专题5.1 观察 抽象（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题5.1 观察 抽象 教学目标 1.掌握观察和抽象的基本要求，了解其常用思路。 2.具备通过观察分析，准确抽象出数学元素的能力，提升思维水平。 3.感受观察、抽象带来的数学发现乐趣，增强学习主动性。 教学重难点 1.重点 （1）掌握常见几何体的特征； （2）了解几何体的点、棱、面之间的关系； 2.难点 （1）通过观察分析，准确抽象出数学元素的能力，提升思维水平； 知识点01 常见的几何体及分类 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）下列说法不正确的是（    ）． A．用一个平面去截一个圆锥可能截得三角形； B．五棱柱有10个顶点； C．棱柱的侧面都是四边形； D．棱锥的侧面可以是四边形． 【答案】D 【分析】本题考查几何图形的性质，包括圆锥截面、棱柱和棱锥的特征，掌握基本几何体的结构特征是解题关键； 通过特征概念判断各选项的正误． 【详解】解：∵ 用一个平面截圆锥，当平面通过顶点时，截面为三角形， ∴ A正确，不符合题意； ∵ 五棱柱有两个五边形底面，每个底面有个顶点， ∴ 总顶点数为， ∴ B正确，不符合题意； ∵ 棱柱的侧面均为矩形或平行四边形，都是四边形， ∴ C正确，不符合题意； ∵ 棱锥的侧面是从顶点到底面的三角形， ∴ 侧面都是三角形，不可能是四边形， ∴ D不正确，符合题意． 故答案选：D． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 知识点02 几何图形的构成要素 1.几何图形的定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形，几何图形由点、线、面组成. 其中，面有平面，也有曲面；线有直线，也有曲线. 面与面相交得到线，线与线相交得到点. 几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.所以点无大小，线无宽窄，面无厚薄. 2.几何图形的分类：几何图形包括立体图形和平面图形. （1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等. （2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形． 【即学即练】 3．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）下列图形中属于棱柱的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，根据“棱柱”的形体特征进行判断即可． 【详解】解：图形中各个几何体的名称为①正方体，②长方体，③球，④圆柱，⑤圆锥，⑥四棱柱，⑦三棱柱，⑧五棱锥，⑨六棱柱 由棱柱的形体特征可知，棱柱有①正方体，②长方体，⑥四棱柱，⑦三棱柱，⑨六棱柱，共有5个． 故选：B． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，图中柱体的个数是 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了柱体的识别，一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，据此进行判断即可． 【详解】解：柱体有①③④⑤⑥，共5个． 故答案为：5． 知识点03 柱体和椎体的特征 棱柱与棱锥，如图所示： 1.在棱柱、棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱； 2.棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点； 3.棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点； 4.棱柱的侧棱长相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形，直棱柱的侧面都是长方形； 5.棱锥的侧面都是三角形； 6.若棱柱的底面是n边形，则它的侧棱有n条，所有棱有3n条，顶点有2n个，面有（n+2）个（n个侧面，2个底面）； 7.若棱锥的底面是n边形，则它的侧棱有n条，所有棱有2n条，面有（n＋1）个（n个侧面，1个底面）. 圆柱与圆锥，如图所示： 1.圆柱：由两个底面和一个侧面组成，两个底面是平面，侧面是曲面； 2.圆锥：由一个底面和一个侧面组成，底面是平面，侧面是曲面，有一个顶点. 【即学即练】 5．如图是一个正六棱柱，它的底面边长是，高是． （）这个棱柱有 个顶点，有 条棱，所有的棱的长度之和是 ，这个棱柱的侧面积是 ； （）一个棱柱有 条棱，那它有 个面， 个顶点． 【答案】 【分析】本题考查了棱柱，掌握棱柱的特点是解题的关键． （）根据棱柱的特点解答即可； （）根据棱柱的特点解答即可． 【详解】解：（）这个棱柱有个顶点，有条棱，所有的棱的长度之和是，这个棱柱的侧面积是， 故答案为：，，，； （）一个棱柱有条棱，那它有个面，个顶点， 故答案为：，，． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）小文同学在延时课上制作了如下几何体，底面边长都是，侧棱长．    (1)该几何体的名称为______； (2)该几何体有______个面，______个顶点，______条棱； (3)求它的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)五棱柱 (2)7，10，15 (3)它的所有侧面的面积之和是． 【分析】本题考查几何体及几何体的表面积． （1）根据图形知几何体的名称为五棱柱； （2）五棱柱的概念作答即可； （3）根据长方形的面积作答即可． 【详解】（1）解：根据图形知几何体的名称为五棱柱； 故答案为：五棱柱； （2）解：该几何体有7个面，10个顶点，15条棱； 故答案为：7，10，15； （3）解：侧面积之和：． 答：它的所有侧面的面积之和是． 题型01 常见的几何体 1．下列物体中，可以抽象成圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立体图形的认识，根据每一个几何体的特征判断即可． 【详解】解：A、可抽象成球体，故不符合题意； B、可抽象成圆柱，故符合题意； C、可抽象成圆台，故不符合题意； D、可抽象成圆锥，故不符合题意； 故选：B． 2．按组成的面的平面和曲面划分，与圆锥为同一类的几何体是（   ） A．棱锥 B．棱柱 C．圆柱 D．长方体 【答案】C 【分析】本题主要考查了认识立体图形，关键是正确认识曲面和平面．立体图形的定义；分别写出四个选项中的几何体是由什么面组成可直接选出答案． 【详解】解：A. 棱锥侧面和底面都是平面组成，故与题意不符； B. 棱柱侧面和底面都是平面，故与题意不符；     C. 圆柱侧面是曲面，底面是平面，故该选项符合题意；     D. 长方体侧面和底面都是平面，故与题意不符； 故选：C． 3．下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】A 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据棱柱和圆锥的特征求解即可． 【详解】解：A、五棱柱有7个面、15条棱，本选项的说法不正确； B、圆锥的底面是圆，本选项的说法正确； C、棱柱的上下底面是完全相同的图形，本选项的说法正确； D、长方体与正方体都有六个面，本选项的说法正确． 故选：A 4．如图，下列几何体，是柱体的有 （填序号）．    【答案】 【分析】根据柱体的定义逐项分析判定即可得出答案． 【详解】解：是四棱柱或长方体，所以属于柱体； 是圆柱，所以属于柱体； 是圆锥体，所以不属于柱体； 是三棱锥，所以不属于柱体； 是球体，所以不属于柱体； 是三棱柱，所以属于柱体， ∴属于柱体的有共个， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了认识立体图形，认识基本几何体是解题的关键． 5．观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 【答案】(1)圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； (2)；． 【分析】本题主要考查了认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （）根据几何体的特点回答即可； （）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：按序号写出各自几何体的名称：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； （2）解：在以上几何体中，是柱体的有；含曲面的有， 故答案为：；． 题型02 组合几何体的构成 6．如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 7．把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 【答案】A 【分析】把每一层的面积求出，相加即可得出答案． 【详解】棱长为1分米的正方体每个面的面积为1平方分米， 最上层，侧面积为4平方分米，上表面积为1平方分米， 总面积为（平方分米）， 中间一层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， 最下层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， （平方分米）， 被涂上颜色的部分面积为33平方分米． 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的表面积，分别把每层的面积求出来是解题的关键． 8．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②，④，⑤ B．模块③，④，⑥ C．模块②，③，⑥ D．模块③，⑤，⑥ 【答案】C 【分析】根据正方体的结构特征进行选择即可． 【详解】解：根据正方体的结构特征，可选择模块⑥放在模块①上的右下角，再将模块③放在模块①上在右上角，最后将模块②放在模块①上在左边，就使得模块①组成一个棱长为3的正方体， 故选：C． 【点睛】本题考查正方体的结构特征，主要培养学生的空间想象能力和动手拼接图形的能力． 9．下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 【答案】 【分析】本题考查了涂色问题的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形的排列特点，找到露出在外面的面既是涂色面，依次即可得出答案． 【详解】解：观察图形可得：三个面涂上红色的正方体有个，四面涂上红色的正方体有个， 故答案为：，． 10．分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 【答案】圆锥和圆柱；四棱锥和四棱柱；球和正方体 【分析】本题主要考查了组合几何体的构成，熟练掌握组合几何体的构成是解题的关键． 由题图可直接判断出各组合几何体的构成． 【详解】解：由题图可以看出： 第个组合几何体是由圆锥和圆柱构成的， 第个组合几何体是由四棱锥和四棱柱构成的， 第个组合几何体是由球和正方体构成的． 题型03 立体图形的分类 11．下面的几何体中，属于柱体的有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查认识立体图形，解题的关键是熟练地掌握认识立体图形．根据柱体、锥体、球体的形体特征进行判断即可． 【详解】解：图中的几何体从左到右依次是：长方体、圆柱、四棱柱、三棱锥、圆锥、三棱柱， 因此柱体有：长方体、圆柱、四棱柱、三棱柱，共个， 故选：D． 12．如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】C 【分析】本题主要考查了常见几何体的特点，侧面是长方形，底面是三角形，则该几何体是三棱柱，故该几何体有3条侧棱，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱，侧面都是长方形，底面是三角形，且共有3条侧棱， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 13．下列几何体中，棱柱有 个．    【答案】 【分析】本题考查的是棱柱的概念与识图，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案． 【详解】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形， 根据特征可得第4、5个图形为棱柱，共2个， 故答案为：． 14．如图，下列几何体，是柱体的有 ，球体的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥ ⑤ 【分析】根据立体图形的特征即可得到答案． 【详解】解：柱体的有①②⑥；球体有⑤． 故答案为：①②⑥，⑤ 【点睛】本题考查了认识立体图形，熟知立体图形的特征并知道他们的名称是解题关键． 15．（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 【答案】（1）正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体；（2）①②③；⑤；④ 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． （1）根据几何体特征解答即可； （2）根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】（1）解：①正方体；②圆柱体；③长方体；④球体；⑤圆锥体 故答案为：正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体 （2）柱体有①②③；锥体有⑤；球体有④． 故答案为：①②③；⑤；④ 题型04 几何体中的点、棱、面 16．已知一个棱柱有36条棱，则这个n棱柱有（    ）个面， A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据棱柱的性质，n棱柱的棱数为，已知棱数为36，可求出n，再根据面数公式计算面数． 【详解】解：∵n棱柱的棱数为， ∴，解得． 又∵n棱柱的面数为， ∴面数． 因此，这个棱柱有14个面． 故选：D． 17．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有1个面涂有颜色的小立方块的个数为，仅有2个面涂有颜色的小立方块的个数为，仅有3个面涂有颜色的小立方块的个数为，则之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立体图形的性质，根据已知得出涂有颜色不同面数的小立方体的个数是解题关键． 根据题意可得仅有1个面涂有颜色的小立方块的个数为，仅有2个面涂有颜色的小立方块的个数为，仅有3个面涂有颜色的小立方块的个数为8，即可求解． 【详解】解：根据题意得：仅有1个面涂有颜色的小立方块的个数为， 仅有2个面涂有颜色的小立方块的个数为， 仅有3个面涂有颜色的小立方块的个数为8， ∴， ∴，， 则只有D选项正确． 故选：D 18．如图，用经过D、E、G三点的平面截去长方体上面的一角，剩下部分是一个新的几何体，若这个新几何体的面数为x，顶点数为y，则的值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了长方体的截面．明确长方体的面数．顶点数，棱的条数，数形结合，求出截去一个角后得到的几何体的面数，顶点数，棱的条数是解题的关键．截去长方体一角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，少了一个顶点． 【详解】解：由图可得，多面体的面数是7；长方体有8个顶点，被截去了1个顶点，故多面体的顶点数是7． 所以． 故答案为：14． 19．如图a是正方体木块，把它切去一块，得到如图b、c、d、e四种木块． (1)我们知道，图a的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图b、c、d、e中木块的顶点数、棱数、面数补全下表： 图号 顶点数 棱数 面数 (2)分析上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试着写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； (3)根据猜想计算：若一个多面体的顶点数为2024个，棱数为4047条，试求它的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2025 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、列代数式及几何体，熟练掌握几何体的特征及一元一次方程的应用是解题的关键； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由（1）中表格可得顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； （3）根据（2）中结论可直接代值进行求解 【详解】（1）解：由题意可得表格如下： 图号 定点数 棱数 面数 （2）解：； ， ； （3）解：， ， 解得． 即它的面数是2025． 20．观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)见解析 (2)16，28，42 (3)二十八 【分析】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法． （1）通过认真观察图象，即可一一判断； （2）根据面、顶点、棱的定义一一判断即可； （3）根据棱柱的定义判定即可． 【详解】（1）解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 （2）解：根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱， 所以十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； 故答案为：16，28，42； （3）解：若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； 故答案为：二十八． 题型05 截一个几何体 21．用一个平面去截一个棱柱，截面图形最多是七边形，该棱柱是（   ） A．七棱柱 B．六棱柱 C．五棱柱 D．四棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的截面问题． 截面多边形的边数最多等于棱柱的面数，设该棱柱是n棱柱，则面数为，可知，得，即该棱柱为五棱柱． 【详解】解：设该棱柱是n棱柱，则面数为， 由题，截面最多为七边形，即边数最多为7， ∴， 解得， ∴该棱柱为五棱柱． 故选：C． 22．乐乐周末在家研究美食麻婆豆腐时，突然想到一个数学问题，用刀截一个长方体豆腐块，截面形状不可能是（    ） A．等边三角形 B．长方形 C．六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体，理解题意是解决本题的关键． 用一个平面去截一个长方体，截面经过几个面，截面就是几边形，据此即可解答． 【详解】解：用一个平面去截一个长方体，则截面的形状可能为等边三角形，长方形，六边形，不可能是正八边形（长方体只有6个面）， 故选：D． 23．如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为x，顶点数为y，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查了正方体的截面．明确正方体的面数，顶点数，棱的条数，形数结合，求出截去一个角后得到的几何体的面数，顶点数，棱的条数是解题的关键．截去正方体一角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，少了一个顶点． 【详解】解：由图可得，多面体的面数是7；正方体有8个顶点，被截去了1个顶点，故多面体的顶点数是7；． 所以． 故答案为：14． 24．一个表面全部涂色的大正方体被切割成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有60个，那么没有涂色的小正方体有 个． 【答案】125 【详解】本题主要考查了截一个几何体，能根据两面涂色的小正方体个数，得出小正方体的总个数及熟知一面和三面涂色的小正方体的位置是解题的关键． 根据两面涂色的小正方体个数，得出小正方体的总个数，再分别求出一面和三面涂色的小正方体个数，据此可解决问题． 【分析】解：因为两面涂色的小正方体在棱上（顶点处除外），且， 所以（个）， 即大正方体被分成了343个小正方体． 因为， 所以大正方体每个面上有25个一面涂色的小正方体． 又因为三面涂色的小正方体有8个（在大正方体的顶点处）， 所以， 即没有涂色的小正方体有125个． 故答案为：125． 25．如图，用一个平面去截掉一个正方体的一条棱． (1)剩下的几何体的形状是什么？ (2)剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？ 【答案】(1)五棱柱 (2)10个顶点，15条棱，7个面 【分析】本题考查了用平面去截一个几何体，熟练掌握棱柱的特征是解题的关键． （1）根据五棱柱的定义即可得到结论； （2）根据五棱柱的特征即可得到结论． 【详解】（1）解：剩下的几何体的形状是五棱柱． （2）解：剩下的几何体有10个顶点，15条棱，7个面． 题型06 几何体中的多说法正误问题 26．下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】B 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据它们的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】A、棱柱的上下底面完全相同，正确，不符合题意； B、∵ 五棱柱的底面是五边形，有2个底面和5个侧面，∴ 总面数为7个； ∵ 上下底面各有5条棱，加上5条侧棱，∴ 总棱数为15条， 故原说法错误，符合题意； C、圆锥的底面是圆，正确，不符合题意； D：长方体与正方体都有六个面，正确，不符合题意 ∴ 不正确的是B， 故选：B． 27．下列说法：①柱体的上、下底面一样大；②棱柱的每条棱长可以相等；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤直棱柱的侧面一定是长方形．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确解答的关键．根据棱柱的形体特征逐个进行判断即可． 【详解】解：①柱体的上、下底面是形状相同，大小相等的图形，因此①正确； ②棱柱的每条棱长可以相等，例如正方体（四棱柱）的12条棱都相等，因此②正确； ③棱柱的底面不仅可以为四边形，也可以为三角形，五边形、六边形……因此③不正确； ④长方体是特殊的四棱柱，所以长方体一定是柱体是正确的，因此④正确； ⑤直棱柱的侧面一定是长方形，因此⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②④⑤，共4个， 故选：C． 28．下列说法错误的是（   ） A．三棱锥共有4个面 B．棱柱的棱长都相等 C．柱体的两个底面一样大 D．圆锥由两个面围成 【答案】B 【分析】此题考查立体图形．根据柱体，锥体的定义及组成作答，明确柱体包括圆柱、棱柱；棱锥的侧面都是三角形． 【详解】解：A、三棱锥共有4个面（一个底面和三个侧面），说法正确，该选项不合题意； B、棱柱的棱长中，侧棱相等，但底棱长度可能不等（如长方体），原说法错误，该选项符合题意； C、柱体的两个底面一样大，说法正确，该选项不合题意； D、圆锥由一个底面和一个侧面围成，说法正确，该选项不合题意； 故选：B． 29．下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧面都是长方形 B．正方体所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是平行四边形 D．棱柱的上、下底面形状相同 【答案】A 【分析】本题主要考查立体图形的认识，根据棱柱的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、斜棱柱的侧面是平行四边形，不一定是长方形，故原说法错误，符合题意； B、正方体所有棱长都相等，原说法正确，不符合题意； C、棱柱的侧面可能是平行四边形，原说法正确，不符合题意； D、棱柱的上、下底面形状相同，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 30．下列说法中正确的个数是（    ） 长方体，正方体都是棱柱；圆锥和圆柱的底面都是圆；若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；棱锥底面边数与侧棱数相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了棱柱、棱锥，圆柱、圆锥的定义．熟练掌握常见几何体的定义是解题的关键． 根据棱柱、棱锥，圆柱、圆锥的定义对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，长方体，正方体都是棱柱，正确，故符合要求； 圆锥和圆柱的底面都是圆，正确，故符合要求； 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等，正确，故符合要求； 棱锥底面边数与侧棱数相等，正确，故符合要求； 故选：D． 题型07 几何体中的点、棱、面关系问题 31．一个十棱柱的顶点个数，棱的条数，面的个数分别是（   ） A．10，20，10 B．20，30，10 C．20，30，12 D．30，30，40 【答案】C 【分析】此题考查了认识立体图形，利用n棱柱有个顶点，有个面，有条棱求解即可． 【详解】解：一个十棱柱的顶点个数是20，棱的条数是30，面的个数是12． 故选：C． 32．如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 【答案】 3n 2n 2n 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点． 故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 33．综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给几何体的形状即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）根据（2）所求可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 34．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中的几种简单的多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面的多面体模型，将表格补充完整． 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正方体 8 6 12 六棱柱 8 18 十棱柱 20 12 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是____________； (3)一个多面体的顶点数为12，棱数比面数的2倍少10，求这个多面体的棱数． 【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【分析】本题主要考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，正确理解题意是解题的关键． （1）观察图形即可得出结论； （2）观察可得：顶点数面数棱数； （3）设这个面数为x，则棱数为，将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数． 【详解】（1）解：补充表格如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正方体 8 6 12 六棱柱 12 8 18 十棱柱 20 12 30 （2）解：正方体：，即， 六棱柱：，即， 十棱柱：，即， 则顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是： （3）解：设这个面数为x，则棱数为， 根据（2）中的规律可知：， 解得， 则棱数为， 答：这个多面体的棱数是30． 35．如图，观察下列几何体并回答问题： (1)n棱柱有__________个面、__________条棱、__________个顶点，n棱锥有__________个面、__________条棱、__________个顶点； (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E之间存在着一定的数量关系． ①继续观察如图所示多面体，并把表格填写完整： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 图② 图③ ②分析表格中的数据，你能发现F、V、E三者之间有何关系 ． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了棱柱和棱锥， 对于（1），根据棱柱的面数比侧面数多2，棱数是侧面数的3倍，顶点数是侧面数的2倍；再根据棱锥的面数比侧面多1，棱数是侧面数的2倍，顶点数比侧面数多1，可解答； 对于（2），分别数出面数，顶点数，棱数，可解答①，再根据三个数的关系解答②. 【详解】（1）解：n棱柱有个面，条棱，个顶点，n棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：；；；；；； （2）解①：图①的面数为7个，顶点数为9个，棱数为14条； 图②的面数为6个，顶点数为8个，棱数为12条； 图③的面数为7个，顶点数为10个，棱数为15条； 列表如下： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 ②表格中的数据，你能发现F，V，E三者之间的关系为：. 故答案为：. 题型08 几何体中的涂色问题 36．工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有 个，2个面涂色的有 个． 【答案】 4 20 【分析】本题考查了正方体的特征，解题的关键是根据大正方体的组成及涂色面的情况，分析不同涂色面小正方体的位置和数量． 先确定大正方体的棱长，再根据3个面涂色和2个面涂色小正方体的位置特点，分别计算其数量． 【详解】3个面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，由于贴地的面不涂色，所以只有上面的4个顶点处的小正方体是3个面涂色的：（个）， 2个面涂色有： （个） 所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个． 故答案为：4；20． 37．把一个大正方体的表面涂色后，每条棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，其中只有1面涂色的小正方体有 个． 【答案】54 【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可． 【详解】解：（个） 答：其中1面涂色的小正方体有54个． 故答案为：54． 【点睛】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部． 38．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】此题主要考查了图形的变化类问题及立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律． （1）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上除去三面涂色的正方体的个数，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体； （2）同理（1）可进行求解； （3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有个是各个面都没有涂色的，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有24个；各面都没有涂色的有8个； 故答案为． （2）解：根据正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，各面都没涂色内部是个． 正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，有27个是各个面都没有涂色的， 故答案为； （3）解：由（1）（2）可知：当把正方体的棱三等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱四等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱五等分时，没有涂色的小正方形有个， ∴将这个正方体的棱n等分，有个是各个面都没有涂色的， ， 解得：； ∴至少应该将此正方体的棱6等分， 故答案为6． 39．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，在大长方体的其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有个，一面涂色的小正方体有个，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查长方体的相关知识．观察后动手操作，判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置，是解决本题的关键．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， 两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， 一面涂色的小正方体有（个）． ，， ， 故答案为：0． 40．观察如图所示，然后填一填． （1）如图大正方体的棱长是3厘米，这个大正方体的棱长总和是 厘米，表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． （2）给大正方体的表面涂上颜色，三个面涂色的小正方体有 个 【答案】 36 54 27 8 【分析】本题考查正方体的表面积及体积，熟知正方体的表面积和体积公式及涂色时小正方体的各面涂色情况是解题的关键． （1）根据正方体有12条棱，正方体的表面积和体积公式即可解决问题． （2）分析出三个面涂色的小正方体的位置即可解决问题． 【详解】因为正方体有12条棱，且大正方体的棱长是3厘米， 所以这个大正方体的棱长总和是：厘米． 又正方体的六个面是相同的正方形， 所以正方体的表面积是：平方厘米． 又正方体的体积是棱长的立方， 所以正方体的体积是：立方厘米． 故答案为：36，54，27． （2）由给大正方体的表面涂上颜色可知， 小正方体最多有三个面涂有颜色，且这些小正方体在大正方体顶点的位置， 所以三个面涂色的小正方体有8个． 故答案为：8． 1．用一个平面分别截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体的截面，熟练掌握不同几何体的截面形状特点是解题的关键． 分别分析每个几何体被平面截得的截面形状，判断是否能得到三角形截面． 【详解】解：长方体用平面斜着截去一个角时，可得到三角形截面，A项不符合题意； 圆锥用平面沿着母线去截，可得到三角形截面，B项不符合题意； 三棱柱用平面斜着截，可得到三角形截面，C项不符合题意； 圆柱的截面形状有圆、长方形、椭圆等，无论怎么截都不能得到三角形截面，D项符合题意， 故选：D． 2．一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题主要考查了棱柱的构成，准确分析计算是解题的关键． 直棱柱的棱数公式为（为底面边数），由给定棱数可求出，再根据面数公式计算面数． 【详解】设直棱柱的底面边数为， 直棱柱的棱总数为， ， ， 又直棱柱的面数由两个底面和个侧面组成， 总面数为； 故这个棱柱的面数为7个． 故选． 3．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（   ）． A．10 B．7 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查正方体的截面与顶点数，解题的关键是分析平面截正方体时不同的截取位置对顶点数的影响． 分析平面截正方体得到三棱锥时，不同截取位置下剩余几何体的顶点数，从而判断不可能的顶点数． 【详解】 解：如图所示，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形，剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，不可能有6个顶点， 故选：D． 4．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．七边形 B．五边形 C．正方形 D．三角形 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的截面，正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案，解题的关键是熟练掌握面面相交得到线． 【详解】解：正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形， 故选：A． 5．用一个平面去截正方体，下列关于截面形状的结论：①可能是等腰三角形；②可能是等边三角形；③可能是直角三角形；④可能是长方形．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的截面形状相关知识，解题的关键是通过分析平面截取正方体的不同方式，判断截面可能的形状． 判断①时，平面截正方体的三个面，使截得的两条边长度相等，可得等腰三角形，故①正确；判断②时，取正方体一个顶点出发的三条棱的另一端点，平面截过这三个点，截得的三角形三边相等，可得等边三角形，故②正确；判断③时，由于正方体的面均为正方形，截面的边为面与面的交线，无法通过平面截取正方体得到三边满足直角关系的三角形，故③错误；判断④时，平面平行于正方体的一个面或截过四个面且对边平行、四角为直角，可得长方形，故④正确． 【详解】解：①：平面截正方体三个面，使两条截边长度相等，可得到等腰三角形，故①正确； ②：取正方体一个顶点出发的三条棱的另一端点，平面截过这三个点，截得的三角形三边相等，为等边三角形，故②正确； ③：正方体的面是正方形，截面的边为面与面的交线，无法形成直角三角形，故③错误；④：平面平行于正方体一个面或截过四个面且满足长方形特征，可得到长方形，故④正确． 综上，正确结论为①②④，共3个． 故选：C． 6．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 7．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于7 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：因为7是质数， 所以不带红色的小正方体只能是排成一排， 所以这个长方体由即个小正方体组成， 把它看成3层，第一层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 第二层两面带红色的小正方体个数为：4个， 第三层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 所以两面带红色的小正方体个数为：（个）， 故选D． 8．把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了（   ）平方厘米． A．96 B．48 C．64 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查长方体的切割．通过不同的切割方式确定切面长方形的长和宽是解题的关键．求出切面的表面积进行比较即可． 【详解】解：如图， 按照上图虚线截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了平方厘米； 如图， 按照上图虚线截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了平方厘米； 如图， 按照上图虚线截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了平方厘米； ∴以上三种都有可能； 故选：D 9．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么剩下的几何体可能有 个顶点． 【答案】或或或 【分析】本题考查了截一个几何体，理解截面的形状与原几何体的特征之间的关系是正确判断的前提．根据截去的几何体是一个三棱锥，则截面为三角形，根据截面与正方体顶点和棱的不同位置关系，剩下的几何体的顶点数可能发生变化，据此分不同情况讨论，即可解答． 【详解】解：∵截去的几何体是一个三棱锥， ∴截面为三角形， ∴如图所示， 当截面通过三个顶点时，剩下的几何体顶点数为个； 当截面通过一条棱上的点和两个顶点时，剩下的几何体顶点数为个； 当截面通过两条棱上的点和一个顶点时，剩下的几何体顶点数为个； 当截面通过三条棱上的点（非顶点）时，剩下的几何体顶点数为个； 因此，剩下的几何体可能有或或或个顶点， 故答案为：或或或． 10．一个正方体截掉一个角后，剩下的几何体的顶点的个数可能是 ． 【答案】7或8或9或10 【分析】本题考查截一个几何体，理解截面的不同所剩余部分的形状不同是正确解答的关键． 根据截面的不同，所剩余的部分不同进行解答即可． 【详解】解：一个正方体截掉一个角后，由于截面的不同，剩下的几何体的顶点的个数不同，可能为7或8或9或10． 故答案为：7或8或9或10． 11．如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有 个顶点． 【答案】 【分析】本题主要考查棱柱的定义及面、棱、顶点的个数之间的关系，根据点、面、棱的关系进行求解即可，熟练掌握棱柱的基本性质是解题关键． 【详解】解：∵棱柱有个面，有条棱，有个顶点， ∴当棱柱总共有条棱， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空． (1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】(1)6，12，8 (2)7，15，10 (3)8，18，12 (4)，， 【分析】本题考查了立体图形中的顶点、棱、面． （1）四棱柱面数：2个底面4个侧面，棱数：个底面棱4个侧棱，顶点数：个底面顶点； （2）五棱柱面数：2个底面5个侧面，棱数：个底面棱5个侧棱，顶点数：个底面顶点； （3）六棱柱面数：2个底面6个侧面，棱数：个底面棱6个侧棱，顶点数：个底面顶点； （4）棱柱面数：2个底面个侧面，棱数：个底面棱个侧棱，顶点数：个底面顶点． 【详解】（1）解：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； （2）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； （3）六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点； （4）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 13．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数点数棱数，那么此多面体印信的棱数为 ． 【答案】48 【分析】本题考查几何体，根据经过每一个点都有四条棱，棱数等于点数的2倍，再根据面数点数棱数，进行计算即可。 【详解】解：因为经过每一个点都有四条棱，两点确定一条棱， 所以多面体的棱数为点数的2倍， 设此多面体印信的棱数为，则点数为， 由面数点数棱数，得：，解得：， 故， 此多面体印信的棱数为48； 故答案为：48. 14．工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有 个，2个面涂色的有 个． 【答案】 4 20 【分析】本题考查了正方体的特征，解题的关键是根据大正方体的组成及涂色面的情况，分析不同涂色面小正方体的位置和数量． 先确定大正方体的棱长，再根据3个面涂色和2个面涂色小正方体的位置特点，分别计算其数量． 【详解】3个面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，由于贴地的面不涂色，所以只有上面的4个顶点处的小正方体是3个面涂色的：（个）， 2个面涂色有： （个） 所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个． 故答案为：4；20． 15．把以下表格填写完整，并回答表后问题： 直棱柱 顶点数（v） 面数（f） 棱数（e） 三棱柱 6 5 四棱柱 6 12 … … … … n棱柱 分析以上数据，请直接写出直棱柱的“顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）”这三个量所满足的等量关系式． 【答案】表格见解析， 【分析】本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形； 根据多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可；利用（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得v，f，e之间的数量关系式． 【详解】解：表格填写如下： 直棱柱 顶点数（v） 面数（f） 棱数（e） 三棱柱 6 5 9 四棱柱 8 6 12 … … … … n棱柱 根据表格数据可知v、f、e的等量关系式为：（或与之等价的等式）． 16．如图，正五棱柱的底面边长为，高为． (1)这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积． (2)这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？ 【答案】(1)7个面，侧面积； (2)10个顶点，15条棱． 【分析】本题考查了棱柱的构造特征，掌握棱柱的特点是解题的关键．一个n棱柱有个面，个顶点，条棱． （1）根据棱柱的构造特征可知面数，求出每个侧面的面积乘以5即可； （2）根据棱柱的构造特征作答即可． 【详解】（1）解：这个棱柱共有7个面； 侧面积； （2）这个棱柱共有10个顶点，15条棱． 17．请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 _______ 长方体 8 6 12 正八面体 _______ 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______________． (2)一个多面体的面数与顶点数相等，有12条棱，这个多面体是_______面体． 【答案】(1)6，6， (2)七 【分析】本题主要考查立体图形的特点，一元一次方程的运用，理解表格信息是解题的关键． （1）根据题意图形的特点分析即可求解； （2）根据（1）中的结论，设多面体的面数为，则顶点数为，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：根据图示得到，四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6， ∵，，，， ∴ 故答案为：6,，6，； （2）解：设多面体的面数为，则顶点数为， ∴， 解得，， ∴这个多面体是七面体， 故答案为：七． 18．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】此题主要考查了图形的变化类问题及立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律． （1）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上除去三面涂色的正方体的个数，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体； （2）同理（1）可进行求解； （3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有个是各个面都没有涂色的，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有24个；各面都没有涂色的有8个； 故答案为． （2）解：根据正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，各面都没涂色内部是个． 正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，有27个是各个面都没有涂色的， 故答案为； （3）解：由（1）（2）可知：当把正方体的棱三等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱四等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱五等分时，没有涂色的小正方形有个， ∴将这个正方体的棱n等分，有个是各个面都没有涂色的， ， 解得：； ∴至少应该将此正方体的棱6等分， 故答案为6． 19．问题背景： 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 —— 30 操作探究： 通过数上面图形中每个多面体的顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)，填写表格中空缺的部分： 通过填表发现：顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉(L． Euler，1707-1783)证明的一个关系式，我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (1)已知一个多面体的面数比顶点数大8，且有30 条棱，求这个多面体的顶点数； (2)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3 条棱，求这个多面体的面数． 【答案】填空见解析；（1）顶点数12；（2）面数为6 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键． 操作探究：通过观察题目给的图形填空，然后得到数量关系； （1）设顶点数为V，则面数为，进而列出方程解方程即可； （2）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】操作探究： 填表如下： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：； 操作探究： （1）解：设顶点数为V，面数， ∴， 解得． 故顶点数为12． （2）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得, 解得：， 故该多面体的面数为6． 20．值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知新长方体的长、宽、高分别为1，1，2．第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2，这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)如图④，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积． (2)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (3)取四个长、宽、高分别为2，3，的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，求的取值范围． 【答案】(1)22 (2)52 (3) 【分析】本题考查长方体的表面积公式，考查学生审题能力，空间想象能力，理解题意是解题的关键． （1）根据表面积公式计算即可； （2）根据题意得出重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2，表面积最小，求解即可； （3）据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：，重叠的图形的四个面的面积分别为：，，然后得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：表面积为：； （2）解：要使长方体的表面积最小，使得面积最大的面重叠即可， ∴重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2， 此时最小的表面积为：； （3）根据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：， ∵使得新长方体表面积最小， ∴重叠的四个面的面积要最大， 由图得：重叠的图形的四个面的面积分别为：，， ∴是最小的一个面， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 观察 抽象 教学目标 1.掌握观察和抽象的基本要求，了解其常用思路。 2.具备通过观察分析，准确抽象出数学元素的能力，提升思维水平。 3.感受观察、抽象带来的数学发现乐趣，增强学习主动性。 教学重难点 1.重点 （1）掌握常见几何体的特征； （2）了解几何体的点、棱、面之间的关系； 2.难点 （1）通过观察分析，准确抽象出数学元素的能力，提升思维水平； 知识点01 常见的几何体及分类 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）下列说法不正确的是（    ）． A．用一个平面去截一个圆锥可能截得三角形； B．五棱柱有10个顶点； C．棱柱的侧面都是四边形； D．棱锥的侧面可以是四边形． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 知识点02 几何图形的构成要素 1.几何图形的定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形，几何图形由点、线、面组成. 其中，面有平面，也有曲面；线有直线，也有曲线. 面与面相交得到线，线与线相交得到点. 几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.所以点无大小，线无宽窄，面无厚薄. 2.几何图形的分类：几何图形包括立体图形和平面图形. （1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等. （2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形． 【即学即练】 3．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）下列图形中属于棱柱的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，图中柱体的个数是 个． 知识点03 柱体和椎体的特征 棱柱与棱锥，如图所示： 1.在棱柱、棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱； 2.棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点； 3.棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点； 4.棱柱的侧棱长相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形，直棱柱的侧面都是长方形； 5.棱锥的侧面都是三角形； 6.若棱柱的底面是n边形，则它的侧棱有n条，所有棱有3n条，顶点有2n个，面有（n+2）个（n个侧面，2个底面）； 7.若棱锥的底面是n边形，则它的侧棱有n条，所有棱有2n条，面有（n＋1）个（n个侧面，1个底面）. 圆柱与圆锥，如图所示： 1.圆柱：由两个底面和一个侧面组成，两个底面是平面，侧面是曲面； 2.圆锥：由一个底面和一个侧面组成，底面是平面，侧面是曲面，有一个顶点. 【即学即练】 5．如图是一个正六棱柱，它的底面边长是，高是． （）这个棱柱有 个顶点，有 条棱，所有的棱的长度之和是 ，这个棱柱的侧面积是 ； （）一个棱柱有 条棱，那它有 个面， 个顶点． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）小文同学在延时课上制作了如下几何体，底面边长都是，侧棱长．    (1)该几何体的名称为______； (2)该几何体有______个面，______个顶点，______条棱； (3)求它的所有侧面的面积之和． 题型01 常见的几何体 1．下列物体中，可以抽象成圆柱的是（   ） A． B． C． D． 2．按组成的面的平面和曲面划分，与圆锥为同一类的几何体是（   ） A．棱锥 B．棱柱 C．圆柱 D．长方体 3．下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 4．如图，下列几何体，是柱体的有 （填序号）．    5．观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 题型02 组合几何体的构成 6．如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 7．把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 8．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②，④，⑤ B．模块③，④，⑥ C．模块②，③，⑥ D．模块③，⑤，⑥ 9．下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 10．分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 题型03 立体图形的分类 11．下面的几何体中，属于柱体的有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 12．如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 13．下列几何体中，棱柱有 个．    14．如图，下列几何体，是柱体的有 ，球体的有 ．（填序号） 15．（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 题型04 几何体中的点、棱、面 16．已知一个棱柱有36条棱，则这个n棱柱有（    ）个面， A．11 B．12 C．13 D．14 17．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有1个面涂有颜色的小立方块的个数为，仅有2个面涂有颜色的小立方块的个数为，仅有3个面涂有颜色的小立方块的个数为，则之间的关系为（   ） A． B． C． D． 18．如图，用经过D、E、G三点的平面截去长方体上面的一角，剩下部分是一个新的几何体，若这个新几何体的面数为x，顶点数为y，则的值为 ． 19．如图a是正方体木块，把它切去一块，得到如图b、c、d、e四种木块． (1)我们知道，图a的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图b、c、d、e中木块的顶点数、棱数、面数补全下表： 图号 顶点数 棱数 面数 (2)分析上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试着写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； (3)根据猜想计算：若一个多面体的顶点数为2024个，棱数为4047条，试求它的面数． 20．观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 题型05 截一个几何体 21．用一个平面去截一个棱柱，截面图形最多是七边形，该棱柱是（   ） A．七棱柱 B．六棱柱 C．五棱柱 D．四棱柱 22．乐乐周末在家研究美食麻婆豆腐时，突然想到一个数学问题，用刀截一个长方体豆腐块，截面形状不可能是（    ） A．等边三角形 B．长方形 C．六边形 D．正八边形 23．如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为x，顶点数为y，则 ． 24．一个表面全部涂色的大正方体被切割成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有60个，那么没有涂色的小正方体有 个． 25．如图，用一个平面去截掉一个正方体的一条棱． (1)剩下的几何体的形状是什么？ (2)剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？ 题型06 几何体中的多说法正误问题 26．下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 27．下列说法：①柱体的上、下底面一样大；②棱柱的每条棱长可以相等；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤直棱柱的侧面一定是长方形．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 28．下列说法错误的是（   ） A．三棱锥共有4个面 B．棱柱的棱长都相等 C．柱体的两个底面一样大 D．圆锥由两个面围成 29．下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧面都是长方形 B．正方体所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是平行四边形 D．棱柱的上、下底面形状相同 30．下列说法中正确的个数是（    ） 长方体，正方体都是棱柱；圆锥和圆柱的底面都是圆；若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；棱锥底面边数与侧棱数相等． A．1 B．2 C．3 D．4 题型07 几何体中的点、棱、面关系问题 31．一个十棱柱的顶点个数，棱的条数，面的个数分别是（   ） A．10，20，10 B．20，30，10 C．20，30，12 D．30，30，40 32．如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 33．综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 34．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中的几种简单的多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面的多面体模型，将表格补充完整． 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正方体 8 6 12 六棱柱 8 18 十棱柱 20 12 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是____________； (3)一个多面体的顶点数为12，棱数比面数的2倍少10，求这个多面体的棱数． 35．如图，观察下列几何体并回答问题： (1)n棱柱有__________个面、__________条棱、__________个顶点，n棱锥有__________个面、__________条棱、__________个顶点； (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E之间存在着一定的数量关系． ①继续观察如图所示多面体，并把表格填写完整： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 图② 图③ ②分析表格中的数据，你能发现F、V、E三者之间有何关系 ． 题型08 几何体中的涂色问题36．工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有 个，2个面涂色的有 个． 37．把一个大正方体的表面涂色后，每条棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，其中只有1面涂色的小正方体有 个． 38．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 39．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，在大长方体的其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有个，一面涂色的小正方体有个，则 ． 40．观察如图所示，然后填一填． （1）如图大正方体的棱长是3厘米，这个大正方体的棱长总和是 厘米，表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． （2）给大正方体的表面涂上颜色，三个面涂色的小正方体有 个 1．用一个平面分别截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（   ） A． B． C． D． 2．一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（   ）． A．10 B．7 C．9 D．6 4．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．七边形 B．五边形 C．正方形 D．三角形 5．用一个平面去截正方体，下列关于截面形状的结论：①可能是等腰三角形；②可能是等边三角形；③可能是直角三角形；④可能是长方形．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 7．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 8．把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了（   ）平方厘米． A．96 B．48 C．64 D．以上三种都有可能 9．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么剩下的几何体可能有 个顶点． 10．一个正方体截掉一个角后，剩下的几何体的顶点的个数可能是 ． 11．如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有 个顶点． 12．如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空． (1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 13．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数点数棱数，那么此多面体印信的棱数为 ． 14．工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有 个，2个面涂色的有 个． 15．把以下表格填写完整，并回答表后问题： 直棱柱 顶点数（v） 面数（f） 棱数（e） 三棱柱 6 5 四棱柱 6 12 … … … … n棱柱 分析以上数据，请直接写出直棱柱的“顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）”这三个量所满足的等量关系式． 16．如图，正五棱柱的底面边长为，高为． (1)这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积． (2)这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？ 17．请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 _______ 长方体 8 6 12 正八面体 _______ 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______________． (2)一个多面体的面数与顶点数相等，有12条棱，这个多面体是_______面体． 18．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 19．问题背景： 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 —— 30 操作探究： 通过数上面图形中每个多面体的顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)，填写表格中空缺的部分： 通过填表发现：顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉(L． Euler，1707-1783)证明的一个关系式，我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (1)已知一个多面体的面数比顶点数大8，且有30 条棱，求这个多面体的顶点数； (2)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3 条棱，求这个多面体的面数． 20．值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知新长方体的长、宽、高分别为1，1，2．第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2，这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)如图④，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积． (2)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (3)取四个长、宽、高分别为2，3，的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，求的取值范围． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $