专题02 不等式（期末真题汇编，江苏专用）高一数学上学期苏教版

专题02 不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次不等式 考点03 基本不等式 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 2．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取推翻ABD，作差判断C即可. 【详解】对于ABD，取，则、、无意义，故ABD错误； 对于C，若，则， 由于不同时为0，所以，故C正确. 故选：C. 3．(24-25高一上·江苏无锡·期末)设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例可判断A，B，根据不等式的性质或作差法可判断C，D. 【详解】当，时，显然不成立，故A错误； 当时，显然不成立，故B错误； 因为，所以成立，故C正确； 因为，由已知可知，但不能确定的符号，故D错误. 故选：C. 4．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】由，则成立，充分性成立； 由，若，显然不成立，必要性不成立； 所以 “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题 5．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例判断A，结合不等式性质判断B，结合对数函数性质判断C，结合指数函数性质判断D. 【详解】若，，则，A错误； 因为，，所以，B正确； 因为对数函数为减函数，，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确； 故选：BD. 6．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)下列选项正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A，通过举特例可判断选项正误；对于B，由不等式性质可判断选项正误；对于CD，由做差法结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，取，有，， 则，故A错误； 对于B，由不等式性质可知，若，，则，故B正确； 对于C，，因，则，故，故C正确； 对于D，，因，则， 但无法确定a的符号，故不能比较大小，D错误. 故选：BC. 7．(24-25高一上·江苏镇江·期末)下列不等式成立的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当，则，故A错误， 对于B，若，则，故B正确， 对于C，若，则，故，故C错误， 对于D，，由于，故，因此，故，D正确， 故选：BD 8．(24-25高一上·江苏苏州·期末)若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质判断AB；举反例判断CD. 【详解】根据，则，A正确； 由，又，则，B正确； 当时，，C错误； 当时，，D错误. 故选：AB 9．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)（多选）若实数满足则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先利用函数为上的增函数，得，选项A，选项D利用不等式性质可得到，选项B则利用作差法即可得到结果；选项C利用对数函数的单调性即可得到. 【详解】因为函数为上的增函数，由，可得， 对于A，当时，不成立，故A不正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，则，可得，所以， 因为函数为上的减函数，所以C正确： 对于D，由于，所以，故D不正确. 故选：BC. 10．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知实数满足且，则下列说法正确的有（   ） A．若，则对任意实数， B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，对； 故选：BCD 11．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)设，，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】A，取判断；B，取，判断； C，利用不等式的加法性质判断；D，根据为增函数判断. 【详解】A，当时不成立.故A错误. B，当，时不成立.故B错误. C，因为，两边同时减去有成立.故C正确. D，因为，又为增函数.故成立.故D正确.   故选：CD 12．(21-22高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式可推出，由此可判断A; 利用基本不等式可判断B;举例可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】、、、均为非零实数,则 ，故 ，即，故A正确； 由题意可知 ，故 ，当且仅当，即 时取等号，故B正确； 若，比如a=1，b=-1，则不成立，故C错误； 若，，则若，，故，故D正确， 故选：ABD 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 13．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知、为关于的方程的两根，结合韦达定理可得出、的值，结合对数的运算性质可得出的值. 【详解】由题意可知，、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，解得，故. 故选：B. 14．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理得，，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意，1和3为方程的两根，且， 所以，即，， 所以. 当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 15．(24-25高一上·江苏苏州·期末)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 16．(22-23高三上·江苏百校联考·)已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值. 【详解】因为的解集为， 可知，且，是方程的两根， 由根与系数的关系知， 可得，，当且仅当时等号成立， 故， 设，，可知函数在上单调递增， 则，所以的最小值为5. 故选：C 17．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知不等式的解集为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解结合韦达定理求得的值，进而利用对数的运算求解即可. 【详解】由题意可得，且，为方程的两根， 由韦达定理可得，解得， 故． 故选：D． 18．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（    ） A．16 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过，可得，解不等式可得答案. 【详解】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，将，代入可得： . 又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过， 这内卡车行驶的路程为：（）. 由 ， 所以 . 根据速度的意义，所以. 所以卡车行驶的速度应低于 . 故选：B 【点睛】关键点点睛：理解题意，找出题目中的不等关系是解题关键. 19．(24-25高一上·江苏镇江·期末)已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 二、多选题 20．(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由题意可知：的根为，且，即可判断A；利用韦达定理判断B；代入解不等式判断CD. 【详解】由题意可知：的根为，且，故A正确； 由韦达定理可得，即， 所以，故B错误； 不等式即为，且， 解得，所以不等式的解集为，故C正确； 不等式即为，且， 可得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 三、非选择题 21．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ． 【答案】 【分析】利用已知得到真命题，结合二次函数的单调性求解即可； 【详解】由题意可得命题“，使得”为真命题， 即在上有解， 令，，则， 在为减函数，所以， 所以，即实数a的范围为. 故答案为：. 22．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)若关于的不等式的解集为，且．则的取值范围为 ，的最小值是 ． 【答案】 . 【分析】第一空，即有2个大于1的根，由根的分布知识可得答案； 第二空，由韦达定理结合分解因式可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】的解集为， 则有2个大于1的根，则， 由韦达定理，可得，则. 注意到， 因，则，则， 故 . 当且仅当，即时取等号. 故答案为：；. 23．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数． (1)若的解集为，求a，b的值； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意确定为的两个根，由韦达定理即可求解； （2）将原问题转化为在上有解，换元后结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由的解集为，可知为的两个根， 故，解得； （2）方程在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则， 故实数a的取值范围为. 24．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）当时， 或； ∵， ∴ 或； （2）∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 25．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 26．(24-25高一上·江苏连云港·期末)近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【答案】(1)实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费， (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义； （2）变形得，再利用基本不等式即可； （3）由题意得到不等式，解出即可. 【详解】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费． 即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费． 当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得： ，则， . （2）， ， 当且仅当，即等号成立，的最小值为. （3）由题可知． 即，解得， 即的取值范围为. 27．(21-22高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先判断出，，，把不等式化为，即可解得； （2）构造基本不等式，求出的最小值. 【详解】（1）由题设知且的两根为， 所以，，可得：， 可化为：，解得：， 所以不等式的解集为 （2），且 所以 当且仅当即，取“=” 所以的最小值为6. 地 城 考点03 基本不等式 一、单选题 28．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 所以， 解得，当且仅当时，即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 29．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得，再利用重要不等式即可求的最大值，进而得周长的最大值. 【详解】 如图所示，在直角中，两直角边长为，斜边长为，则. 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，则， 所以直角的周长， 即这个直角三角形周长的最大值等于. 故选：C. 30．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可知， 由可得， 即， 因为，则，故， 因为，则， 所以， ， 因为，函数、在上单调递减， 故函数在上单调递减，当时，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 31．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项分析计算判断. 【详解】正实数a，b满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：D 32．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知正数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求出原式的最大值即可. 【详解】原式，当且仅当，即时，等号成立，取得最大值. 故选：A 33．(24-25高一上·江苏南通·期末)用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，列出面积的关系式，再利用基本不等式求解得出结论. 【详解】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，菜地的面积为平方米， 则，即，则，， 由基本不等式得， 当且仅当即时，取得最大面积， 所以当有缺口的一边的篱笆长为米时，菜地的面积最大. 故选：C 34．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．4 D．4 【答案】B 【分析】求出，得到，由基本不等式求出面积最大值. 【详解】由题意得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故此三角形面积最大值为12. 故选：B 35．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（    ） A．函数无最值 B．只有最大值为 C．只有最小值为 D．最小值，最大值为 【答案】B 【分析】令，，利用奇偶性得到关于、的方程组，求出的解析式，再利用基本不等式计算可得. 【详解】令，， 则为奇函数，为偶函数， 所以，， 解得， 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以只有最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的奇偶性得到关于、的方程组，从而求出的解析式. 二、多选题 36．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若实数，且满足，则的最小值为6 【答案】ACD 【分析】根据奇函数的性质可求得A，根据函数的单调性可判断B，根据基本不等式可求得最值，即可判断C，根据奇函数的性质以及基本不等式可求得D. 【详解】对于A，因为函数是奇函数，所以， 即，所以， 当时，满足是奇函数，所以选项A正确； 对于B，根据A可知，因为，所以，即， 设，则 ， 因为，所以，， ，那么，即， 所以在上单调递增， 由于且，所以，选项B错误； 对于C，当时，，根据基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 当时，，，根据， 当且仅当即时，等号成立，所以， 综上函数的最大值为1，选项C正确； 对于D，因为是奇函数，， 则， 又，在上单调递增，所以，即， 则， 当且仅当即时，等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： （1）对于奇函数，如果在处有意义，则； （2）定义法判断函数的单调性，根据单调性判断函数值的大小； （3）运用基本不等式时一定要注意“一正二定三相等”. 37．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的判定方法即可判断A，根据函数单调性的判断方法即可判断B，根据基本不等式即可判断C，直接解不等式即可判断D. 【详解】对于选项A，定义域为，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，所以选项A正确； 对于选项B，设， 则 因为，所以，， 即，即， 所以在上单调递增，所以选项B正确； 对于选项C，当时，， 当时，， 即的值域为，所以选项C错误； 对于选项D， ，即，解得，则其解集为， 所以选项D正确. 故选：ABD. 38．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知x，y，z为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，得 ，当且仅当，即时陬等号，C正确； 对于D，由，得，则 ， 当且仅当，即取等号，而，因此，D正确. 故选：BCD 39．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 【答案】ABD 【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误； 【详解】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因，则在R上单调递增，又， 则，故C错误； 对于D，因，则在R上单调递减， 又注意到时，函数单调递增， 则 ，故D正确. 故选：ABD 40．(24-25高一上·江苏镇江·期末)下列函数最小值为2的有（   ） A． B． C．，且 D． 【答案】BCD 【分析】A B C根据基本不等式的性质求最值，D根据函数单调性求最值，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，，最小值不是2，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 且， ， ， ， ， 且， ，， . 当时，所以在单调递增，即，故D正确. 故选：BCD. 41．(22-23高一上·湖北武汉5G联合体·期末)已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及其变形式逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ACD. 42．(23-24高一上·江苏南通海安·期末)设定义在上的函数满足：①当时，；②，则（    ） A． B．为减函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令即可验算；对于B，令，则，结合已知以及单调性的定义即可判断；对于C，令即可判断；对于D，若要判断是否成立，只需判断是否成立，结合基本不等式以及单调性即可判断. 【详解】对于A，在中，令得，，解得，故A正确； 对于B，令，则，此时有，即，即为增函数，故B错误； 对于C，令得，，故C正确； 对于D，由基本不等式得，等号成立当且仅当， 由B选项分析可知为增函数， 所以，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：对于AC选项的判断比较常规，直接赋值即可，B选项的关键是结合已知以及单调性的定义，D选项的关键是分析得到，从而即可顺利得解. 43．(23-24高一上·江苏苏州·调研)已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可得，结合对数函数的性质可判断A；取可判断B；利用1的妙用和基本不等式可判断C；结合可得，从而，即可判断D． 【详解】对于A，因为当且仅当时取等号， 所以，A正确； 对于B，取 则，B错误； 对于C， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，因为 所以，D正确． 故选：ACD. 三、非选择题 44．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)若正实数x，y满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】将已知等式变形，得到，再由基本不等式求解即可； 【详解】因为，变形为， 令，该函数为R上的增函数，则， 可得，即， 所以，则，当且仅当， 即时取等号. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知等式变形后观察两边为对称形式，构造函数，利用单调性得到. 45．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由题意得到有相同的零点，即，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知，，当时，函数是增函数，函数是减函数， 所以函数有相同的零点， 否则，存在，与题意矛盾， 从而，即， 所以，等号成立当且仅当时成立， 综上所述，所求为8. 故答案为：8. 46．(24-25高一上·江苏连云港·期末)若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 47．(23-24高一上·辽宁沈阳辽宁实验中学·月考)已知正实数满足方程，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】通过构造函数，通过判断其单调性得到，再利用基本不等式求最值. 【详解】令， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又由得， 即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：通过构造函数，通过判断其单调性得到，是解决本题的关键. 48．(24-25高一·浙江强基联盟·)函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到 ，再由基本不等式计算可得. 【详解】函数的定义域为， 又， 则，因为， 所以 ， 所以，当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 49．(22-23高三上·山东百校大联考·)已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 50．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知，，． (1)若，试比较与的大小关系； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)，当且仅当，即时，等号成立 (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合幂函数单调性分析判断； （2）换元令，可得，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，可得，当且仅当时，等号成立， 又因为在内单调递减， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）由（1）可得， 因为，令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 51．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系： (1)当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； (2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间． 【答案】(1) (2)耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时 【分析】（1）由题意列不等式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可. （2）当时，利用基本不等式求解最小值，当时，利用二次函数性质求解最小值，然后比较即可求解. 【详解】（1）当时，， 由题意得，， 即，解得， 又，所以的取值范围为． （2）由题意得，设设备一天的耗电总量为 ， ①当时，， 当且仅当，即时，等号成立； ②当时，， 当时取得最小值15； 因为，所以最小值为． 答：设备一天的耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时． 52．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【详解】（1）当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. （2）当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 53．(24-25高一上·江苏南通·期末)对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求证：为定值； (3)若函数具有性质，求的最小值. 【答案】(1)不具有解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义计算即可得； （3）结合所给定义计算，然后利用基本不等式求出最值即可 【详解】（1）假设函数具有性质， 且的定义域为， 又满足存在，对任意的，都有， 所以， 又，所以满足，此方程无解， 所以数不具有性质 （2）若函数具有性质，且函数定义域为， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以，故为定值， （3）因为函数具有性质， 定义域为，所以， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以， 即， 所以， 令，所以或， 又，所以，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 54．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 【答案】(1) (2) (3)当为平方米时，取得最小值，最小值是万元 【分析】（1）由可得出关于的等式，即可解得的值； （2）分、两种情况讨论，根据可得出函数的解析式； （3）求出函数在、时的最小值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）依题意得，，所以，解得，故的值为. （2）依题意可知，又由（1）得，， 当时， ， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以； 又，故. 答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元. 55．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设为实数，已知函数. (1)若是上的单调函数，求的取值范围； (2)已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在 ，使得成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②14. 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围； （2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解. 【详解】（1）因为是上的单调函数， 所以在上是单调函数， 所以在上是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以，解得. 所以满足题意的的取值范围为. （2）当时，， ①时，；时，， 因为， 所以的最小值为； ②由题，且，所以， 又时，， ， 所以对任意，不存在，使得，不符合题意， 所以， 所以， 因为对任意，都存在 ，使得成立， 所以，故， 所以，当且仅当 即时取等号， 所以的最小值为14. 【点睛】关键点点睛：第（2）问解题的关键是将问题转化为两集合的包含关系，从而得. 56．(24-25高一上·江苏盐城·期末)现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和m，，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. (1)求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值； (3)若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 【答案】(1)，. (2)养殖面积的最小值为，及此时的. (3) 【分析】（1）过点作垂直于，垂直点为，求得，，即可求出，此时. （2）表示出，，所以，再由基本不等式即可求出养殖面积的最小值. （3）表示出两遮阳蓬面积和，由不等式“1”的代换即可得出答案. 【详解】（1）过点作垂直于，垂足为， 则，， 所以，， 所以，. （2），， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等， 所以养殖面积的最小值为，及此时的. （3）因为，， 设两遮阳蓬面积和为， 则 ， 当且仅当即时取等. 故两遮阳蓬面积和的最小值为. 57．(24-25高一上·江苏镇江·期末)（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 【答案】（1）4；（2）证明见解析； 【分析】（1）利用基本不等式计算可得结果； （2）利用作差法计算即可证明得出结论. 【详解】（1）易知，即可得, 解得，当且仅当时，等号成立， 此时的最小值为4； （2）因为， 所以 , 因此. 58．(24-25高一上·江苏镇江·期末)如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)m时，取得最小值1200. 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【详解】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次不等式 考点03 基本不等式 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 2．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江苏无锡·期末)设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 5．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)下列选项正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 7．(24-25高一上·江苏镇江·期末)下列不等式成立的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．(24-25高一上·江苏苏州·期末)若，，则（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)（多选）若实数满足则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知实数满足且，则下列说法正确的有（   ） A．若，则对任意实数， B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是 11．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)设，，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 12．(21-22高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 13．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·江苏苏州·期末)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 16．(22-23高三上·江苏百校联考·)已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．8 17．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知不等式的解集为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 18．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（    ） A．16 B．18 C．24 D．27 19．(24-25高一上·江苏镇江·期末)已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 20．(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、非选择题 21．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ． 22．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)若关于的不等式的解集为，且．则的取值范围为 ，的最小值是 ． 23．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数． (1)若的解集为，求a，b的值； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 24．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 25．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 26．(24-25高一上·江苏连云港·期末)近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 27．(21-22高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若，且，求的最小值. 地 城 考点03 基本不等式 一、单选题 28．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 29．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 30．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 32．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知正数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 33．(24-25高一上·江苏南通·期末)用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（    ） A． B． C． D． 34．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．4 D．4 35．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（    ） A．函数无最值 B．只有最大值为 C．只有最小值为 D．最小值，最大值为 二、多选题 36．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若实数，且满足，则的最小值为6 37．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 38．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知x，y，z为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 40．(24-25高一上·江苏镇江·期末)下列函数最小值为2的有（   ） A． B． C．，且 D． 41．(22-23高一上·湖北武汉5G联合体·期末)已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 42．(23-24高一上·江苏南通海安·期末)设定义在上的函数满足：①当时，；②，则（    ） A． B．为减函数 C． D． 43．(23-24高一上·江苏苏州·调研)已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 44．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)若正实数x，y满足，则的最小值 ． 45．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为 . 46．(24-25高一上·江苏连云港·期末)若，，且，则的最小值为 . 47．(23-24高一上·辽宁沈阳辽宁实验中学·月考)已知正实数满足方程，则的最小值为 ． 48．(24-25高一·浙江强基联盟·)函数，若，则的最小值为 . 49．(22-23高三上·山东百校大联考·)已知正实数，满足，则的最小值为 . 50．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知，，． (1)若，试比较与的大小关系； (2)当时，求的最小值． 51．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系： (1)当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； (2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间． 52．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 53．(24-25高一上·江苏南通·期末)对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求证：为定值； (3)若函数具有性质，求的最小值. 54．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 55．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设为实数，已知函数. (1)若是上的单调函数，求的取值范围； (2)已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在 ，使得成立，求的最小值. 56．(24-25高一上·江苏盐城·期末)现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和m，，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. (1)求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值； (3)若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 57．(24-25高一上·江苏镇江·期末)（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 58．(24-25高一上·江苏镇江·期末)如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $