精品解析：广东省广州市中山大学附属中学2025-2026学年上学期九年级数学期中测试卷

中大附中2025学年第一学期期中质量监测 初三年级数学科试卷 考生注意事项： 1.试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2.质量监测时间120分钟，全卷满分120分． 第Ⅰ卷 选择题（30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确选项前的字母代号填（涂）在答题卡相应位置． 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化成一元二次方程的形式，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3. 已知二次函数的图象经过点，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（），点C的对应点E落在边上时，则旋转角θ的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 无论m取任何实数，抛物线的顶点都（ ） A. 在直线上 B. 在直线上 C. 在x轴上 D. 在y轴上 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 若恒成立，则 C. 若恒成立，则 D. 若恒成立，则 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（每题3分，共6题，共18分） 11 点与点关于原点对称，则________． 12. 已知二次函数，其中，则有最大值为_____ 13. 若方程能配成的形式，则直线不经过第______象限． 14. 如图，在中，，，点M是上一点，且平分，连接，将绕点M顺时针旋转，点A的对应点N落在上．若点N恰好是的三等分点（靠近点C），则___________． 15. 已知：，是关于一元二次方程的两个实数根，且满足，则的值为______． 16. 如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为______． 三、解答题（共9题，共72分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， （1）求圆的半径； （2）求弦的长． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 20. 已知抛物线顶点坐标为，且过点． （1）求其解析式； （2）把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点． 21. 如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）连接，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点对称，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． （3）点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 23. 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．玥玥同学设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与重合），过点作平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定与的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题： （1）求抛物线函数表达式； （2）当9米材料恰好用完时，分别求与的长； （3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 24. 问题背景：如图1，在和中，，，，连接和．求证：． 尝试应用：如图2，在（1）的条件下，与交于点F，若F为中点，求的大小． 拓展应用：如图3，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，为边上不与点C重合的点，且，为的中点，连接．求的度数； 25. 我们规定：一次函数叫做二次函数的“子函数”，反过来二次函数叫做一次函数的“母函数”． （1）已知二次函数的“子函数”经过点，，求，，的值； （2）若一次函数的“母函数”为，且“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方，求的取值范围； （3）如图，“母函数”二次函数与轴负半轴交于，两点，与轴正半轴交于点，顶点为，“母函数”与其“子函数”交于，两点，，点为平面直角坐标系中的一个动点，连接，，若线段的最大值为，求二次函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中大附中2025学年第一学期期中质量监测 初三年级数学科试卷 考生注意事项： 1.试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2.质量监测时间120分钟，全卷满分120分． 第Ⅰ卷 选择题（30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确选项前的字母代号填（涂）在答题卡相应位置． 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 将方程化成一元二次方程的形式，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟悉一元二次方程的一般形式是解题的关键；方程利用单项式乘多项式法则展开，再移项、合并同类项即可化为一元二次方程的一般形式，最后比较二次项系数即可． 【详解】解：， ， 整理得：， ∵化成一元二次方程的形式， ∴， 故选：C． 3. 已知二次函数的图象经过点，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确将已知点代入解析式是解题关键． 直接将已知点代入函数解析式，进而求出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点 ∴ ∴ ∴ 故选：A. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，通过计算一元二次方程的判别式的值，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 5. 如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合等边对等角求得，，再根据平行线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 6. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 7. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（），点C的对应点E落在边上时，则旋转角θ的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，三角形内角和定理，等边对等角，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用等边对等角和三角形内角和定理求得，再根据旋转的性质得出，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求得旋转角θ． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（）， ∴，， ∴， ， 即， 故选：B． 8. 无论m取任何实数，抛物线的顶点都（ ） A. 在直线上 B. 在直线上 C. 在x轴上 D. 在y轴上 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用配方法可求顶点坐标为（-m，m），即可判断顶点所在直线． 【详解】解：∵y=ax2+2max+am2+m=a（x+m）2+m， ∴顶点坐标是（-m，m）， ∴顶点在直线y=-x上． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线的顶点坐标． 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 10. 已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 若恒成立，则 C. 若恒成立，则 D. 若恒成立，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．先判断出抛物线开口方向下，求出对称轴范围即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ，即， 解得：， ，， ， ， ，， 抛物线的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， 点和也在此抛物线上， 若恒成立，则； 若恒成立，则； 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（每题3分，共6题，共18分） 11. 点与点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a，b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知二次函数，其中，则有最大值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质及最值的求法，解题的关键是熟练应用二次函数的图象及性质． 根据二次函数的解析式可知图象开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的增减性，求出当时，的值即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 即当时，． 故答案为：． 13. 若方程能配成的形式，则直线不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一次函数图象与其系数的关系，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方得到，则，据此可得直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为；三． 14. 如图，在中，，，点M是上一点，且平分，连接，将绕点M顺时针旋转，点A的对应点N落在上．若点N恰好是的三等分点（靠近点C），则___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，过点作,垂足为点，即可得到，进而求出和长，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到,即可得到，然后根据勾股定理求出的长，再过点作于点,求出和长解答即可． 【详解】解：若点恰好是的三等分点(靠近点)，则， 过点作,垂足为点,如图, ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 则,， ∵,平分, ∴, ∴， ， ， ， 过点作于点, 在中,,， 在中, ， 故答案为：． 15. 已知：，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将配方，再根据根与系数关系得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ． 或（舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16. 如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，萎形的性质，勾股定理等，由图②得，当时，在减小；当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再沿运动到，或应从出发沿运动到，运动到到，设从出发沿运动到，再沿运动到，连接交于，可得，得到，，，得到，再利用勾股定理求出的值即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图②得，当时，在减小；当时，先变小后变大， ∴应从出发沿运动到，再沿运动到，或应从出发沿运动到，再沿运动到到， 设从出发沿运动到，再沿运动到， 如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴，，， 当在处时，，即， ∴， 当在处时，， ∴， 当位于处时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共72分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解得即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 即， 所以， 解得： 【小问2详解】 解： ， ， 所以， 解得：． 18. 如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， （1）求圆的半径； （2）求弦的长． 【答案】（1）5 （2）8 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ； 【小问2详解】 解：∵，， ， ， ， ． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【小问1详解】 证明：， ， 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 20. 已知抛物线顶点坐标为，且过点． （1）求其解析式； （2）把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点． 【答案】（1） （2）1或3 【解析】 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式； （2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答． 【小问1详解】 ∵抛物线顶点坐标为， ∴可设该抛物线解析式为． ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 对于， 令，则， ∴， 解得：， ∴该抛物线与x轴的两个交点分别为，， ∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点． 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键． 21. 如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 小问2详解】 连接， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． （3）点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 【答案】（1）图见解析，的坐标为 （2）图见解析，的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称、旋转作图、三角形的三边关系、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中心对称的定义作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）先根据三角形的三边关系推出当、、三点共线时，有最大值，然后利用一次函数的解析式求解即可． 【小问1详解】 解：如图：的坐标为； 【小问2详解】 如图：的坐标为； 【小问3详解】 如图： 点为轴上一点，由三角形的三边关系可知， 当、、三点共线时，有， 即，当且仅当、、三点共线时，有最大值； 延长交轴于，此时即为所求； 设， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 即当最大时，点的坐标为． 23. 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．玥玥同学设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定与的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）当9米材料恰好用完时，分别求与的长； （3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1） （2）长为6米，的长为3米 （3）矩形周长的最大值为米 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标为，不妨设抛物线的函数表达式为，把点A或点B的坐标代入解析式，确定解析式即可； （2）由点在抛物线上，不妨设点的坐标为，继而得到，．根据题意得，构造方程 ，求解即可； （3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个 【小问1详解】 解：所在直线是的垂直平分线，且， ． 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：． 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由点在抛物线上， 不妨设点的坐标为， ，交轴于点， ， ． 在中，， ． ， 根据题息，得， ， 解得：（不符合题意，舍去）， ． ， 答：的长为6米，的长为3米． 【小问3详解】 解：如图矩形灯带为， 根据题意，得，，， 设直线和的表达式分别为：， 故， 解得， 故直线和的表达式分别为：， 设点， 则矩形周长， 根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为， 故矩形周长的最大值为米． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，构造二次函数求最值，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键． 24. 问题背景：如图1，在和中，，，，连接和．求证：． 尝试应用：如图2，在（1）条件下，与交于点F，若F为中点，求的大小． 拓展应用：如图3，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，为边上不与点C重合的点，且，为的中点，连接．求的度数； 【答案】问题背景：证明见解析；尝试应用：；拓展应用： 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 问题背景：根据证明可得结论； 尝试应用：如图2，连接，证明，则A，D，B，F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补，可得； 拓展应用：延长至，使得，连接，由判定，由全等三角形的性质得，再由判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质即可求解； 【详解】解：问题背景： ， ， ， ， ， ； 尝试应用：如图2，连接， 是中点， ， ， ， ， ， ， 四点共圆， ， ； 拓展应用：延长至，使得，连接， ， ， ∵边绕点C逆时针旋转到， ， ， ， ， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 25. 我们规定：一次函数叫做二次函数的“子函数”，反过来二次函数叫做一次函数的“母函数”． （1）已知二次函数的“子函数”经过点，，求，，的值； （2）若一次函数的“母函数”为，且“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方，求的取值范围； （3）如图，“母函数”二次函数与轴负半轴交于，两点，与轴正半轴交于点，顶点为，“母函数”与其“子函数”交于，两点，，点为平面直角坐标系中的一个动点，连接，，若线段的最大值为，求二次函数的解析式． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“子函数”的定义可得，再代入，到，即可求解； （2）根据“母函数”的定义可得二次函数为，由“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方，可得恒成立，再利用二次函数图象的性质列出关于的不等式，即可求解； （3）过点作轴交直线于点，易得，根据二次函数与一元二次方程的关系可得，，结合，利用三角形面积公式得到，整理得到，根据二次函数经过点，进而得到，得出；取的中点，连接、，根据斜边中线定理得到，根据两点之间线段最短的性质得到，得到的长，进而得到点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的“子函数”为， ∴， 由题意得，经过点，， ∴， 解得， ∴综上，，，； 【小问2详解】 解：∵一次函数的“母函数”为， ∴，， ∴， ∴“母函数”为， ∵“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方， ∴恒成立， 即恒成立， ∴， 解得； ∴的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴交直线于点， 对于，令，则， ∴，， ∴， ∵“母函数”为二次函数， ∴“子函数”为一次函数， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴二次函数为， 令，则， 解得，， ∴，即； 如图，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∵线段的最大值为， ∴， ∴， ∴， 代入到，得 解得， ∴二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了新定义、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、三角形面积公式、斜边中线定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．本题属于函数综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $