专题04 基本不等式10大重点题型（举一反三期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题04 基本不等式10大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 由基本不等式比较大小 1．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【解答过程】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，：，：，则是成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】B 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【解答过程】由，得，则， 取，，，显然成立，而， 因此成立，不一定成立，所以是成立的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【解题思路】利用基本不等式即可比较, 【解答过程】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为：. 4．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 【答案】(1)大于，理由见解析； (2)，理由见解析. 【解题思路】（1）设出天平左右两臂长，及两次放的黄金克数，利用杠杆平衡原理及基本不等式计算即得. （2）设出第三次放的黄金克数，利用（1）的信息结合基本不等式计算得解. 【解答过程】（1）设天平左臂长为，右臂长为，第一次放的黄金为，第二次为， 则，，两式相除可得，，化简得， 于是顾客所得黄金为，当且仅当时取等号， 又，若，则；若，则，即，有， 所以顾客购得的黄金大于. （2）设第三次放的黄金为，则，而，则有， 因此三次黄金质量总和为， 当且仅当，，时取到等号， 所以当时，三次黄金质量总和最小. 5．（24-25高一上·四川德阳·期中）问题：正实数，满足，求的最小值.其中一种解法是： ，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 【答案】(1) (2)，当且仅当且同号时，等号成立. 【解题思路】（1）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值； （2）由“1”的妙用得到，其中，从而得到，并得到等号取到的条件. 【解答过程】（1）正实数，满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为； （2）， 而，当且仅当时，等号成立， 所以， 故，当且仅当且同号时，等号成立. 题型2 基本不等式链的应用 6．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【解答过程】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 7．（24-25高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【解题思路】利用特殊值法可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；取、均为负数，可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：D. 8．（24-25高一·全国·课后作业）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立 【答案】D 【解题思路】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论． 【解答过程】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则， 在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立． 故选：D． 9．（24-25高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，当时，，所以B选项错误. C选项，当时，，所以C选项错误. D选项，当时，，不成立，所以D选项错误. 故选：A. 10．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由可得． 【解答过程】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 题型3 基本不等式求积的最大值 11．（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】由，然后利用基本不等式求最大值． 【解答过程】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 12．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式求解积的最值. 【解答过程】根据基本不等式，解得，所以，所以， 当且仅当时等号成立，此时的值为1. 故选：C. 13．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】 【解题思路】根据基本不等式可求的最大值. 【解答过程】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 14．（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）方法一：利用基本不等式得到，求出；方法二：由得到，，求出的最大值为； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【解答过程】（1）方法一：∵，，， ∴，当且仅当，即，时等号成立， ∴，∴，的最大值为； 方法二：，解得， ，， 当时，的最大值为，此时； （2）∵， 又∵，，∴，， ∴，当且仅当时等号成立， ∵，∴，，∴， ∴当，时，的最小值为9． 15．（24-25高一上·海南·期中）（1）若 ，求 的最大值； （2）已知 ，求 的最小值． 【答案】（1）1； （2）6． 【解题思路】（1）由基本不等式求积的最大值； （2）运用常数分离法将所求式化简，利用基本不等式求和的最小值． 【解答过程】（1）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． （2）当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6． 题型4 基本不等式求和的最小值 16．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 17．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，且，求的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【解题思路】构造，结合基本不等式可求最小值. 【解答过程】因为，且，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，的最小值为. 故选：B. 18．（24-25高一上·浙江·期中）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】先由题意得，再根据基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，，， 所以且，， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 19．（24-25高一上·广东广州·期中）回答下列问题 (1)当时，求的最小值 (2)若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）构造均值不等式求解即可； （2）由可得，利用均值不等式求解即可. 【解答过程】（1）由题意可得， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，且， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 20．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【解答过程】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 题型5 二次与二次（或一次）的商式的最值 21．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【解答过程】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 22．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对变形后，利用基本不等式求解. 【解答过程】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 23．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【解题思路】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【解答过程】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 24．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，     （2）6， 【解题思路】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 25．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型6 条件等式求最值 26．（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【解答过程】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 27．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解题思路】算式中的2改写为，得，利用基本不等式求最小值即可. 【解答过程】正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 28．（24-25高一上·天津西青·期中）已知、为正实数，且，则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【解答过程】因为、为正实数，由基本不等式可得， 即， 因为，所以，，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 29．（24-25高一上·四川巴中·期中）已知 (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得范围，再分析等号取到条件即可； （2）将条件等式转化为积为定值的形式，再结合整体元，利用基本不等式求解最值可得. 【解答过程】（1）由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. （2）由， 得，且， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 30．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）用表示得，再代入问题代数式化简，最后根据基本不等式即可求出最值； （2）计算得，再令，再利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】（1）由，得. 因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. （2）由，得，即. 令，则（当且仅当，即时取等号）. 由，得，故. 整理得，解得或. 又由，得（当且仅当，时取等号）， 故的最小值为. 题型7 基本不等式“1”的妙用求最值 31．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【解题思路】利用乘“1”法即可求出最值. 【解答过程】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 32．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故选：D. 33．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【解题思路】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【解答过程】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35. 34．（24-25高一上·广西·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【解题思路】（1）直接利用基本不等式即可求解， （2）利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以，解得， 则的最大值是4． （2）因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是. 35．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知正实数满足：. (1)求的最大值； (2)求的最小值； 【答案】(1) (2)25 【解题思路】（1）直接利用基本不等式即可求得答案； （2）利用“1”的巧用，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为正实数满足：，故， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为； （2）正实数满足：， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为25. 题型8 基本不等式的恒成立问题 36．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【解答过程】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 37．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 38．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由已知条件可得：，因不等式恒成立，则需恒成立，则需要，利用“1的妙用”，求出的最小值，即可得到的取值范围. 【解答过程】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 39．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 40．（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【解题思路】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 题型9 利用基本不等式证明不等式 41．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【解题思路】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【解答过程】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 42．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式放缩求解； （2）把不等式右边的式子变形为， 再利用“1”的代换，凑出积为定值，从而求得最小值． 【解答过程】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 43．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【解答过程】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 44．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解题思路】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【解答过程】（1）由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 45．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，最小值为 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可得，不等式相加即可完成证明； （2）先证明不等式，然后根据可证明，再将原式变形为结合证明的结论可计算出最小值； （3）先通过换元令，然后将不等式左边各部分利用基本不等式可变形为，相加即可完成证明，注意等号不可取. 【解答过程】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明： ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故不等式成立； 当且仅当，即时，等号成立，. （3）证明：令，则， 由基本不等式得，， 同理可得， 左右相加得， 当且仅当时取“=”，显然不存在这种情况， . 题型10 基本不等式的实际应用 46．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【解题思路】利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】设矩形菜园的宽为 ，长 ，则，且，. 因为 （当且仅当，时取“”）. 故选：D. 47．（24-25高一上·河南南阳·期中）制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（    ） A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m 【答案】C 【解题思路】设一条直角边为，由面积和勾股定理求出另外两条边，再结合基本不等式求周长最小值即可； 【解答过程】设一条直角边为，由于面积为1，所以另一条直角边为， 所以斜边长为， 所以周长为， 当且仅当且，即时取等号， 所以较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为5m， 故选：C. 48．（24-25高一上·浙江温州·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 【答案】 【解题思路】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，根据题意可得出矩形广告的总面积关于的函数关系式，结合基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为， 所以，矩形广告的总面积为 ， 当且仅当时，即当时，取最小值. 故答案为：. 49．（24-25高一上·上海普陀·期中）某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为 【解题思路】（1）根据已知条件求得关于的关系式，并给出的取值范围. （2）利用基本不等式求得的最大值. 【解答过程】（1）依题意，，，得， ，而，所以. ，， （2）由（1）得， 所以 ， 当且仅当，时等号成立. 所以当时，取得最大值为. 50．（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【答案】(1)； (2)矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为. 【解题思路】（1）设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为，可得种植蔬菜矩形的宽为，再根据矩形的面积公式即可得答案； （2）利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）解：设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为， 则矩形温室的宽为,种植蔬菜矩形的长为，宽为， 所以； （2）解：因为， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 即当矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 基本不等式10大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 由基本不等式比较大小 1．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，：，：，则是成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 4．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 5．（24-25高一上·四川德阳·期中）问题：正实数，满足，求的最小值.其中一种解法是： ，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 题型2 基本不等式链的应用 6．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 7．（24-25高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 8．（24-25高一·全国·课后作业）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立 9．（24-25高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 10．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 题型3 基本不等式求积的最大值 11．（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 12．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 13．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 14．（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 15．（24-25高一上·海南·期中）（1）若 ，求 的最大值； （2）已知 ，求 的最小值． 题型4 基本不等式求和的最小值 16．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，且，求的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 18．（24-25高一上·浙江·期中）已知，，，则的最小值为 ． 19．（24-25高一上·广东广州·期中）回答下列问题 (1)当时，求的最小值 (2)若，且，求的最小值． 20．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 题型5 二次与二次（或一次）的商式的最值 21．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 24．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 25．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 题型6 条件等式求最值 26．（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 27．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 28．（24-25高一上·天津西青·期中）已知、为正实数，且，则的最小值是 . 29．（24-25高一上·四川巴中·期中）已知 (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 30．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 题型7 基本不等式“1”的妙用求最值 31．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 32．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 34．（24-25高一上·广西·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 35．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知正实数满足：. (1)求的最大值； (2)求的最小值； 题型8 基本不等式的恒成立问题 36．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 37．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 39．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 40．（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 题型9 利用基本不等式证明不等式 41．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 42．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 43．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 44．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 45．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 题型10 基本不等式的实际应用 46．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 47．（24-25高一上·河南南阳·期中）制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（    ） A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m 48．（24-25高一上·浙江温州·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 49．（24-25高一上·上海普陀·期中）某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 50．（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $