专题03 空间向量与立体几何（期末真题汇编，江西专用）高二数学上学期

专题03 空间向量与立体几何 5大高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量的坐标表示和运算 考点03 空间几何体 考点04 空间中的平行关系 考点05 空间中的垂直关系 地 城 考点01 空间向量的运算 1．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用空间向量的概念与运算、共面向量定理对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【详解】对于（1），A，B，C，D是空间任意四点， 则成立，（1）正确； 对于（2），若两个非零向量与满足，即， 则，（2）正确； 对于（3），因为空间任意两个向量共面，因此分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 这两个向量是共面向量，（3）错误； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C， 若xyz（x，y，）， 当且仅当时成立，则P，A，B，C四点共面，（4）正确， 所以正确命题的个数是3个． 故选：A 2．(24-25高二上·江西赣州·期末)如图，在四面体OABC中，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：A. 3．(24-25高二上·江西抚州·期末)如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：C. 4．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义用，，表示出. 【详解】如图，. 故选：C 5．(24-25高二上·江西南昌·期末)在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算可得，再结合数量积运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，，，则， 且，，则， 可得 ， 则 ， 所以，即. 故选：B. 6．(23-24高二上·江西九江六校·期末)若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得，由直线与平面的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，直线的方向向量为， 平面的法向量为，易得， 又直线在平面外，则有． 故选：B． 7．(24-25高二上·江西吉安·期末)如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设 ，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果. 【详解】设, 则 故, 故选：B 8．(23-24高二上·江西九江六校·期末)对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 9．(23-24高二上·江西萍乡·期末)（多选）如图，正方体边长为1，是线段的中点，是线段上的动点，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算可判断A；利用锥体的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法可判断C,D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，连接，因为且，故四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，平面， ，所以点到平面的距离等于点到平面的距离即， ， 三棱锥的体积为，故B错误； 对于C，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示， ,， 设，则， 设平面的法向量为， ，， 所以，即， 令，则，则， ，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D，， 设直线与直线所成角为， 因为，所以当时，， 当时，， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 10．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)若向量，，共面，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算即得. 【详解】由，，得不共线， 由共面，得，即， 则，解得， 所以. 故答案为：2 11．(23-24高二上·江西九江六校·期末)如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子； （2）根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长． 【详解】（1）连接，延长，交于， 由为的重心，得是边上的中线，且， 结合，得， 因为，所以，整理得， 因此，； （2）因为底面，，底面是边长为的正方形， 所以，，， 可得 ， 所以，即线段的长为． 地 城 考点02 空间向量的坐标表示和运算 1．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知向量，则（   ） A．10 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求值即可. 【详解】因为， . 所以 . 故选：C 2．(24-25高二上·江西九江·期末)在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】A 【分析】利用向量坐标表示，求出，，进而平面，再求出，利用锥体的体积公式即可求得结果. 【详解】，，， ，，即，，平面, 平面，又， ，即， ， 故选：A． 3．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 解得. 故选：D. 4．(24-25高二上·江西抚州·期末) （多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断A、B；应用向量坐标加法及模长的坐标运算列方程求参数判断C；由向量夹角的坐标表示求余弦值，进而确定正弦值判断D. 【详解】A：，则，可得，错； B：，则，可得，对； C：，可得或，错； D：，则，故，则，对. 故选：BD 5．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)已知向量，，则在方向上的投影向量坐标为 . 【答案】 【分析】利用投影向量公式结合坐标运算即可. 【详解】在方向上的投影向量是：， 故答案为：. 6．(24-25高二上·江西吉安·期末)在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题． (1)若，求的长度； (2)求点到平面距离的取值范围． 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，设且，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数m，即可得长度； （2）求出面的一个法向量，应用点面距离的向量求法求范围. 【详解】（1）构建如下图示的空间直角坐标系，则，设且， 则，，又， 则，可得， 所以的长度为1. （2）若是面的一个法向量，则， 令，则，而，故， 所以点到平面距离，， 所以，且，故. 7．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量 ，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)3； (3). 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得 （2）由（1）得，而量 ，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以 地 城 考点03 空间几何体 1．(24-25高二上·江西景德镇·期末)“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解. 【详解】依题意，所求容积为（）. 故选：A 2．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知正方体的体积为8，每条棱所在直线与过该正方体顶点的平面所成的角都相等，则平面截该正方体的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方体的结构特征，判断平面​所在的位置，再求得截面面积. 【详解】由相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 知在正方体中，由于三棱锥为正三棱锥， 平面与直线所成的角是相等的， 因此平面可以为平面，平面截该正方体的外接球所得截面即的外接圆， 由正方体的体积为8，得，正外接圆半径， 所以所求截面面积为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：确定平面的位置是求解本题的关键. 3．(24-25高二上·江西九江·期末)在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】A 【分析】利用向量坐标表示，求出，，进而平面，再求出，利用锥体的体积公式即可求得结果. 【详解】，，， ，，即，，平面, 平面，又， ，即， ， 故选：A． 4．(24-25高二上·江西上饶·期末)如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设的中点分别为，如下图： 易知，则，由为的中点，则，可得， 设三棱柱与三棱柱的体积分别为，则， 设水的体积为，则， 在图1中，设水形成的三棱柱的高为，则，解得. 故选：D. 5．(24-25高二上·江西景德镇·期末)如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】求出矩形的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案. 【详解】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为. 故选：D 6．(24-25高二上·江西景德镇·期末)圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线，进而求出圆锥的高. 【详解】由圆锥的底面半径为1，得侧面展开图半圆弧长为，因此该半圆半径为2， 即圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为. 故选：C 7．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末) （多选）点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】A选项，正方形的面积不变，P到平面的距离不变，由体积公式可知，体积为定值；B选项，与所成角即为与所成角，数形结合得到当P在端点A，时，所成角最小，最小角为，当P在中点时，所成角最大为，B正确；C选项，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，由可得，所以，当时，等号成立，C正确；D选项，分别考虑点在各个平面内的情况，得到轨迹长度，相加得到答案. 【详解】对于A，底面正方形的面积不变， 当P在平面上运动时，P到平面的距离不变， 即四棱锥的高为正方体棱长， 故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，因为，所以与所成角即为与所成角， 因为，所以为等边三角形， 显然，当P在端点A，时，所成角最小，最小角为， 当P在中点时，由三线合一可知，⊥，此时所成角最大为， 所以与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故平面的一个法向量为， 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，C正确. 对于D，因为直线与平面所成的角为， 若点在平面内，此时当与重合时，直线与平面所成角最大， 最大值为，其他位置均不合要求， 同理，若点在平面内，此时当与重合时， 直线与平面所成角最大，最大值为，其他位置不合要求， 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆，其弧长为， 故的轨迹长度为，故D错误； 故选：BC 【点睛】立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 8．(24-25高二上·江西抚州·期末)在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详解】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据球心的性质确定位置，并求出二面角的平面角的范围为关键. 9．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知一个圆柱的侧面积为，则该圆柱外接球的体积最小值为 . 【答案】/ 【分析】设出圆柱的底面半径与高，通过圆柱的侧面积求解高与底面半径的关系式，表示出外接球的半径，利用基本不等式即可得到的最小值,进而可得答案. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h， 因为圆柱的侧面积为，所以，得， 设圆柱外接球半径为R，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1，则的最小值为1， 所以外接球的体积V的最小值为． 故答案为：. 10．(24-25高二上·江西景德镇·期末)一个正四棱锥的底面周长为8，高为3，则该正四棱锥的体积为 . 【答案】4 【分析】根据正四棱锥的性质，求出底面边长，代入棱锥体积公式即可得到. 【详解】因为正四棱锥的底面周长为8 ， 所以正四棱锥的底面边长为2， 正四棱锥的底面积为 ， 因为正四棱锥的高为3， 正四棱锥的体积为 ， 故答案为：4 地 城 考点04 空间中的平行关系 1．(24-25高二上·江西景德镇·期末)在空间中，设为三条不同的直线，为三个不同的平面，下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在平面内，且，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理判断B；利用线面垂直的判定判断C；利用面面垂直的性质判断D. 【详解】对于A，由，得在平面内存在直线使得，而，则，又，因此，A正确； 对于B，令，在内取点作，而， 则，又，于是，而，因此，B正确； 对于C，在平面内，且，当时，不能推出，C错误； 对于D，由，得在平面内存在直线使得，而，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：C 2．(24-25高二上·江西景德镇·期末) （多选）如图，正方体的棱长为分别为的中点，点为平面内一点（包含边界），且平面，则下列结论正确的是（    ）    A．当时，四点共面 B．长度的最小值为 C．三棱锥的体积为定值 D．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定点的轨迹，再结合平行公理、锥体体积求法及线面角的求法逐项判断. 【详解】在正方体中，取的中点，连接， 由分别为的中点，得，平面，平面， 则平面，又，则四边形是平行四边形， ，平面，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 则平面，又平面，于是点的轨迹是线段， 对于A，当时，即点为中点，可得，四点共面，A正确； 对于B，在中，，的最小值为，B错误； 对于C，平面，平面，则平面，点到平面的距离为定值， 而的面积是定值，三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，平面，而，直线与平面所成角的正切值 ，D错误. 故选：AC   【点睛】 关键点点睛：求解本问题的关键是探求出点的轨迹. 3．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据线面位置关系判断即可. 【详解】选项A：若，则平行或异面，故A符合题意； 选项B：若，则，故B不符合题意； 选项C：若，则或，故C符合题意； 选项D：若则，又，故，故D不符合题意， 故选：AC 4．(24-25高二上·江西抚州·期末)如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．存在点，满足 D．三棱锥的体积不变 【答案】AD 【分析】根据已知易得为平行四边形，有，应用线面平行的判定判定A；由直线与面相交判断B；假设，即，令并应用勾股定理列方程求解判断C；首先证平面，再由棱锥的体积公式判断D. 【详解】由题设，易得是边长为2的正方形，且，， 又是的中点，则且，故为平行四边形， 所以，面，面，则平面，A对； 由上分析知，面即为面，显然直线与面相交，B错； 由，若，即， 令，则，， 而，则，即，显然无解，C错； 由，面，面，则平面， 又在线段上，故到面距离为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积不变，D对； 故选：AD 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ） A．直线与平面平行 B．直线与平面所成的角为 C．点与点到平面的距离之比为1：2 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】利用正方体的特征及面面平行的判定与性质可判定A；利用空间向量计算线面夹角即可判定B；根据相似三角形的性质转化点面距离比可判定C；根据平面的性质及梯形的面积公式可判定D. 【详解】如图所示： 对于A项：取中点，连接，， 在正方体中，，， 平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又平面， 所以平面平面， 平面，所以平面，故A正确； 对于D项：连接，易知，即四边形为所求截面， ， 之间的距离为， 所以截面的面积为，故D正确； 对于B项：如图所示，建立空间直角坐标系，易知， 则， 设平面的一个法向量， 所以，取，则，即， 设直线与平面所成的角为，则， 故B错误； 对于C项，如下图所示，连接，延长交于I， 易知，则， 所以点与点到平面的距离之比为1：2，故C正确； 故选：ACD 6．(24-25高二上·江西景德镇·期末)如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，设，连接，证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）由（1）已得，结合，可得菱形，即得，再由平面易得，最后由线线垂直推出线面垂直即可. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接. 因，，可得，则， 又，则得， 因平面，平面， 故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面. 7．(24-25高二上·江西抚州·期末)如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点. (1)证明：； (2)证明：平面与平面的交线平面； (3)若，二面角的正切值为2，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直即可得证； （2）利用线面平行的判定和性质定理来进行推理证明即可； （3）先把二面角的正切值转化为余弦值，再利用空间向量法来求解二面角的余弦值，从而得到方程求解边长，也可以利用空间关系来证明线面垂直，并作图证明二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1） 因为，，，平面， 所以平面，又因为平面，所以， （2）因为分别是的中点， 所以，因为平面，平面， 即平面，又因为平面，而平面平面， 所以，而平面，平面， 所以平面； （3）解法一：以A为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由（2）知，平面且平面，故平面平面， 平面PAB的法向量， 设，则，， ，则， 设平面法向量，则 ， 设二面角的平面角为，已知，所以， ， 解得：.（设也同样可以） 解法二：延长，过C作于点，连接，过P作于点 ，   面，， 为所成的二面角 设，二面角的正切值为2，则得 中，  为等腰直角三角形， ， 在中，，代入得， 解得：，. 8．(24-25高二上·江西景德镇·期末)如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直， . (1)求证：平面 平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段存在点，使得，求平面PBD与平面BDC的夹角余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明进而得出面面平行； （2）空间向量法应用点到平面距离公式计算； （3）应用空间向量法求出二面角余弦值即可. 【详解】（1）因为是正方形，所以平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 平面，所以平面 平面； （2） 正方形与直角梯形所在平面互相垂直,平面平面，，平面，所以平面， 取的中点，因为所以 以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为, 所以， 设平面的法向量 则， 取，得， 点到平面的距离为 （3）, ， 设平面的法向量 则， 取，得，     设平面的法向量 则， 取，得， 设平面PBD与平面BDC的夹角 . 9．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末)如图，在三棱锥中，已知平面平面，分别是棱的中点，，，三棱锥的体积为. (1)平面与平面的交线为，证明： (2)求直线与直线所成角的大小； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3). 【分析】（1）先证平面，根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求两直线所成的角. （3）用空间向量求平面与平面夹角的余弦. 【详解】（1）因为分别为中点，所以， 平面，平面，所以平面. 平面，平面平面，所以. 又，所以. （2）作于点， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 因为，所以， 以为原点，，所在直线分别为，轴，过点作平面的垂线向上为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设向量与的夹角为， 所以， 因为直线与直线所成角的取值范围是， 所以直线与直线所成角的大小为. （3）平面的一个法向量为， ， 设平面的法向量为， 则 所以，取， 故平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 10．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)如图：在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点满足， 求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线平行来证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用作图法来作出二面角的平面角，然后计算，也可以用空间向量法来求二面角； （3）利用等体积法来求点到平面的距离即可. 【详解】（1） 取中点，连接、，、分别为、的中点， 且 ， 与平行且相等，为 中点， 与平行且相等， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面，平面； （2）解法1： 在直三棱柱中，有，又因为， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作，垂足为点，连接， 平面，所以平面， 则为所求二面角的平面角的补角， 在 中 ，， 易求得，且， 则， 于是，   所以所求二面角的平面角的余弦值为 . 解法2： 直三棱柱 平面，又、平面，、 ， ，即， 、、两两垂直， 分别以 为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，则， ， 易知平面的法向量为 ， 设平面 的法向量为 ， 则，即 ， 令，则 ， 设二面角的平面角为 ， 则 ， 由图知为钝角，； （3） 由，得点为三等分点且，设点到平面的距离为，由等体积法： ，得， 解得， 点到平面的距离为 . 地 城 考点05 空间中的垂直关系 1．(24-25高二上·江西吉安·期末)如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点为，连接，易知是的平面角，根据已知构建合适的空间直角坐标系，再应用向量法求得直线和所成角的余弦值关于的表达式，即可求最大值. 【详解】取的中点为，连接，又， 所以，且，是的平面角， 由都在面内，故面，面内过作， 可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 由 ，则，且， 所以， 则， 当时，最大. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构建合适空间直角坐标系，并确定含参的点坐标为关键. 2．(24-25高二上·江西南昌·期末) （多选）如图，在八面体中，，，，均是边长为4的正三角形，且平面，，均垂直于底面，下列结论正确的是（   ） A． B．为正三角形 C．点到平面的距离为2 D．直线与直线所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理判断A；证明、，判断B；利用线面平行的性质求出点到平面的距离判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的余弦判断D. 【详解】取的中点，连接， 在正，正中，， 由平面平面，平面平面，平面，则平面， 同理平面，于是，四边形为平行四边形，，， 而，，因此，，A正确； 同理，，则，即为正三角形，B正确； 由，平面，平面，得平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 而点到平面的距离为，因此点到平面的距离为，C错误； 记的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，， ，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD 3．(24-25高二上·江西赣州·期末) （多选）在边长为2的正方体中，为线段AD上的中点，点在线段上运动，则下列选项正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．点在线段上运动时，的最小值为 C．存在点，使得平面PQC与平面在ABCD所成夹角为 D．当为的中点时，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用棱锥的体积公式即可判断；对于B，利用侧面展开图求解最值判断；对于C，找到线面角取到最大值时点Q的位置，求出此时线面角，即可判断；对于D，作出截面，求出面积，即可判断. 【详解】对于A，由于，而P点到平面的距离即为正方体的棱长， 的面积为，故为定值，A正确； 对于B，将平面展开为一个平面， 则的最小值即为，B错误； 对于C，过作，由于平面，平面，则， 平面，则平面，平面， 则,则即为平面PQC与平面在ABCD所成夹角， 当点在线段上运动，显然当与重合时，平面PQC与底面ABCD所成角最大， 在和中，， ∽，则 ， 故存在点，使得平面PQC与平面在ABCD所成角为，选项C正确； 对于D，如图取AB中点，连接，由题可得， 平面ABCD，连接BD， 平面ABCD，则， 又平面，则平面， 又取中点为，则，有四点共面， 则平面即为平面，设平面与交于， 又由两平面平行性质可知，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形，正方体棱长为2， 则，故截面面积为，D正确. 故选：ACD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于D的判断，解答时要利用几何体的结构特征，作出截面，从而求解其面积. 4．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)四面体中，，其余棱长都为2，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则Q到BC的最大距离为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，则即可得到为二面角的平面角，从而求出，设到的距离为，即可推导出，点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在三角形内部（含边界）的一段弧，建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程与的方程，求出交点横坐标，即可得解. 【详解】四面体中，，其余棱长都为2， 取的中点，连接，，则，， 故为二面角的平面角， 因为等边三角形，，故， 故， 设到的距离为， 则， 化简得，， 故点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在三角形内部（含边界）的一段弧， 如图建立平面直角坐标系，则，，， 则抛物线的方程为， 直线的方程为：， 联立，得，解得或（舍去）， 故圆弧与的交点横坐标为， 则到的最大距离. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在三角形内部（含边界）的一段弧，再合理建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，从而求出交点横坐标. 5．(24-25高二上·江西上饶·期末)在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】利用线面垂直的性质，结合空间向量数量积求出异面直线夹角的余弦. 【详解】在四棱锥中，由平面，平面， 得，， 在中，，，则，， 由为的中点，得， ， ，因此， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为： 6．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点. (1)当时；①证明：平面平面；②求二面角的余弦值； (2)求二面角的余弦值的最小值. 【答案】(1)①证明见详解；② (2) 【分析】（1）①由题设求证，即可由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得证；②建系标点，利用空间向量求二面角； （2）过P作于G，在平面中，过G作，设，，以G为原点建立适当的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量,即可由向量夹角公式，通过换元，利用二次函数的性质即可求得. 【详解】（1）在中，由，得， 所以，且，即， ①因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； ②以A为原点，分别为x轴和y轴，过A垂直与平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 由平面平面可知z轴包含于平面， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又因为平面的法向量为， 则， 且二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作， 因平面,则平面. 则由（1）， 设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以， 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 【点睛】方法点睛：求空间二面角常用方法： （1）定义法：根据定义作出二面角的平面角； （2）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角所成角的平面角； （3）向量坐标法：作几何体的空间直角坐标系，求出二面角的法向量，直接由公式计算即可； （4）射影面积法：求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积，再由射影面积公式计算求解. 7．(24-25高二上·江西赣州·期末)如图，四棱锥的底面是矩形，，是等边三角形，平面平面ABCD，O为AD的中点，在线段PC上且满足与BD相交于点. (1)求证：平面PBO； (2)求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：利用线面垂直的空间向量求法求解；法二：利用线面垂直的判定定理求证； （2）利用线面角的空间向量求法求解即可. 【详解】（1）法一：为正三角形，为AD中点，， 平面平面ABCD，交线为平面PAD， 平面ABCD， 由于EO和OD均在平面ABCD内， ， 四棱锥的底面是矩形，且为AD的中点，为AC的中点，两两垂直， 以为原点，OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐系， ， ， 设平面POB的法向量为，则，即， 令，得， 可知平面POB，即平面POB 法二：为正三角形，是AD中点， 平面平面ABCD，平面平面平面平面ABCD， 又平面四边形ABCD为矩形，为AD的中点， ，在和中，， ， ， 又PO，BO在平面POB内且相交，故平面PBO. （2）， ，设平面PCD法向量为， 则，即，取，得， 设直线EM与平面PCD所成角为， ， 直线EM与平面PCD所成角的正弦值 8．(23-24高二上·江西九江六校·期末)如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、． (1)证明：平面平面； (2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，，通过底面，证明，然后推出平面，即可证明平面平面； （2）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可求出正弦值． 【详解】（1）证明：在图中，，是的中点，， 而，，故为二面角的平面角， 又为直二面角，， 而平面，故平面， 而平面，，且，平面， 因此平面，又平面，平面平面. （2）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，所以，那么， 设平面的法向量， 由且，得，取，则， 设平面的一个法向量，， 则，即，令，则，所以， 于是， 所以二面角的正弦值为． 9．(21-22高二上·江西九江第一中学·期末)如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，Q为PB中点． (1)求证：平面平面PBC； (2)求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，可证，从而可利用面面垂直的判定定理可证平面平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值. 【详解】（1） 如图，取的中点为S，连接，因为为等边三角形，故，， 而平面平面ABCD，平面平面，平面， 故平面，而平面，故， 而，故， 因，故平面，因平面， 故，因，故平面， 而平面，故平面平面. （2）连接，因为，故四边形为平行四边形， 而，故四边形为矩形，所以， 由（1）可得平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以，， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 故， 故平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量与立体几何 5大高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量的坐标表示和运算 考点03 空间几何体 考点04 空间中的平行关系 考点05 空间中的垂直关系 地 城 考点01 空间向量的运算 1．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．(24-25高二上·江西赣州·期末)如图，在四面体OABC中，，则（   ）    A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西抚州·期末)如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西南昌·期末)在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D．2 6．(23-24高二上·江西九江六校·期末)若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 7．(24-25高二上·江西吉安·期末)如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设 ，则（   ） A．1 B． C． D． 8．(23-24高二上·江西九江六校·期末)对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．(23-24高二上·江西萍乡·期末)（多选）如图，正方体边长为1，是线段的中点，是线段上的动点，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 10．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)若向量，，共面，则 ． 11．(23-24高二上·江西九江六校·期末)如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 地 城 考点02 空间向量的坐标表示和运算 1．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知向量，则（   ） A．10 B．2 C．0 D． 2．(24-25高二上·江西九江·期末)在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 3．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 4．(24-25高二上·江西抚州·期末) （多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)已知向量，，则在方向上的投影向量坐标为 . 6．(24-25高二上·江西吉安·期末)在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题． (1)若，求的长度； (2)求点到平面距离的取值范围． 7．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量 ，求； (3)若，求的值. 地 城 考点03 空间几何体 1．(24-25高二上·江西景德镇·期末)“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知正方体的体积为8，每条棱所在直线与过该正方体顶点的平面所成的角都相等，则平面截该正方体的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西九江·期末)在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 4．(24-25高二上·江西上饶·期末)如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西景德镇·期末)如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 6．(24-25高二上·江西景德镇·期末)圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（    ） A．1 B． C． D．2 7．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末) （多选）点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 8．(24-25高二上·江西抚州·期末)在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 9．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知一个圆柱的侧面积为，则该圆柱外接球的体积最小值为 . 10．(24-25高二上·江西景德镇·期末)一个正四棱锥的底面周长为8，高为3，则该正四棱锥的体积为 . 地 城 考点04 空间中的平行关系 1．(24-25高二上·江西景德镇·期末)在空间中，设为三条不同的直线，为三个不同的平面，下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在平面内，且，则 D．若，则 2．(24-25高二上·江西景德镇·期末) （多选）如图，正方体的棱长为分别为的中点，点为平面内一点（包含边界），且平面，则下列结论正确的是（    ）    A．当时，四点共面 B．长度的最小值为 C．三棱锥的体积为定值 D．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 3．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．(24-25高二上·江西抚州·期末)如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．存在点，满足 D．三棱锥的体积不变 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ） A．直线与平面平行 B．直线与平面所成的角为 C．点与点到平面的距离之比为1：2 D．平面截正方体所得的截面面积为 6．(24-25高二上·江西景德镇·期末)如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 7．(24-25高二上·江西抚州·期末)如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点. (1)证明：； (2)证明：平面与平面的交线平面； (3)若，二面角的正切值为2，求的长. 8．(24-25高二上·江西景德镇·期末)如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直， . (1)求证：平面 平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段存在点，使得，求平面PBD与平面BDC的夹角余弦值. 9．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末)如图，在三棱锥中，已知平面平面，分别是棱的中点，，，三棱锥的体积为. (1)平面与平面的交线为，证明： (2)求直线与直线所成角的大小； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 10．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)如图：在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点满足， 求点到平面的距离. 地 城 考点05 空间中的垂直关系 1．(24-25高二上·江西吉安·期末)如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西南昌·期末) （多选）如图，在八面体中，，，，均是边长为4的正三角形，且平面，，均垂直于底面，下列结论正确的是（   ） A． B．为正三角形 C．点到平面的距离为2 D．直线与直线所成角的余弦值为 3．(24-25高二上·江西赣州·期末) （多选）在边长为2的正方体中，为线段AD上的中点，点在线段上运动，则下列选项正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．点在线段上运动时，的最小值为 C．存在点，使得平面PQC与平面在ABCD所成夹角为 D．当为的中点时，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 4．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)四面体中，，其余棱长都为2，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则Q到BC的最大距离为 ． 5．(24-25高二上·江西上饶·期末)在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ． 6．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点. (1)当时；①证明：平面平面；②求二面角的余弦值； (2)求二面角的余弦值的最小值. 7．(24-25高二上·江西赣州·期末)如图，四棱锥的底面是矩形，，是等边三角形，平面平面ABCD，O为AD的中点，在线段PC上且满足与BD相交于点. (1)求证：平面PBO； (2)求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 8．(23-24高二上·江西九江六校·期末)如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、． (1)证明：平面平面； (2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值． 9．(21-22高二上·江西九江第一中学·期末)如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，Q为PB中点． (1)求证：平面平面PBC； (2)求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值． 试卷第1页，共3页 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $