精品解析：福建省恒兴中学、子江中学、亮亮中学、师大泉州附中、厦门希平双语五校2025-2026学年高二上学期期中联合考试数学试卷

恒兴中学、子江中学、亮亮中学、师大泉州附中、厦门希平双语 2025—2026学年度上学期期中联合教学质量监测 高二数学试题 命题人：亮亮中学高二数学备课组 审题人：万继勇 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式求斜率，再结合倾斜角范围及正切值求倾斜角. 【详解】将直线变形为，得斜率. 设倾斜角为，，由，得. 故选：D 2. 已知与是相互独立的随机事件，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据和事件、相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【分析】依题意，与是相互独立的随机事件， . 故选：D 3. 过点且与原点距离最大的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，通过点斜式即可得结果. 【详解】结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为，即. 故选：A. 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求出的值即可得解. 【详解】若直线与直线互相平行且不重合， 则，解得，故. 所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件． 故选：C． 6. 在空间直角坐标系中，设点是点关于平面的对称点，点是点关于轴的对称点，则线段的长度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得对称点的坐标，进而计算出线段的长度. 【详解】点关于平面的对称点为， 点关于轴的对称点为， 所以. 故选：A 7. 若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A. (，) B. (，0)∪(0，) C. [，] D. (，)∪(，+) 【答案】B 【解析】 【详解】由题易知表示的圆， 圆心为，半径为； 表示和两条直线， 易知过定点， 在平面直角坐标系中画出图像如图： ∵直线与相交于和两个点， ∴与圆相交即可． 当与圆相切时，圆心到直线的距离， ∴，， 而时，直线为，不合题； ∴， ∴选择． 点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 8. 人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（ ）（参考数据：） A. 0.052 B. 0.104 C. 0.896 D. 0.948 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件A，B满足，则A与B是对立事件 B. 若，，，则事件A与B相互独立 C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件 D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对立事件、相互独立事件的定义，结合古典概型运算公式逐一判断即可. 【详解】A： 事件A：掷一枚硬币，正面朝上；事件B：掷一个质地均匀的骰子，出现奇数点， 显然，满足， 显然A与B不是对立事件，所以本选项不正确； B：因为，所以，因为， 所以事件A与B相互独立，所以本选项正确； C：抛掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点可以同时出现，故不是对立事件； D：因为采用不放回方式从中依次随机地取出两球， 所以第二次取到红球的概率是，因此本选项正确， 故选：BD 10. 已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与圆一定相交 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 当时，圆关于直线对称 D. 对任意的，直线被圆截得的最短弦长等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于直线，即， 由，解得，所以直线过定点， ，所以点在圆内， 所以直线与圆一定相交，A选项正确. 圆的圆心为，半径. 当时，直线的方程为. 圆心到直线的距离为， 所以圆上恰有个点到直线的距离等于，B选项错误. 当时，直线的方程为， 满足，也即直线过圆心， 所以此时圆关于直线对称，所以C选项正确. 由于直线过圆内定点，和的距离为， 当直线与和的连线垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 即最短弦长为，D选项正确. 故选：ACD 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面正方形内的一个动点（含边界），，分别是棱，上的中点，则以下结论中正确的是（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值是 D. 若动点始终保持，则动点在上底面正方形内运动路径的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合题意作出对应的图形，即可判断A；利用面面平行以及等体积法判断B；把空间问题转化为平面距离，三点共线距离最短判断C；把空间中的长度转化为平面内的长度，得出轨迹为圆弧，求出圆心角、弧长，即可判断D. 【详解】A选项，如图，取的中点，连接，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 由正方体性质可知，，且，所以，且，即四边形ABMF为平行四边形，所以， 因为分别为中点，所以，即有， 所以四点共面， 所以平面截该正方体所得的截面图形是梯形， 因为，， ，故梯形不是等腰梯形，故A错误； B选项，，由于点在上底面正方形内运动，平面平面，则点到平面的距离为定值，而也为定值，则为定值，故B正确； C选项，如图，延长，使得，连接交上底面于点， 则，当，，三点共线时， 其和最小为，且，， ∴，的最小值是，故C正确； D选项，如图，取中点，连接，由正方体性质可知，， 因为，， 所以由可得， 所以点在上底面内运动路径是在正方形内以为圆心，2为半径的一段圆弧， 如图，由，可得，同理 所以圆弧的长度为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：，圆：，则这两个圆的公共切线有______条. 【答案】3 【解析】 【分析】先判断两个圆的位置关系，再确定公切线的条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的方程化为，圆心为，半径为， 圆心距为， 所以两圆外切，所以公切线有条. 故答案为：3 13. 在空间四边形中，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】选取一组基底，利用空间向量的加减法，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】如图： 令，，， 则. 故答案为：. 14. 甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下： （1）累计负两场者被淘汰； （2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空； （3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰； （4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为________. 【答案】##0.4375 【解析】 【分析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得． 【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时，甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示）， 若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为， 若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为， 所以丙获胜的概率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，直线过点，且为直线的方向向量；圆过点，且直线与圆相切于点. （1）求直线的一般式方程； （2）求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线的方向向量可求斜率，再结合所过点求点斜式方程，化成一般式即可； （2）设圆心，半径为R，由直线与圆相切于点可得，以及圆过点，列方程组求解即可. 【小问1详解】 ∵为直线的方向向量，∴直线的斜率， 又过点，∴直线的方程为：， 化简得直线的一般式方程为：. 【小问2详解】 设圆的圆心，半径为， ∵圆过点，且直线与圆相切于点， ∴，且， ∴， ∴，解得：，∴， 因此圆的标准方程为：. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）若，求的值； （2）为边上的点且满足平分角，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得. （2）利用余弦定理、三角形的面积公式求得正确答案. 【小问1详解】 ∵在中，，，， ∴由正弦定理得：，∴· ∵，∴，∴· ∴. 【小问2详解】 ∵，， ∴由余弦定理得：， 即：， ∵，平分角， ∴， 即：， 化简得，∴，解得， ∴， 因此的面积为. 17. 如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 如图：取的中点，连接，. 则且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形. 所以，又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，通过证证明平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，过点作直线的垂线，交弧于点，则 因为四边形为等腰梯形，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面. 平面，所以，. 分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为为直径，所以， 所以，，. 在梯形中易求高为. 所以：，，，，. 则：，，， 设平面的法向量， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面和平面所成的角为， 则. 即平面与平面所成角的余弦值为. 18. 黑棋和白棋从数轴的原点出发.每次移动由甲和乙各抛掷一枚质地均匀的硬币决定：若甲掷出正面，则黑棋向右移动一个单位；若甲掷出反面，则黑棋不移动.若乙掷出正面，则白棋向右移动一个单位；若乙掷出反面，则白棋不移动. （1）若甲抛掷3次，求黑棋离开原点的概率； （2）若甲乙各抛掷2次，求黑棋比白棋向右移动更远的概率； （3）现黑棋落后白棋一个单位，若甲再抛掷10次，乙再抛掷9次，求最终黑棋不落后于白棋的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）思路一：由独立乘法公式、对立事件概率公式求解即可；思路二：由古典概型概率计算公式求解即可； （2）思路一：由独立乘法、互斥加法公式求解即可；思路二：结合二项分布概率公式独立事件定义求结论； （3）思路一：设事件”最终黑棋不落后于白棋“，说明即可得解；思路二：由互斥加法、独立乘法公式证明即可. 【小问1详解】 解法一：记事件”甲第次掷出正面“，”乙第次掷出正面“， 则以上事件都相互独立，且. 设事件”黑棋离开原点“，则 ； 解法二：用1表示硬币”正面朝上“，0表示硬币”反面朝上“， 则甲抛掷3次硬币的样本空间 ， 且各个样本点出现的可能性相等，， 设事件”黑棋离开原点“， 则，所以， 所以. 【小问2详解】 设事件”黑棋比白棋向右移动更远“， 则由题意知”甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数“ 解法一：事件包含， 且它们两两互斥， 所以 解法二：事件包含”甲掷出1次正面，乙掷出0次正面“和”甲掷出2次正面，乙掷出0次或1次正面“， 甲掷出1次正面，乙掷出0次正面的概率为， 甲掷出2次正面，乙掷出0次或1次正面的概率为， 所以. 【小问3详解】 解法一：设事件”最终黑棋不落后于白棋“， 甲抛掷10次掷出正面的次数为，乙抛掷9次掷出正面的次数为， 则 ， 即， 又， 所以. 解法二：设事件”最终黑棋不落后于白棋“， 则由题意知”甲抛掷10次掷出正面的次数大于乙抛掷9次掷出正面的次数“， 设事件”各抛掷9次甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数“， 事件”各抛掷9次甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数“， 事件”各抛掷9次甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数"， 则，且， 则 . 19. 如图，在正四棱柱中，，异面直线与所成角的正切值为2. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为截面内任意一点（不包括边界），到正四棱柱表面，，的距离分别为，，，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，证得平面平面. （2）通过几何法或向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （3）利用等面积法或向量法，求得的最小值. 【小问1详解】 如图由正四棱柱的性质可知：平面，平面， ∴，在正方形中：， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【小问2详解】 方法一： 设与平面所成的角为， ∵，∴等于与所成的角， 由题知：， ∵，∴与平面所成的角为， 设，连接， 由（1）知：平面平面，平面平面， ∴在平面内的射影为，∴， 在中：，， ∴，∴， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 方法二： 设与平面所成的角为，，异面直线与所成的角为， ∵，，两两互相垂直， ∴以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系： ∵，∴，，，，， ∴，， ∴，∴，而， ∴，解得，∴， ∴，， 设平面的法向量为， 则，令，则∴， ∵，∴， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 方法一： 由正四棱柱的性质可知：， 设到平面的距离为，则的最小值为. 由（2）可知：在平面内的射影在上， 在中：，，， ∴由等面积法得到：，∴， 因此的最小值为. 方法二： 由正四棱柱的性质可知：， 设到平面的距离为，则的最小值为. 由（2）得，平面的法向量为， ∴； 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恒兴中学、子江中学、亮亮中学、师大泉州附中、厦门希平双语 2025—2026学年度上学期期中联合教学质量监测 高二数学试题 命题人：亮亮中学高二数学备课组 审题人：万继勇 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知与是相互独立的随机事件，且，，则（    ） A. B. C. D. 3. 过点且与原点距离最大的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在空间直角坐标系中，设点是点关于平面的对称点，点是点关于轴的对称点，则线段的长度等于（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A. (，) B. (，0)∪(0，) C. [，] D. (，)∪(，+) 8. 人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（ ）（参考数据：） A. 0.052 B. 0.104 C. 0.896 D. 0.948 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件A，B满足，则A与B是对立事件 B. 若，，，则事件A与B相互独立 C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件 D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是 10. 已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与圆一定相交 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 当时，圆关于直线对称 D. 对任意的，直线被圆截得的最短弦长等于 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面正方形内的一个动点（含边界），，分别是棱，上的中点，则以下结论中正确的是（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值是 D. 若动点始终保持，则动点在上底面正方形内运动路径的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：，圆：，则这两个圆的公共切线有______条. 13. 在空间四边形中，则______． 14. 甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下： （1）累计负两场者被淘汰； （2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空； （3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰； （4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，直线过点，且为直线的方向向量；圆过点，且直线与圆相切于点. （1）求直线的一般式方程； （2）求圆的标准方程. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）若，求的值； （2）为边上的点且满足平分角，，求的面积． 17. 如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 黑棋和白棋从数轴的原点出发.每次移动由甲和乙各抛掷一枚质地均匀的硬币决定：若甲掷出正面，则黑棋向右移动一个单位；若甲掷出反面，则黑棋不移动.若乙掷出正面，则白棋向右移动一个单位；若乙掷出反面，则白棋不移动. （1）若甲抛掷3次，求黑棋离开原点的概率； （2）若甲乙各抛掷2次，求黑棋比白棋向右移动更远的概率； （3）现黑棋落后白棋一个单位，若甲再抛掷10次，乙再抛掷9次，求最终黑棋不落后于白棋的概率. 19. 如图，在正四棱柱中，，异面直线与所成角的正切值为2. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为截面内任意一点（不包括边界），到正四棱柱表面，，的距离分别为，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $