精品解析：广东省广州市西关外国语学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

西外教育集团 2025学年第一学期期中质量检测试卷 初三数学 分数：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 画饼充饥 3. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11月、12两月的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在Rt中，，点在斜边上，如果绕点旋转后与重合，连接，那么的度数是（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 7. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E．如果，，那么的长为（ ） A B. C. D. 8. 若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 14 7 2 －1 －2 －1 则当时，y的值为（ ） A. －1 B. 2 C. 7 D. 14 9. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 可以由的图象向左平移2个单位得到 D. 当时，随的增大而增大 10. 如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次函数y＝﹣2(x﹣5)2＋3的顶点坐标是_____． 12. 在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则_______________． 13. 任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为48次，则由此可以估计这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为____________． 14. 如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为__________． 15. 已知二次函数与一次函数图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为__________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标； （2）在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 19. 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图． （1）本次调查学生共有______人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是_____人； （2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 20. 已知关于x的方程x2+ax+16=0， （1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值 （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根 21. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． （1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 22. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长度． 23. 如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标； （2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在直线上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标． 25. （1）【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是          三角形． （2）【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西外教育集团 2025学年第一学期期中质量检测试卷 初三数学 分数：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形与轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、原图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、原图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、原图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； D、原图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 画饼充饥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：A．水中捞月是不可能事件，故不符合题意； B．守株待兔是随机事件，故符合题意； C．水涨船高是必然事件，故不符合题意； D．画饼充饥是不可能事件，故不符合题意； 故选B． 3. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 根据垂径定理可得，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11月、12两月的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设月平均增长率为，根据增长后的辆数，列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为，根据题意得， ， 故选：A． 5. 如图，四边形是内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，在Rt中，，点在斜边上，如果绕点旋转后与重合，连接，那么的度数是（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据求出，再结合图形，根据旋转的性质确定出旋转后与重合的过程，然后得出答案即可． 【详解】解：中，， ． 经过旋转后与重合， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余以及等腰三角形的性质，准确识图是解题的关键． 7. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E．如果，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂径定理和，得到，可得，求得，可得，再利用勾股定理可求得 【详解】∵是的直径， ∴，且， ∴， ∴， ∵的直径垂直于弦， ∴，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键 8. 若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 14 7 2 －1 －2 －1 则当时，y的值为（ ） A. －1 B. 2 C. 7 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由给出x和y的值可得，抛物线的对称轴为x＝2，由抛物线的对称性可知，x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等， 由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7， ∴x＝5时y的值为7． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性，根据表格求得对称轴为直线x＝2是解题关键． 9. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 可以由的图象向左平移2个单位得到 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、平移规律及增减性即可． 【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确； 故选：D ． 10. 如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，等腰直角三角形以及等边三角形的判定和性质等知识，求出当时，的长度最小是解答本题的关键．线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，首先证明，得到，则当时，的长度最小，然后设，，则，求出，可得是等腰三角形，再证明是等边三角形，求出，进而求出的度数． 【详解】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，如图所示： ∴，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， 则当时，的长度最小， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次函数y＝﹣2(x﹣5)2＋3的顶点坐标是_____． 【答案】（5，3） 【解析】 【详解】试题分析：因为顶点式y=a（x﹣h）2+k,其顶点坐标是（h,k）,对照求二次函数y=－2（x－5）2＋3的顶点坐标(5,3). 故答案是(5,3)． 考点：二次函数的顶点坐标. 12. 在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特点确定m的值即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴， 故答案为：． 13. 任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为48次，则由此可以估计这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为____________． 【答案】0.24 【解析】 【分析】先根据“频率=”分别计算出几次试验杯口朝上的频率；再根据“当试验次数足够大时，试验频率稳定于理论概率”用频率估计概率即可． 【详解】∵任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为48次， ∴这只纸杯出现“杯口朝上”概率为． 故答案为：0.24． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 14. 如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为__________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正n边形的中心角为进行求解即可． 【详解】解：∵点O为正五边形的中心， ∴． 故答案为： 15. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了外接圆的性质，两点间的距离，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．由，，都在上，得点P在y轴上，设，根据两点间的距离即可求出b的值，则圆心，得到，设，则，再转化为一元二次方程的根的判别式即可求解． 【详解】解：是的外接圆， 点在、、垂直平分线的交点上，， ，， 点在轴上， 设， ， ， 圆心的坐标为， 是其外接圆上任意一点， ， ， 设，则， ， 整理得， 为实数， ， 解得， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标； （2）在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 【答案】（1）作图见解析，的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质和扇形的面积公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转确定点和点的坐标，连接旋转后新的三个顶点得到即可； 观察发现线段所扫过的面积为以原点为圆心，弧所形成的扇形，根据扇形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：点旋转后得到，点的坐标为， 点旋转后得到，点的坐标为， 如图所示： 【小问2详解】 根据题意可知，从到，线段到，所扫过的图形为扇形，已知， 则， 因此线段所扫过的扇形面积为：． 答：线段所扫过的扇形面积为． 19. 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图． （1）本次调查的学生共有______人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是_____人； （2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）50，360；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据图示，可由非常了解的人数和所占的百分比直接求解总人数，然后根据求出不了解的百分比估计即可； （2）根据题意画出树状图，然后求出总可能和“一男一女”的可能，再根据概率的意义求解即可． 【详解】（1）由图可知“非常了解”为8%，由柱形图可知（条形图中可知）“非常了解”为4人，故本次调查的学生有（人） 由图可知：“不了解”的人数所占百分比为， ∴1200名学生中“不了解”的人数为（人） （2）树状图： 由树状图可知共有12种结果，抽到1男1女的情况共8种． ∴ 20. 已知关于x方程x2+ax+16=0， （1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值 （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根 【答案】（1）a=8或﹣8；（2）a=﹣10，方程的另一个根为8． 【解析】 【分析】（1）由题意可得方程的判别式△=0，由此可得关于a的方程，解方程即得结果； （2）把x=2代入原方程即可求出a，然后再解方程即可求出方程的另一个根． 【详解】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根， ∴a2－4×1×16=0， 解得a=8或﹣8； （2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2， ∴22+2a+16=0，解得a=﹣10； 此时方程x2﹣10x+16=0， 解得x1=2，x2=8； ∴a=﹣10，方程的另一个根为8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的解法以及根的判别式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键． 21. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． （1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】（1） （2）当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得，，再利用矩形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 则， 由题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：， 当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 22. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出即可求得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又于点， ∴于点， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：设半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 23. 如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【答案】相切;1cm＜d＜5cm 【解析】 【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm， 作O′C⊥PA于C， ∵∠P=30度， ∴O′C=PO′=1cm， ∵圆的半径为1cm， ∴⊙O与直线PA的位置关系是相切； （2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交， 当移动到C″时，相切， 此时C″P=PO′=2， ∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交 考点：直线与圆的位置关系． 24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标； （2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在直线上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）证明见解析；（3）P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）． 【解析】 【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求出，将解析式配成顶点式即可得到对称轴方程和顶点坐标； （2）先由C、M两点坐标求出直线CM解析式，进而求出D点坐标，由于C、N两点关于抛物线对称轴对称，则CN∥AD，同时可求出N点坐标，然后得出CN=AD，结论显然； （3）设出P点纵坐标，表示出MP的长度，过点P作于H，表示出PH的长度，在Rt△APE中用勾股定理列出方程，解之即得答案． 【详解】解：(1)∵抛物线经过点A(−1,0)和点C(0,3)， 对称轴为直线x=1，顶点M(1，4)； (2)如图1， ∵点C关于直线l的对称点为N， ∴N(2，3)， ∵直线y=kx+b经过C，M两点， ∴ ∴ ∴y=x+3， ∵y=x+3与x轴交于点D， ∴D(−3,0)， ∴AD=2=CN 又∵ADCN， ∴CDAN是平行四边形； (3)设P(1，a)，过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2， 则MP=4−a， 又 Rt△APE中, 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、求抛物线的对称轴及顶点坐标、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的切线性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度适中．第（3）问的直线与圆相切问题往往转化为点到直线的距离与半径相等来解决． 25. （1）【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是          三角形． （2）【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． 【答案】（1）等边；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形，，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形， 故答案为：等边； （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中，； （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，， ， ，即 即 ． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $