重难点培优02 解三角形中的最值与范围问题（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 解三角形中的最值与范围问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 与角有关的最值（范围）（★★★★） 2 题型二 与边有关的最值（范围）（★★★★） 3 题型三 周长的最值（范围）（★★★） 4 题型四 面积的最值（范围）（★★★★★） 6 03 实战检测・分层突破验成效 8 检测Ⅰ组 重难知识巩固 8 检测Ⅱ组 创新能力提升 13 一、求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系. (1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值. (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤即可求得b＋c的最值. 二、利用基本不等式求最值(范围) 基本不等式：① ②(当且仅当时取“=”号) 解题思路：，再利用及，求出的取值范围或者利用 三、转化为三角函数求最值(范围) 基本公式：①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 解题思路：利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值。 题型一 与角有关的最值（范围） 1．（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）若的内角满足，则的最大值是 ． 3.已知三角形的三个角对应的边分别为、、 (1)求证：存在以为三边的三角形； (2)若以为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角． 4．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角. (1)若,，求的面积； (2)求的取值范围. 题型二 与边有关的最值（范围） 5．（2025·上海·三模）已知中，，且，，则的最大值为 . 6.设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 7.在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 8．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，. (1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； (2)设的三边分别是，若，，求的取值范围. 9．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值． 题型三 周长的最值（范围） 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）设是满足以下条件的的集合：对任意一个单位圆，点，，至少有一个在圆外，已知是直角三角形，且不是中的元素，则周长的取值范围是 ． 11．（2025·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 12．已知的内角的对边分别为，且的面积为 (1)求； (2)求周长的最小值. 13.在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 题型四 面积的最值（范围） 14．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知点，点在曲线上，则的面积（    ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 15．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 16.如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 . 17．（25-26高三上·上海闵行·期中）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地AOB，扇形的半径为10米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则该阴影部分面积的最小值为 平方米．（结果精确到0.01） 18．（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 19．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 20．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在同一平面上，，点为线段的中点，曲线段上所有点到点的距离都相等，点在曲线段上，且.已知为曲线段上的一个动点，点与点关于直线对称. (1)若点与点重合，求的大小; (2)求点在何处时，五边形的面积取得最大值，并求出该最大值. 21．（24-25高三上·上海松江·阶段练习）已知，，函数． (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，，，若，求的面积的最大值． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1.某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 2．（24-25高三下·上海静安·期中）在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为 ． 3．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的最大值为 . 4．（24-25高三上·上海·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 6．（25-26高三上·上海·开学考试）“堆云积雪，芳华绝代”，春天的上海，是玉兰花的盛宴．除市花白玉兰外，还有黄玉兰和紫玉兰等品种．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为30米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且． (1)当米时，求的长； (2)当点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值． 7．（25-26高三上·上海·阶段练习）某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意.已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造.如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，.记. (1)当时，求； (2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值. 8．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知，函数. (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值. 9．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知. (1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； (2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 10．（25-26高三上·上海·期中）设． (1)当函数的最小正周期为时，求的增区间； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足，，求a的最小值． 11．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，边长，求面积的最大值． 12．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 13．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 14．（24-25高三上·上海松江·期中）在中，角A，B，C对应边为，，，满足 (1)求的大小； (2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为 . 2．（24-25高三上·上海·期中）抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 3．（25-26高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 ． 4．已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 ． 5．如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 6．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 7．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 8．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是边长为2的正三角形，P、Q依次是、边上的点，且线段将分成面积相等的两部分．设，，． (1)求t关于x的函数解析式； (2)求y的最小值与最大值及取到最值时x的值． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 解三角形中的最值与范围问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 与角有关的最值（范围）（★★★★） 2 题型二 与边有关的最值（范围）（★★★★） 5 题型三 周长的最值（范围）（★★★） 8 题型四 面积的最值（范围）（★★★★★） 10 03 实战检测・分层突破验成效 16 检测Ⅰ组 重难知识巩固 16 检测Ⅱ组 创新能力提升 28 一、求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系. (1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值. (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤即可求得b＋c的最值. 二、利用基本不等式求最值(范围) 基本不等式：① ②(当且仅当时取“=”号) 解题思路：，再利用及，求出的取值范围或者利用 三、转化为三角函数求最值(范围) 基本公式：①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 解题思路：利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值。 题型一 与角有关的最值（范围） 1．（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）若的内角满足，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】设的内角、、的对边长分别为、、， 因为，由正弦定理可得， 所以， ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为且余弦函数在上单调递减，故， 所以，的最大值为. 故答案为：. 3.已知三角形的三个角对应的边分别为、、 (1)求证：存在以为三边的三角形； (2)若以为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角． 【详解】（1）证明：因为，所以， 因为三角形的三个角对应的边分别为、、， 所以，， 设三角形的外接圆半径为，则由正弦定理得 ， ， ， 所以，，， 所以存在以为三边的三角形； （2）因为以为三边的三角形为等腰直角三角形， 所以， 所以都为锐角， 不妨设，因为， 所以，或， 所以或， 当时，，则，不合题意，舍去， 当时，，则， 因为，所以, 因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 所以, 所以, 所以三角形的最小角为. 4．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角. (1)若,，求的面积； (2)求的取值范围. 【详解】（1）， 因为，，故， 因为为钝角，所以，， 由正弦定理得，故， 其中， 所以，解得， ， ； （2）由（1）知，， ， 因为为钝角，所以，且， 解得， 所以， . 题型二 与边有关的最值（范围） 5．（2025·上海·三模）已知中，，且，，则的最大值为 . 【答案】 【详解】以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 由，，得， 外接圆半径，令圆心为，则， ，点在以为圆心，为半径所含圆周角为的圆弧（不含端点）上， 显然，当且仅当点在线段上时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 6.设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 7.在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 8．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，. (1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； (2)设的三边分别是，若，，求的取值范围. 【详解】（1） 所以 所以即，由于， 即，故，而，故. 又由于，所以. （2），所以，即或， 由于为的内角，故. 所以由正弦定理，，. 所以，. 所以的取值范围是. 9．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值． 【详解】（1）由，得，此时， ，， 所以当，即时函数取到最大值1. （2）当时，，则， 当为锐角时，，因此满足时，，得， 此时，即， 由余弦定理得，即， 因此的最小值为，在时取到. 题型三 周长的最值（范围） 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）设是满足以下条件的的集合：对任意一个单位圆，点，，至少有一个在圆外，已知是直角三角形，且不是中的元素，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由已知，直角的三个顶点必然同在一个半径为的圆内部或圆周上， 不妨设的两条直角边为，斜边为. 根据正弦定理可得，；， 故周长的范围为. 故答案为：. 11．（2025·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 【详解】（1）因 ， 利用正弦定理：整理得 由于故 （2）由于利用余弦定理： ， 所以利用基本不等式： 整理得：，(当且仅当 时，等号成立） 所以 故三角形的周长的最大值为 12．已知的内角的对边分别为，且的面积为 (1)求； (2)求周长的最小值. 【详解】（1）由，得， 即，则， 由，得. （2），得， 由余弦定理，有，得， 周长， 当且仅当时取等号，所以周长的最小值为. 13.在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， ，. （2）因为， 即， ，当且仅当时取等号， ，即， 又，所以，当且仅当时取等号， 周长， 即周长的最大值为 题型四 面积的最值（范围） 14．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知点，点在曲线上，则的面积（    ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】D 【详解】已知曲线，则 当时，方程为，即，是位于第三象限的四分之一单位圆， 当时，方程变为，即，是双曲线的左支， 当时，方程变为，即，是双曲线的下半支， 当时，方程变为，此方程无实数解. 已知点，根据两点间距离公式， 直线的方程为， 设点到直线的距离为，则，. 点在曲线上，由上述分析可知： 当时，点所在曲线为位于第三象限的四分之一圆，则， 当时，点所在曲线是双曲线的左支，则， 当时，点所在是双曲线的下半支，则， 所以，当面积为0时点在直线上，此时不是三角形， 所以的面积既没有最大值，也没有最小值. 故选：D. 15．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 如图，过作，过作交的延长线于， 则四边形、四边形为平行四边形，连接， 则互相平分，故共线且为的中点， 而，故，故， 中，，，， 故， 故， 故答案为： 16.如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意，设，则， 因此的面积，， 求导得， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 因此，而，则， 所以面积的取值范围是. 故答案为： 17．（25-26高三上·上海闵行·期中）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地AOB，扇形的半径为10米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则该阴影部分面积的最小值为 平方米．（结果精确到0.01） 【答案】 【详解】设，则， 所以，则， 由，得， 在中，由余弦定理得， ，则， 在中， 即， 则，， 所以， 阴影部分的面积为：， ， ， ， 则，令，得或， 当或时，；当时，， 当时，，当时，， 而， 所以当时，阴影部分面积的最小值为平方米. 故答案为： 18．（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 19．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即； （2）由（1）可知， 所以（不符合题意舍去）或， 在中，由余弦定理得， 因为且，即， 当且仅当时取等号，即， 故的面积， 即面积的最大值为. 20．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在同一平面上，，点为线段的中点，曲线段上所有点到点的距离都相等，点在曲线段上，且.已知为曲线段上的一个动点，点与点关于直线对称. (1)若点与点重合，求的大小; (2)求点在何处时，五边形的面积取得最大值，并求出该最大值. 【详解】（1）由题意知， 由余弦定理有，得. 由正弦定理得， 因此. （2）设，则. 记五边形的面积为，则 ，其中. 因此当且仅当时，取最大值. 21．（24-25高三上·上海松江·阶段练习）已知，，函数． (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，，，若，求的面积的最大值． 【详解】（1） ，，． ， ，，， 可得：． （2），可得：， ，，可得：，解得：． ， 由余弦定理， 可得： 当且仅当时取到等号， ． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1.某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 2．（24-25高三下·上海静安·期中）在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得两点关于折线对称，连结， 设， 则，，． 在中，． 在中，， 由正弦定理知：，即， 所以． 因为，即， 当，即时，， 此时取得最小值，且． 所以的最小值为． 故答案为：. 3．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】解：设的外接圆半径，则， 由正弦定理知， 所以，即, 因为，即，所以，即， 所以，， 所以， ，其中 因为，所以， 所以，当时，有最大值. 故答案为： 4．（24-25高三上·上海·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，所以， 又，所以； （2）由正弦定理， 所以，， 则 ， 其中， 又，所以当时取得最大值. 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 【详解】（1）因为是弧的中点，所以，， 又，由正弦定理，得， 又，得，， 所以 ， 当在处时，；当在处时，，所以的取值范围是. （2）令，； ，令得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以时，有最小值，所以三条轨道的总长度的最小值为. 6．（25-26高三上·上海·开学考试）“堆云积雪，芳华绝代”，春天的上海，是玉兰花的盛宴．除市花白玉兰外，还有黄玉兰和紫玉兰等品种．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为30米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且． (1)当米时，求的长； (2)当点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值． 【详解】（1）由，故 ， 在中，由余弦定理可得 ， 故，即 . 解得，因为，所以 故长为米； （2）由题可设，， 由，故，又， 在中，由正弦定理得，即， 则， 令 ， 当，即时，有， 所以 ，此时位于的中点. 所以当位于的中点时，的面积最大，最大值为平方米. 7．（25-26高三上·上海·阶段练习）某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意.已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造.如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，.记. (1)当时，求； (2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值. 【详解】（1）根据题意，在△中，，又， 故由正弦定理可得： 解得，， 故. 即. （2）由题可知，在△中，， 则由正弦定理，可得， 故可得， 故 . 即. 当时，，此时取得最大值. 8．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知，函数. (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值. 【详解】（1）因为函数. 所以， 因为，所以， 可得：. （2）因为，可得：， 因为，可得：，解得：. 因为，可得. （当且仅当时取等号） 则，即. . 因为，所以 当且仅当时，取等号. 因此，面积的最大值为. 9．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知. (1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； (2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 【详解】（1）因为 ， 将函数图象向左平移得到， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）因为，所以， 又，所以，所以，所以， 又，由余弦定理， 即，所以，当且仅当时取等号，即， 所以， 即当且仅当时，的面积取得最大值为. 10．（25-26高三上·上海·期中）设． (1)当函数的最小正周期为时，求的增区间； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足，，求a的最小值． 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 令， 则， 即函数的单调递增区间为. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得． 因为，所以， 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时取等号， 故a的最小值为． 11．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，边长，求面积的最大值． 【详解】（1）函数（）的最小正周期为， 则，解得，所以． 由，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，且，所以． 因为，则，所以，解得． 已知，根据余弦定理， 可得，即． 由，得，当且仅当时取等号． 则，当且仅当时取等号． 所以面积的最大值为． 12．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【详解】（1）在中，由正弦定理得，又， 所以，故， 又，， 由余弦定理，得，即， 解得， 所以. （2）因为，， 所以， 由余弦定理，得，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 13．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以， 则 ， 由，则，所以， 则，即在的值域为； （2）当时，， 所以，所以， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 14．（24-25高三上·上海松江·期中）在中，角A，B，C对应边为，，，满足 (1)求的大小； (2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 【详解】（1）在中，，所以． 因为，所以， 即 化简得． 因为，所以，． 因为，所以． （2） （i）由三角形面积公式可得，即， 在中由余弦定理可得，即， 所以，所以的最大值为， 此时，当且仅当时取等号； （ii）设，，则． 由（1）知，又，所以在中，． 在中，由正弦定理得，即①． 在中，由正弦定理得，即②． ①÷②，得，即，所以． 因为，，所以或，故或． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为 . 【答案】 【详解】取的中点，连接、、、， 因为点为棱的中点，所以，又且， 所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面，连接，， 则，， 因为底面为菱形，且，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以， 将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点， 则， 又， 在中， 即， 所以， 即线段、的长度和的最小值为. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·期中）抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 【答案】1 【详解】设，如图所示，根据抛物线的定义， 可知，， 在梯形中，有， 在中，， 又， ，故的最大值是1． 故答案为：1. 3．（25-26高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等差数列， 则，解得，不妨设角为最小角， 设等差数列、、的公差为，则，， 所以， ， 由题意可知，因为、为锐角，且， 即，解得，则， 所以 . 故答案为：. 4．已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由正弦定理可得，所以， 所以，且，则或， 则或， 当时，， 所以 ，，则， 当时，即时，取得最小值； 当时，， 所以 ，，则， 则无最值； 综上所述，的最小值是 故答案为： 5．如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图， ， 所以三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，公用，因此， 所以， 中，设，由正弦定理得，记为角， 所以，，， 所以 ， 若不是钝角，则 ， 又，所以，即， 所以， 设，则，，它是减函数， 所以时，， 若是钝角，则 ， 设，则，， 令，则， ， 时，，递减，时，递增， 所以时，，， 综上，， 此时． 故答案为：3． 6．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 【答案】 【详解】根据双曲线的定义，平面内到两个定点、（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于）的点的轨迹为双曲线.由，可知， 所以点在以、为焦点的双曲线上.在空间中，是此双曲线绕旋转得到的曲面. 因为，根据直径所对的圆周角是直角，所以点同时在以为直径的球面上. 由于，所以、在与垂直的面上. 不妨令固定在一支双曲线上，设双曲线方程为. 过作于，在双曲线中，变形可得. 在（因为）中，的长度可根据坐标关系得到， 因为在过与垂直的面与球的交线上，设球心为（中点）， 由（球的半径的平方为，根据勾股定理得到此关系），的长度与有关（点坐标与点纵坐标有关），且在轴上的投影长度就是，所以. 在中，根据余弦定理， 通过，代入余弦定理公式化简得到,. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为，当时，取得最大值. 所以. 故答案为：. 7．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 8．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是边长为2的正三角形，P、Q依次是、边上的点，且线段将分成面积相等的两部分．设，，． (1)求t关于x的函数解析式； (2)求y的最小值与最大值及取到最值时x的值． 【详解】（1） 是边长为2的正三角形， ， 又线段将分成面积相等的两部分， ，解得， ， ，． （2）在中，由余弦定理得：， ， 令，求导得， 令，，，，解得， 当时， ，单调递减， 当时， ，单调递增， 时取最小值，， 当时，取得最小值， 又， 在上的最大值为3， 当或2时，取得最大值， 综上，当时，取得最小值；当或2时，取得最大值． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $