重难点培优02 圆锥曲线中的定点问题（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 圆锥曲线中的定点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 直线过定点问题（★★★★★） 2 题型二 圆过定点问题（★★★★★） 6 03 实战检测・分层突破验成效 11 检测Ⅰ组 重难知识巩固 11 检测Ⅱ组 创新能力提升 14 一、解析几何中定点问题的解题策略 (1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为 ①设直线方程为y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值； ③将②的结果代入y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，得到定点坐标. (2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为 ①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)； ②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)； ③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法) 二、圆过定点问题的解题策略 (1)利用特殊情况寻找特殊点. (2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 题型一 直线过定点问题 1．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 2.已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的交点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由； (3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点. 3．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知点（其中），、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为d． (1)若，坐标为，，点在直线上时，求点的坐标； (2)若，、、都在抛物线上，点的横坐标为3，求证：线段的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标； (3)若、、都在椭圆上，且，求实数a的取值范围． 4．（25-26高三上·上海·开学考试）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 5．（24-25高三上·上海·期中）如图，已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)若点P在第一象限，且满足，求的面积； (3)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 6．（24-25高三上·上海·期末）已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. (1)求C的方程; (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 7.阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. (1)求椭圆的标准方程； (2)点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； (3)直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 8.已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 9．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知椭圆（的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆C上的任意一点. (1)写出向量和的坐标（用字母：，，表示）； (2)若的最大值为2，最小值为，求椭圆C的离心率； (3)在满足（2）的条件下，若直线与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标. 题型二 圆过定点问题 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l； (1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由； 11．焦距为的椭圆（）满足､､成等差数列，称为“等差椭圆”. (1)求的离心率； (2)过作直线与有且只有一个公共点，求此直线的斜率的值； (3)设点为椭圆的右顶点，为椭圆上异于点的任一点，为关于原点的对称点（也异于），直线､分别与轴交于､两点，判断以线段为直径的圆是否过定点？说明理由. 12．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知抛物线，动直线l经过定点且与抛物线交于A、B两点． (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)时，求线段的长度的最小值； (3)若抛物线上存在一定点D，使得以为直径的圆恒过点D，求a、b满足的关系式． 13.已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)求的值； (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由. 14.已知抛物线：的焦点为，准线为，过焦点作直线交抛物线于、两点． (1)过点作直线的垂线，垂足为，若在上的数量投影为，求的面积； (2)设直线交轴于点，若，，求的值； (3)设为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 15.已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于两点． (1)当直线垂直于轴时，求弦长； (2)当时，求直线的方程； (3)记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 16.已知椭圆的方程为（常数），点A为椭圆短轴的上顶点，点是椭圆上异于点A的一个动点．若动点到定点A的距离的最大值仅在点为短轴得另一顶点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知. (1)若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； (2)若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； (3)已知椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，点关于原点的对称点为点（点也异于点A），且直线、分别与轴交于、两点．试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 17．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 18．（25-26高三上·上海·期中）如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知椭圆C：，其右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线过定点. 2．（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． (1)若点的坐标为，求的面积； (2)求的取值范围； (3)如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 3.已知抛物线的焦点为，准线为. (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的离心率. (2)设与轴的交点为，点在第一象限且在上，若，求直线的方程. (3)经过点且斜率为的直线与相交于两点，为坐标原点，直线分别与相交于点.求证:以为直径的圆必过定点. 4，已知抛物线的焦点为，准线为． (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程； (2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 5.设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点． (1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程； (2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程； (3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 6．（24-25高三上·上海·开学考试）已知椭圆的右焦点为，且经过点，设O为原点，直线与椭圆交于两个不同点P，Q， (1)求椭圆的方程； (2)若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且，求证：直线l经过定点； (3)若，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 2．（25-26高二上·上海·期中）对于双曲线，将不平行于其渐近线且与该双曲线有且只有一个公共点的直线称为该双曲线的切线，这个公共点称为切点．已知双曲线的方程为 (1)若过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的方程； (2)已知过双曲线上一点与双曲线相切的直线的方程为.设和是双曲线的焦点，直线是双曲线的一条切线，求和到直线的距离的乘积； (3)若点是直线上的一个动点，且过点可作双曲线的两条切线，切点分别为.过作直线的垂线，设垂足为.问：是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程．若不是，请说明理由． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为F，直线交于A，B两点. (1)若点F到直线的距离为，求的准线方程； (2)设直线交x轴于点E，若，三角形的面积为，求直线的倾斜角的大小； (3)设p为常数直线过焦点F，直线，分别交的准线于点C，D，证明.以为直径的圆经过两个定点. 4．（2025·上海金山·三模）已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 5．（2025·上海·三模）如图，椭圆：，为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于，两点.    (1)若直线经过焦点，求此时线段的长度； (2)若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 圆锥曲线中的定点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 直线过定点问题（★★★★★） 2 题型二 圆过定点问题（★★★★★） 16 03 实战检测・分层突破验成效 30 检测Ⅰ组 重难知识巩固 30 检测Ⅱ组 创新能力提升 40 一、解析几何中定点问题的解题策略 (1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为 ①设直线方程为y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值； ③将②的结果代入y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，得到定点坐标. (2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为 ①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)； ②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)； ③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法) 二、圆过定点问题的解题策略 (1)利用特殊情况寻找特殊点. (2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 题型一 直线过定点问题 1．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【详解】（1）由题，，． 所以离心率． （2）由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． （3）如图：    设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 2.已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的交点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由； (3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点. 【详解】（1）根据题意可得，，又，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设过点的直线为，，，易知， 联立，消去整理得，易得， 则，， 所以 . 所以直线与直线的斜率之积为定值.    （3）设直线的斜率为，直线的斜率为，，，且， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，消去整理得， 解得，， 同理可得，， 当直线的斜率为时，易知此时，解得，直线过点. 当直线的斜率不为时，，，所以， 所以直线过点， 综上，直线恒过定点. 3．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知点（其中），、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为d． (1)若，坐标为，，点在直线上时，求点的坐标； (2)若，、、都在抛物线上，点的横坐标为3，求证：线段的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标； (3)若、、都在椭圆上，且，求实数a的取值范围． 【详解】（1）因为，，所以. 又因为点在直线上，可设. 如图：    所以， 所以或. 当时，，此时；当时，，此时. 所以点坐标为或. （2）如图：    因为抛物线的焦点为，且点的横坐标为3，所以. 因为，在抛物线上，可设，. 所以，. 因为、、成等差数列，所以， 所以. 设轴上点，满足， 则. 当时， ； 当时，也可以成立. 所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点. （3）设为椭圆上一点，则问题可转化为的最大值与最小值的差不小于6.    因为， 所以. 设，. 当即时，函数在上单调递减， 所以，所以； ，所以. 若，由恒成立，故满足题意； 若，由. 当即时，函数在上递减，在上递增， 且，，因为，所以，所以； ，所以. 由， 所以，且. 因为，所以不等式在上无解. 综上可知：. 即实数的取值范围为. 4．（25-26高三上·上海·开学考试）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【详解】（1）由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； （2）由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . （3）因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 5．（24-25高三上·上海·期中）如图，已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)若点P在第一象限，且满足，求的面积； (3)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【详解】（1）依题意，可得，解得. 故双曲线C的方程为； （2） 如图，设点，由可得点是的中点， 又，，则， 依题意，点在直线上，则，解得， 将其代入，解得，因点P在第一象限，故. 于是直线的方程为：， 代入，整理得，解得或，故得， 于是的面积为; （3）直线经过点，理由如下： 设直线的方程为：， 代入，整理得：， 由可得. 设，则 故有.（*） 直线的方程为：，令，代入解得，即, 因三点共线，故,又， 则得，即， 将代入，化简得：， 由（*），可得， 代入整理得：， 即得：，也即， 因点是双曲线右支上的动点，故不能恒为0，故. 此时直线的方程为：，故直线必过定点. 6．（24-25高三上·上海·期末）已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. (1)求C的方程; (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【详解】（1），点在上， 故， 又， ，， 的方程为. （2）斜率存在，设：，与联立消去得： ，设，， 则， ，， 又， 设，则，，则，则， ， ， ， 即， 化简得， ， （舍去）， 因为当时，，故点与重合，不合题意， ：直线过定点； （3）在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， 在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， ， ，故， 由于，分别为和的外接圆面积， 故， 则， 设：，与联立消去得：， 设，，则， ，， 又结合图像可知 解得： ，， 因为，所以，，， . 7.阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. (1)求椭圆的标准方程； (2)点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； (3)直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【详解】（1）由题意知，椭圆的面积知，得， 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由题意得，直线方程为，即，设（为参数）， 则点到直线的距离为， 当即即时，取得最小值，且最小值为， 所以的面积的最小值为， 此时. （3）设直线，，则，， 三点共线，得 ， 直线与椭圆交于两点，， ，， 由，得， ， ，代入中， ，， 当，直线方程为，则重合，不符合题意； 当时，直线，所以直线恒过定点. 8.已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 【详解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为， 设点，则 . （2）设，由已知可得，， 由得，化简得 代入可得， 联立解得 由得直线过点，， 所以，所求直线方程为. （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得. 由韦达定理，得.，. 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 9．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知椭圆（的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆C上的任意一点. (1)写出向量和的坐标（用字母：，，表示）； (2)若的最大值为2，最小值为，求椭圆C的离心率； (3)在满足（2）的条件下，若直线与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标. 【详解】（1）因为，所以． （2）， 因为，所以时，时，， 所以，所以离心率为； （3）由（2）知，椭圆，又联立方程组， 得． 设是直线与椭圆的两个交点， 于是有 以线段为直径的圆经过点，所以， 即，化简得， 所以或（均满足） 当时，直线过点不满足与椭圆的左右顶点不重合要求舍去 所以，即， 所以必经过定点，且定点的坐标为． 题型二 圆过定点问题 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l； (1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由； 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为， 双曲线的方程为双曲线，即，则， 由题意可知：，则， 故双曲线C的离心率. （2）由（1）可知：， 过点P作直线的垂线，垂足为M，则， ∵，且， ∴， 故直线EP的倾斜角，斜率， ∴直线EP的方程为，即. （3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下： 设直线， 联立方程，消去y可得：， 则可得：， ∵直线，当时，， ∴， 同理可得：， ∵ ， ， 则线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为，整理得， 令，则，解得或， 故以线段MN为直径的圆C过定点. 11．焦距为的椭圆（）满足､､成等差数列，称为“等差椭圆”. (1)求的离心率； (2)过作直线与有且只有一个公共点，求此直线的斜率的值； (3)设点为椭圆的右顶点，为椭圆上异于点的任一点，为关于原点的对称点（也异于），直线､分别与轴交于､两点，判断以线段为直径的圆是否过定点？说明理由. 【详解】（1）解：由题意，且，所以代入可得. 即，解得（舍去）. （2）解：显然，斜率存在，设直线的方程为. 联立，代入化简得① 方程①的， 令，化简得，所以. 由（1）的结论可知，. （3）解：设，. 直线的斜率，直线的方程， 令，解得，即. 直线的斜率，直线的方程， 令，解得，即. 设，则，， ，代入化简得②. 因为点在椭圆上，所以，即. 于是方程②化为. 无论､取何值，当时总有，所以，以线段为直径的圆经过定点和. 12．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知抛物线，动直线l经过定点且与抛物线交于A、B两点． (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)时，求线段的长度的最小值； (3)若抛物线上存在一定点D，使得以为直径的圆恒过点D，求a、b满足的关系式． 【详解】（1）根据抛物线标准方程可得：焦点坐标为，准线方程为． （2）直线AB必不垂直于y轴，所以设AB的方程为， 所以是方程的两根，化简得， 所以 ； 则， 当且仅当时等号成立．所以线段AB长度的最小值为． （3）设，直线AB必不垂直于y轴，所以设 是方程的两根， 所以； 由题意恒成立 所以， 化简得 将式代入即对于一切实数m恒成立， 所以．因此. 13.已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)求的值； (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由. 【详解】（1），即，即， 故，    双曲线的渐近线方程为，，在渐近线上， 不妨取，则，则， 点在双曲线上，则， 故，， 故， （2）当时，，与轴的交点为， ， ，同号，于是， ，，， 当且仅当时，此时，双曲线方程为； 当时，，，， ，点在双曲线上，则，，， 当时，同样当且仅当时， 综上所述：的最大值为，双曲线方程为. （3），， ，， 点在双曲线上，故，从而， 故，即， 设以为直径的圆上的任意一点为，， 则， 该圆的方程为，不恒为零， 则圆过的定点满足：且，故所求的定点为和. 14.已知抛物线：的焦点为，准线为，过焦点作直线交抛物线于、两点． (1)过点作直线的垂线，垂足为，若在上的数量投影为，求的面积； (2)设直线交轴于点，若，，求的值； (3)设为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 依题意可得，所以，则，， 所以在上的数量投影为，即， 所以，解得，所以，此时， 所以. （2）依题意直线的斜率存在且不为零， 设直线方程为，又、，则且， 令，则，即， 联立方程，消去可得， 则可得，， 又，、 所以，，，， 因为，， 所以，， 所以，， 所以 . （3）以线段为直径的圆过定点，理由如下： 由（2）可得，， ∵直线，当时，， ∴， 同理可得， ∵ ， 又 ， 则线段为直径的圆的圆心，半径， 故圆的方程为，整理得， 令，则，解得或， 故以线段为直径的圆过定点. 15.已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于两点． (1)当直线垂直于轴时，求弦长； (2)当时，求直线的方程； (3)记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 【详解】（1）由题知，将代入椭圆方程得 （2）由（1）知当直线的斜率不存在时，此时，不符合题意，舍去 直线的斜率存在，设直线的方程为：， 联立得，设，则， 解得 直线的方程为．． （3）①当直线的斜率不存在时， 直线AT的方程为，C点坐标为， 直线BT的方程为，D点坐标为，以CD为直径的圆方程为，由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在轴上，令，得即圆过点． ②当直线的斜率存在时，同（2）联立，直线AT的方程为， C点坐标为，同理D点坐标为，以CD为直径的圆的方程为， 令，得， 由， 得，解得，即圆过点． 综上可得，以CD为直径的圆恒过定点． 16.已知椭圆的方程为（常数），点A为椭圆短轴的上顶点，点是椭圆上异于点A的一个动点．若动点到定点A的距离的最大值仅在点为短轴得另一顶点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知. (1)若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； (2)若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； (3)已知椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，点关于原点的对称点为点（点也异于点A），且直线、分别与轴交于、两点．试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 【详解】（1）由题意可得：椭圆的方程为， 设，则，即， 则， ∵开口向下，对称轴， ∴当时，取得最大值， 故椭圆不是“圆椭圆”. （2）由题意可得：椭圆的方程为， 设，则，即， 则， 由题意可得：，当且仅当取到最大值， ∵，则， 则开口向下，对称轴， 可得，解得， ∴的取值范围为. （3）过定点，理由如下： 由（2）可知：，则椭圆的方程为， 设，可得 则直线的斜率，方程为， 令，解得，即点， 同理可得点， 设点， 则， 若点在以线段为直径的圆上，则， 可得， 若上式对任意的恒成立，则，解得， 故以线段为直径的圆是过定点. 17．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【详解】（1），设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：的准线方程为， 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为. 所以直线EP的斜率为，直线EP的方程为. 解法二：的准线方程为， 过点P作的准线的垂线，垂足为M,， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为. 所以直线EP的方程为. （3）设点. 由已知直线的方程为. 将代入抛物线方程得. 所以. 因为直线OA的方程为，直线OB的方程为， 令，得M，N的纵坐标分别为. 得到圆C方程为. 因为，所以整理得. 令，得或. 所以圆C过定点和. 18．（25-26高三上·上海·期中）如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【详解】（1）由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： （2）由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知椭圆C：，其右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线过定点. 【详解】（1）因为椭圆的方程为，所以，，，即， 离心率为. （2）    设直线的方程为：，，代入，得： ， 恒成立， 设，，线段的中点为，则 ，， 由， 得：， 所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：， 令得：N点的横坐标， 因为，所以， 所以， 即线段上存在点，使得，其中. （3）    设直线的方程为：，，代入，得： ， 因为过点的直线与椭圆交于A，B两点， 所以， 得：， 设，，，则，， 则直线的方程为，令得： ， 当时，也满足题意，所以直线过定点， 综上，直线过定点. 2．（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． (1)若点的坐标为，求的面积； (2)求的取值范围； (3)如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【详解】（1）由题意知，又， 则的面积为． （2）设，则， 又，则， ∴ ， 则当时，取到最大值，当时，取到最小值2， 则的取值范围为． （3）设 过点切线方程为，则，即， 设两切线的斜率为， 则是上述方程的两根，∴， 由，得：， ∴， 同理可得：， ∴， 于是直线方程为， 令，得， 故直线过定点． 3.已知抛物线的焦点为，准线为. (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的离心率. (2)设与轴的交点为，点在第一象限且在上，若，求直线的方程. (3)经过点且斜率为的直线与相交于两点，为坐标原点，直线分别与相交于点.求证:以为直径的圆必过定点. 【详解】（1）由题意得：，故的一个焦点为， 即，解得：，， 所以双曲线的离心率； （2）准线方程为：，故， 设，，则，， 则，解得：， 因为，所以，， 所以直线的方程为，即； （3）设直线：，，与联立得： ， 设， 则， 直线中，令得：，故， 同理可得：， 则以为直径的圆圆心为 其中 ， 故以为直径的圆圆心为， 又 ， 故半径为 则以为直径的圆的方程为， 当或时，恒成立， 故以为直径的圆恒过点和. 4，已知抛物线的焦点为，准线为． (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程； (2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为， 双曲线的方程为双曲线，即，则， 由题意可知：，则， 故双曲线的方程； （2）由（1）可知：， 过点P作直线的垂线，垂足为M，则， ∵，且， ∴， 故直线EP的倾斜角，斜率， ∴直线EP的方程为，即； （3）设直线， 联立方程，消去y可得：， 则可得：， ∵直线，当时，， ∴， 同理可得：， ∵ ， ， 则线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为， 整理得， 令，则，解得或， 故以线段MN为直径的圆C过定点.    5.设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点． (1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程； (2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程； (3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【详解】（1）依题意，解得，所以双曲线方程为； （2）设（或），则，，，， 则，，所以， 又，即， 所以， 则，， 由，，三点共线得：； 又，， 由，，三点共线得：， ，， ， ，即，则，， 直线与直线的交点的轨迹的方程为，； （3）设，，则， 直线：，即； 直线：，即． 由得， 所以，即，则， 同理，， 由对称性知，若过定点，则定点在轴上． 取，可得，，则直线PQ：，过点． 下证明直线恒过定点为． 由且得， 所以直线恒过定点为． 6．（24-25高三上·上海·开学考试）已知椭圆的右焦点为，且经过点，设O为原点，直线与椭圆交于两个不同点P，Q， (1)求椭圆的方程； (2)若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且，求证：直线l经过定点； (3)若，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【详解】（1）由椭圆的右焦点为，得椭圆半焦距， 由椭圆经过点，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）由消去得， ，设，， ，， 直线，令得，即，同理， 由，得， 解之得，则直线的方程为，所以直线恒过定点.    （3）显然直线的斜率存在且不为0，令直线方程为，则直线方程为， 由消去并整理得，则点的横坐标， 于是，同理， 因此的面积， ，即函数是偶函数，不妨令， ， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 因此当时，，此时，直线方程为，点， 直线方程为，点，于是直线方程为， 所以面积的最大值，直线l的方程为. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 【详解】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为； （3）设， 则， 因为直线的斜率为2，设直线的方程为， 其中，且不过， 椭圆的方程可化为，即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， ，解得，代入， 解得：，所以， 所以存在点或，使得恒成立． 2．（25-26高二上·上海·期中）对于双曲线，将不平行于其渐近线且与该双曲线有且只有一个公共点的直线称为该双曲线的切线，这个公共点称为切点．已知双曲线的方程为 (1)若过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的方程； (2)已知过双曲线上一点与双曲线相切的直线的方程为.设和是双曲线的焦点，直线是双曲线的一条切线，求和到直线的距离的乘积； (3)若点是直线上的一个动点，且过点可作双曲线的两条切线，切点分别为.过作直线的垂线，设垂足为.问：是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程．若不是，请说明理由． 【详解】（1）直线过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不符合题意，舍掉； 当直线斜率存在时，设出直线方程， 联立， 当，此时直线与双曲线有且只有一个公共点， 当时，直线的方程为； 当时，直线的方程为； 当，若直线与双曲线有且只有一个公共点， 则，解得， 当时，直线的方程为； 当时，. 综上所述，直线的方程为或或或. （2）把双曲线的方程为化为标准方程，得，则，，双曲线的焦点坐标为， 过双曲线上一点与双曲线相切的直线的方程为，即， 到直线的距离，到直线的距离， 又，即，， ，，，则， . （3）点是直线上的一个动点，设， 则过的切线方程分别为、， 又这两条切线都过，， 直线的方程为，即， 令，解得，直线过定点， ，则在以为直径的圆上，而， 则圆心为的中点，即圆心坐标为， 半径为， 该圆的方程为. 故是在一个定圆上，该圆的方程为. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为F，直线交于A，B两点. (1)若点F到直线的距离为，求的准线方程； (2)设直线交x轴于点E，若，三角形的面积为，求直线的倾斜角的大小； (3)设p为常数直线过焦点F，直线，分别交的准线于点C，D，证明.以为直径的圆经过两个定点. 【详解】（1）抛物线的焦点F的坐标为. 点F到直线的距离公式为： 因为，所以. 抛物线的准线方程为. （2） 设直线的方程为与抛物线联立： 设，，. 由韦达定理：， 由，得. 又E在直线上，且E为与x轴交点，故： 代入韦达定理： 三角形的面积 已知当时，倾斜角；当时，倾斜角. 综上，倾斜角为45°或135°. （3） 抛物线（p为常数），焦点，准线. 设直线的方程为（过焦点F），与抛物线联立： 直线的方程为，与准线交于. 因为，所以. 同理.    以为直径的圆的圆心为，半径为. 化简得圆心，半径. 圆的方程为：. 整理得. 令，则或. 故圆经过定点和. 4．（2025·上海金山·三模）已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为． （2）①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则；    ②当时，设，∴， 则， 解得，则.    （3）①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴，    联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 5．（2025·上海·三模）如图，椭圆：，为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于，两点.    (1)若直线经过焦点，求此时线段的长度； (2)若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）依题意，，直线的斜率为，方程为， 由消去得，解得， 所以线段的长. （2）设椭圆的左焦点为，则， 于是，当且仅当直线过左焦点取等号， 所以周长的最大值为8，此时直线方程为. （3）存在点满足题意， 假设存在满足题意的定点，当直线平行于轴时，则，，两点关于轴对称， 则点在轴上，不妨设， 当直线垂直于轴时，，，， 解得或（舍去，否则点就是点），即点的坐标为； 对于一般的直线：，也满足题意. 因为，由角平分线定理知，轴为的角平分线，则只需. 设，，则，， 则，消去可得，， 则，， 于是，， 两式相加得，， 即从而，假设成立. 即存在与点不同的定点，使得恒成立.    11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $