专题02 基本不等式求最值等七类题型（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

专题02 基本不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直接法求最值 1 题型二、拼凑法求最值（常考点） 3 题型三、常数“1”的妙用（重点） 5 题型四、二次（一次）的商式求最值 7 题型五、消元法求最值 9 题型六、换元法求最值 12 题型七、基本不等式与恒（能）成立问题（难点） 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直接法求最值 1．已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 3．的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．已知函数，则最小值为（    ） A．2 B．5 C． D． 题型二、拼凑法求最值（常考点） 6．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最大值为 ． 9．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ．. 10．已知，求的最大值； 题型三、常数“1”的妙用（重点） 11．已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．已知正数x、y满足，不等式恒成立.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知，，且，则的最小值是 . 14．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 15．已知正实数满足：. (1)求的最大值； (2)求的最小值； 题型四、二次（一次）的商式求最值 16．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 17．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 18．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 19．若存在，使成立，则的取值范围是 . 20．求下列函数的最小值 （1）； （2）. 题型五、消元法求最值 21．若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 22．已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 23．已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 24．已知，且是方程的一个根，则的最小值是（   ） A． B．4 C．2 D．8 25．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 27．已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 题型六、换元法求最值 28．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 30．若正实数，满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 31．已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 32．已知实数，满足，，且，则的最大值为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 题型七、基本不等式与恒（能）成立问题 33．若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 34．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 35．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 36．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 37．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 38．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 3．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（多选）（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 5．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知x，y，z为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 7．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 8．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 9．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直接法求最值 1 题型二、拼凑法求最值（常考点） 3 题型三、常数“1”的妙用（重点） 5 题型四、二次（一次）的商式求最值 7 题型五、消元法求最值 9 题型六、换元法求最值 12 题型七、基本不等式与恒（能）成立问题（难点） 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直接法求最值 1．已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 2．已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 3．的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 4．函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据基本不等式直接求最值即可. 【详解】由题：, 当且仅当时取等号，所以的最小值为9， 故选：D. 5．已知函数，则最小值为（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，求得，进而求得函数的最小值，得到答案. 【详解】因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：D. 题型二、拼凑法求最值（常考点） 6．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 7．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 8．已知，且，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】方法1，由基本不等式可得最大值；方法2，由，可得，代入可得，然后由二次函数性质可得答案. 【详解】方法1，由，得，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为25； 方法2，因为，所以，则 ， 又因为，则结合二次函数图象可知当时，取到最大值25，即的最大值为25． 故答案为：25 9．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【分析】利用基本不等式结合配凑法计算即可得. 【详解】由，则， ， 当且仅当，即时取等号，即的最大值是1； ， 当且仅当，即时取等号， 即的最大值是． 故答案为：1；. 10．已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． 题型三、常数“1”的妙用（重点） 11．已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件化为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，均为正实数，，均为正实数，且， 则， 整理得：，因为，， 所以， 即，当且仅当时，即时，等号成立. 故选：C 12．已知正数x、y满足，不等式恒成立.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立，所以， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 13．已知，，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 14．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简可得，再变换形式利用基本不等式求解即可. 【详解】即，恒成立. 又 . 当且仅当，即，时取等号，故 故答案为： 15．已知正实数满足：. (1)求的最大值； (2)求的最小值； 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得答案； （2）利用“1”的巧用，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为正实数满足：，故， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为； （2）正实数满足：， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为25. 题型四、二次（一次）的商式求最值 16．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 17．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 18．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 19．若存在，使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： 20．求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【答案】（1）3；（2）10. 【分析】（1）化简整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. （2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取等号） 的最小值为3； （2）令，则， 当且仅当即t=3时取等号 y的最小值为10 题型五、消元法求最值 21．若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 22．已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据已知得，进而有，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设且，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值是0. 故选：A 23．已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 故选：C. 24．已知，且是方程的一个根，则的最小值是（   ） A． B．4 C．2 D．8 【答案】D 【分析】根据是方程的一个根得到和的关系，求出，根据基本不等式求出的最小值. 【详解】由是方程的一个根可得， 即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值是8． 故选：D． 25．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 26．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 27．已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据条件等式有且，再应用基本不等式求最值. 【详解】由题设且，则， 所以 当且仅当即时取等号. 故选：C 题型六、换元法求最值 28．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 29．若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 30．若正实数，满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值． 【详解】∵正实数x，y满足，， ∴，当且仅当取等， 设 ，∴， ∴，即，，∴， 故的最小值为2. 故选：A． 31．已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 由得， 故 ， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9， 故选：B 32．已知实数，满足，，且，则的最大值为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由，变形为，设，利用基本不等式得到，进而化为求解. 【详解】解：由，变形为，设， ∵，当且仅当时，取等号，即， ∴，∴， 即，， ∴，∴， 此时，，即，时，的最大值为8. 故选：B. 题型七、基本不等式与恒（能）成立问题 33．若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将真命题转化为恒成立问题，结合基本不等式得出参数的最大值即可. 【详解】因为“，”是真命题， 所以恒成立， 所以， 因为，当且仅当时，的最小值为， 所以， 所以实数的最大值为. 故选：C. 34．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 35．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 【答案】． 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】因为，则， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以不等式有解，即，解得或， 故答案为：． 36．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由参变量分离法可得出恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】当时，， 由题意知，对任意，， 即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 即实数的取值范围为． 故答案为：． 37．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 38．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：. 3．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据，即可根据基本不等式求解. 【详解】由可得， 故， 由于故，当且仅当，即时取等号， 故，故的最小值为3， 故选：C 4．（多选）（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式判断A，根据“1”的变形，结合基本不等式判断B，根据A的判断，变形判断CD. 【详解】A. ，，，得，当时，等号成立，故A正确； B.，当，即时等号成立，故B正确； C.，第一个等号成立的条件是，由A可知，第二个等号成立的条件是，两个等号不能同时成立，所以，故C错误； D.由，即，， 由A可知，等号成立的条件为，故D正确. 故选：ABD 5．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知x，y，z为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，得 ，当且仅当，即时陬等号，C正确； 对于D，由，得，则 ， 当且仅当，即取等号，而，因此，D正确. 故选：BCD 6．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【详解】（1）当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. （2）当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 7．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)m时，取得最小值1200. 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【详解】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 8．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （3）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （2）， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （3）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 9．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)8 (2)12 【分析】（1）利用基本不等式即可求出最小值； （2）根据已知化简求出得，再变形化简应用基本不等式计算. 【详解】（1）当时，由，则， 即，可得， 当且仅当，即，时取最小值8. （2）当时， 由， 由得， 则，   故可知当时，取得最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$