广东省清远市连州市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

连州市2025-2026学年第一学期期中素养检测 九年级数学答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C C A D A C B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. x1 =0，x2=5 12． 13．16cm 14．9.6 15. 16 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16.（7分） 解： x2+12x+27＝0 (x+3)(x+9)=0 ·····················4分 x+3=0或 x+9=0 ·····················5分 x1 =-3，x2=-9 ·····················7分 17.（7分） （1）解：如图，线段DE即为所求； ··············3分 （2） 四边形ABCD是菱形 AB=AD , ∠ADC+ ∠A=180° ················4分 ∠ADC=120°∠A=60° AB=AD, ∠A=60° △ABD是等边三角形 ······ ·········5分 又 ED⊥AB AE= AB 　 在Rt△AED中 ED = = = 4 ······7分 18.（7分） 解：△DEF是等腰直角三角形. ············2分 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90° ··········3分 在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF(ASA). ··········4分 ∴DE＝DF. ··········5分 ∵∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDF＋∠CDE＝90°. ∴∠EDF＝90° ∴△DEF是等腰直角三角形. ··········7分 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．　 19.解：(1)估计是数字5的概率为____； ·····3分 （2）将祖冲之、刘徽、张衡三位数学家分别记作甲、乙、丙，列表如下：··6分 人物 甲 乙 丙 甲 — (甲，乙) (甲，丙) 乙 (乙，甲) — (乙，丙) 丙 (丙，甲) (丙，乙) — 共有6种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的有4种结果， ·······7分 ∴其中有一幅是祖冲之的概率为4/6＝2/3. ······9分 20 （1）证明：关于x的方程：x2﹣（6+k)x + 9 + 3k＝0根的判别式 △= （6+k）2 ﹣4（9 + 3k)=k2 ······· 3分 ∴无论k为何值方程都有两个实数根· ·······4分 （2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2 x1＋x2＝ = 6+k x1.x2 =9 + 3k ·······5分 ∵ 三角形是直角三角形，x1和x2 分别是两条直角边的长 ∴ x12＋x22 =52 即(x1＋x2)2- 2 x1x2 = 52 ···········7分 ∴（6+k）2 ﹣2（9 + 3k) = 52 解得：k=-7或k=1 ··············8分 又∵x1＋x2 ＝ 6+k为正数 ∴ k 所值是1。 ··············9分 21解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1 ······2分 （2）连接AC， ∵ B1C1是正方形的对角线， ∴∠A1B1C1＝45°· ·····4分 设每个方格的边长为1 则AB= = AC=BC= = ·······6分 ∵ ）2+）2 = 即在△ABC中AC2 +BC 2= AB2 ∴△ABC是等腰直角三角形 ·······8分 ∴∠ABC＝ 45° ∴∠ABC＝∠A1B1C1 ·······9分 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22：解：任务1： 甲店每天的销售量（20+2a）件 ； ······2分 乙店每天的销售量（32+2b）件； ······4分 任务2： 当a=5时，甲店每天的盈利为（40-5）（20+2×5）= 1050 （元）..6分 当b=4时，乙店每天的盈利为（32-4）（32+2×4）= 1040 （元）·8分 任务3：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利和为2244元，根据题意得 (40- x)(20+2x)+(30-x)(32+2x)=2244 · ·····11分 整理得：x2-22x+121=0 解得 x1=x2=11 ·····12分 答：每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元。··13分 23.（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠C＝90°，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠FED＝∠EBC，∠EFD＝∠ABE，∠FDE＝∠C＝90°，………………………2分 又∵四边形DEGF平行四边形， ∴平行四边形DEGF为矩形， …………………………3分 ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴∠FED＝∠EFD， ∴DE＝DF， ∴矩形DEGF为正方形； …………………………5分 （2）解：BG＝AC，理由如下： …………………………6分 连接DG交BF于点O，连接BD，如图2， 由（1）得四边形DEGF为正方形， ∴DG⊥EF，GO＝OD， ∴BF垂直平分DG， ∴BG＝BD， …………………………8分 ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD， ∴BG＝AC； …………………………10分 （3）A，G两点之间的距离为； ………………………14分 解答过程参考：过点G作GH⊥AD交AD于点H，连接AG， 由题意得四边形DFGE为平行四边形， ∵∠ABC＝60°，BE平分∠ABC， ∴， ∵AD∥BC，AB＝4，BC＝6， ∴∠ABE＝∠AEB＝30°， ∴AB＝AE＝4，DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝2， ∵AD∥BC，DF∥GE， ∴∠CBE＝∠DEF＝30°，∠DEG＝∠ABC＝60°， ∴∠GEF＝∠DEF＝30°， ∵GF∥DE， ∴∠DEF＝∠GFE＝30°， ∴∠GED＝∠GFD＝60°， ∴四边形DFGE为是菱形， ∴GE＝DE＝2， ∴， ∴AH＝AE+EH＝5， ∴， 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2025—2026学年第一学期期中核心素养展示活动 九年级数学学科试卷 本试卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号姓名、考场号 和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁:考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，3，1 B．﹣1，﹣3，1 C．1，3，﹣1 D．1，﹣3，1 2．如题2图，AC为菱形ABCD的对角线，若∠DAB＝40°，则∠ACB的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 题2图 3．观察下列表格，一元二次方程的一个解所在的范围是（　　） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 4．如题4图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上， M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小题4图 5．用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈 景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5，7中，随机选取 一个数，是偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 7．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如题7图，（1）（2）（3）（4）处需要添加 条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB 题7图 D．（4）处可填∠B＝∠D 8． 如题8图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化， 原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面 积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 题8图 9． 如题9图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是 （0，2），（8，2），点D在轴上，则顶点B的坐标是（　　） A．（4，2） B．（5，2） C．（4，4） D．（5，4）题9图 10． 如题10图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点， 过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的 周长为20，面积为24，则PE +PF的值为（　　） A．4 B． C．6 D．题10图 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．一元二次方程的解是 　 　． 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　 . 13．如题13图，数学老师用四根长度相等的木条首 尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时 测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具题13图 的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为　 　． 14．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如题14图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 . 15． 如题15图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处. 若AE=2，DE=6， ∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是_________. 题15图 题14图 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16． 解方程： 17．如题17图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°. （1）求作：菱形ABCD的高ED，垂足为E； （尺规作图：保留作图痕迹） （2）若AB＝8，求ED的长. 题17图 18．如题18图，点E在正方形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上， 且∠ADE＝∠CDF，试判断△DEF的形状，并说明理由. 题18图 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．圆周率是无限不循环小数，中国古代数学家对圆周率的研究做出了重大贡献.历史上， 我国数学家祖冲之、刘徽、张衡都对有过深入研究.有研究发现：随着小数部分位数 的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定且接近相同. （1）从的小数部分随机取出一个数字，估计是数字5的概率为______。 （2）某校进行数学实验室的环境布置，需要两位数学家的画像，现从以上3幅数学家的 画像中随机选取2幅，求其中有1幅是祖冲之的概率.（用画树状图或列表的方法）。 20．已知关于的方程：． （1）求证：无论为何值，方程都有实数根． （2）若该方程的两个实数根恰是斜边为5的直角三角形的两直角边长，求的值． 21．【综合与实践】 主题：制作无盖正方体形纸盒如题21图． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系； （2）证明（1）中你发现的结论． 题21图 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．【问题背景】根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售 情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量  件（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量  件（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 23．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，以DE，DF为邻边作平行四边形DEGF． 题23-1图 题23-3图 题23-2图 特例探究： （1）如题23-1图，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边 形DEGF是正方形，请你证明这一结论； （2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到题23-2图，发现题23-2图中 线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； 拓展延伸： （3）“善问”小组的同学计划对▱ABCD展开类似研究．如题23-3图，在▱ABCD中 ∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，请直接写出A，G两点之间的距离． 九年级数学 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $