专题04 全等三角形6大模型（期末真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题04 全等三角形6大模型 6大高频考点概览 考点01 倍长中线模型 考点02 截长补短模型 考点03 对角互补模型 考点04 手拉手模型 考点05 一线三垂直 考点06 半角模型 地 城 考点01 倍长中线模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是(    ) A．9＜AB＜19 B．5＜AB＜19 C．4＜AB＜12 D．2＜AB＜12 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）【发现问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①．在中，若，，求边上的中线取值范围 【探究方法】经过合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SAS B．SSS C．AAS （2）由三角形三边的关系可得的取值范围为，从而得到长的取值范围是___________． 【方法小结】题中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到一个三角形中． （3）【初步运用】 如图②，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 地 城 考点02 截长补短模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 地 城 考点03 对角互补模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、解答题 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 地 城 考点04 手拉手模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知，，，点C，D，E，F在同一条直线上，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在和中，，，，，连接交于点H，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤直线平分线段．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、 解答题 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 地 城 考点05 一线三垂直 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    2．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 个．    3、 解答题 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 地 城 考点06 半角模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ． 三、解答题 3．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形6大模型 6大高频考点概览 考点01 倍长中线模型 考点02 截长补短模型 考点03 对角互补模型 考点04 手拉手模型 考点05 一线三垂直 考点06 半角模型 地 城 考点01 倍长中线模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是(    ) A．9＜AB＜19 B．5＜AB＜19 C．4＜AB＜12 D．2＜AB＜12 【答案】A 【分析】如图，延长AD到E使DE=AD，连接BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得出BE=AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论． 【详解】如图：延长AD到E使DE=AD，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD， 在△ACD和△EBD中，， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC=EB=5， ∵AD=7， ∴AE=14， 由三角形的三边关系为：14-5＜AB＜14+5， 即9＜AB＜19． 故选A． 【点睛】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键． 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （3）将延长至，使，连接，证明，即可得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ， 在中，， ； 故答案为：； （3）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）【发现问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①．在中，若，，求边上的中线取值范围 【探究方法】经过合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SAS B．SSS C．AAS （2）由三角形三边的关系可得的取值范围为，从而得到长的取值范围是___________． 【方法小结】题中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到一个三角形中． （3）【初步运用】 如图②，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】（1）A；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，中点与中线的性质应用，解决本题的关键是熟练掌握角边角的证明方法证明全等． （1）根据边角边的证明方程即可证明． （2）根据三角形三边关系可先求解的取值范围，再根据即可求解长的取值范围． （3）先由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，，再根据边角边的证明方法证明与全等，由此可证． 【详解】解：（1）∵为边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴． 故答案为：A． （2）由（1）知，， 又， 在中，， 则有，即， ∵， ∴，即． 故答案为：． （3）延长到点F，使，如图， ∵E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， 在与中， ， ∴． ∴， ∵，即， ∴． 地 城 考点02 截长补短模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点03 对角互补模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 二、解答题 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 地 城 考点04 手拉手模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知，，，点C，D，E，F在同一条直线上，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】想办法证明 ，利用全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 无法判断 ，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，所以①正确； 在和中， ， ，所以②正确； ， ∵∠AFD=∠MFB， ， ，所以③正确． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在和中，，，，，连接交于点H，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤直线平分线段．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】证明，则，可判断①的正误；由三角形的外角性质得：，则，可判断②的正误；如图，作于G，于M，证明，则，可得平分；进而可判断④的正误；假设平分，则，证明，则，与矛盾，可判断③的正误；根据题意，无法求证直线平分线段，进而可判断⑤的正误． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，①正确，故符合题意； 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确，故符合题意； 如图，作于G，于M， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分；④正确，故符合题意； 假设平分，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，，∴， ∴，与矛盾，③错误，故不符合题意； 根据题意，无法求证直线平分线段，⑤错误，故不符合题意； 正确的个数有3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 2、 解答题 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【答案】(1) (2)与的数量关系是，位置关系是；见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质． （1）根据证明即可； （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴． 故答案为：； （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 地 城 考点05 一线三垂直 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 2．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 【答案】（﹣2，3） 【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标． 【详解】解：如图， 作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC， ∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD， 在△AOD和△COE中， ， △AOD≌△COE（AAS）， ∵C（3，2）， ∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2， ∵点A在第二象限， ∴A（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断和性质、图形与坐标等，正确做出辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 3、 解答题 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点06 半角模型 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ． 【答案】5 【分析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ， 点在的延长线上， 四边形为正方形， ． 又， ． ． ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长． 三、解答题 3．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 试卷第1页，共3页 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $