3.1 对函数的再认识 课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件围绕“对函数的再认识”展开，核心涵盖函数定义、函数值、表示方法及自变量取值范围。课堂导入从函数定义的深化入手，衔接变量知识，通过知识解读的四个要点（变化过程、两变量、对应关系、函数是关系）搭建支架，结合对应关系表格和图形例题，帮助学生从具体实例抽象出函数概念。 其亮点是以表格对比（如对应关系、表示方法优缺点）和实例分析（如冷柜温度变化、矩形种植成本问题）为载体，发展学生的抽象能力、几何直观与模型意识。例如用图形判断函数培养几何直观，实际问题列表达式强化模型意识，归纳总结梳理知识。学生能深化对函数本质的理解，教师可借助结构化例题提升教学效率。

3.1 对函数的再认识 第3章 知识点一 函数的定义 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x在某一范围内的每一个确定值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 知识解读 对于函数的定义要把握以下几点： （1）一个变化过程； （2）两个变量:自变量是在变化过程中居于主导地位的变量；函数（即因变量）是随之变化的另一个变量； （3）两变量的对应关系:对于自变量在取值范围内的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与它对应. 具体地，x、y之间的对应关系及是否具有函数关系如下表所示: （4）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系. x、y之间的对应关系 解释 y是不是x的函数 举例 一一对应 一个x值对应一个y值 是 y＝3x＋1 多一对应 多个x值对应一个y值 是 y＝x2-2 一多对应 一个x值对应多个y值 否 例1 下列图形中，不能代表y是x的函数的是（ ） 例1 下列图形中，不能代表y是x的函数的是（ ） 解析 观察四个选项，A，B，D三项，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应；C项中，对于x的每一个取值，y可能有三个值与之对应，不符合函数的定义. 例1 下列图形中，不能代表y是x的函数的是（ C ） 解析 观察四个选项，A，B，D三项，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应；C项中，对于x的每一个取值，y可能有三个值与之对应，不符合函数的定义. 例1 下列图形中，不能代表y是x的函数的是（ C ） 解析 观察四个选项，A，B，D三项，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应；C项中，对于x的每一个取值，y可能有三个值与之对应，不符合函数的定义. 归纳总结 判断两变量之间是否存在函数关系，关键是看它们的对应关系.若一个x值对应两个或两个以上的y值，则y不是x的函数. 知识点二 函数值 对于自变量x在某一范围内的一个确定的值a，函数y有唯一确定的对应值，这个对应值叫做当x＝a时函数的值简称函数值. 知识点二 函数值 对于自变量x在某一范围内的一个确定的值a，函数y有唯一确定的对应值，这个对应值叫做当x＝a时函数的值简称函数值. 温馨提示 （1）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值. （2）当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程. （3）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式. （4）当自变量确定时，函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个，如y＝x2-1，当y＝3时，x＝±2.     知识点三 函数的表示方法 用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.函数还可以用表格和图象表示，分别称为列表法和图象法.   优点 缺点 解析法 列表法 图象法 函数的三种表示方法各有优缺点，如下表所示:   优点 缺点 解析法 可以准确、完整、简洁地表示出变量之间的关系 列表法 图象法 函数的三种表示方法各有优缺点，如下表所示:   优点 缺点 解析法 可以准确、完整、简洁地表示出变量之间的关系 不直观，有些实际问题不能用解析式表示出来 列表法 图象法 函数的三种表示方法各有优缺点，如下表所示:   优点 缺点 解析法 可以准确、完整、简洁地表示出变量之间的关系 不直观，有些实际问题不能用解析式表示出来 列表法 可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系 图象法 函数的三种表示方法各有优缺点，如下表所示:   优点 缺点 解析法 可以准确、完整、简洁地表示出变量之间的关系 不直观，有些实际问题不能用解析式表示出来 列表法 可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系 有局限性，列出的对应值是有限的 图象法 函数的三种表示方法各有优缺点，如下表所示:   优点 缺点 解析法 可以准确、完整、简洁地表示出变量之间的关系 不直观，有些实际问题不能用解析式表示出来 列表法 可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系 有局限性，列出的对应值是有限的 图象法 可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势 函数的三种表示方法各有优缺点，如下表所示:   优点 缺点 解析法 可以准确、完整、简洁地表示出变量之间的关系 不直观，有些实际问题不能用解析式表示出来 列表法 可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系 有局限性，列出的对应值是有限的 图象法 可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势 观察得到的自变量或函数的值是近似的 函数的三种表示方法各有优缺点，如下表所示: 定义 在自变量的取值范围内，对于自变量x的不同取值范围、函数与自变量间有不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数 定义解读 确定解析式的方法 求值方法 知识拓展 分段函数 定义 在自变量的取值范围内，对于自变量x的不同取值范围、函数与自变量间有不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数 定义解读 （1）对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数； （2）分段函数中自变量的取值范围为各段取值范围的并集，分段函数中函数的取值范围为各段函数的取值范围的并集 确定解析式的方法 求值方法 知识拓展 分段函数 定义 在自变量的取值范围内，对于自变量x的不同取值范围、函数与自变量间有不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数 定义解读 （1）对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数； （2）分段函数中自变量的取值范围为各段取值范围的并集，分段函数中函数的取值范围为各段函数的取值范围的并集 确定解析式的方法 （1）分别求出自变量在不同范围内的函数解析式； （2）用“｜”表示出各段解析式，注意写明自变量的取值范围 求值方法 知识拓展 分段函数 定义 在自变量的取值范围内，对于自变量x的不同取值范围、函数与自变量间有不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数 定义解读 （1）对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数； （2）分段函数中自变量的取值范围为各段取值范围的并集，分段函数中函数的取值范围为各段函数的取值范围的并集 确定解析式的方法 （1）分别求出自变量在不同范围内的函数解析式； （2）用“｜”表示出各段解析式，注意写明自变量的取值范围 求值方法 （1）先确定要求值的自变量属于哪一段； （2）代入该段的解析式求值 知识拓展 分段函数 例3 数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是:当温度达到设定温度-20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到-4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至-20℃时，制冷再次停止，……按照以上方式循环进行. 同学们记录了“44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况”，制成下表: 时间x/min … 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 … 温度y/℃ … -20 -10 -8 -5 -4 -8 -12 -16 -20 -10 -8 -5 -4 a -20 … （1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数. ①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式； ②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式； （2）求a的值； （3）如图所示，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤44时，温度y随时间x变化的函数图象.   知识点四 函数自变量的取值范围 函数自变量的取值范围应使函数表达式有意义.在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义. 函数自变量的取值范围应使函数表达式有意义.在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义. 不同类型的函数表达式自变量取值范围的确定: 表达式的类型 自变量的取值范围 整式 全体实数 分式 使分母不为零 二次根式 使被开方数为非负数 零指数幂或负指数幂 使底数不为零 由整式、分式和二次根式等综合得到的代数式 使它们均有意义 知识点四 函数自变量的取值范围 函数自变量的取值范围应使函数表达式有意义.在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义. 不同类型的函数表达式自变量取值范围的确定: 求自变量的取值范围关键是明确限制条件，能根据限制条件列方程（组）或不等式（组）求解，或根据实际问题确定自变量的取值范围. 表达式的类型 自变量的取值范围 整式 全体实数 分式 使分母不为零 二次根式 使被开方数为非负数 零指数幂或负指数幂 使底数不为零 由整式、分式和二次根式等综合得到的代数式 使它们均有意义 知识点四 函数自变量的取值范围       经典例题 01 例 有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFCH中种植丙种花卉.甲，乙，丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2，60元/米2，40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元. （1）当x＝5时，求种植总成本y； （2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的 取值范围； （3）若甲，乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米， 求三种花卉的最低种植总成本. 题型 函数表达式的求解与应用   （2）EF＝（20-2x）米，EH＝（30-2x）米， y＝（30＋30-2x）·x·20＋（20＋20-2x）·x·60＋（30-2x）（20-2x）·40 ＝-400x＋24000（0＜x＜10）.   归纳总结 解决此类题一般需列出函数表达式，再利用函数表达式求值或利用函数的图象、性质解决问题. $