶，机器人每分钟比之前多采2x片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求x的值． （2）在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 19．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）米，宽为a米（a＞6）． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 33．根据以下素材，探索完成任务． 公司为周年庆准备奖品购买方案设计 素材1 某现代科技产品专卖店销售智能手环与智能手表，已知智能手表的单价是智能手环的2.5倍．小张发现，用1000元购买智能手环的数量比用2000元购买智能手表的数量多1个． 素材2 某公司计划花费20000元在该专卖店购买智能手表和智能手环作为奖品颁发给64名优秀经理和优秀员工（每人颁发1个智能手表或1个智能手环）． 素材3 公司购买后，专卖店为了回馈公司，赠送了m张（1≤m≤6）兑换券用于下次购物抵扣．使用这些兑换券后，通过再次购买或兑换，在花费不变的情况下，使得智能手环比智能手表的数量多20个． 素材4 兑换券的使用：一张兑换券可以兑换2个智能手表或5个智能手环． 解决问题 任务一 （1）求出智能手环与智能手表的单价． 任务二 （2）在不使用兑换券的情况下，根据公司的购买情况，求出原本购买的智能手环与智能手表的数量． 任务三 （3）确定兑换方案，并求出m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.7 列分式方程解应用题 教学目标 1. 掌握列分式方程解应用题的基本步骤，并能够熟练的用列分式方程解决相关应用题。 教学重难点 1. 重点 （1） 列分式方程解应用题。 2. 难点 （1）列分式方程解应用题的基本步骤以及解应用题。 知识点01 列分式方程解应用题 1. 列分式方程解应用题的基本步骤： ①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 等量关系 。 ②设：设出未知数。 ③列：列出分式方程。 ④解：解分式方程。 ⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。 ⑥答：写出答案。 【即学即练1】 1．全国两会期间，DeepSeek大火，从大会发言人、部长们的点赞，到代表委员们的热议，DeepSeek参与掀起的“人工智能+”浪潮席卷而来．某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得：R1单独处理需要（x+2）小时， ∵若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成， ∴， 故选：C． 【即学即练2】 2．某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树x（x＞80）棵，乙组比甲组每天多植树20棵． （1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； （2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确． 【答案】（1）100； （2）①甲组：天；乙组：天； ②甲组完成任务所用的时间更少． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意． 答：x的值为100； （2）①根据题意得：甲组完成该任务所需时间为天； 乙组完成该任务所需时间为天； ②， ∵x＞80， ∴80﹣x＜0，x（x+20）＞0， ∴0， ∴， ∴甲组完成任务所用的时间更少． 题型01 从实际问题中抽象出分式方程 【典例1】小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设小红的骑行速度为xkm/h，则小亮的骑行速度是1.2xkm/h， 根据两人各自骑行了6km，小亮的骑行时间+4min＝小红的骑行时间列得方程为， 故选：A． 【变式1】《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得： 2， 故选：A． 【变式2】DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设R2单独处理需要x小时，则R1单独处理数据的时间（x+2）小时， 依题意得：． 故选：B． 【变式3】中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从泰山站到北京站的距离是467千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省2小时30分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米/时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米/时，根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：2小时30分钟小时． 设“复兴号”动车组的平均速度为x千米/时，则普通快车的速度为（x﹣80）千米/时， 根据题意得：． 故选：B． 【变式4】某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可列分式方程为：， 故选：B． 题型02 列分式方程解实际问题 【典例1】2022年北京冬奥会物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，各种冰墩墩的玩偶，挂件等饰品应运而生．某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为“校园读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元． （1）其中700元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．求A，B两种饰品的单价． （2）购买当日，正逢“五一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买A，B两种饰品共120件；问最多购买A种饰品多少件？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设B种饰品的单价为x元，则A种饰品的单价为（x+20）元， 依题意得：3， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝15+20＝35． 答：A种饰品的单价为35元，B种饰品的单价为15元． （2）设购买A种饰品m件，则购买B种饰品（120﹣m）件， 依题意得：35×0.8m+15×0.8（120﹣m）≤1600， 解得：m≤10， ∴m的最大值为10． 答：最多购买A种饰品10件． 【变式1】正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？ （2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设乙工程队每天修路xkm，则甲工程队每天修路（x+0.4）km， 根据题意得：， 解得：x＝1.2， 经检验，x＝1.2是所列方程的解，且符合题意， ∴x+0.4＝1.2+0.4＝1.6． 答：甲工程队每天修路1.6km，乙工程队每天修路1.2km； （2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天， 根据题意得：2.41.5m≤33.6， 解得：m≥8， ∴m的最小值为8． 答：至少安排乙工程队施工8天． 【变式2】中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵30元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的2倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费9100元、3500元购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元？ （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨20%、10%，乙公司预算不超过10180元为80名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽？ 【答案】（1）一盒咸粽的价格是130元，一盒甜粽的价格是100元； （2）乙公司最多购买30盒咸粽． 【解答】解：（1）设一盒甜粽的价格是x元，则一盒咸粽的价格是（x+30）元， 根据题意得：2， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意， ∴x+30＝100+30＝130（元）． 答：一盒咸粽的价格是130元，一盒甜粽的价格是100元； （2）设乙公司购买y盒咸粽，则购买（80﹣y）盒甜粽， 根据题意得：130×（1+20%）y+100×（1+10%）（80﹣y）≤10180， 解得：y≤30， ∴y的最大值为30． 答：乙公司最多购买30盒咸粽． 【变式3】某水果超市两次去批发市场采购同一品种的苹果，第一次用800元购进了若干千克，很快实完，第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了10%． （1）求第一次购买苹果的进价； （2）求第二次购买苹果的数量； （3）该水果超市按以下方案卖出第二次购买的苹果；先以a元/千克的价格售出m千克，再以15元/千克的价格售出剩余的全部苹果（不计损耗），共获利1500元，若a，m均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，直接写出a和m的值． 【答案】（1）第一次购买苹果的进价为10元/千克，第二次购买的进价为11元/千克； （2）200千克； （3），，． 【解答】解：（1）设第一次购买苹果的进价为x元/千克，则：第二次购买的进价为（1+10%）x元/千克， 由题意，得：， 解得：x＝10， 经检验x＝10是原方程的解， ∴（1+10%）x＝11， 答：第一次购买苹果的进价为10元/千克，第二次购买的进价为11元/千克； （2）第二购买的数量为（千克）； （3）由题意，得：m（a﹣11）+（15﹣11）（200﹣m）＝1500， 整理，得：ma﹣15m＝700， 解得：， ∵a≤22， ∴， ∴m≥100， ∵a，m均为正整数， ∴，，． 【变式4】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：　　 元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 　元　 ． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【答案】； （1）元； （2）①新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元； ②每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 【解答】解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为： （元）． 故答案为：； （1）根据以上解答知：新能源车的每千米行驶费用是元． 故答案为：元； （2）根据题意可得： ． 解得：a＝600． 经检验：a＝600是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元． （3）设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：0.06x+7256＜0.6x+5096， 解得：x＞4000． 答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 【变式5】“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，如表是两个工程队的施工计划． 甲工程队 原计划施工速度为x千米/天，完成12千米后，剩余任务的施工速度变为原计划施工速度的1.5倍，这样比原计划提前了4天完成任务． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t1天； B方案：设完成施工任务所需的时间为t2天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米．特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且m≠n． （1）甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 【答案】（1）14天； （2）见解答． 【解答】解：（1）由题意得：4， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是方程的解，且符合题意， ∴14（天）， 答：甲工程队完成施工任务需要14天； （2）乙工程队应采取B方案，理由如下： 由题意可知，乙工程队A方案完成施工任务所需的时间为：t1， 乙工程队B方案完成施工任务所需的时间为t2， ∴t1﹣t2， ∵m≠n， ∴mn（m+n）＞0，（m﹣n）2＞0， ∴0， ∴t1＞t2， ∴乙工程队应采取B方案． 1．某校八年级学生到距学校15km的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发40min后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度． 设自行车的速度为xkm/h．根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：已知汽车的速度是自行车速度的3倍， 设自行车的速度为xkm/h，则汽车的速度为3xkm/h，， ； 故选：D． 2．贵州黄果树瀑布景区为提升游客体验，决定对景区内的步行道进行改造，景区内需要改造的步行道共长10km，为了不影响游客在景区的体验，需要尽快完成步行道改造，景区实际每天多安排了5个工人进行工作，实际每天改造的步行道比原计划多500m，结果提前6天完成了景区的改造，设原计划每天改造xkm，由题意列方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设原计划每天改造xkm，则实际每天改造（x+0.5）km， 由题意得：6， 故选：C． 3．某园林绿化工程队承接了60万平方米的园林绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了30%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米， 依题意得：30， 即：30． 故选：A． 4．某工程队在环山路改造一条长4000米的人行道，为减少施工对交通造成的影响，施工时每天比原计划×××，结果×××，设实际每天改造人行道x米，可得方程，根据已有信息，题中缺失的条件应补充为（　　） A．多铺设20米；提前10天完成 B．少铺设20米；延迟10天完成 C．多铺设20米；延迟10天完成 D．少铺设20米；提前10天完成 【答案】A 【解答】解：∵该工程队在环山路改造一条长4000米的人行道，x表示实际每天改造人行道的长度， ∴表示实际施工时间，x﹣20表示原计划每天改造人行道的长度，表示原计划施工时间， ∵所列方程为， ∴题中缺失的条件为：施工时每天比原计划多铺设20米，结果提前10天完成． 故选：A． 5．数学课上，甲乙丙丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距360km，张老师、王老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4：3，两车的平均速度分别是多少？”列出了如下方程： ①设豪华客车的平均速度是xkm/h，则甲列的方程为：；乙列的方程为：； ②设普通客车的平均速度是xkm/h，则丙列的方程为：；丁列的方程为：； 则四位同学列出的方程正确的是（　　） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 【答案】B 【解答】解：设豪华客车的平均速度是xkm/h，则普通客车的平均速度是，则： ，故甲列的方程是正确的，符合题意； 设普通客车的平均速度是xkm/h，则豪华客车的平均速度是，则： ，故丁列的方程是正确的，符合题意； 综上，则四位同学列出的方程正确的是甲、丁． 故选：B． 6．一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同，已知水流的速度是2km/h，则轮船在静水中航行的速度为（　　）km/h． A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】A 【解答】解：设轮船在静水中的航行速度为x km/h，根据题意得： ， 解得：x＝18． 经检验：x＝18是原方程的解． 答：船在静水中的航行速度为18km/h． 故选：A． 7．2025年10月26日在天津礼堂举行马拉松赛事，各位跑友齐聚天津礼堂，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约21km）项目，前12km以原计划平均速度vkm/h完成，之后身体竞技状态下降，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚15min到达目的地，则v的大小为（　　） A．9 B．10 C．12 D．21 【答案】C 【解答】解：根据时间等于路程除以速度，结合最终比原计划晚15min到达目的地列出方程： 得， 解得v＝12； 经检验，v＝12是原方程的解； 故选：C． 8．某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 【答案】C 【解答】解：设购买x个篮球，单价分别表示为，根据单价相同建立方程； 设篮球的单价为x，分别表示出篮球的数量为，建立方程． 故选：C． 9．甲、乙两名工人共同生产一批无人机．已知甲、乙两人聊天时的对话信息如下： 甲说：“我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5h．” 乙说：“我3h完成的工作量与甲4h完成的工作量相等．” 则乙单独完成这项任务所需时间是（　　） A．12h B．13h C．14h D．15h 【答案】D 【解答】解：设乙单独完成这项任务需要x小时，则甲单独完成这项任务需要（x+5）小时， 由题意得：， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意， 即乙单独完成这项任务所需时间是15小时， 故选：D． 10．为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（　　） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 【答案】C 【解答】解：设原来的平均速度是xkm/h，则现在的平均速度为（1）xkm/h， 由题意得：， 解得：x＝72， 经检验x＝72是原方程的解，且符合题意， 即原来的平均速度是72km/h， 故选：C． 11．小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200m，3000m，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4min出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是xm/min，根据题意可列方程为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，小明的速度是xm/min， ∴小刚骑自行车的速度是3xm/min， 由题意可得， ∴， 故答案为：． 12．2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭发射成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个“长征二号F”模型的进价贵50%，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为x元，则可列方程为　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意得，． 故答案为：． 13．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接2025年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了A、B两种糖果，其中A类糖果的价格比B类糖果的价格每千克多2元，花100元购买A类糖果的数量与花90元购买B类糖果的数量相同，则A类糖果的价格　20　 元/千克． 【答案】20． 【解答】解：设B类糖果的价格为x元/千克，则A类糖果的价格为（x+2）元/千克， ∵花100元购买A类糖果的数量与花90元购买B类糖果的数量相同， ∴， 整理得，10x＝180， 解得x＝18， 经检验，x＝18是方程的解， ∴A类糖果的价格为18+2＝20（元/千克）． 故答案为：20． 14．题目如下：“学校师生去距学校45km的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行2h后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑车的速度”．阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是　其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车速度的3倍　 ． 解：设张老师骑车的速度为xkm/h． 依题意，得 【答案】其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车速度的3倍． 【解答】解：由题意可知，表示张老师骑车用的时间，表示其余师生乘汽车用的时间，2， ∴被墨迹弄污的条件应是其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍， 故答案为：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车速度的3倍． 15．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 　55　 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 　1260　 元． 【答案】55，1260． 【解答】解：设小号“龙辰辰”的单价为x元，则大号“龙辰辰”的单价为（x+15）元， 根据题意得， ， 解得x＝40， 经检验x＝40是原方程的解，且符合题意， 所以x+15＝55， 即大号“龙辰辰”的单价为55元． 设该网店购进大号“龙辰辰”m个，则购进小号“龙辰辰”（60﹣m）个， 由题知， m， 解得m≤20． 因为小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%， 所以大号“龙辰辰”的售价为60×（1+30%）＝78（元）． 令该网店获得的利润记为w， 则w＝（78﹣55）m+（60﹣40）（60﹣m）＝3m+1200， 又因为m≤20， 所以当m＝20时，w取得最大值为1260， 所以该网店所获最大利润为1260元． 故答案为：55，1260． 16．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20 （1）解法一所列方程中的x表示 　①　 （填序号），解法二所列方程中的x表示 　③　 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． （2）请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）①，③； （2）甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元． 【解答】解：（1）由题意可知，解法一所列方程中的x表示甲种商品每件进价x元， 解法二所列方程中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）选择解法一：设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价是（x﹣20）元 由题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意， ∴x﹣20＝50﹣20＝30， 答：甲种商品每件的进价是50元，乙种商品每件的进价是30元． 17．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，该小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩． 购置充电桩的相关信息如下表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：x元/个 单价：1.5x元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的单价是1000元，双枪新能源充电桩的单价是1500元； （2）当购进13个单枪新能源充电桩、7个双枪新能源充电桩时，费用最低． 【解答】解：（1）根据题意得：20， 解得：x＝1000， 经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×1000＝1500， 答：单枪新能源充电桩的单价是1000元，双枪新能源充电桩的单价是1500元； （2）设再次购进单枪新能源充电桩m个，则购进双枪新能源充电桩（20﹣m）个， 根据题意得：m≤2（20﹣m）， 解得：m， 设再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩的总费用为w元， 根据题意得：w＝1000×（1+10%）m+1500×（1﹣10%）（20﹣m）＝﹣250m+27000， ∵﹣250＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，且m为正整数， ∴当m＝13时，w取得最小值， 此时，20﹣m＝20﹣13＝7． 答：当购进13个单枪新能源充电桩、7个双枪新能源充电桩时，费用最低． 18．中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． （1）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采x片茶叶，机器人每分钟比之前多采2x片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求x的值． （2）在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 【答案】（1）x＝5； （2）共有3种安排方案， 方案1：安排11个机器人，9个工人； 方案2：安排12个机器人，8个工人； 方案3：安排13个机器人，7个工人． 【解答】解：（1）根据题意得：1.5， 解得：x＝5， 经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意． 答：x的值为5； （2）设安排y个机器人，则安排（20﹣y）个工人， 根据题意得：， 解得：11≤y， 又∵y为正整数， ∴y可以为11，12，13， ∴共有3种安排方案， 方案1：安排11个机器人，9个工人； 方案2：安排12个机器人，8个工人； 方案3：安排13个机器人，7个工人． 19．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）米，宽为a米（a＞6）． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【答案】（1）甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜； （2）A类蔬菜的单位面积产量大，理由见解答． 【解答】解：（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜， 根据题意得：10， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×25＝50（千克）． 答：甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜； （2）A类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： A类蔬菜的单位面积产量为（千克/平方米），B类蔬菜的单位面积产量为（千克/平方米）， ， ∵a＞6， ∴a﹣6＞0，a﹣2＞0，a2＞0， ∴0， ∴， ∴A类蔬菜的单位面积产量大． 33．根据以下素材，探索完成任务． 公司为周年庆准备奖品购买方案设计 素材1 某现代科技产品专卖店销售智能手环与智能手表，已知智能手表的单价是智能手环的2.5倍．小张发现，用1000元购买智能手环的数量比用2000元购买智能手表的数量多1个． 素材2 某公司计划花费20000元在该专卖店购买智能手表和智能手环作为奖品颁发给64名优秀经理和优秀员工（每人颁发1个智能手表或1个智能手环）． 素材3 公司购买后，专卖店为了回馈公司，赠送了m张（1≤m≤6）兑换券用于下次购物抵扣．使用这些兑换券后，通过再次购买或兑换，在花费不变的情况下，使得智能手环比智能手表的数量多20个． 素材4 兑换券的使用：一张兑换券可以兑换2个智能手表或5个智能手环． 解决问题 任务一 （1）求出智能手环与智能手表的单价． 任务二 （2）在不使用兑换券的情况下，根据公司的购买情况，求出原本购买的智能手环与智能手表的数量． 任务三 （3）确定兑换方案，并求出m的值． 【答案】（1）智能手环的单价是200元，智能手表的单价是500元； （2）原本购买24个智能手表，40个智能手环； （3）m的值为5，使用3张兑换券兑换智能手表，2张兑换券兑换智能手环． 【解答】解：（1）设智能手环的单价为x元， 根据“用1000元购买智能手环的数量比用2000元购买智能手表的数量多1个“， ， 化简方程：， 即， 解得x＝200． 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意． 则智能手表的单价为2.5×200＝500（元）， 答：智能手表的单价为500元，智能手环的单价为200元； （2）求出原本购买的智能手环与智能手表的数量， 设原本购买智能手环a个，智能手表b个， 根据题意，可列方程组： ， 解得b＝24， 则a＝64﹣24＝40， 所以，原本购买智能手环40个，智能手表24个； （3）设使用b张兑换券兑换智能手表， 根据题意得：24+2b＝40+5（m﹣b）﹣20， ∴， 又∵b，（m﹣b）均为非负整数，且（1≤m≤6），b≤m， ∴． 兑换方案：用3张兑换券兑换智能手表（共兑换3×2＝6个），用2张兑换券兑换智能手环（共兑换2×5＝10个）． 综上，m的值为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $