精品解析：福建省南平市建阳区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

建阳区2025—2026学年第一学期九年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷） 说明：1．本试卷仅供选用学校使用． 2．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 4. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ） A. B. C. 4 D. 16 8. 如图，将绕点A顺时针旋转,得到，若点E在线段上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 自“千年窑火•建窑建盏”传统柴烧龙窑开窑节创办以来，建盏销售额屡创新高，第一季度销售额达90万元，三个季度销售额一共327.6万元．设平均每季度销售额的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 抛物线的对称轴是直线______． 13. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是________． 14. 如图，一个油桶陷于地面，量得，圆心O点距离地面，则油桶的半径是______cm． 15. 已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是______． 16. 如图，正方形的边长为2，点G是边上的中点，点是对角线上一动点，连接，把绕点C顺时针旋转得，连接、，则线段长度的最小值是______． 三、解答题（本大题共9小题共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数． （1）写出函数顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）； （3）当时，求y的取值范围． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O中心对称的图形； （2）画出绕点O顺时针旋转后的图形． 20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，，求线段的长． 21. 如图，已知、是的直径，连接． （1）求证：； （2）若，，求的直径． 22. 建阳某建本印刷厂复刻经典古籍，已知当每本古籍的利润为10元时，每月可售出100本．经市场调研发现，售价每上涨1元时，月销量就会减少2本．设该古籍每本涨价x元，每月的销售利润为y元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当该古籍每本涨价多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，四边形内接于，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）如图1，当，判断的形状，并证明你的结论． （2）如图2，当时，判断的形状，并证明你的结论． 24. 定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，，因为，所以432是“欢乐数”． （1）直接写出最小的“欢乐数”是______； （2）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且是方程的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； （3）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求出“欢乐数”k的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标． （3）抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建阳区2025—2026学年第一学期九年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷） 说明：1．本试卷仅供选用学校使用． 2．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形是指图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，据此逐项判断． 【详解】解：选项A、该图形是半圆，绕任何一点旋转后，都无法与原来的图形重合，则不是中心对称图形； 选项B、该图形由3个菱形组成，绕任何一点旋转后，都无法与原来的图形重合，则不是中心对称图形； 选项C、该图形由圆和形似四叶草的图形组成，绕其中心旋转后，能与原来的图形重合，则是中心对称图形； 选项D、该图形是五角星图形，绕任何一点旋转后，都无法与原来的图形重合，则不是中心对称图形； 故选：C． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此令二次项系数即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：A． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的相关概念，熟练掌握有关圆的相关概念是解题的关键．根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、直径是圆中最长的弦，这是圆的性质，则A正确，不符合题意； 选项B、半圆属于弧，则B正确，不符合题意； 选项C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，则C错误，符合题意； 选项D、圆上各点到圆心的距离都相等，都等于半径，这是圆的定义，则D正确，不符合题意； 故选：C． 4. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律，“左加右减，上加下减”，先向左平移，再向下平移，逐步推导即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位， 抛物线解析式变为； 又向下平移2个单位， 则抛物线解析式变为． 故选：A． 5. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程中根与系数的关系，直接利用一元二次方程中根与系数的关系解题即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：D． 6. 如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵是的直径，，是的弦， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据方程的根的判别式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 8. 如图，将绕点A顺时针旋转,得到，若点E在线段上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转的得出旋转角以及相等的边，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得，， ∴， 故选：B． 9. 自“千年窑火•建窑建盏”传统柴烧龙窑开窑节创办以来，建盏销售额屡创新高，第一季度销售额达90万元，三个季度销售额一共327.6万元．设平均每季度销售额的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），解题的关键是根据各季度销售额的关系列出方程． 先分别表示出第二季度和第三季度的销售额，再根据三个季度销售额之和为327.6万元列出方程． 【详解】解：已知第一季度销售额为90万元，平均每季销售额的增长率为， 第二季度销售额是在第一季度基础上增长的，所以第二季度销售额为万元， 第三季度销售额是在第二季度基础上增长的，所以第三季度销售额为万元， 因为三个季度销售额一共327.6万元，所以可列方程：． 故选：D． 10. 已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点的位置确定二次函数解析式中各项系数的取值范围．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置可以判断错误；根据对称轴为直线，通过变形可得正确；根据抛物线与轴的交点可得，可得错误；根据时，，可得错误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； ∵对称轴为直线， ∴，变形得：，故正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故错误； ∵当时，， ∴，故错误； 故正确的有：，只有1个． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于原点对称的特征：两个点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数． 根据平面直角坐标系中点关于原点对称的特征作答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 因此对称点的坐标是． 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式性质，对称轴为直线． 【详解】解：抛物线方程为为顶点式 因此对称轴是直线， 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 14. 如图，一个油桶陷于地面，量得，圆心O点距离地面，则油桶的半径是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 连接，根据垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由已知可得：，， ∴， ∴， ∴油桶的半径是． 故答案为：50． 15. 已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据二次函数的图象可知，求出二次函数与轴的交点，当自变量的值处于两交点之间时，，据此求解即可． 【详解】解：令， 因式分解得， 令或 解得或， 因此，当时，自变量x的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为2，点G是边上的中点，点是对角线上一动点，连接，把绕点C顺时针旋转得，连接、，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的基本性质，等腰直角三角形的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先通过证得，得到与所成的角为，进而当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与所成的角为， ∴当时，有最小值，此时为等腰直角三角形， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共9小题共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 ∴或 解得：； 【小问2详解】 ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 18. 已知二次函数． （1）写出函数顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）； （3）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2）增大 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据顶点坐标式即可得出其顶点坐标； （2）由（1）知抛物线的对称轴方程及开口方向即可求解； （3）再分别求出，时的函数值，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴顶点坐标为 【小问2详解】 解：由（1）知：抛物线的对称轴为，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 顶点坐标为：， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O中心对称的图形； （2）画出绕点O顺时针旋转后的图形． 【答案】（1）如图，为所求； （2） 如图，为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转作图和中心对称作图，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据旋转可得，，，根据勾股定理求出，再求出即可． 【详解】解：根据旋转可得，，， ∵，，， ∴， ∴． 21. 如图，已知、是的直径，连接． （1）求证：； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，  ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，熟练掌握知识点是解题关键； （1）先根据等腰三角形性质得到，再通过圆周角定理得到，即可求证； （2）先根据直径所对的圆周角为90度，得到，再通过勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为圆直径， ∴， 又∵，， ∴在中，，， 即， 解得． 22. 建阳某建本印刷厂复刻经典古籍，已知当每本古籍的利润为10元时，每月可售出100本．经市场调研发现，售价每上涨1元时，月销量就会减少2本．设该古籍每本涨价x元，每月的销售利润为y元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当该古籍每本涨价多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当每本古籍涨价20元时，每月利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）设售价上涨x元，则利润为元，销量为本，再根据利润每件商品的利润销售量即可得解； （2）根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设售价上涨x元，则利润为元，销量为本， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，y有最大值1800， ∴当每本古籍涨价20元时，每月利润最大，最大利润是1800元． 23. 如图，四边形内接于，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）如图1，当，判断的形状，并证明你的结论． （2）如图2，当时，判断的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 解：为等腰直角三角形，证明如下： ∵平分，平分，和是所对的圆周角， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2） 解：为等腰三角形，证明如下： ∵平分，平分， ∴，，和是所对的圆周角， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质及圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题关键． （1）根据角平分线的定义及圆周角定理得出，，根据三角形外角的性质得出，可证明，根据圆内接四边形的性质得出，即可得出是等腰直角三角形； （2）根据角平分线的定义及圆周角定理得出，，根据三角形外角的性质得出，可证明，即可得出是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，，因为，所以432是“欢乐数”． （1）直接写出最小的“欢乐数”是______； （2）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且是方程的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； （3）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求出“欢乐数”k的值． 【答案】（1）111 （2）741，852，963 （3）444或555 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据“欢乐数”的定义求解即可； （2）根据“欢乐数”的定义以及一元二次方程的解可得到三者的关系，然后再根据“欢乐数”的定义得到的取值范围，进而可求解； （3）由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可得，即，进而可求，由，、b、，a、b、c为自然数，可求或，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最小为， ∴最小的“欢乐数”是111． 【小问2详解】 ∵是“欢乐数”， ∴， ∵是方程的一个根， ∴，且， ∴， ∴，即， ∵各个数位上的数字都不为零， ∴三个数都大于等于1且小于等于9， ∴， ∴， ∴的值可以为：1，2，3； 当时，，符合，此时“欢乐数”为741； 当时，，符合，此时“欢乐数”为852； 当时，，符合，此时“欢乐数”为963； 【小问3详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵、b、，a、b、c为自然数， ∴或， ∴k的值为或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标． （3）抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 如图，P点即为所求， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，能够正确做出辅助线是解题关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据轴对称的性质先找到点，然后确定P点为函数对称轴和直线的交点，求出的函数解析式以及二次函数的对称轴，进而可求出P点； （3）当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，证明，有，设，可得，即知，直线解析式为，联立，解得点坐标；当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，同理可得点坐标． 【小问1详解】 解：把，两点，代入抛物线， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ∵抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：，代入，， 得到， ∴， ∴， ∵二次函数， ∴函数的对称轴为直线，两点关于直线对称， ∴， ∴的周长为：， ∴当三点共线时，的周长取到最小值， 此时点在对称轴上， ∴将代入，得到， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：抛物线上存在点Q，使，理由如下： 当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴ 解得 ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 联立， 解得 ， ∴， 综上所述，Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $