重难点培优04 圆锥曲线中的定直线问题（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优04 圆锥曲线中的定直线问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 1 题型一 点在定直线上（★★★★★） 2 题型二 三角形四心在定直线上（★★★★★） 22 03 实战检测・分层突破验成效 31 检测Ⅰ组 重难知识巩固 31 检测Ⅱ组 创新能力提升 46 解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. (2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数. (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 题型一 点在定直线上 【技巧通法·提分快招】 证明点在定直线上的一般方法 (1)联立方程消去参数. (2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标. (3)将横、纵坐标分别用参数表示，再消去参数. (4)设点，对方程变形解得定直线. 1．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动.    2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【详解】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 3.已知抛物线和圆，抛物线的焦点为. （1）求的圆心到的准线的距离； （2）若点在抛物线上，且满足， 过点作圆的两条切线，记切点为，求四边形的面积的取值范围； （3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于四点，证明:的充要条件是“直线的方程为” 【详解】（1）由可得:，的圆心与的焦点重合， 的圆心到的准线的距离为. （2）四边形的面积为: ， 当时，四边形的面积的取值范围为. （2）证明(充分性) :若直线的方程为，将分别代入 得，，，. ，. (必要性) :若，则线段与线段的中点重合， 设的方程为，，，，， 则，将代入得， ，即， 同理可得，， 即或， 而当时，将其代入得不可能成立； . 当时，由得：，， 将代入得，， ，， ，或（舍去） 直线的方程为. 的充要条件是“直线的方程为”. 4.已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点． (1)若，求的值； (2)若M是线段AN的中点，求直线的方程； (3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 【详解】（1）根据题意，得 因为抛物线，所以准线为， 所以； （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程， 联立，消去，可得， 所以，即，，， 而M是线段AN的中点，所以，故， 解得，故，解得， 所以直线MN的方程为，即； （3）直线MN的方程，设， 则，， 联立消去可得：，即，整理得：， 将，代入得，故，， 所以直线PM与QN的交点在定直线上． 5.已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P． (1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明； (2)证明：点P必在直线上； (3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标． 【详解】（1）点A横坐标为a，则， 因为，，所以点A处的切线斜率为a 所以切线的方程为， 切线与x轴的交点为， 因为，所以， 所以，所以， 当时，亦有； 结论得证. （2）证明：设，，由，得， 所以， 所以直线，直线， 由，得，即两直线的交点， 因为点，，三点共线， 所以，，得， 所以，所以 所以点P在直线上 （3）因为直线，直线， 所以，，由（2）可知， 设的外接圆方程为， 则， 解得，， 所以外接圆方程为 将代入方程，得 又，解得，， 所以点P坐标为 解法二:抛物线的焦点， 由（1）可知，同理可证得， 所以F，M，N，P四点共圆， 所以PF是的外接圆的直径， 因为P、M、N、T四点共圆，所以点在的外接圆上， 所以， 所以，即，得， 所以直线TP方程为，即 又点P在直线上， 则由，得， 所以点P坐标为 6.已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点是线段的中点，求点的坐标； (3)设、是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点必在直线上． 【详解】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，，因为是线段的中点，所以， 则得， 解得，， 所以所求点的坐标为或； （3）证明：由题意可设直线的方程为， 联立方程组，消去，并整理得 ， 设，，，， 由一元二次方程根与系数的关系，得， 又设，，，则得直线的方程为， 直线的方程为，两个方程相减得 ①， 因为， 把它代入①得， 所以， 因此直线与的交点在直线上． 7.已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【详解】（1）由题意：. 所以双曲线的方程为：. （2）因为，所以在以为圆心，以为半径的圆上. 由或. 所以或. （3）如图： 因为与不重合，所以直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，. 因为点在双曲线的左支上，故或. 联立得：. . 故，， 则，故. 易得，， 则，所以直线的方程为， ，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：，显然， 由题意得：，， 则， 则. 故点在定直线上. 8.已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 9．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得. 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上. 10.已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，动点在椭圆上且异于点、，直线、与直线分别交于点、. (1)求椭圆的标准方程； (2)求线段长的最小值； (3)如图，设直线与轴交于点，过点作直线交椭圆与、，直线与交于一点，证明：点在一条定直线上. 【详解】（1）解：双曲线的焦距为， 所以，椭圆的焦点分别为、， 由椭圆定义可得，，， 因此，椭圆的标准方程为. （2）解：设点，则且，易知点、， ， 设直线的方程为，直线的方程为，其中， 设点、，则，可得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故线段长的最小值为. （3）解：易知点，当直线与轴重合时，、为椭圆长轴的顶点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，可得， 由韦达定理可得，， ，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线、的方程可得， 解得， 因此，点在直线上. 11.已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与曲线相交于点、，若线段的中点是，求直线的方程； (3)已知点，，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 【详解】（1）因为为的重心，且边，上的两条中线长度之和为6， 所以， 故由椭圆的定义可知的轨迹是以，为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 故设点的轨迹的方程为， 所以，，所以， 所以的轨迹的方程为； （2）设，， 若直线的斜率不存在，根据椭圆的对称性可得线段的中点在轴上，不满足题意； 故设直线：，与：联立， 整理得：， 由整理得：， 故，， 由题意知，解得：，，满足， 故直线： （3）设直线的方程为：，，， 联立方程得：， 由整理得：，即或， 则，， 所以， 又直线的方程为：， 又直线的方程为：， 联立方程得：， 把代入上式得： ， 所以当点运动时，点恒在定直线上 12.如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是    (1)求的值 (2)若直线过点，求证：为定值； (3)设直线与轴的交点为，（为常数且，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 【详解】（1）设，由于 因为点在椭圆上，，于是 （2）设直线为：， 由得, 易知， ， 为定值； （3）设 由 得： 则 和方程联立得，， 即 即 即直线与直线的交点落在定直线上． 13.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 解得，则，故椭圆的方程为； （2）（i） 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 因为为线段中点， 所以，此时，则. 要证，只需证明， 而， 所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 14.已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）若曲线是等轴双曲线，则， 所以，，其离心率为：. （2）当时，曲线：表示焦点在轴上的椭圆. 因为，且，根据平面向量数量积的几何意义可得：. 所以点在圆：上. 由，且点在第一象限，得点坐标为. （3）如图： 由得：， 整理得：. 因为，所以上述方程必定有两个不同的实根. 设，，则，. 设，因为直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列， 所以. 又，，所以， 所以， ， 所以或. 由 所以点N在直线或上. 即点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 题型二 三角形四心在定直线上 【技巧通法·提分快招】 三角形内切圆的圆心在三角形的角平分线上，角平分线是角的关系，因此找角与斜率的关系即可. 15．已知椭圆C：（）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，， 联立，消整理得， 则，解得， 可得，， 所以， 所以， 所以， 又， 所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴， 所以的内心在定直线上．    16．已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点. （1）若，设的面积为，的面积为，求的值； （2）若，求证：的垂心在定直线上. 【详解】（1）设，， 由得，所以，所以直线的斜率为. ∴直线的方程为，整理得① 同理可得的方程为② ∵，均过， ∴ ∴直线既过，也过， ∴直线的方程为： 设与轴交于点，则，所以， 在①式中令，∴，同理 ∴，∴. （2）仿照（1）知方程为，，，，， 由∴. ∵为的垂心 设，，， 由 ∴ ∴，故的垂心在定直线上. 17．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 【详解】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以.即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 18．已知椭圆经过两点.作斜率为的直线与椭圆交于两点（点在的左侧），且点在直线上方. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：的内切圆的圆心在一条定直线上. 【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以，有椭圆过点， 所以. 故椭圆：. （2）如图： 设直线的方程为，联立方程组：，消去得： ，整理得：. 由得：. 设，，则：，. 又，. 因为： 所以：的角平分线为：. 故的内切圆圆心一定在直线上. 19.已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，试问：的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，， 联立，消整理得， 则，，所以， 所以， 所以， 又， 所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴， 所以的内心在定直线上． 20.已知抛物线，过且斜率为相反数的直线，交抛物线于A，B两点（异于点P），点H为的垂心. (1)证明：点H在定直线上； (2)若有且仅有2个不同的面积为S，求S的值. 【详解】（1）设，， 由题意可知，， 即， 整理为， 得， 设，因为为的垂心， 则由， ，，， 所以 ， ， ， ，， 所以，整理为， 所以点在定直线上； （2） 由（1）知，， ， ， 因为，所以， 又，所以， ， ， 又因为，则，得， 根据图象可知，三角形的面积转化为如图矩形面积减去三个直角三角形的面积， ， ， 因为，所以上式化简为， 又因为，，以及，上式化简为， 设，不妨设， 又，，得，即， 则，， 设，，得或(舍)， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，且， 作出函数的图象， 又要使在时有两解，则只能， 综上所述， 21.已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【详解】（1）设， 联立方程，消去y得：， 由题意可得，解得， 故的取值范围为. （2）内心恒在一条定直线上，该直线为， ∵，即点在椭圆上， 若直线过点，则，解得， 即直线不过点，故直线的斜率存在， 由（1）可得：， 设直线的斜率分别为，则， ∵ ， 即，则的角平分线为， 故的内心恒在直线上. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1.已知椭圆的左､右焦点分别为是上一点，且点到点的距离之和为. (1)求的方程； (2)斜率为的直线与交于两点，则的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 【详解】（1）由题意，得，解得， 故的方程为. （2）的外心在定直线0上.理由如下： 由题意设直线的方程为，    联立，得， 所以， 即，且. 设的中点为， 则， 所以 ， 即直线与的斜率互为相反数. 设直线的方程为，即. 联立，得， 则， 所以， 所以， 即， 所以线段的垂直平分线的方程为， 即①. 直线的方程为，同理可得线段的垂直平分线的方程为 ② 联立①②，得， 得， 故的外心在定直线上. 2.已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 【详解】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为，与联立得. 设，由题意，得解得. （i）解：因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，. 因为为中点，所以，即. 又因为点都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 3.已知点，，直线MA和MB的斜率的乘积为1，点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)过点的直线与轨迹C相交于P，Q两点，记直线BP，BQ的斜率分别为，，求的值； (3)在（2）的条件下，证明：直线AP与BQ的交点T在定直线上． 【详解】（1）设点M的坐标为， 由直线MA和MB的斜率的乘积为1，有， 可得．又由，可得轨迹C的方程为； （2）由（1）知，∴直线PQ的斜率不为0，故设直线PQ的方程为， 点P，Q的坐标分别为， 联立方程，消去x后整理为， 有，， 又由 ，故； （3）由直线PA和PB的斜率的乘积为1，可得直线PA的斜率为， 可得直线PA的方程为， 又由，有，可得直线BQ的方程为， 将直线PA和BQ的方程联立消去y，有， 解得，可得点T的坐标为， 所以直线AP与BQ的交点T在定直线上． 4.双曲线E：的渐近线方程为，且双曲线E过点. (1)求双曲线E的标准方程. (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.已知点T在直线l：上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M. （i）设点T的横坐标为t，求t的取值范围； （ii）设直线TP和直线TM分别与直线交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上. 附：双曲线以点为切点的切线方程为. 【详解】（1）由题意解得，， 所以双曲线E的标准方程为. （2）（i）解：当一条切线的斜率不存在时，切点为双曲线E的顶点或， 则点T的坐标为或. 当点T的坐标为时，显然另一条切线的斜率存在，设切线方程为. 联立切线方程与双曲线方程，消去y化简得， 则，解得. 因为双曲线的渐近线方程为，所以不符合题意 当点T的坐标为时，只有一条切线，显然不符合题意， 所以两条切线的斜率均存在 设切线的斜率为，则切线方程为， 与双曲线方程联立消去y，化简得 令， 整理得. 因为，所以且. 上式整理得 由题意，以上关于k的二次方程有两个相异实根，所以， 且 整理得， 解得 综上所述，t的取值范围是 （ii）证明：设，， 则直线TM和TP方程分别为和， 联立得点 又点T在直线l上，代入整理得 在直线TM的方程中，令，得，则点. 直线PN的斜率. 故直线PN的方程为 设直线PN与直线l的交点为A，由两直线方程，得. 解得. 设直线MQ与直线l的交点为B， 同理得 因为 所以A，B两点重合， 所以直线PN与MQ的交点在定直线l：上. 5.已知双曲线过点，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 【详解】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得，故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为， 与联立得. 设、，由题意，得，解得. （i）因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）设直线的方程为，令，得. 同理可得，，， 因为为中点，所以，即. 又因为点、、都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 6.已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 【详解】（1）由题意，设左焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：，， 左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由题知， 因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 则， 方程的判别式， 由已知为方程的两个根， 所以， （i）证明：因为直线的方程为，直线的方程为 联立可得 ， 则，即在直线上； （ii）证明：由（i）知，（其中） 则 即，故射线平分. 7.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，过作，交椭圆于点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知，是椭圆上关于轴对称的两点，点在椭圆上，直线，分别交轴于，两点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点的坐标为，点为平面上一动点（不在直线上），记直线，，的斜率分别为，，，且满足.判断动点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 【详解】（1）由椭圆的离心率，得，则， 椭圆的半焦距，由过作，交椭圆于点，， 得，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设，则， 由三点共线，得，则， 同理由三点共线，得，而， 于是， 所以. （ⅱ）设，直线， 则，由， 得，即， 整理得， 因此， 整理得，而点不在直线上， 即，则，即， 解得，由（ⅰ）知，又，于是，即， 所以动点在定直线上，该定直线方程为. 8.已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由已知，解得， 所以，所以椭圆方程为； （2）①因为切线交轴于点，所以，， 因为点在椭圆上，所以，即， 又， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； ②由已知设直线：，， 由消元得， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 所以 ， 即点，所以直线的方程为， 与直线联立，得， 因为，所以，代入上式可得 ， 即，解得， 即点在直线上. 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与交于，两点，求证：； (3)已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. 【详解】（1）解：由四边形为正方形，点，且的面积为， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：证明：由（1）可得，， 若直线与轴重合，则，为椭圆长轴的端点， 不妨设点，则，所以，， 所以成立； ②若直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设点，，所以， 且，， 则 ， 所以轴平分， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又， 所以，两式相除得. （3）解：由（1）可得，， 联立方程组，整理得， 则，可得， 设点，，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 设直线和的交点为， 则， 把，代入上式得，整理得， 所以点在定直线上，定直线的方程为. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点，其中点在第一象限，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相交于点，的内切圆圆心是半径是. (i)若求证:圆心在一条定直线上； (ii)若求的面积. 【详解】（1）因为，所以，联立，解得， 所以，解得， 故所求为； （2）（i）联立椭圆方程与直线的方程， 得，设， 化简得， 所以， ， ， 设直线的斜率分别为， 所以 ， 故直线平分， 所以圆心在一条定直线上； （ii）如图所示，设，其中是垂足， 因为， 所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形是等腰直角三角形， 所以， 即 ， 解得或，满足， 但是当时，直线过点， 所以只能，此时， 点到直线的距离为， ， 故所求为. 2.已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为，所以，又因为， 所以， 所以， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上， 设双曲线的方程为， 则，. 所以，， 又不可能在轴上，所以曲线的方程为.    （2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上. 证明如下：由条件可设：.代入， 得， 设，，则 ，得， 所以 所以， 取， 则 又，都在轴上方，所以的平分线为定直线， 所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上. 3.已知椭圆的左､右焦点分别为. (1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； (2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； (3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意得即，所以离心率. （2）由题意得椭圆 ①当时，由对称性得. ②当时，，故，设， 由得， 两式作差得， 代入椭圆方程，得（负舍），故 ③当时，根据椭圆对称性可知. （3）由题意得椭圆. 设直线， 由得. 设，则， ， ， 由，得. 4.已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4. (1)求的方程； (2)若斜率均为1的直线分别经过的左顶点和右焦点，与交于两点，与交于两点，求这四点围成的四边形的面积； (3)若过点的直线与交于两点，直线的斜率不为为的右焦点，证明：的内心在定直线上. 【详解】（1）由题意，，则，所以椭圆方程为， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题，如图椭圆的左顶点为，则直线， 右焦点为，则直线， 将直线与椭圆方程联立，化简整理得， 解得，，即点， ， 同理，可求得，又， 所以四边形为梯形，梯形的高即两平行线与间的距离， ， 所以四边形的面积为. （3）如图，设直线，，，的内切圆的圆心为， 则，，， 由奔驰定理可得，， 即， 可得， 联立，化简整理得， ，，且， 又， 同理，， ， 又 ， 则，即， 所以， 所以的内心在定直线上. 5.已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 6.已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【详解】（1）设抛物线方程为，代入点，得，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）设，，， 则重心坐标公式可知，，， 得，， 且，，， 所以，且， 所以，得且， 综上可知，的取值范围是； （3）直线的斜率，直线的方程为， 设，，， 两边求导，，得， 设，， 抛物线在点处的切线方程为，即， 因为切线过点，即， 整理得， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 所以是方程的两个根，则，， 切线，令，得，得，同理， 直线的方程为，即， 同理，直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立直线与直线的方程为， ，得， 且，代入上式化简为，① 代回直线得，， 得 即，② 由①②可得， 所以直线与直线的交点在定直线上上. 7.已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 【详解】（1）由双曲线的焦距为可得， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，动圆的半径为，所以圆心到切线的距离为， 化简得，则的斜率是该方程的两个根，可得． 设直线， 联立方程得． 由韦达定理，，则，将其代入可得, 即得，同理可得,因，则得 又因为， 所以直线的方程为， 法一：直线的方程可化为 故直线过定点. 法二：根据双曲线的对称性，若定点存在，则一定在轴上，不妨设为， 将代入方程，得， 化简整理，得， 因,故由，解得． 故直线过定点. （3）由（1）知，设,依题意，, 化简得：,两边取平方，整理即得动点的轨迹方程为，其中. 由题意可设直线的方程分别为和，其中， 联立方程得，所以， 将代入到直线得到； 联立方程得，所以， 将代入到直线得到， 同理可得. 将点，同时向右平移一个单位长度，分别得到，，直线与轴交点的纵坐标为 ， 因此直线经过点， 同理可得（将互换）直线也经过点， 所以直线与的交点为，在定直线上. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 圆锥曲线中的定直线问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 1 题型一 点在定直线上（★★★★★） 2 题型二 三角形四心在定直线上（★★★★★） 9 03 实战检测・分层突破验成效 11 检测Ⅰ组 重难知识巩固 11 检测Ⅱ组 创新能力提升 16 解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. (2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数. (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 题型一 点在定直线上 【技巧通法·提分快招】 证明点在定直线上的一般方法 (1)联立方程消去参数. (2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标. (3)将横、纵坐标分别用参数表示，再消去参数. (4)设点，对方程变形解得定直线. 1．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 3.已知抛物线和圆，抛物线的焦点为. （1）求的圆心到的准线的距离； （2）若点在抛物线上，且满足， 过点作圆的两条切线，记切点为，求四边形的面积的取值范围； （3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于四点，证明:的充要条件是“直线的方程为” 4.已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点． (1)若，求的值； (2)若M是线段AN的中点，求直线的方程； (3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 5.已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P． (1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明； (2)证明：点P必在直线上； (3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标． 6.已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点是线段的中点，求点的坐标； (3)设、是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点必在直线上． 7.已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 8.已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 9．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 10.已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，动点在椭圆上且异于点、，直线、与直线分别交于点、. (1)求椭圆的标准方程； (2)求线段长的最小值； (3)如图，设直线与轴交于点，过点作直线交椭圆与、，直线与交于一点，证明：点在一条定直线上. 11.已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与曲线相交于点、，若线段的中点是，求直线的方程； (3)已知点，，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 12.如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是    (1)求的值 (2)若直线过点，求证：为定值； (3)设直线与轴的交点为，（为常数且，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 13.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 14.已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 题型二 三角形四心在定直线上 【技巧通法·提分快招】 三角形内切圆的圆心在三角形的角平分线上，角平分线是角的关系，因此找角与斜率的关系即可. 15．已知椭圆C：（）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 16．已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点. （1）若，设的面积为，的面积为，求的值； （2）若，求证：的垂心在定直线上. 17．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 18．已知椭圆经过两点.作斜率为的直线与椭圆交于两点（点在的左侧），且点在直线上方. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：的内切圆的圆心在一条定直线上. 19.已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，试问：的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 20.已知抛物线，过且斜率为相反数的直线，交抛物线于A，B两点（异于点P），点H为的垂心. (1)证明：点H在定直线上； (2)若有且仅有2个不同的面积为S，求S的值. 21.已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1.已知椭圆的左､右焦点分别为是上一点，且点到点的距离之和为. (1)求的方程； (2)斜率为的直线与交于两点，则的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 2.已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 3.已知点，，直线MA和MB的斜率的乘积为1，点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)过点的直线与轨迹C相交于P，Q两点，记直线BP，BQ的斜率分别为，，求的值； (3)在（2）的条件下，证明：直线AP与BQ的交点T在定直线上． 4.双曲线E：的渐近线方程为，且双曲线E过点. (1)求双曲线E的标准方程. (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.已知点T在直线l：上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M. （i）设点T的横坐标为t，求t的取值范围； （ii）设直线TP和直线TM分别与直线交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上. 附：双曲线以点为切点的切线方程为. 5.已知双曲线过点，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 6.已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 7.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，过作，交椭圆于点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知，是椭圆上关于轴对称的两点，点在椭圆上，直线，分别交轴于，两点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点的坐标为，点为平面上一动点（不在直线上），记直线，，的斜率分别为，，，且满足.判断动点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 8.已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与交于，两点，求证：； (3)已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点，其中点在第一象限，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相交于点，的内切圆圆心是半径是. (i)若求证:圆心在一条定直线上； (ii)若求的面积. 2.已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 3.已知椭圆的左､右焦点分别为. (1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； (2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； (3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 4.已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4. (1)求的方程； (2)若斜率均为1的直线分别经过的左顶点和右焦点，与交于两点，与交于两点，求这四点围成的四边形的面积； (3)若过点的直线与交于两点，直线的斜率不为为的右焦点，证明：的内心在定直线上. 5.已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 6.已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 7.已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $