重难点培优01 平面向量中的综合问题 （复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 平面向量中的综合问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 平面向量在几何中的应用（★★★★★） 2 题型二 和向量有关的最值（范围）问题（★★★★★） 3 题型三 向量新定义（★★★★★） 5 03 实战检测・分层突破验成效 6 检测Ⅰ组 重难知识巩固 6 检测Ⅱ组 创新能力提升 8 一、用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 二、向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值. 题型一 平面向量在几何中的应用 1．已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（24-25高三上·上海·月考）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 3.在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点，若，，，则的最小值为 ．    4.在集合中任取一个偶数和一个奇数构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 ． 5.设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ． 6．（2025·上海金山·模拟预测）已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ． 7.如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则 ． 题型二 和向量有关的最值（范围）问题 8.已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是 . 9.已知平面向量，，常数.向量，且对任意，总有成立，则实数的取值范围是 . 10.已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为 ． 11．设，，，为空间中4个单位向量，满足，，，且．则的最小值为 ． 12．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 13．（25-26高三上·北京·月考）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 14．（25-26高三上·上海·阶段练习）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是 ． 15．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 16．（25-26高三上·上海·期中）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 17．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 18．（25-26高三上·上海·期中）已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的 题型三 向量新定义 19.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若(其中，分别是轴，轴正方向的单位向量)，则点的斜坐标为，向量的斜坐标为.给出以下结论： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则； ⑤若，以为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为. 其中所有正确的结论的序号是 . 20.对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则 21．（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 22.向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题: ①若为“类集”,则集合也是“类集”; ②若,都是“类集”,则集合也是“类集”; ③若都是“类集”,则也是“类集”; ④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”. 其中正确的命题有 (填所有正确命题的序号) 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（25-26高三上·上海宝山·阶段练习）已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ，都有 成立， 则 的最小值等于 . 2．（25-26高三上·上海·期中）已知平面单位向量，满足，设，若与夹角为，则的取值范围是 ． 3.已知圆半径为 是圆上不重合的点， 则的最小值为 . 4．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知、、、是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为 . 5．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为 6．（25-26高三上·上海·开学考试）已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数，都有，则的最小值为 ． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量与的夹角为，与的夹角为，，，和在上的数量投影分别为、，则的取值范围是 ． 8．（25-26高三上·上海·月考）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为 ． 9．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是 . 10．（25-26高三上·上海嘉定·期中）平面中的三个单位向量，若，则的最大值与最小值之和为 . 11．（25-26高三上·上海虹口·阶段练习）已知，． (1)若，，求实数x的值． (2)记，若对于任意的，，有恒成立，求实数的取值范围． 12．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 2．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 3．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， . 4．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知，，，，，则的最大值为 ． 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，若､､是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值与最大值之差为 . 6．（25-26高三上·上海虹口·阶段练习）已知、、均为平面向量，且，若对任意实数恒成立，则的最小值为 ． 7．（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 8.对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”. （1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围； （2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知､､均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 平面向量中的综合问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 平面向量在几何中的应用（★★★★★） 2 题型二 和向量有关的最值（范围）问题（★★★★★） 7 题型三 向量新定义（★★★★★） 14 03 实战检测・分层突破验成效 17 检测Ⅰ组 重难知识巩固 17 检测Ⅱ组 创新能力提升 27 一、用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 二、向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值. 题型一 平面向量在几何中的应用 1．已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【详解】三个角所对的三边分别为， 取的中点，的中点，的中点， 连接，，，则，，， 所以， ， ， 因为， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以， 即为钝角三角形. 故选：C.      2．（24-25高三上·上海·月考）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】取的中点，的中点，连接，（如图所示），    则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即为钝角三角形. 故选：A． 3.在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点，若，，，则的最小值为 ．    【答案】8 【详解】因为，． 所以的最小值为8． 故答案为：8 4.在集合中任取一个偶数和一个奇数构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 ． 【答案】 【详解】由题可得满足题意的向量有，又若两向量不共线，且，则以两向量为邻边的平行四边形面积为：. 则以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 综上可知面积不超过4的平行四边形的个数是3. 故答案为：3 5.设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ． 【答案】3 【详解】由，得向量、、分别看作是以为起点， 以为终点的向量，且是边长为2的正三角形，为正的中心，    由对任意的，均有，得向量、、是以为起点， 各边中点为终点的向量，则， 所以. 故答案为：3 6．（2025·上海金山·模拟预测）已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ． 【答案】3 【详解】， 又， 则， 则， 设D为BC中点，则有， ∴， 由可得， ∴， 所以，所以，即 又，所以， 故． 故答案为：. 7.如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 即，同理可知：， 不妨设，所以， 又因为，，，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以； 在中，， 所以，所以， 又在中，， 所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，又因为，所以， 所以.故答案为：. 题型二 和向量有关的最值（范围）问题 8.已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为点是圆上的动点，可设为，又因为、、，则， ， ， 因为，所以， 所以. 故答案为： 9.已知平面向量，，常数.向量，且对任意，总有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】,, 【详解】因为， 所以，，，令，则， 所以，故． 过点，的直线的方程为：，即． 又，故对应的点落在直线上， ，其几何意义为点到点的距离． 对任意，总有成立，只需， 即为点到直线的距离， 故，即，所以，或． 故答案为：,,． 10.已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：不妨设，，则向量问题可转化为如下解三角形问题： 由，为锐角， 同时由余弦定理， 而实际上表示的是OA的延长线． 故，而，则与的夹角． 可知，随着的增大，也在增大，则在减小， 由题意，只需求所趋近的最大值和最小值即可． 第一种极限情况，当与A重合时， 第二种极限情况，当位于OA的延长线无穷远处时，可看作与平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，， 由于恒成立，则，则k的最小值为． 故答案为： 11．设，，，为空间中4个单位向量，满足，，，且．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，且， 因为，可得， 又由， 因为，可得， 设，可得， 代入上式，可得且， 所以，所以， 即的最小值为. 故答案为：. 12．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标系,    则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 13．（25-26高三上·北京·月考）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】在中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：    又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故答案为：. 14．（25-26高三上·上海·阶段练习）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】由于与的夹角是钝角，则且与不共线 由，可得， 由与共线，可得，即. 故实数m的取值范围是且. 故答案为：且. 15．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 【答案】 【详解】因为平面向量、、满足且，故， ， 因为，则，即，即， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 16．（25-26高三上·上海·期中）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 【答案】 【详解】由题可设， 则， 所以， 两式相减可得：， 再代入第一个式子，可得：， 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于表达式，当，即取得最大值， 此时取得最大值， 所以，当时，取得最大值， 所以的最小值为. 故答案为：. 17．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 18．（25-26高三上·上海·期中）已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 【详解】（1）由题意，又， 所以的图像关于对称， 则，即，得到， 由，所以，解得或， 故不等式的解集为或． （2）因为，所以， 因为为单位向量，所以，， 题意有，由， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故递增区间为和，递减区间为． （3）设与的夹角为θ． ∵，∴， ∵函数在R上有两个极值，∴方程有两个不同的实数根， 即，∴， 又，∴， 即，又，∴． 题型三 向量新定义 19.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若(其中，分别是轴，轴正方向的单位向量)，则点的斜坐标为，向量的斜坐标为.给出以下结论： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则； ⑤若，以为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为. 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①②③⑤. 【详解】①∵，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴，故③正确； ④，故④错误； ⑤若，以为圆心，1为半径的圆满足， 设，则， 化为， ∴. 故满足条件的圆的斜坐标方程为.故⑤正确. 故答案为：①②③⑤. 20.对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则 【答案】 【详解】因为，故． 又由，则，，可设，，令，，且， 又夹角，所以， 对，进行赋值即可得出，所以． 故答案为：． 21．（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 【答案】 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 故答案为： . 22.向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题: ①若为“类集”,则集合也是“类集”; ②若,都是“类集”,则集合也是“类集”; ③若都是“类集”,则也是“类集”; ④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”. 其中正确的命题有 (填所有正确命题的序号) 【答案】①②④ 【详解】集合,对于任意, 且任意,都有 可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线 对于①,,向量整体倍,还是表示的是直线,故①正确; 对于②,因为,都是“类集”,故还是表示的是直线,故②正确; 对于③,因为都是“类集”,可得是表示两条直线,故③错误; 对于④,都是“类集”,且交集非空,可得表示一个点或者两直线共线时还是一条直线. 综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（25-26高三上·上海宝山·阶段练习）已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ，都有 成立， 则 的最小值等于 . 【答案】2 【详解】依题意，设的夹角为，， 因为，所以，所以； 又因为对任意的 ，都有 成立，所以即即， 整理可得：，对任意的 恒成立，故， 整理可得：，又因为，解得，即，故 的最小值等于2. 故答案为：2 2．（25-26高三上·上海·期中）已知平面单位向量，满足，设，若与夹角为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题设，则，可得， 由， ， ， 由 ， 令，则， 而，所以的范围为. 故答案为： 3.已知圆半径为 是圆上不重合的点， 则的最小值为 . 【答案】 【详解】取中点C，劣弧AB的中点D， ， 显然，P为劣弧AB的中点D时，最小， 记，由垂径定理可得：，即， 则， 当时，取最小值，最小值为. 故答案为： 4．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知、、、是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为 . 【答案】 【详解】不妨设，，，， 由， 可得点在以为圆心，半径为的圆上， 由， 可得点在椭圆上， 结合图象，当直线与圆相切，即斜率为1的时候，数量投影最大， 此时作斜率为且与椭圆相切的直线， 设为， 与椭圆：联立， 可得， 令， 得或（舍）， 所以数量投影最大值为. 故答案为： 5．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为 【答案】 【详解】 如图，建立直角坐标系，记， 因为，所以点， 作，设其坐标为，因为， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即， 因为对任意的实数t，均有 ， 所以， 由于上式对任意的实数t的一元二次不等式恒成立， 则，即， 设又设，则， 整理得：，所以可知点在直线上， 又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且， 所以可以把看成两动点和的距离， 显然距离最小值为圆心到直线的距离减去半径1， 而点到直线的距离, 所以，即的最小值为3, 故答案为：3. 6．（25-26高三上·上海·开学考试）已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数，都有，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，如图， 不妨设. 则要使最小，只需最大， 设为AB的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 则. ， 设，，点在平行四边形内（含边界）， 所以，由题知恒成立. 为了使最大，则为钝角，即点在第一或第四象限. 不小于到直线的距离，所以为点到直线的距离， 所以.即，即 即，即. 所以.所以 所以向量与夹角的最大值的余弦值为. 则的最小值为 故答案为： 7．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量与的夹角为，与的夹角为，，，和在上的数量投影分别为、，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】作，，则，    由题意可知，与的夹角为， 所以与的夹角为， 则，， 在、、构成的中，应用正弦定理可得， 所以 ， 因为，所以， 因为， ， 所以，故。 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海·月考）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】和是互相垂直的单位向量，向量满足， 该方程表示点到两定点的距离之和为6，定义了一个椭圆，其中焦点距离，长轴， ，设，， 则的轨迹方程为椭圆方程：， 设，则表示点到的距离为1， 即的轨迹方程为以为圆心，半径为1的圆：， 即为，即为，其中， ，其中， ， 当时，． 令，则，， 求导得，令，解得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 在处取得极大值（即最大值），． 故的最大值为， 故答案为：． 9．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，点P分别在以为直径的圆上，而这三个圆不会交于同一点，故此时不存在P； 所以不妨设， 则点P分别在以为直径的圆上、圆外、圆内，即如图所示加粗的部分圆弧，不包含端点. 设正三角形ABC的重心为G，则,故， 设中点为E，中点为D，则， ， 由于正三角形ABC边长为2，则可求得， 则，， 则，故， 故答案为：.    10．（25-26高三上·上海嘉定·期中）平面中的三个单位向量，若，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【详解】设，，，可知点在标准单位圆上， 不妨设， 因为，则，， 可知，， 取单位圆的六等分点，逆时针排列依次为， 则点在上，点在上， 设， 因为， 当且仅当，即点与点（或点）重合时，等号成立， 所以的最小值为，且， 可得， 当且仅当点与点（或点）重合，且三点共线时，等号成立， 所以的最小值为； 设， 因为， 当且仅当，即点与点（或点）重合时，等号成立， 所以的最大值为1，且， 可得， 当且仅当点与点（或点）重合，且点与点重合时，等号成立， 所以的最大值为2； 综上所述：的最小值与最大值之和为. 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海虹口·阶段练习）已知，． (1)若，，求实数x的值． (2)记，若对于任意的，，有恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，，且， 所以． 所以，所以，， 解得，． 由于，所以． （2）由题，可得． 当时，， 所以，即． 因为对于任意的，，有恒成立， 所以． 12．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以， 则 ， 由，则，所以， 则，即在的值域为； （2）当时，， 所以，所以， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当，，都在线段上时，等号成立， 又， 当且仅当、、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 2．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 3．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， . 【答案】 【详解】令， 由，所以是边长为2的等边三角形， 且，则原点在以为直径的圆周上（不与重合），为圆心，如下图示， 若，则， 所以要使最大，只需尽量小，且点在其轨迹的左上部， 所以，仅当与点轨迹左上部相切时最小，即如图中时，最小， 由，故. 故答案为： 4．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知，，，，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】设，，，，满足，，， 又，即， 即到距离和为4， 则点C在线段上， 而， 即 即， 则点D在以为圆心，半径为1的圆上，    又 所以， 则的最大值为． 故答案为： 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，若､､是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值与最大值之差为 . 【答案】 【详解】当时，，所以. 因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，，所以. 所以. 又. 所以. 所以当时，；当时，；当时，. 设与､与的夹角分别为，则. 由，得，即， 所以. 将､､三个向量的起点平移到同一起点，作. 所以点A在弧运动，不同于点B ，且； 点C在弧运动，三点共线，且； 如图1所示，当，时，最短， 此时，，. 与反向，所以取最小值，最小值为. 如图2所示，当，时，最长，此时，. 与同向，所以取最大值，最大值为2. 综上所述，的最小值与最大值之差为. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海虹口·阶段练习）已知、、均为平面向量，且，若对任意实数恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，则， 即有， 化简得， 则有， 即，则， 则，即， 可设，，， 则 ， 故， 设点、、， 则点在圆上， 又，， 则， ，即， 则，故圆与线段无交点， 则当点是以、为焦点的椭圆与圆相切的切点时，取最小， 由线段垂直平分线为，即， 该直线过原点，故点、关于对称，圆关于对称， 联立，解得或， 则当点为时，取最小， 此时， 故的最小值为.    故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【详解】（1），，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. （2）直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 8.对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”. （1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围； （2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知､､均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值. 【详解】解：（1）由题意，得：， 则 解得： （2）是向量组，，，…，的“向量”，证明如下： ， 当为奇数时， ，故 即 当为偶数时， 故 即 综合得：是向量组，，，…，的“向量” （3）由题意，得，，即 即，同理， 三式相加并化简，得： 即，，所以 设，由得： 设，则依题意得：， 得 故 所以 当且仅当时等号成立 故 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $