重难点培优01 圆锥曲线中的范围与最值问题（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 圆锥曲线中的范围与最值问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 与弦长、周长有关的范围(最值)问题（★★★★★） 2 题型二 与距离、面积有关的范围(最值)问题（★★★★★） 4 题型三 与角度、斜率有关的范围(最值)问题（★★★★★） 7 题型四 与参数、向量有关的范围(最值)问题（★★★★★） 10 03 实战检测・分层突破验成效 13 检测Ⅰ组 重难知识巩固 13 检测Ⅱ组 创新能力提升 16 一、圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 二、圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 题型一 与弦长、周长有关的范围(最值)问题 1．已知过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线为，在点处的切线为，直线与直线交于点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的方程； (2)设线段的中点为，求的取值范围． 2.已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线不过椭圆中心和顶点，与椭圆交于两点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 3．（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 4．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 题型二 与距离、面积有关的范围(最值)问题 6．已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 7.日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. (1)求椭圆C的蒙日圆的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； (3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 8．（2025·上海静安·模拟预测）已知点分别为双曲线 的左、右焦点，直线：与双曲线有两个不同的交点A，B． (1)当时，求到直线的距离； (2)若O为原点，直线与的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C、D，求当△COD的面积最小时，直线的方程； (3)设P为x轴上一点，是否存在实数，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值以及点P的坐标；若不存在，说明理由． 9．（25-26高三上·上海·期中）已知是椭圆的左、右焦点，点M、N是椭圆上的两个不同的点，直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求面积的最大值； (2)若，且直线MN与轴的交点为，求直线MN的方程： (3)是否存在某些位置上的点，使得且？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 10．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，是双曲线上的动点，求的最小值； (3)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 11．（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 题型三 与角度、斜率有关的范围(最值)问题 12．如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.    (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； (3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 13．已知椭圆，过点，且长轴长是焦距的2倍． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的一个动点，求动点到定点的最短距离； (3)若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． 14.已知双曲线的离心率为，点在上，直线交双曲线右支于不同的两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过，求的取值范围； (3)若线段的垂直平分线过点，求的取值范围； 15．（24-25高三上·上海松江·期末）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 16．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围． 题型四 与参数、向量有关的范围(最值)问题 17．已知点在抛物线上，过点作圆()的两条切线，与抛物线分别交于､两点，切线､与圆分别相切于点､. （1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且时，求的值； （3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围. 18．（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 19.设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过的右焦点，且，，求的值； (3)设直线的方程为，且，求的取值范围. 20.已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 21．（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 22.已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点． (1)若，求的值； (2)若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值； (3)已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围． 23．（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1.已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为． (1)求C的方程； (2)当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值． 2．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． (3)在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 3．过点的直线与双曲线：的右支交于两点，当轴时，． (1)求的渐近线方程； (2)记的左顶点为，求的取值范围； (3)若分别以点、为圆心的两圆有公共点（在轴上），它们与轴的另一交点分别记作点、，记为坐标原点，当时，求的取值范围． 4.已知曲线C是由曲线和曲线组成，点.，点P、Q在C上 (1)已知直线与曲线仅有一个公共点，求实数m的取值范围； (2)求的取值范围； (3)若，求面积的取值范围. 5.已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 6.已知椭圆为坐标原点； (1)求的离心率； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； (3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 2．（2025·上海浦东新·三模）已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 3．（24-25高三上·上海·期末）已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. (1)求C的方程; (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 4．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 6．（25-26高三上·上海·月考）在平面直角坐标系中，满足到、距离之和为定值的点的轨迹为曲线，且点在曲线上.过点且不平行于x轴的直线与曲线交于点A、B，AB的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C、D，l与x轴的交点为E. (1)求的方程； (2)证明：； (3)记CG与AE的交点为M，DG与BE的交点为N，求四边形MGNE面积的最大值. 7.在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点． (1)求曲线K的方程； (2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值； (3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 圆锥曲线中的范围与最值问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 与弦长、周长有关的范围(最值)问题（★★★★★） 2 题型二 与距离、面积有关的范围(最值)问题（★★★★★） 10 题型三 与角度、斜率有关的范围(最值)问题（★★★★★） 20 题型四 与参数、向量有关的范围(最值)问题（★★★★★） 27 03 实战检测・分层突破验成效 38 检测Ⅰ组 重难知识巩固 38 检测Ⅱ组 创新能力提升 47 一、圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 二、圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 题型一 与弦长、周长有关的范围(最值)问题 1．已知过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线为，在点处的切线为，直线与直线交于点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的方程； (2)设线段的中点为，求的取值范围． 【详解】（1）当的斜率为时，则，不妨设， 由可得，，所以， , 即，因为，解得：． 从而抛物线的方程为 （2）由题意可知直线有斜率， 设直线，， 由可得，，则 所以， 于是，即 而 由，则， 于是抛物线在点处的切线的方程为 即 同理可得，在点处的切线的方程为 联立，解得，于是 则 从而 所以，的取值范围是 2.已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线不过椭圆中心和顶点，与椭圆交于两点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【详解】（1）由题意得，又点在椭圆上，所以， 所以，则椭圆的方程为； （2）设，直线为，则， 由，得，且， 所以 则直线为， 令，得 ，即， 则， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立，则周长的最小值为． 3．（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【详解】（1）依题意有，解得. 所以离心率. （2）不妨设直线方程为，代入， 整理得，可得，所以， 将带入得， 由得， 所以， 解得 所以满足条件的的个数是3个. （3）设直线，设， 联立，得， 所以，所以. 所以，所以的中点为， 所以 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令， 记， 又，所以时，. 4．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【详解】（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 （2）由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. （3）由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ，为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 【详解】（1）因为曲线：为双曲线， 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为，则，即，解得或（舍去）， 此时曲线的离心率； 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为， 则，即，解得（舍去）或， 此时曲线的离心率， 综上可得曲线的离心率为或. （2）当时曲线：， 依题意，直线的斜率必存在（否则点重合，不合题意），可设其方程为， 联立，消去并整理得， 解得，则，即， 因为点关于原点的对称点为，所以， 此时，故直线的方程为， 当时，解得，即，又易得，则 ， 则，因为，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为，故的最小值为． （3）依题意，解得或， 当时曲线：，为焦点在x轴上的椭圆，符合题意； 当时曲线：，为焦点在y轴上的椭圆，不符合题意； 依题意，可设直线的方程为， 联立得， 可得， ，则，解得， 因直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，故直线的斜率为，同理可得， 则，， 则， 当且仅当，即时等号成立，经检验符合， 所以线段AB的长的最大值为. 题型二 与距离、面积有关的范围(最值)问题 6．已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【详解】（1）由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. （2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. （3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 7.日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. (1)求椭圆C的蒙日圆的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； (3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 【详解】（1）因为椭圆：，所以， 所以椭圆的蒙日圆的方程为； （2）如图， 由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 联立方程，消去并整理得，， 由，得，即， 所以坐标原点到直线：的距离， 所以， 所以； （3）由（1）知，椭圆C的方程为，椭圆C的蒙日圆方程为， 设，则，设，， 则切线的方程为，切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 故直线的方程为， 将直线的方程与椭圆的方程联立得， 消去并整理得， 显然，， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以， 设，则，， 令， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以面积的最小值为. 8．（2025·上海静安·模拟预测）已知点分别为双曲线 的左、右焦点，直线：与双曲线有两个不同的交点A，B． (1)当时，求到直线的距离； (2)若O为原点，直线与的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C、D，求当△COD的面积最小时，直线的方程； (3)设P为x轴上一点，是否存在实数，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值以及点P的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点， 当时， ，∴， ∴直线， 故到l的距离； （2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为， ∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D， ∴， 由得交点C的横坐标为， 由得交点D的横坐标为， ∴，当时取等号， 所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴，此时方程为. （3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 设， 由，消去y得， ∴且， 解得且， ， AB的中点， 所以AB的垂直平分线方程为， 令，则， 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，又， 故，点， 即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时． 9．（25-26高三上·上海·期中）已知是椭圆的左、右焦点，点M、N是椭圆上的两个不同的点，直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求面积的最大值； (2)若，且直线MN与轴的交点为，求直线MN的方程： (3)是否存在某些位置上的点，使得且？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 【详解】（1）中，，当为短轴顶点时，点到边的距离最大， 所以面积的最大值为：. （2）因为直线MN与轴的交点为，故可设直线方程为：. 由， 整理得：. 设，，则，. 又，由题意， 所以， 所以 ， . 所以直线的方程为：. （3）设的中点为，因为，所以， 因为，所以，所以，故在轴上. 根据椭圆的对称性，可知与点纵坐标相同. 如图：    设点，则，且. 由. 所以, 所以点坐标可以为：或或或. 10．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，是双曲线上的动点，求的最小值； (3)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 【详解】（1）由题意可知，又渐近线方程为，所以， 易知双曲线的标准方程为. （2）设，， 因为或，对称轴为，所以当时取得最小值1. （3）设，，，，联立方程 得， ， 且，， 由，，三点共线得①， 由得，即②，由①②解得. 由可知，四边形是平行四边形， 所以，， ， 所以， 令，，则，令， 则， 所以在上单调递减，上单调递增，所以， 所以，当且仅当，即时取等号. 11．（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为，则， 因为，所以中， 又因为为正三角形，所以，即， 所以椭圆的离心率. （2）由于正三角形的面积为，得到， 解得，，又，得到，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 题型三 与角度、斜率有关的范围(最值)问题 12．如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.    (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； (3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 【详解】（1）由题意，，得，故椭圆的标准方程为； （2）由（1）知：，显然直线不与轴重合， 设直线为，， 联立，得，显然， 所以，， 则， 圆半径为1，则，故， 所以（负值舍），即满足条件的直线有2条；    （3）设切线方程为，切线方程为，且， 圆与相切，则，化简得， 同理， 所以是的两个不相等实根，则， 又在椭圆上，故，则， 由存在，则，即， 所以. 13．已知椭圆，过点，且长轴长是焦距的2倍． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的一个动点，求动点到定点的最短距离； (3)若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． 【详解】（1）设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：，故，故， 故椭圆方程为：. （2）设，则， 整理得到：， 因为，故，故. （3）设，的中点为， 由可得， 故， 故. 而，， 因为线段的垂直平分线过定点，故， 整理得到：，所以， 解得或. 14.已知双曲线的离心率为，点在上，直线交双曲线右支于不同的两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过，求的取值范围； (3)若线段的垂直平分线过点，求的取值范围； 【详解】（1）点在上，，又，， 解得：，，， 双曲线的方程为：. （2）过点，，设，， 由得：， 与双曲线右支交于不同的两点， ，解得：，即的取值范围为. （3）设，，线段中点， 由得：， ，，，， ，， 与双曲线右支交于两点，， 线段垂直平分线所在直线斜率为，方程为， 又该直线过点，，整理可得：， 由得：，解得：或； 又，； ，，； 综上所述：，即的取值范围为. 15．（24-25高三上·上海松江·期末）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 【详解】（1）由题意可知，，所以， 又因为当直线垂直于轴时，直线的方程为， 由得，， 所以弦的长为. （2）因为，且直线过点， 所以，在中，， 所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点, 所以，又由椭圆的定义可得， 所以点在线段的垂直平分线上， 又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点， 所以或. （3）当直线的斜率不存在时，不妨设， 所以， 故； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线：，设， 由得，， 所以， 所以， 化简得， ①当时， ，当且仅当时等式成立； ②当时，，当且仅当时等式成立； ③当时，； 综上所述可得，的取值范围为. 16．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的方程为 （2）, 设直线, 联立可得， 故， 当且仅当，即时取到等号， 故的面积的最大值为. （3）设直线 联立可得， 则，又， 所以，， 同理可得， 故 , 由于位于第一象限，故， 因此 题型四 与参数、向量有关的范围(最值)问题 17．已知点在抛物线上，过点作圆()的两条切线，与抛物线分别交于､两点，切线､与圆分别相切于点､. （1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且时，求的值； （3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围. 【详解】（1）设点的坐标为， 则，解得或， 即点的坐标为或； （2）当点的坐标为，且时，， 在直角三角形中，，且， 同理，，且， 从而； （3）由题意知切线､的斜率均存在且不为零，设切线方程为， 由，得， 记切线､的斜率分别为､，则， 由于切线､的方程分别为､， 联立，消去，得， 设､，则，故， 同理，，于是， 因为，所以，. 所以. 即的取值范围是. 18．（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【详解】（1）由在抛物线上，可得，故，则准线为； （2）由题意，直线的斜率存在且不为0， 设且，联立抛物线得， 所以，则，故直线的斜率范围是. （3）由题意，根据（2）易知，当直线与抛物线相切，即时过， 令，，且，且，， 若，得，所以， 同理得，而，故，， 由题意，同理可得， 所以，而，， 所以. 19.设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过的右焦点，且，，求的值； (3)设直线的方程为，且，求的取值范围. 【详解】（1）由的离心率是短轴的长的倍，得 ，即， 又，则， 故椭圆的方程为. （2）设的左焦点为，连接， 因为，所以点、关于点对称， 又，则， 由椭圆的对称性可得， ，且三角形与三角形全等， 则， 又，化简整理得， ，则. （3）设，，， 又 ，则，， 由得，， ， 由韦达定理得，，， 又， 则，， 因为点在椭圆上，所以， 化简整理得，， 此时，， 则 ， 令，即， 则， 则的取值范围是. 20.已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【详解】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. （3）由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 所以实数的取值范围为. 21．（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【详解】（1）由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为； （2） 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得， ， 由椭圆的定义知，. （3）由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角， 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到． 22.已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点． (1)若，求的值； (2)若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值； (3)已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：联立，可得，即点， 所以，，解得. （2）解：由可得， 所以，函数的反函数为， 即， 所以，曲线、关于直线对称，则点关于直线的对称点在曲线上， 所以，，则， 当且仅当、、三点共线时，取最小值， 当时，曲线的方程为， 设点，则， 即，即当时，即当时，取最小值.    （3）解：设点、，则点、， 其中，，    ，其中， 当时，即当时，取最大值，即， 此时，， 因为函数在上单调递增，此时，， 函数在上为增函数， 故函数在上为增函数， 当时，取最大值，即， 所以，，所以，. 23．（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 【详解】（1）双曲线的标准方程为，则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为； （2）设，则， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，， 所以 ， 即． （3）设切点，则切线的方程为，且， 由，解得，所以， 设，，，， 由，消去得，所以； 由，消去得，所以； 所以，， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1.已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为． (1)求C的方程； (2)当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值． 【详解】（1）当M与原点O重合时，可设，则有、， 且，即有, 则， 即，又，故，则， 即有，由离心率为，即， 则，故，即有， 解得，故，即C的方程为； （2）设直线方程为，令，有，即， 设点、，则， 联立直线与椭圆方程：，消去有， ，即， 有，， 为， 令，故， 由，故， 其中，即， 则 ， 当且仅当时等号成立， 故周长的最小值为. 2．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． (3)在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线l的方程为，，， 联立，消去y整理得， 则， 且，， 又，， 则 ， 则，即时，此时为定值. （3）由（2）知，，，直线l的方程为， 且，，，， 则，， 则直线的方程为， 令，得 ， 即，则，，， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立， 则周长的最小值为. 3．过点的直线与双曲线：的右支交于两点，当轴时，． (1)求的渐近线方程； (2)记的左顶点为，求的取值范围； (3)若分别以点、为圆心的两圆有公共点（在轴上），它们与轴的另一交点分别记作点、，记为坐标原点，当时，求的取值范围． 【详解】（1）当轴时，，故点在上，可得， 故的标准方程为．故的渐近线方程为． （2）设直线，联立，可得． 当时，与只有一个交点，故． 因为与右支有两个交点，根据图像可得． 设，根据韦达定理可得， 故 ． （3）易得， ， 即，整理得， ∵，∴，，解得； 故，令，设； 则对于恒成立． ∴最小值为，最大值为；即的取值范围为． 4.已知曲线C是由曲线和曲线组成，点.，点P、Q在C上 (1)已知直线与曲线仅有一个公共点，求实数m的取值范围； (2)求的取值范围； (3)若，求面积的取值范围. 【详解】（1）如图， 当直线与圆相切时，， 解得，由图象可知，时， 直线与半圆相切， 由图象可知，当或时， 直线与曲线仅有一个公共点， 所以实数m的取值范围 （2）注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点， 当点在轴的右侧时，由椭圆的定义可得； 当点不在轴的右侧时，设， 则， 因为，所以， 所以， 综上所述，； （3）如图， 记的面积为， 当两点在半椭圆上时（不含轴），设， 联立，则有， 故， 同理可得， 故， 令，则， 则， 由，得，所以， 所以； 当两点都在半圆上时，， 则； 当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含轴）， 由对称性，可设点在半椭圆上，则， 故， 由，可得， 所以，所以； 当一点在轴上一点在半椭圆上时， 由对称性，可设点是曲线与轴的交点，则点为椭圆的右顶点， 则， ， 综上所述，面积的取值范围为. 5.已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. （3）设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得，    整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得，    整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 6.已知椭圆为坐标原点； (1)求的离心率； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； (3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 【详解】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，则，所以. （2）依题意，设，则，，故， 则， 所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. （3）设，又， 易得，则直线为，即 ， 而， ， ， 联立，消去，得 则，得， 所以， 故 ， 所以， 故存在，使得恒成立. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 2．（2025·上海浦东新·三模）已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 【详解】（1）设，，， 与联立可得，， ，，， 因为，所以， 由可得，故 因为在第一象限，所以，解得， 由得； （2）由题意得，，故， ， ， 则，即； （3）由（1）得，，故， 因为，所以， 当时，，，，故，， ，故，所以⊥，， 则， 由对称性可知， 则， 当时，，， 由得， 将其代入中得， 显然，当时，，当时，， 解得，，， 因为， 其中， 由（2）知， 又，故， 故， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时， 由于， 故. 3．（24-25高三上·上海·期末）已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. (1)求C的方程; (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【详解】（1），点在上， 故， 又， ，， 的方程为. （2）斜率存在，设：，与联立消去得： ，设，， 则， ，， 又， 设，则，，则，则， ， ， ， 即， 化简得， ， （舍去）， 因为当时，，故点与重合，不合题意， ：直线过定点； （3）在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， 在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， ， ，故， 由于，分别为和的外接圆面积， 故， 则， 设：，与联立消去得：， 设，，则， ，， 又结合图像可知 解得： ，， 因为，所以，，， . 4．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 【详解】（1）若是双曲线的一条渐近线，则，可得， 此时，双曲线的离心率为. （2）若，不妨设点位于第一象限，且，则， 由双曲线的定义可得， 又因为，则，， 所以，， 所以，， 故. （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上， 连接、， 则为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，则，即、、三点共线， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点、， 因为， 所以，，则， 联立可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 整理可得， 令，则，则关于的二次方程在上有解， 设，则二次函数在上单调递减， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【详解】（1），，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. （2）直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 6．（25-26高三上·上海·月考）在平面直角坐标系中，满足到、距离之和为定值的点的轨迹为曲线，且点在曲线上.过点且不平行于x轴的直线与曲线交于点A、B，AB的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C、D，l与x轴的交点为E. (1)求的方程； (2)证明：； (3)记CG与AE的交点为M，DG与BE的交点为N，求四边形MGNE面积的最大值. 【详解】（1）根据题意，点到、距离之和为， 所以，设点，则到、距离之和为且大于与距离， 所以，根据椭圆的定义得，曲线表示以、为焦点，长轴长为的椭圆 所以，中，，即， 所以，曲线的方程为. （2）由题知椭圆右焦点为，设直线方程： ，设 联立 ，消得： 由韦达定理： 又，, 所以，， 要证，即证, 即证， 即证， 即证， 又根据韦达定理：，得证. （3）如图： 在中，因为，G是中点，所以是中点， 由（2）同理可得，所以四边形是平行四边形， 且G是中点，所以是中点，连接， 易知 所以, 由（2）得：， 令椭圆的右焦点为，则 即 计算 所以， （令）化简得： ， 由于对勾函数单调递增（对求导）， 所以，则：， 故：. 所以四边形MGNE面积的最大值为：. 7.在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点． (1)求曲线K的方程； (2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值； (3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值． 【详解】（1）由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离， 由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为， （2）设直线l的方程为， 联立，消y得， ∴，∴，     设，∴, 又， ∴ ∵，∴设直线OP的方程为， 联立，消y得， ∴，∴，∴， 令，则，∴，∴， ∴， 故的值为， （3）设， 直线PD的方程为， 又圆心到PD的距离为1，即， 整理得， 同理可得， 所以，可知b，c是方程的两根， 所以，，     依题意，即，则， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时上式取等号， 所以面积的最小值为8． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $