专题02 圆锥曲线（期末真题汇编，江西专用）高二数学上学期

专题02 圆锥曲线 8大高频考点概览 考点01 椭圆的定义及标准方程 考点02 椭圆的离心率 考点03 直线与椭圆的位置关系 考点04 双曲线的定义及标准方程 考点05 双曲线的离心率 考点06 直线与双曲线的位置关系 考点07 抛物线的定义与方程 考点08 直线与抛物线的位置关系 地 城 考点01 椭圆的定义及标准方程 1．(24-25高二上·江西·期末)设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．(23-24高二上·江西九江六校·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·南昌第二中学·期末)若方程表示椭圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江西吉安·期末)椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学日新班·期末)“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为 C．的周长为 D．存在点，使得为等边三角形 7．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末) （多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线 C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．曲线不能表示圆 8．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末) （多选）如图，设是正方体底面内一动点，若直线与直线所成角为，则动点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 9．(23-24高二上·江西宜春宜丰中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短半轴长为1，点在椭圆E上运动，且的面积最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)当点为椭圆的上顶点时，过点分别作直线，交椭圆E于M，N两点，设两直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 10．(23-24高二上·江西九江六校·期末)设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，． (1)求的值； (2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值． 地 城 考点02 椭圆的离心率 1．(24-25高二上·江西上饶·期末)椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末)如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（    ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）    A． B． C． D． 4．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)已知椭圆的右顶点为A，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)已知中心在坐标原点的椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，且，点为线段上靠近的四等分点.若对于线段上的任意一点，都有成立，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·江西临川第一中学·期末)已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点、，两曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末) （多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 8．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末)在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 9．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 10．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 11．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使得，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为 ． 12．(24-25高二上·南昌第二中学·期末)已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为 ． 地 城 考点03 直线与椭圆的位置关系 1．(24-25高二上·江西南昌·期末) （多选）已知A，B分别为椭圆：的左、右顶点，D为C的上顶点，为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E作轴，垂足为M，直线，分别与y轴交于点H，G，则下列结论正确的是（   ） A．若D是的中点，则 B．若M是C的左焦点，则G是的中点 C． D．若M是的中点，则 2．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期末)已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点. (1)求的方程： (2)过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：. 3．(24-25高二上·江西·期末)已知椭圆的左焦点为，过且斜率不为0的直线交于两点，过点分别作的垂线，交于两点.当的斜率不存在时，四边形的面积为6. (1)求的方程； (2)求的取值范围； (3)证明：. 4．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学日新班·期末)如图，一张圆形纸片的圆心为点E，F是圆内的一个定点，P是圆E上任意一点，把纸片折叠使得点F与P重合，折痕与直线PE相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹，记为曲线C．建立适当坐标系，点，纸片圆方程为，点在C上．    (1)求C的方程； (2)若点坐标为，过F且不与x轴重合的直线交C于A，B两点，设直线，与C的另一个交点分别为M，N，记直线的倾斜角分别为，，当取得最大值时，求直线AB的方程． 5．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，求直线的斜率． 6．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得． (1)求椭圆的标准方程； (2)判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论； (3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点． 7．(24-25高二上·南昌第二中学·期末)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为． (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个公共点． 8．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知为坐标原点，椭圆：的左顶点为A，右焦点为F，点B在C上，且，，直线与直线的斜率之比为3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F的直线，分别与C交于点D，E和点M，N，若P，Q分别为线段和的中点，当直线，的斜率之积为时，求的面积的最大值. 9．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)已知椭圆：()的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，上、下顶点分别是，，四边形的面积为，四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线：与圆：相切，与椭圆交于，两点，若的面积为，求由点，，，四点围成的四边形的面积． 10．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.    (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； (3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 11．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末)已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 12．(23-24高二上·江西临川第一中学·期末)已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值． 13．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 地 城 考点04 双曲线的定义及标准方程 1．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知，为双曲线的左，右焦点， O为坐标原点， M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（ ） A． B． C．2 D． 2．(23-24高二上·江西九江六校·期末)已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江西赣州·期末) （多选）已知A，B为双曲线的左、右顶点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2且焦点到渐近线的距离为为双曲线上不同于顶点的动点，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．直线与双曲线有两个交点 C．直线PA，PB的斜率之积为3 D．若，则的面积为 5．(23-24高二上·江西·期末) （多选）对于曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线C不可能是圆 B．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若曲线C为双曲线，则 6．(24-25高二上·江西上饶·期末) （多选）已知曲线．点，则以下说法正确的是（   ） A．曲线关于原点对称 B．曲线存在点，使得 C．直线与曲线没有交点 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，则 7．(24-25高二上·江西上饶·期末)如图所示，用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，平面与底面的交线，则该双曲线的两条渐近线所成角的正弦值为 ． 地 城 考点05 双曲线的离心率 1．(24-25高二上·江西九江·期末)已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有条 3．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（   ） A． B．2 C． D．8 4．(24-25高二上·江西景德镇·期末)离心率为的双曲线与直线交于两点，已知双曲线的焦点为，且与的周长之差的绝对值为2.若线段的中点为，则直线的方程为 . 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 6．(24-25高二上·江西抚州·期末)双曲线的离心率为2，求 . 7．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 地 城 考点06 直线与双曲线的位置关系 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 2．(23-24高二上·江西九江六校·期末)过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为 ． 3．(23-24高二上·江西部分学校·期末)已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 4．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. (1)若的斜率存在，求出斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求的取值范围. 5．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程. 6．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末)已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 7．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)已知，，动点满足， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，， （i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程； （ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由. 地 城 考点07 抛物线的定义与方程 1．(24-25高二上·江西九江·期末)已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二上·江西上饶·期末)抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·江西九江六校·期末)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江西吉安·期末)（多选）已知点在抛物线上，且，其中为抛物线的焦点，则（   ） A．抛物线的准线为 B．点的坐标为 C． D．过点作轴于点，则的面积为 5．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则 . 6．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为的圆与交于，两点，是该圆与抛物线的一个交点，.则 ． 7．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)四面体中，，其余棱长都为2，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则Q到BC的最大距离为 ． 地 城 考点08 直线与抛物线的位置关系 1．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为的圆与交于，两点，是该圆与抛物线的一个交点，.则 ． 3．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则 . 4．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知为坐标原点，抛物线经过点，直线经过点且与抛物线相交于A，B两点. (1)证明：为定值； (2)若，求直线的方程. 5．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 6．(23-24高二上·江西九江六校·期末)已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 试卷第1页，共3页 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线 8大高频考点概览 考点01 椭圆的定义及标准方程 考点02 椭圆的离心率 考点03 直线与椭圆的位置关系 考点04 双曲线的定义及标准方程 考点05 双曲线的离心率 考点06 直线与双曲线的位置关系 考点07 抛物线的定义与方程 考点08 直线与抛物线的位置关系 地 城 考点01 椭圆的定义及标准方程 1．(24-25高二上·江西·期末)设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 2．(23-24高二上·江西九江六校·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 3．(24-25高二上·南昌第二中学·期末)若方程表示椭圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合椭圆标准方程的特点，列不等式求的范围. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，且， 解得. 故选：D. 4．(24-25高二上·江西吉安·期末)椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，进而写出其坐标. 【详解】由题设，故椭圆的焦点在轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选：B 5．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学日新班·期末)“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先求方程表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项. 【详解】若方程表示椭圆，则 ，解得：，且， 所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 6．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为 C．的周长为 D．存在点，使得为等边三角形 【答案】AD 【分析】利用离心率公式可判断A选项；利用两点间的距离公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；当点为椭圆的短轴的端点时，求出三边边长，可判断D选项. 【详解】由椭圆，可得，，则， 对于选项A，椭圆的离心率，故A正确； 对于选项B，设点，则，且有，可得， 所以， ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，故B错误； 对于选项C，的周长为，故C错误； 对于选项D，当点为椭圆的短轴的端点时，可得，， 此时为等边三角形，故D正确． 故选：AD. 7．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末) （多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线 C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．曲线不能表示圆 【答案】BC 【分析】A，B项，求出的范围，即可判断曲线的形状；C项，求出为椭圆时的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D项，通过A选项即可得出结论. 【详解】由题意， 在曲线中， A项，当时，， 但当即时，曲线为圆，故A错误； B项，当时，，为双曲线，B正确； C项，若为椭圆，由A选项知，， 当时，， ∴长轴为， 当时， ∴长轴为，故C正确； D项，由A知当时，曲线为圆，D错误. 故选：BC. 8．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末) （多选）如图，设是正方体底面内一动点，若直线与直线所成角为，则动点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】ABC 【分析】根据向量的坐标运算即可求解轨迹方程为，根据的不同取值即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 设，， 则， 所以—① 由于，因此当时，①化简得，此时为抛物线， 当时，①化简得，故此时为双曲线， 当时，①化简得，故此时为椭圆， 若为圆，①化简得，则需要满足的系数相等，即，显然不成立，故不可能是圆， 故选：ABC 9．(23-24高二上·江西宜春宜丰中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短半轴长为1，点在椭圆E上运动，且的面积最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)当点为椭圆的上顶点时，过点分别作直线，交椭圆E于M，N两点，设两直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】 （1）用点的纵坐标表示出三角形面积，结合的范围求出半焦距c，进而求出即得. （2）设直线方程，与椭圆的方程联立，结合斜率坐标公式确定的关系，并验证直线的斜率不存在的情况即得. 【详解】（1）设点的纵坐标，椭圆的半焦距为c，当点不在x轴上时，， ，当且仅当时取等号，因此，， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，而， 由消去y并整理得：， ，设， 则，，， 由，得，解得， 由，得或，直线：过定点， 直线交椭圆于点， 直线的斜率满足， 所以当时，直线过定点. 【点睛】 思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 10．(23-24高二上·江西九江六校·期末)设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，． (1)求的值； (2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得点的横坐标，代入椭圆的方程，可得点的纵坐标的绝对值，求出，的表达式，由题意可得的值； （2）联立直线的方程与椭圆的方程，两个两根之和，求出的中点的坐标，由题意可得，由斜率之积为，整理可证得为定值． 【详解】（1）由椭圆的方程可得，，， 因为，则的横坐标为，代入到椭圆的方程可得， 即的纵坐标的绝对值为， 所以，， 因为，即，解得； （2）由（1）可得椭圆的方程为：， 设，， 联立，整理可得， 由，即， 所以，， 所以的中点， 因为的中垂线过，所以，即， 整理可得，即证明为定值，且定值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 地 城 考点02 椭圆的离心率 1．(24-25高二上·江西上饶·期末)椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义和的内切圆半径表示的面积，再结合点到直线的距离和线段表示的面积，列式可得关于的关系，再根据的取值范围可求离心率的取值范围. 【详解】如图： 因为的内切圆的面积是，所以的内切圆的半径为1. 结合椭圆的定义：. 由到直线：的距离为：，所以. 由 ， 又，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用两种方法表示的面积，得到的关系，再求离心率的取值范围. 2．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线焦点坐标，可得椭圆的半焦距，从而可得答案. 【详解】由抛物线方程可得抛物线的焦点 ， 因为椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合， 椭圆的半焦距 ，解得 . 椭圆的离心率 故选： 3．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末)如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（    ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设两球的球心分别为，设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，连接，连接交于点K，则根据题意易得，，再由，可得，从而可得，从而可得，，再根据椭圆离心率的定义，即可求解． 【详解】如图，设两球的球心分别为，    设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H， 连接，连接交于点K， ∵顶角为，，又两球的半径分别为1，4， ， ，， ，， ， 又， ∴，又， ∴，∴， ∴， ∴， ∴该椭圆的离心率为． 故选：C． 4．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)已知椭圆的右顶点为A，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意结合斜率关系可得，再结合以及离心率的定义分析求解. 【分析】由题意可知：，，，则的中点， 因为，整理得， 又因为，即，整理得， 所以椭圆的离心率为. 故选：D． 5．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)已知中心在坐标原点的椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，且，点为线段上靠近的四等分点.若对于线段上的任意一点，都有成立，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合极化恒等式得，从而得，结合椭圆定义可得在和中由余弦定理建立关系得离心率. 【详解】 取的中点，连接. 则有. 同理， 因此.所以， 取的中点，连接，则，由三线合一得， 设，故，解得， 则， 在和中，由余弦定理得，，解得， 故选：. 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 本题关键是在和中由余弦定理建立关系式，也可以在和中同样的方法求解. 6．(23-24高二上·江西临川第一中学·期末)已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点、，两曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，则，利用双曲线的定义和三角形三边关系求得，然后利用 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，则， 由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 又因为，即，解得，即， 所以， 故选：B． 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线离心率倒数和取值范围的计算，根据题意得出半焦距的取值范围是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 7．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末) （多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程求得，计算出离心率判断A，由椭圆定义判断B，结合椭圆定义求得焦点三角形面积判断C，利用基本不等式判断D． 【详解】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ， 解得，所以的面积为，故C正确； ∵， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴最小值为，故D正确． 故选：BCD． 8．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末)在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程求出即可求解离心率判断A，根据椭圆定义及勾股定理求解判断B，设点，求出点的横坐标及点的纵坐标，利用距离公式计算化简判断C，由的斜率关系，利用两点斜率公式及点在椭圆上列式求解点的坐标，然后利用两点距离公式求解判断D. 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项正确； 对于B选项，由， 可得，故B选项错误； 对于C选项，设点，有，又由， 直线的方程为，令，可得点的纵坐标为， 直线的方程为，令，可得点的横坐标为， 有 ，故C选项正确； 对于D选项，若，由直线的斜率为，有， 有，代入，有， 有，平方后有，代入， 有，有， 又由，有，可得， 可得，故D选项正确． 故选：ACD 9．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 【答案】ABD 【分析】运用椭圆与双曲线的定义、离心率、焦点三角形等知识，通过利用椭圆和双曲线的定义以及勾股定理求出相关量，再根据离心率的定义对各选项进行判断. 【详解】对于选项A，根据椭圆定义，已知，， 则，所以. 根据双曲线定义，则， 所以. 因为，根据勾股定理，将， 代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确.   对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义， 解得，. 因为，所以，即，化简得. 已知，设，，代入得，解得. 双曲线的离心率，故选项B正确.   对于选项C，由，则. 根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号， ，椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.   对于选项D，设的内切圆半径为. 根据三角形面积公式，. 又，，可得，，. ，. 设，的横坐标为，（，为，的横坐标）， 因为，，，所以轴，选项D正确. 故选：ABD. 10．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 【答案】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，利用正弦定理得到，再由椭圆的定义及双曲线的定义得到，结合得到，两边除以得到的方程，解得，再求出. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，， 由正弦定理得. ∵，∴，∴. ∵，，∴，∴. 又∵， 所以，两边除以并化简得， ∴或（舍去），则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 11．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使得，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义，分析几何关系，建立关于的等量关系，即可求解. 【详解】如图，设，延长OQ交于， 则为的中点，则为中点， ，又点在的平分线上，则， 故是等腰直角三角形， ， 即， 又，即， ，在中，，即， ， 即. 故答案为：. 12．(24-25高二上·南昌第二中学·期末)已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为 ． 【答案】0.02/ 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求离心率. 【详解】设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c， 由题意，得，，解得，， 所以这个椭圆的离心率． 故答案为：0.02 地 城 考点03 直线与椭圆的位置关系 1．(24-25高二上·江西南昌·期末) （多选）已知A，B分别为椭圆：的左、右顶点，D为C的上顶点，为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E作轴，垂足为M，直线，分别与y轴交于点H，G，则下列结论正确的是（   ） A．若D是的中点，则 B．若M是C的左焦点，则G是的中点 C． D．若M是的中点，则 【答案】AC 【分析】对A：求出直线的方程，与椭圆联立，求出点及的坐标，即可求解；对B：求出直线的方程，可得点的坐标，即可判断；对C：设，求出直线，的方程，求出点及的坐标，即可判断；对于D：利用三角形相似得，结合C选项，可得，即可求解. 【详解】由是的中点，则，又，则直线的方程为， 与联立可得，解得或， 将代入，可得，， 即，则，故，A正确. 若是的左焦点，则，直线的方程为. 令，得，所以.令，得， 即当时，是的中点，B错误. 设，直线，的斜率分别为，， 则，，. 直线，的方程分别为，， 分别令，可得，，所以，. ，C正确. 由∽得，由∽得， 可得. 因为是的中点，所以. 结合，可得， 所以，D错误. 故选：AC    2．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期末)已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点. (1)求的方程： (2)过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点求出即得. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【详解】（1）由椭圆：的离心率，得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：， 由消去，得， 设，显然， 则，， 所以 . 3．(24-25高二上·江西·期末)已知椭圆的左焦点为，过且斜率不为0的直线交于两点，过点分别作的垂线，交于两点.当的斜率不存在时，四边形的面积为6. (1)求的方程； (2)求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当的斜率不存在时，椭圆方程中，令，得坐标，则由四边形面积建立方程，结合解方程组可得； （2）设点，则，利用两点距离公式得求函数最值可得； （3）设相关各点坐标，结合（2）式，化斜为直，将所证结论转化为证明，再设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得关系进而消参，同样的方法处理，再利用直线方程分别化简可得相等关系. 【详解】（1）由题意可得，① 当的斜率不存在时，在椭圆方程中，令， 可得， 所以，由题意可知四边形为矩形， 则其面积 ，② 联立①②解得 故的方程为．    （2）设，因为点在椭圆上，且的斜率不为0， 则，且，所以， 则，由， 故． （3）设，且， 故，且. 由（2）可得，，同理有. 故要证，即证（）. 由题意直线斜率不为，则直线和的斜率存在， 设斜率为，则的方程为， 联立， 得， 即， 当时，由韦达定理得， 故； 当时，由韦达定理得，也适合上式； 故；同理可得. 所以代入（）式化简整理可得， （）左边； （）右边； ①当直线的斜率存在且不为时，的方程为， 故， 则，且， 则（）左边； （）右边； 故．    ②当的斜率不存在即时，则， 等式显然成立． 综上所述，得证． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是借助椭圆方程坐标代入，将化简为（利用椭圆第二定义也可得到），同理可化简，进而将所证结论转化为证明；二是联立直线与椭圆方程，应用韦达定理得到及的关系，进而代入消参、化简求证结论. 4．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学日新班·期末)如图，一张圆形纸片的圆心为点E，F是圆内的一个定点，P是圆E上任意一点，把纸片折叠使得点F与P重合，折痕与直线PE相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹，记为曲线C．建立适当坐标系，点，纸片圆方程为，点在C上．    (1)求C的方程； (2)若点坐标为，过F且不与x轴重合的直线交C于A，B两点，设直线，与C的另一个交点分别为M，N，记直线的倾斜角分别为，，当取得最大值时，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可判断轨迹形状，继而确定的值，即得答案； （2）讨论是否为直角，不为直角时，设直线的方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程，结合根与系数的关系式，求出坐标的表达式，从而化简得到的关系，利用两角差的正切公式，求出的表达式，分类讨论，结合基本不等式，求出符合题意的k的值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，以中点为原点O，以所在直线为x轴，以的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， F是圆内的一个定点，故圆的半径， 则, 故点Q的轨迹为以为焦点的椭圆，设椭圆方程为， 则其焦距为， 又点在C上，则， 故C的方程为； （2）当时，由椭圆对称性得； 当时，设直线的方程为， 设， 则，    当时，设直线的方程为，则， 联立，则， 由于直线过椭圆焦点，则必有，故 ， 则， 同理当时，设直线的方程为，则, 则， 故 ， 当时，，根据椭圆的对称性，不妨设， 则， ，满足， 同理当时，也满足， 故, 当时，， 当时， 且， 当且仅当，即时取得等号，此时取得最大值， 综上取得最大值时，，直线的方程为. 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的最值问题，综合性强，难度大，解答时要设直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系式，求出相关点的坐标，结合两角差的正切公式化简求解，解答的难点在于计算过程比较复杂，计算量大，并且都是关于字母参数的运算，因此需要十分细心. 5．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）由点在椭圆上及、椭圆的参数关系求椭圆方程； （2）由题意，设，联立椭圆及韦达定理和中点坐标求参数k，即可得直线方程. 【详解】（1）由题设，可得，则椭圆； （2）由题设，令，联立椭圆， 所以，整理得， 则，整理易得， 所以，可得，直线的斜率为1. 6．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得． (1)求椭圆的标准方程； (2)判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论； (3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点． 【答案】(1) (2)相切，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意列出含的方程组解出即可. （2）设，由题意解出值，联立方程组求出只有唯一一组解即可. （3）设，由三点共线得出，设出直线方程，得到，直线方程和椭圆方程联立得出代入即可. 【详解】（1）由题意得，将代入椭圆方程得，联立方程组， 解得，所以椭圆的方程为. （2） 直线与椭圆相切. 理由如下： 设，由，得，解得， 此时，直线的方程为， 联立直线与椭圆:消得，，解得. 由方程组只有一组解，直线与椭圆相切． （3） 如图：设，由三点共线，得， 由三点共线，得， 得，又，得， 得， 即． 设直线的方程为， 即，① 联立直线与椭圆：， 消得， 则有，② 将②式代入①式，得，解得（舍）或. 直线经过定点． 【点睛】方法点睛：三点共线得出关系式，直线曲线联立完善关系式并得出结论是圆锥曲线的一种重要解题方法. 7．(24-25高二上·南昌第二中学·期末)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为． (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个公共点． 【答案】(1) (2)证明见解析． 【分析】（1）由四边形周长求得，再由面积求得，注意离心率的范围，从而得椭圆方程； （2）首先讨论当的情况，否则联立直线与椭圆的方程，结合直线的特点整理可得直线与椭圆有且只有一个交点． 【详解】（1）依题意，设椭圆的方程为，焦距为， 由题设条件知，，， ，， 所以，，或，（经检验不合题意舍去）， 故椭圆的方程为． （2）当时，由，可得， 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个公共点． 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个公共点． 当时，直线的方程为，联立方程组 消去，得．① 由点为曲线上一点，得，可得． 于是方程①可以化简为，解得， 将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个公共点， 综上，直线与曲线有且只有一个公共点，且交点为． 8．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知为坐标原点，椭圆：的左顶点为A，右焦点为F，点B在C上，且，，直线与直线的斜率之比为3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F的直线，分别与C交于点D，E和点M，N，若P，Q分别为线段和的中点，当直线，的斜率之积为时，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据对称性，设两直线的斜率，求出，再求出，，.再求出. （2）设直线的方程为，，，联立得，求出，再求出的中点为.再求出的面积. 【详解】（1）根据对称性，不妨设点在第一象限. 记直线与直线的斜率分别为，， ，. 由题意可得， 所以 ，解得，，. 故椭圆C的标准方程为. （2）显然直线，的斜率存在且不为0. 设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 则，，. 同理，，， 所以的中点为. 的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 【点睛】思路点睛： 圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 9．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)已知椭圆：()的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，上、下顶点分别是，，四边形的面积为，四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线：与圆：相切，与椭圆交于，两点，若的面积为，求由点，，，四点围成的四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意列式求，即可得结果； （2）根据切线可得，联立方程，根据面积关系利用韦达定理解得，进而可得结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，根据题意可得， 解得，，， 所以椭圆的方程是． （2）设，， 因为直线与圆：相切，则，可得， 联立方程，消去y得， 因为圆在椭圆的内部，所以恒成立， 则，， 可得 ， 所以的面积， 即，解得， 此时直线轴，即， 所以四边形的面积为．   . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 10．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.    (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； (3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在，2条； (3). 【分析】（1）根据焦距、离心率及参数关系求标准方程； （2）设直线为，，联立椭圆并应用韦达定理得，，根据及已知列方程求参数k，即可得答案. （3）设切线方程为，切线方程为，且，根据相切关系得到是的两个不相等实根，由韦达定理及椭圆有界性求范围. 【详解】（1）由题意，，得，故椭圆的标准方程为； （2）由（1）知：，显然直线不与轴重合， 设直线为，， 联立，得，显然， 所以，， 则， 圆半径为1，则，故， 所以（负值舍），即满足条件的直线有2条；    （3）设切线方程为，切线方程为，且， 圆与相切，则，化简得， 同理， 所以是的两个不相等实根，则， 又在椭圆上，故，则， 由存在，则，即， 所以. 11．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末)已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，运用离心率公式，结合方程求出c即可； （2）运用斜率公式计算即可； （3）直曲联立，运用韦达定理，计算化简即可. 【详解】（1）由题意知， ，， 椭圆的方程可写为，又椭圆过点 故，得， 则椭圆C的方程为. （2）在椭圆中，左、右顶点分别为，， 设点，则，故 ，为定值． （3）设，，易知直线的斜率不为， 设其方程为， 联立，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 12．(23-24高二上·江西临川第一中学·期末)已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值． 【答案】（1）（2）存在，，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）设椭圆的焦距为，根据的面积计算出，可设椭圆的标准方程为，再将点的坐标代入椭圆的标准方程，求出的值由此可求出椭圆的方程； （2）设点，，，由，可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，代入，求出实数的值，即可求出定点的坐标； （3）设点，，，由题意得出，化简得出，可求出正数的值，从而得出结论. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为的面积为，所以，设椭圆的方程为， 将代入方程得，， 易知，所以，因此，椭圆的方程为； （2）存在这样的点为，下面证明： 设，，，所以要使得， 即    ①； 联立， 由韦达定理得，， 代入可将①化简为，要使得式子关于恒成立，即此时， 所以点； （3）设点，，， 因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的倍除以周长，所以，化简得， 故， 因为，代入得． 而，， 而，所以，即线段的长度为定值． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在某点满足条件以及椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于难题. 13．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 地 城 考点04 双曲线的定义及标准方程 1．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知，为双曲线的左，右焦点， O为坐标原点， M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合三角形余弦定理及面积公式列式计算得解. 【详解】双曲线的焦点，， 在中，由余弦定理， 得， 即，解得，又， 令M到x轴的距离为，则， 即，解得，所以M到x轴的距离为2. 故选：C. 2．(23-24高二上·江西九江六校·期末)已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的离心率，求出，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求解直线方程即可． 【详解】解：由得，所以双曲线的右焦点是， 经过第一、三象限的渐近线方程是， 于是所求的直线方程是，即． 故选：C． 3．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点距离公式及向量运算得，根据点线距离求出，由点在C的渐近线上得，. 【详解】由知，又，所以. 由，则为焦点F到渐近线即的距离， 所以，在中，， 由点在C的渐近线上，所以，即，所以， 所以C的方程为. 故选：A 4．(24-25高二上·江西赣州·期末) （多选）已知A，B为双曲线的左、右顶点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2且焦点到渐近线的距离为为双曲线上不同于顶点的动点，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．直线与双曲线有两个交点 C．直线PA，PB的斜率之积为3 D．若，则的面积为 【答案】AC 【分析】根据题意，得到焦点到渐近线的距离为，，求出双曲线方程判断A；根据直线与渐近线平行判断B；设，则，表示出，化简判断C；利用双曲线定义，余弦定理，面积公式求出的面积，判断D. 【详解】对于A，焦点坐标为，渐近线方程为，所以焦点到渐近线距离为， 又因为，所以，又因为离心率，所以， 所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，因为双曲线一条渐近线方程为，与直线平行， 所以直线与双曲线有一个交点，故B错误； 对于C，设，则，，， ，故C正确； 对于D，因为，所以， 解得， 所以，故D错误. 故选：AC. 5．(23-24高二上·江西·期末) （多选）对于曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线C不可能是圆 B．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若曲线C为双曲线，则 【答案】AD 【分析】A选项，令，无解，得到结论； B选项，令，无解，故B错误； C选项，当时，，不表示椭圆； D选项，根据曲线C为双曲线，列出不等式，求出. 【详解】变形为，令，无解，故曲线C不可能是圆，A正确； 变形为，令，解得：，故曲线C不能表示焦点在y轴上的双曲线，B错误； 变形为，当时，，不表示椭圆，故C错误； 若曲线C为双曲线，则，解得：，D正确. 故选：AD 6．(24-25高二上·江西上饶·期末) （多选）已知曲线．点，则以下说法正确的是（   ） A．曲线关于原点对称 B．曲线存在点，使得 C．直线与曲线没有交点 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，则 【答案】BCD 【分析】先分情况讨论画出曲线的草图，数形结合可判断A的真假；结合双曲线的定义可判断B的真假；结合双曲线渐近线的概念可判断C的真假；结合点到直线的距离公式可判断D的真假. 【详解】先分析曲线： 若，，则，即，为双曲线的一部分； 若，，则，即，为椭圆的一部分； 若，，则，即，为双曲线的一部分； 若，，则，无解. 所以曲线如图： 对A：由图可知，曲线不关于原点对称，故A错误； 对B：当点在第一象限时，，为双曲线：的焦点，根据双曲线的定义可知：，故B正确； 对C：因为为第一象限图象（，）和第三象限图象（，）的渐近线，所以直线与曲线没有交点，故C正确； 对D：设为曲线上第三象限的点，则（，）. 点到直线与的距离之积为： ，故D正确. 【点睛】思路点睛：分段画出曲线，再数形结合，是解决问题的主要思路. 7．(24-25高二上·江西上饶·期末)如图所示，用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，平面与底面的交线，则该双曲线的两条渐近线所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】建系，根据圆锥的性质得到、的坐标，然后得到双曲线方程，即可得到渐近线方程，最后利用渐近线的倾斜角和斜率的关系求夹角. 【详解】设交于，以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点， 平行于圆锥的轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为圆锥的高，是中点，且截面垂直于底面， 所以，所以， 又因为底面圆半径， 所以，，所以， 设双曲线方程为， 将、代入双曲线方程得，解得， 则双曲线的两条渐近线方程为， 由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 设双曲线两渐近线所夹锐角为，则，解得. 所以双曲线两渐近线所夹锐角的正弦值为. 故答案为：. 地 城 考点05 双曲线的离心率 1．(24-25高二上·江西九江·期末)已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表达出，将其代入双曲线上，整理得到，计算出. 【详解】由对称性，知轴，，， 四边形是正方形，则，， 则，， 则在双曲线上， ，即， 即，化简整理得， 即，所以， 即，又，故， 解得或（舍去）. 故选：C． 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有条 【答案】C 【分析】设点，根据已知可求得曲线的方程即可得A；由曲线的方程即可得其离心率，即可得B；借助渐近线方程与点到直线距离公式计算可得C；联立曲线与直线方程计算可得表示，解出即可得D. 【详解】对A：设点，由已知得，整理得， 所以点的轨迹为曲线的方程为，故A错误； 对B：离心率，故B错误； 对C：圆的圆心到曲线的渐近线的距离为： ，又圆的半径为，故C正确； 对D：直线与曲线的方程联立， 整理得，设，， ，且，即， 有， 所以， 要满足，则需，即或（无解）， 解得，当，此时、分别为、， 而曲线为，所以没有满足条件的直线，故D错误. 故选：C. 3．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（   ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】先分别求得双曲线和双曲线的离心率，再根据其离心率相同求解. 【详解】解：因为双曲线， 所以，则，， 又双曲线， 所以，则， 因为双曲线与双曲线的离心率相同， 所以，解得，则， 故选：A 4．(24-25高二上·江西景德镇·期末)离心率为的双曲线与直线交于两点，已知双曲线的焦点为，且与的周长之差的绝对值为2.若线段的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的方程，再利用点差法求出直线的方程. 【详解】由的周长为，的周长为， 依题意，，即，由的离心率为，得的半焦距， 则，双曲线，设，则， 又，两式相减得， 于是，直线的斜率为1，方程为，即， 经验证直线与双曲线交于两点，所以直线的方程为. 故答案为： 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 【答案】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，利用正弦定理得到，再由椭圆的定义及双曲线的定义得到，结合得到，两边除以得到的方程，解得，再求出. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，， 由正弦定理得. ∵，∴，∴. ∵，，∴，∴. 又∵， 所以，两边除以并化简得， ∴或（舍去），则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 6．(24-25高二上·江西抚州·期末)双曲线的离心率为2，求 . 【答案】/ 【分析】根据双曲线的方程及离心率公式列方程求参数值即可. 【详解】由题设，易知，则，所以， 由，可得. 故答案为： 7．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定直角三角形的直角顶点位置，建立方程并结合双曲线定义求出，再借助相似三角形性质列式求解作答. 【详解】根据题意轴，所以为直角三角形，由有， 设，把代入有，所以，即， 由有，由， 即. 故答案为：. 地 城 考点06 直线与双曲线的位置关系 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，无实数解， 综上所述：符合题意的取值为， 故答案为：. 2．(23-24高二上·江西九江六校·期末)过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为 ． 【答案】/ 【分析】联立得到韦达定理，解方程，再检验即得解. 【详解】由题意可设l的方程为．联立消去y得，． 显然．设，，则，解得． 由得，显然不适合，适合． 故答案为： 3．(23-24高二上·江西部分学校·期末)已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意首先得，进一步由点差法得，由同理思想即可得解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．     故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 4．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. (1)若的斜率存在，求出斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得 ，再利用的单调性可得答案. 【详解】（1）由的渐近线方程为可得， 易知直线的斜率不为0，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线得，， 则 解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ； （3）由（2）可知，， 设直线与直线的方程分别为，， 联立两直线方程可得交点的横坐标为1， 故 . 当且仅当时等号成立， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法：（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 5．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据已知条件渐近线与直线垂直，右顶点到该条渐近线的距离为，列等量关系即可求得双曲线方程；(2)用点差法，设而不求，即可得到直线的斜率，进而求得方程. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得， 所以，双曲线的渐近线方程为，即， 因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以， 解得，所以，所以双曲线的方程为. （2）若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意， 设、，设直线的斜率为，则， 则，所以， 化简得. 因为线段的中点为，所以，， 所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率， 故过点的直线与双曲线有两个交点.所以直线的方程为. 6．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末)已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定，解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大. 7．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)已知，，动点满足， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，， （i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程； （ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析； （ii）存在点使成立，点横坐标为，理由见解析 【分析】（1）由双曲线的定义可求得双曲线的方程； （2）（i）联立直线方程与双曲线方程，由题意可得，进而可求得，结合，可得直线的方程，联立直线的方程可得点在定直线上；（ii）根据题意利用夹角公式得到关于的表达式，进而求得，从而可求得点的横坐标，由此得解. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线中靠近点的一支， 且，解得，所以， 所以双曲线的方程为； （2）（i）联立方程组，消去，得， 整理可得①， 因为直线与曲线相切，所以， 所以，所以， 将，代入①可得：， 解得，代入直线可得，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以直线的方程为， 联立方程组，所以， 所以，解得； 所以点在定直线上，该定直线方程为； （ii）由（i）可知，， 因为，所以，， 所以 ， 解得或，又因为不符合题意，所以（舍去）， 所以点横坐标为， 存在点使成立，此时点横坐标为， 【点睛】关键点点睛：第二问的第2小问的解决关键在于，利用夹角公式化简得关于的表达式，从而得解. 地 城 考点07 抛物线的定义与方程 1．(24-25高二上·江西九江·期末)已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【详解】根据抛物线的定义，可知，解得. 故选：B． 2．(24-25高二上·江西上饶·期末)抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程求焦点即可. 【详解】由抛物线的方程可得其焦点坐标为， 故选：D 3．(23-24高二上·江西九江六校·期末)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程求出准线方程. 【详解】解：抛物线的焦点在轴上，且开口向右，，， 抛物线的准线方程为． 故选：B． 4．(24-25高二上·江西吉安·期末)（多选）已知点在抛物线上，且，其中为抛物线的焦点，则（   ） A．抛物线的准线为 B．点的坐标为 C． D．过点作轴于点，则的面积为 【答案】AD 【分析】根据抛物线的定义得，进而得到准线、焦点判断A、B；将代入抛物线判断C；求出三角形面积判断D. 【详解】根据抛物线的定义知，，则， 所以抛物线的准线为，焦点，A对，B错； 将代入抛物线，得，C错； 由轴于点，则，故，所以的面积为 ，D对. 故选：AD 5．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则 . 【答案】2 【分析】根据题意可得点，再利用抛物线的定义即可得结果. 【详解】由题意得，设，的中点为，则. 因为以为直径的圆与轴相切于点， 则，即，解得，则， 所以 故答案为：2 6．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为的圆与交于，两点，是该圆与抛物线的一个交点，.则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义以及已知条件求得. 【详解】如图：由题意及抛物线定义，得， 为边长为的正三角形，设准线与轴交于点， 因为，，所以， 则. 故答案为： 7．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)四面体中，，其余棱长都为2，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则Q到BC的最大距离为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，则即可得到为二面角的平面角，从而求出，设到的距离为，即可推导出，点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在三角形内部（含边界）的一段弧，建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程与的方程，求出交点横坐标，即可得解. 【详解】四面体中，，其余棱长都为2， 取的中点，连接，，则，， 故为二面角的平面角， 因为等边三角形，，故， 故， 设到的距离为， 则， 化简得，， 故点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在三角形内部（含边界）的一段弧， 如图建立平面直角坐标系，则，，， 则抛物线的方程为， 直线的方程为：， 联立，得，解得或（舍去）， 故圆弧与的交点横坐标为， 则到的最大距离. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在三角形内部（含边界）的一段弧，再合理建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，从而求出交点横坐标. 地 城 考点08 直线与抛物线的位置关系 1．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 2．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为的圆与交于，两点，是该圆与抛物线的一个交点，.则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义以及已知条件求得. 【详解】如图：由题意及抛物线定义，得， 为边长为的正三角形，设准线与轴交于点， 因为，，所以， 则. 故答案为： 3．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则 . 【答案】2 【分析】根据题意可得点，再利用抛物线的定义即可得结果. 【详解】由题意得，设，的中点为，则. 因为以为直径的圆与轴相切于点， 则，即，解得，则， 所以 故答案为：2 4．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知为坐标原点，抛物线经过点，直线经过点且与抛物线相交于A，B两点. (1)证明：为定值； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）将点代入抛物线方程求，设直线的方程为，联立方程组结合根与系数关系求结论； （2）由条件可得，结合（1）解方程求，由此可得直线方程. 【详解】（1）由题意，得，即，则抛物线的方程为， 设直线的方程为：， 联立方程组得：，且， 由已知为方程的两个根， ， ， ， （2）因为， 由（1）知， ，解得， 直线的方程为或. 5．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值，得抛物线标准方程. （2）根据题意，设直线方程：，与抛物线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，根据韦达定理，可得，，再利用焦半径公式，表示出，化简整理即可. （3）先求出过两点的切线方程，再求两切线的交点，结合点到直线的距离公式，表示出与的面积之积，再结合二次函数的值域问题求最小值. 【详解】（1）由题意得，因为点在抛物线上，所以.∴， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）知：，显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，则 由抛物线的定义得：， 所以：， 即为定值1． （3）由 设直线，联立得： ∴，直线，即 同理求得直线， ，则， ∴到的距离， ∴与的面积之积， 当时，与的面积之积的最小值1. 【点睛】思路点睛：本题第二问考查抛物线中弦长的计算问题，常用的思路就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解. 6．(23-24高二上·江西九江六校·期末)已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设动圆圆心的坐标为，由题意可得，化简整理即可求得动圆圆心的轨迹的方程； （2）由两点的斜率公式，结合已知条件计算，即可得证． 【详解】（1）设动圆圆心的坐标为，则， 整理得，，故所求动圆圆心的轨迹的方程为． （2）证明：设，，则有，，， 直线的斜率为，所以， 于是 . 故直线，的倾斜角互补． 试卷第1页，共3页 63 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $