重难点培优03 立体几何中截面、动态轨迹问题（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 立体几何中截面、动态轨迹问题 目录 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 作截面图形（★★★★★） 2 题型二 截面图形的形状判断（★★★★★） 3 题型三 截面图形的相关计算（★★★★★） 5 题型四 平行、垂直中的动态轨迹问题（★★★★★） 7 题型五 距离、角度有关的动态轨迹问题（★★★★★） 8 题型六 翻折有关的动态轨迹问题（★★★★★） 9 03 实战检测・分层突破验成效 10 检测Ⅰ组 重难知识巩固 10 检测Ⅱ组 创新能力提升 11 一、作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点. (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. 二、距离、角度有关的轨迹问题 (1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹. (2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面. 三、翻折有关的轨迹问题 (1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹. (2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹. (3)可以利用空间坐标运算求轨迹. 题型一 作截面图形 1．如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 2.在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长 ． 3．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 题型二 截面图形的形状判断 4.如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5.如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 6.在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a 性质1：正方体的体积与表面积之比为________. 性质2：对角线A1B与BC所成夹角大小为________. 性质3：体对角线BD1的长度为________. 性质4：连接所有对角线后，图中有_____对互相垂直的线段 …… (1)请直接完成上方正方体性质表格的填写； (2)求证：线段被平面与平面三等分； (3)若正方体ABCD-A1B1C1D1每条棱所在直线与平面所成的角都相等，求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时与正方体的截面. 题型三 截面图形的相关计算 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 8.已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为 . 9.已知正三棱柱的底面边长及高都为2，过作一个截面，截面与底面成，则此截面的面积为 ． 10.已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为 ． 11.如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 ． 12.如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    13．如图，一个底面半径为，高为的半椭球放置在平面上，用平行于平面且与平面任意距离处的平面截几何体，截面为圆面，运用祖暅原理，若图中半椭球底面半径为1，高为6，则该半椭球体的体积为 ． 14.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 题型四 平行、垂直中的动态轨迹问题 15．如图，在棱长为2的正方体中，点，是底面内的一点（包括边界）且，，则下列说法错误的是（   ）    A．点的轨迹长度为 B．点到平面的距离是定值 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．的最小值为 16．（2025·上海金山·三模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 17.将棱长为12的正四面体沿棱长的三等分点处截去四个小正四面体后，所得的多面体称为阿基米德体，如图所示.若点N在阿基米德体的表面上运动，且直线MN与直线AB始终满足，则动点N的轨迹所围成平面图形的面积是 . 18.正四棱锥的底面边长为4，高为3，E是边的中点，P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为 19.如图所示，在棱长为3的正方体中，E在棱上，，是侧面上的动点，且平面，则在侧面上的轨迹的长度为 ． 题型五 距离、角度有关的动态轨迹问题 20．已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（   ）． A． B． C．． D． 21.已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 22.如图，在正方体中，，E为棱的中点，是正方形内（含边界）的一个动点，且平面，    (1)求平面与平面所成二面角的余弦值； (2)求动点的轨迹长度. 题型六 翻折有关的动态轨迹问题 23.如图1，正四棱锥，. (1)求此四棱锥的外接球的体积； (2)M为PC上一点，求的最小值； (3)将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积. 24.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，，，将沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点． (1)从翻折至的过程中，求点P运动的轨迹长度； (2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求的最大值. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 3．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为 ．    4．（24-25高三上·上海·期中）在中， ， P为内部一动点(含边界)，在空间中，若到点的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 . 5.已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在直平行六面体中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 2．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，AP、AB、AC两两垂直，，，点O为底面ABC内的一个动点． （1）若，则点O的轨迹是椭圆的一部分； （2）若，则点O的轨迹是双曲线的一部分； （3）若，则点O的轨迹是抛物线的一部分． 以上几个命题中，真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.如图，已知正方体的棱长为2，P为正方形底面内的一动点，则以下结论： （1）三棱锥的体积为定值； （2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2； （3）若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段； （4）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为．正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    4．（25-26高三上·上海·阶段练习）如图，在长方体中，，，点P，Q分别为BC，的中点，点M为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点M的轨迹长度为 ．    5．（24-25高三上·上海·期中）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）    6．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 7.某数学兴趣小组对某饮料生产商的某种易拉罐通过数学建模进行研究． (1)基于以下假设： ①易拉罐近似看成一个圆柱体，体积一定（记为V）； ②罐体各部分所用材料相同： ③易拉罐接口处的所用材料忽略不计； ④易拉罐的上、下罐顶厚度是其它部分的2倍，其余部分厚度均相同，厚度远小于易拉罐的高或底面半径； ⑤假设易拉罐本身（不含饮料）的质量与材料成本成正比； ⑥在满足体积要求的情况下，饮料生产商希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小． 求易拉罐的高与底边直径的比． (2)设易拉罐的中心纵断面（经过易拉罐上、下罐顶的圆心，且与上、下罐顶所在圆面垂直的截面）如图所示，即上面部分是一个圆台，下面部分是一个圆柱体．尺寸如表中如示： 圆台 上底半径 r 下底半径 R 高度 h 圆柱 半径 R 高度 H 推导圆台的体积公式，并求该易拉罐的体积． 8.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 9.（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上． （2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点，平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 10.已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为． （1）当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） （2）如图，当，时，平面与圆柱底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交，设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点、，若以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求证：曲线是椭圆并写出椭圆标准方程； （3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，当取得最大值时，求的值．（结果用数字表示） 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 立体几何中截面、动态轨迹问题 目录 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 作截面图形（★★★★★） 2 题型二 截面图形的形状判断（★★★★★） 5 题型三 截面图形的相关计算（★★★★★） 9 题型四 平行、垂直中的动态轨迹问题（★★★★★） 16 题型五 距离、角度有关的动态轨迹问题（★★★★★） 20 题型六 翻折有关的动态轨迹问题（★★★★★） 24 03 实战检测・分层突破验成效 27 检测Ⅰ组 重难知识巩固 27 检测Ⅱ组 创新能力提升 31 一、作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点. (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. 二、距离、角度有关的轨迹问题 (1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹. (2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面. 三、翻折有关的轨迹问题 (1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹. (2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹. (3)可以利用空间坐标运算求轨迹. 题型一 作截面图形 1．如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理可作出该截面，结合线面平行的性质定理可得截面是平行四边形，再利用线面垂直的判定以及性质可判断①；继而求得截面面积判断②；根据线面平行的性质定理可判断③. 【详解】由题意可知，点是的中心，过点P作， 分别交于，作交于G，设平面与交于点H， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，即四边形即为截面， 由于平面，平面平面，平面， 故，同理，，则， 故四边形为平行四边形，即截面是平行四边形， 设M为的中点，连接， 则，，平面， 故平面，又平面， 故，而，，故， 即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确； 因为点是的中心，则， 故， 故矩形的面积为，即截面的面积为，②正确； 由于截面与侧面的交线为，且， 平面，平面，故平面， 即截面与侧面的交线平行于侧面，③正确. 故选：D. 2.在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长 ． 【答案】 【分析】连接,设，找出平面与平面的交线，通过证明可知G、H为平面EFG截正方体所得的点，设平面，通过证明可知也为平面EFG截正方体所得的点，最终得到截面，通过简单的几何关系即可求解截面周长． 【详解】 如图，连接,设， 因为E、F分别为AB、BC的中点，所以，所以平面， 因为平面平面，连接GH，所以， 设平面，连接SO，则CG、OS、AH三者平行且相等， 在平面中，，，，， 所以，从而三点共线，即也在平面EFG内，连接，则截面多边形为， 易计算得，，，又根据对称性，截面多边形的周长为． 故答案为：． 3．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 题型二 截面图形的形状判断 4.如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【详解】解：如图，取的中点， 的中点，的中点，连接， 由正方体的性质可知， 由中位线性质可知， 所以，， 所以，由点确定的平面即为截面，其为六边形． 故选：D． 5.如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 6.在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a 性质1：正方体的体积与表面积之比为________. 性质2：对角线A1B与BC所成夹角大小为________. 性质3：体对角线BD1的长度为________. 性质4：连接所有对角线后，图中有_____对互相垂直的线段 …… (1)请直接完成上方正方体性质表格的填写； (2)求证：线段被平面与平面三等分； (3)若正方体ABCD-A1B1C1D1每条棱所在直线与平面所成的角都相等，求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时与正方体的截面. 【详解】（1）正方体的体积为，表面积为，故正方体的体积与表面积之比为， 由于平面，平面，故，故对角线A1B与BC所成夹角大小为， 体对角线BD1的长度为, 棱与棱垂直：任何两条不平行的棱（即沿不同坐标轴的棱）都垂直. 有4条棱沿x轴、4条沿y轴、4条沿z轴，因此棱与棱垂直对数为对. 棱与面对角线垂直：每条棱垂直于4条面对角线（位于与棱垂直的两个面上，每个面有2条面对角线）. 因此棱与面对角线垂直对数为12条棱 × 4条面对角线 = 48对. 面对角线与面对角线垂直：包括同一面内的两条面对角线垂直（6个面，每面1对，共6对）和平行面上的面对角线垂直（3对平行面，每对2对，共6对），总12对. 面对角线与空间对角线垂直：每条面对角线垂直于2条空间对角线， 因此面对角线与空间对角线垂直对数为12条面对角线 × 2条空间对角线 = 24对. 空间对角线与空间对角线垂直：无垂直对. 棱与空间对角线垂直：无垂直对. 综上可得：共对. 故答案为：；；；. （2）设正方体的棱长为1，则， 设点到平面的距离为，由于，故， 所以，则， 由（1）知，是平面内的相交直线， 所以平面，且， 同理点到平面的距离也是，是的， 所以线段被平面与平面三等分. （3）如图所示： ， 若此正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，只需平面与过同一顶点的三条棱所成的角相等， 设，则平面与正方体过顶点的三条棱所成角相等， 若点E，F，G，H，M，N分别为相应棱的中点， 可得平面平面PQR，且六边形为正六边形， 正方体的棱长为，则正六边形的边长为，此时正六边形的面积为， 根据正方体的对称性可知当截面为正六边形时，面积最大，且最大面积为 题型三 截面图形的相关计算 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 【答案】 【详解】平面截圆锥所得轴截面为边长2的正三角形，说明圆锥底面直径为2，母线长为2，故底面半径. 圆锥的侧面积为. 故答案为：. 8.已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为 . 【答案】 【详解】正四面体底面外接圆的半径为，所以正四面体的高为， 若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等， 则圆锥的体积和正四面体的体积相等， 且当平行于平面的平面无限接近于平面时，此时截面面积可以直接视为四面体底面面积，圆锥底面积， 从而可设正四面体和圆锥底面积均为（它们也是相等的），圆锥的高为， 所以，即. 故答案为：. 9.已知正三棱柱的底面边长及高都为2，过作一个截面，截面与底面成，则此截面的面积为 ． 【答案】2 【详解】如图，取的中点，在上取点，连接， 因为，所以面， 所以， 所以即为截面与底面所成的角，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：2. 10.已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为 ． 【答案】 【详解】    设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为， 则， 即 可得， 所以截面面积为， 故答案为：. 11.如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 ． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得， 令，结合，则， 圆柱的体积， 则，其中， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，即. 故答案为：． 12.如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    【答案】①③ 【详解】设，显然为正四棱锥，易知平面平面，又 ，平面平面，平面，所以平面， 过M作分别交棱、于点T、L，则平面，由题意， 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可， 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作分别交棱 、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，显然四边形为正方形，对角线， 所以四边形的面积为，①正确； 如图2，过T作，过L作，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当与是完全相同的，所以，综上选①③. 故答案为：①③ 13．如图，一个底面半径为，高为的半椭球放置在平面上，用平行于平面且与平面任意距离处的平面截几何体，截面为圆面，运用祖暅原理，若图中半椭球底面半径为1，高为6，则该半椭球体的体积为 ． 【答案】 【详解】 可设椭圆方程为：，当高度为时，设此时截面半径为，由题意可知：在椭圆上，即，解得， 所以此时截面面积为： 而此时同样高度时，由底面半径都为b，高都为的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截面面积： 画出圆锥的截面图，如下图所示， 易知，，由可得： ，即，则， 所以， 所以总成立． 所以半椭球体的体积为 由题意知：，所以半椭球体的体积为：． 故答案为：． 14.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 【详解】（1） 因为，故， 又，，由直角梯形可得必定相交， 且平面，所以平面， 而平面，故. 由结合可得， 而平面，故平面， 而平面，故. （2）取线段的中点，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段中点，所以， 所以，则梯形为四棱锥过点的截面， 则，，， 在中，，， 所以，则， 所以截面周长为. 题型四 平行、垂直中的动态轨迹问题 15．如图，在棱长为2的正方体中，点，是底面内的一点（包括边界）且，，则下列说法错误的是（   ）    A．点的轨迹长度为 B．点到平面的距离是定值 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【详解】对于A，因为，即，所以， 即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上， 所以点的轨迹长度为，故A错误； 对于B，在正方体中，， 又平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段， 又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确； 对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角， 因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为， 所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大， 又， 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；    对于D，到直线的距离为， 当点落在上时，，故D正确. 故选：A. 16．（2025·上海金山·三模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【详解】取线段的中点，连接，则， 因点分别是棱的中点，则，则， 因平面，平面，则平面， 因，，，，则，， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 故欲使在正方形（包括边界）内，且平面， 则点必在线段上； A选项：当为时，无法得出平面，故A错误； B选项：当为的中点，无法得出平面，故B错误； C选项：的轨迹长度为，无法说明点在线段上， 但若平面，则的轨迹长度为， 则的轨迹长度为是平面的必要不充分条件，故C错误； D选项：为的中点，即点重合时，必有平面， 但平面时，不一定为的中点， 故为的中点是平面的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 17.将棱长为12的正四面体沿棱长的三等分点处截去四个小正四面体后，所得的多面体称为阿基米德体，如图所示.若点N在阿基米德体的表面上运动，且直线MN与直线AB始终满足，则动点N的轨迹所围成平面图形的面积是 . 【答案】 【详解】 如图，取直线AB中点，连接， 易知，在正四面体中面，又， 可得平面平面，所以平面， 所以满足条件的动点N的轨迹所围成平面图形为， 在中，， ，所以. 故答案为: 18.正四棱锥的底面边长为4，高为3，E是边的中点，P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为 【答案】 【详解】    设S在底面的投影为O，由正四棱锥的特征知O亦为的交点， 取的中点， 设，由中位线的性质可知， 显然正方形中，为的中点， 所以，所以底面， 而底面，所以， 又平面， 所以平面，即动点P在的三条边上， 根据正四棱锥的底面边长为4，高为3， 可知，， 所以P的轨迹的周长为. 故答案为： 19.如图所示，在棱长为3的正方体中，E在棱上，，是侧面上的动点，且平面，则在侧面上的轨迹的长度为 ． 【答案】 【详解】解：设在棱上，且，在棱上，且，在棱上，且 连接，，IH，，EG，BG，则， 所以，B，E，G四点共面， 由，平面，平面，所以平面， 同理平面，又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以F落在线段HI上， 因为正方体的棱长为3，所以， 即F在侧面上的轨迹的长度是． 故答案为：. 题型五 距离、角度有关的动态轨迹问题 20．已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（   ）． A． B． C．． D． 【答案】A 【详解】空间中的动点P满足， 则点P的轨迹是以为邻边的平行六面体， 将正四面体放入如图所示的正方体中， 则正四面体的内切球心O为正方体的中心， 设正方体的棱长为，所以，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以， 所以以为邻边的平行四边形面积为： ， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，所以，， 又因为点到平面距离为， 以为邻边的平行六面体的体积为：. 故选：A. 21.已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，，，正方体内切球球心为正方体的中心. 因为点N为线段的中点，可得，则，所以 所以， 又平面，平面，所以，同理， 因为，平面， 所以平面， 则点的轨迹为平面与球的截面圆周， 设正方体的棱长为，则，解得，正方体内切球半径为2,连接，，， 如下图，在对角面中， ， 到平面的距离即到平面的距离为， ， 又，， 设到平面的距离为，则，， 得到平面的距离为， 所以截面圆的半径， 则点的轨迹长度为， 故答案为：. 22.如图，在正方体中，，E为棱的中点，是正方形内（含边界）的一个动点，且平面，    (1)求平面与平面所成二面角的余弦值； (2)求动点的轨迹长度. 【详解】（1）如图，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向， 为z轴正方向建立空间直角坐标系，    则，，，，， 设平面ABE的一个法向量为， 则，取，则， 又平面ABCD的一个法向量为， ， 故平面ABE与平面ABCD所成二面角的余弦值为. （2）由平面，在经过点且与平面平行的平面上， 取中点M，取中点N，连接，MN，，ME，， 由且，则四边形是平行四边形， ，平面，平面ABE上，则平面；    因为且，则， 又平面，平面，则平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面正方形，F的轨迹是线段MN， 由， 所以. 题型六 翻折有关的动态轨迹问题 23.如图1，正四棱锥，. (1)求此四棱锥的外接球的体积； (2)M为PC上一点，求的最小值； (3)将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积. 【详解】（1） 如图,设外接球的半径为, ,, 所以,即,解得, 所以外接球体积. （2） 如图，将展开到与平面在同一个平面， 此时, 在中，， 所以, 所以的最小值为. （3） 联想到勾股定理证明，可设直角三角形的两条直角边长为， 于是，解得， 则构成以为底面边长，高为的正四棱锥， 所以. 24.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，，，将沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点． (1)从翻折至的过程中，求点P运动的轨迹长度； (2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求的最大值. 【详解】（1）解：取DM的中点E，则从翻折至的过程中，点P运动的轨迹是以点E为圆心，AE为半径的半圆， 因为，，所以，所以点P运动的轨迹长度为. （2）解：由（1）得，连接AN，并延长交BC延长线于F，，折起后，有面，过P作，则面，再过点O 作，则就是二面角P−BC−D的平面角θ， 设， ，， ， 令，所以，所以，解得. 所以的最大值为. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 2．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 【答案】 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 3．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为 ．    【答案】 【详解】设圆的直径为， 则，即， 由题意可得：，则， 令时， 解得；令时， 解得； 可知在单调递增， 在单调递减，则时，取最大值． 此时． 所以 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海·期中）在中， ， P为内部一动点(含边界)，在空间中，若到点的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 . 【答案】 【详解】空间中，到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面的角度看， 如下图所示：    其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱. 四边形和为矩形，，， 同理可得：，， ， ，，区域内的几何体合成一个完整的半径为的球， 则，，区域内的几何体的体积之和； 又，和区域内的几何体的体积之和； 因为在中，，所以， 所以，所以， 所以区域内的直三棱柱体积， 故几何体L的体积等于. 故答案为：. 5.已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【详解】 由连接， 由正方体可知，，，， 且，，平面， 则平面， 又平面， ， 同理， 又，，平面， 所以平面， 即平面，且， 设直线平面于点， 则，且为三角形中心， 又，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，， 又， 所以，即， 所以点的轨迹为圆上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为， 则轨迹的长度为， 故答案为：. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在直平行六面体中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，过点作，过点作， 因为四棱柱是直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为直线平面， 所以， 因为，， 所以， 又因为，所以， 因为点在侧面内，所以在平面直角坐标系中来研究点轨迹的长度，如图所示： 点的运动轨迹为以点为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧， 显然，，所以， 所以. 故选：C. 2．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，AP、AB、AC两两垂直，，，点O为底面ABC内的一个动点． （1）若，则点O的轨迹是椭圆的一部分； （2）若，则点O的轨迹是双曲线的一部分； （3）若，则点O的轨迹是抛物线的一部分． 以上几个命题中，真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】对于（1），两两垂直，，平面， 平面， ，点在以为轴的圆锥面上， ，，， 设圆锥顶角为，则， 所以顶角为锐角，即点O的轨迹是椭圆的一部分，故（1）正确； 对于（2），当时，点在以为轴的圆锥面上， ，，故， 此时圆锥顶角为直角， 所以O的轨迹是抛物线的一部分，故（2）错误； 对于（3），当时，点在以为轴的圆锥面上， ，， ∴，， 所以顶角为钝角，即点O的轨迹是双曲线的一部分，故（3）错误； 综上，真命题的个数1. 故选：B. 3.如图，已知正方体的棱长为2，P为正方形底面内的一动点，则以下结论： （1）三棱锥的体积为定值； （2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2； （3）若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段； （4）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为．正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】（1）（3）（4） 【详解】    对于（1），以相同顶点命名的三棱锥体积相同，故三棱锥的体积等于的体 积，因为点到上底面的距离等于棱长，故（1）正确； 对于（2），取的中点分别为，连接， 由图像可知，， 又因为， ，当点在上时， 因为正方体棱长为，的中点分别为 所以， 故（2）错误； 对于（3），以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 且，且都在平面内， 所以， 所以点的轨迹是线段，故（3）正确； 对于（4），为正三角形，设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 由等体积法，可得 解得， 故以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 故（4）正确； 故答案为：（1）（3）（4） 4．（25-26高三上·上海·阶段练习）如图，在长方体中，，，点P，Q分别为BC，的中点，点M为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点M的轨迹长度为 ．    【答案】 【详解】在长方体中，取，的中点G，H，连接AG，GH，BH，    由点P为BC的中点，得，， 则四边形是平行四边形，所以， 又，， 则四边形ABHG是平行四边形，于是， 取中点E，在AD上取点F，使得，连接EF，QE，QF， 而，则四边形AGEF为平行四边形，， 而平面平面， 于是， 由Q为的中点，E为中点，得， 而平面，平面， 则平面， 又，，平面， 因此平面平面， 又由直线平面，点平面， 则点M在平面QEF与平面的交线EF上， 从而点M的轨迹就是线段EF，而， 所以点M的轨迹长度为． 故答案为： 5．（24-25高三上·上海·期中）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）    【答案】3.7 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为.    设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 帐篷围成几何体的体积为：（立方米）. 故答案为：3.7. 6．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 7.某数学兴趣小组对某饮料生产商的某种易拉罐通过数学建模进行研究． (1)基于以下假设： ①易拉罐近似看成一个圆柱体，体积一定（记为V）； ②罐体各部分所用材料相同： ③易拉罐接口处的所用材料忽略不计； ④易拉罐的上、下罐顶厚度是其它部分的2倍，其余部分厚度均相同，厚度远小于易拉罐的高或底面半径； ⑤假设易拉罐本身（不含饮料）的质量与材料成本成正比； ⑥在满足体积要求的情况下，饮料生产商希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小． 求易拉罐的高与底边直径的比． (2)设易拉罐的中心纵断面（经过易拉罐上、下罐顶的圆心，且与上、下罐顶所在圆面垂直的截面）如图所示，即上面部分是一个圆台，下面部分是一个圆柱体．尺寸如表中如示： 圆台 上底半径 r 下底半径 R 高度 h 圆柱 半径 R 高度 H 推导圆台的体积公式，并求该易拉罐的体积． 【详解】（1）设易拉罐的高为h与底边半径为r，则． 依题意，即求当取最小值时的值． ， 令，求导可得， 令，解得，由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即时取最小值． 因此，易拉罐的高与底边直径的比是2． （2）圆台的体积可看成是两个圆锥的体积的差，当圆台的上底面半径为r，下底面半径是R，高为h时， 设小圆锥的高为x，则有，解得． 因此圆台的体积为：． 该易拉罐的体积为． 8.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【详解】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. （2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 9.（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上． （2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点，平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 【详解】（1）用符号表示：， 如图： （2）（ⅰ）在正方体中画出此截面多边形如图所示： 作直线分别与延长线于， 连接交于，连接交于， 最后连接，即得截面. （ⅱ）由题设，易知，进而易得， 截面多边形的周长等于， ， ， 所以， ， 所以截面多边形的周长等于． 10.已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为． （1）当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） （2）如图，当，时，平面与圆柱底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交，设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点、，若以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求证：曲线是椭圆并写出椭圆标准方程； （3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，当取得最大值时，求的值．（结果用数字表示） 【详解】（1）当，时，圆柱的体积为， 在圆柱内放一个半径为1的实心球，其实心球的体积为， 所以圆柱内空余部分的体积为； （2）当，时，平面与圆柱底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交， 设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线，则曲线是椭圆，其中长轴长为，所以，短轴长为2=2b，所以b=1， 所以曲线C的方程为； （3）设小球的半径为r，考虑其轴截面，如下图（1）所示，利用大球与小球的球心距，以及勾股定理得，解得，考虑大球及小球在底面上的投影，如下图（2）所示，则现在只要计算在一个半径为1的圆内最多能放入个与之内切的半径为r的圆， 设一个小圆对于大圆的圆心的张角为， 其中 所以. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $