专题01 直线与圆（期末真题汇编，江西专用）高二数学上学期

专题01 直线与圆 5大高频考点概览 考点01 直线的方程 考点02 直线的交点坐标与距离公式 考点03 圆的方程 考点04 直线与圆的位置关系 考点05 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 直线的方程 1．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 2．(23-24高二上·江西九江六校·期末)已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的离心率，求出，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求解直线方程即可． 【详解】解：由得，所以双曲线的右焦点是， 经过第一、三象限的渐近线方程是， 于是所求的直线方程是，即． 故选：C． 3．(24-25高二上·江西赣州·期末)对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【详解】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 4．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知直线与直线平行，则（   ） A．1 B．3 C．1或 D．或3 【答案】C 【分析】根据一般式方程两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 经检验，当或时，均满足两条直线平行. 故选：C 5．(24-25高二上·江西九江·期末)已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【详解】依题意，得，解得， 故选：C． 6．(23-24高二上·江西九江六校·期末)（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解． 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 地 城 考点02 直线的交点坐标与距离公式 1．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点距离公式及向量运算得，根据点线距离求出，由点在C的渐近线上得，. 【详解】由知，又，所以. 由，则为焦点F到渐近线即的距离， 所以，在中，， 由点在C的渐近线上，所以，即，所以， 所以C的方程为. 故选：A 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)若直线上存在点，过点作圆：的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，设，令，由知，从而可得，满足条件的点轨迹为，又点在直线上，由直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】 圆：，所以， 设，令， 则，因为， 所以，即， 所以，即， 所以满足条件的点轨迹为，又点在直线上， 所以直线与有交点， 所以，即， 解得或， 所以， 故选：D. 3．(24-25高二上·江西吉安·期末)（多选）已知点，且点在直线上，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为3 B．若线段与直线有交点，则 C．当时，存在点，使得 D．当时，周长的最小值为 【答案】ABD 【分析】易知的最大值为的长度，可得A正确，求得两直线交点坐标得出不等式可得B正确，求出以为直径的圆方程可得C错误，利用点关于直线对称即可求得D正确. 【详解】对于A，由点可知两点的纵坐标相同， 即平行于轴，且的长度为3， 因此的最大值为的长度3，即A正确； 对于B，易知的方程为,可知直线与的交点坐标为； 若线段与直线有交点，可得，解得，即B正确； 对于C，当时可得， 以为直径的圆方程为， 显然圆心到直线的距离为， 即直线与圆相离，没有交点，所以不存在点，使得，即C错误； 对于D，当时， 设关于直线的对称点坐标为， 可得，解得，即，如下图所示： 显然的周长为，即D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：求解周长最值以及线段长度最值问题时，经常求出对称点坐标结合三角形性质可得结论. 4．(24-25高二上·南昌第二中学·期末) （多选）已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．若圆关于对称，则 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【分析】A选项，直线变形后求出定点坐标；B选项，根据圆心在直线上求的值；C选项，表达出，求出最小值；D选项，由题可得圆心到直线的距离，从而求出. 【详解】A选项，根据题意变形为， 故直线过定点，A正确； B选项，若圆关于对称，则圆心在直线上，即，解得，故B正错误； C选项， ， 因为的最小值为，如图， 当三点共线时，的最小值为，故C正确； D选项，，半径为，因为圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 所以圆心到直线的距离，即，解得，D错误. 故选：AC. 5．(24-25高二上·江西九江·期末)两平行直线，之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先将变换直线为，再利用两平行线间的距离即可求得结果. 【详解】由题意得，由两平行线间的距离公式，得． 故答案为： 6．(24-25高二上·江西九江·期末)在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法，求出圆的一般方程，再转化成标准方程，即可求解； （2）先求圆心到直线的距离，数形结合求得，再利用倍角公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则解得 所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为. （2）如图，点到直线的距离， 又圆的半径，所以， 所以. 7．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知椭圆的短轴长为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于两点，又与圆交于两点，若线段的中点为，求线段的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得方程. （2）求出点的坐标，联立直线与椭圆方程求出点，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】（1）由椭圆的短轴长为，得，由椭圆过，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）直线与轴交于点，此点在圆上，则，而， 则，由，解得或，则， 所以线段的长 8．(24-25高二上·江西抚州·期末)设直线与. (1)若，求、之间的距离； (2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离； （2）根据已知可得，再由三角形面积公式有，即可确定面积最大时的值. 【详解】（1）由，则，化简得，可得或， 当时，不成立， 当时，，， 此时之间的距离为. （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，，则， 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为， 当时，有最大. 地 城 考点03 圆的方程 1．(24-25高二上·江西九江·期末)圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．内切 D．相交 【答案】D 【分析】法一：求出圆心距，与半径之和，半径之差比较，得到两圆相交；法二：求出圆心距，刚好等于的半径，得到两圆相交. 【详解】法一：，，，， ，，， ， 圆与圆相交， 法二：，，，， ，故圆心在圆上，而, 圆与圆相交. 故选：D． 2．(24-25高二上·江西赣州·期末)设有一组圆，、，圆上存在点，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆上点的坐标为，由结合平面内两点间的距离公式可知点在圆心为半径为的圆上，则圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解出正数的取值范围. 【详解】设圆上点的坐标为，且圆的圆心为，半径为， 由，可得， 化简得，， 则点在圆心为半径为的圆上， 因此圆和圆要有公共点，则， 即，解得. 故选：B. 3．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)若直线上存在点，过点作圆：的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，设，令，由知，从而可得，满足条件的点轨迹为，又点在直线上，由直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】 圆：，所以， 设，令， 则，因为， 所以，即， 所以，即， 所以满足条件的点轨迹为，又点在直线上， 所以直线与有交点， 所以，即， 解得或， 所以， 故选：D. 4．(24-25高二上·江西抚州·期末)已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】判断原点与圆的位置关系，再由最小有直线，最后应用几何法求弦长即可. 【详解】由，即原点在已知圆内部，且圆心，， 若原点为，要使最小，只需直线，而， 所以最小. 故选：D 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（    ） A．直线上 B．圆上 C．抛物线上 D．椭圆上 【答案】B 【分析】根据已知将化为，在底面内构建如下图示的直角坐标系，应用向量数量积的坐标表示求动点轨迹. 【详解】由， 由平面，平面，则， 所以，底面是边长为的正方形， 在平面内构建如下图示的直角坐标系，则， 设，则， 所以，即动点在圆上. 故选：B 6．(24-25高二上·江西抚州·期末)圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可. 【详解】由的圆心为，A错； 由的圆心为，B错； 由的圆心为，显然点在圆上，C对； 由的圆心为，D错； 故选：C. 7．(23-24高二上·江西南昌南昌县莲塘第二中学·期末)若平面内两定点之间的距离为2，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，利用可得点的轨迹方程，再利用圆的性质当与圆相切时，最大，即可得结果. 【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 则，设，由， 所以， 两边平方并整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 当与圆相切时，最大，即最大，    此时，所以. 故选：B. 8．(23-24高二上·江西南昌铁路第一中学·期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】由题设，令，则， 所以，则，即， 又，即在圆外，，即在圆外， 由，当且仅当共线上等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 9．(23-24高二上·江西九江六校·期末) （多选）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】AD 【分析】对于A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于B：根据面积关系结合A中结论分析判断；对于C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于D：分析可知点在以为直径的圆上，结合相交弦方程的求法分析运算. 【详解】将化为标准方程：， 可知圆的圆心为，半径为． 对于选项A：因为圆心到直线：的距离， 可知，可得， 所以线段长的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为四边形面积， 由选项A可知：四边形面积的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：AD．    10．(24-25高二上·江西赣州·期末)经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设圆心为，半径为，由及圆心C在直线上，建立关于的方程，求解即可得答案. 【详解】设圆心为，半径为，则由可得，即①， 又圆心在直线上，所以②， 联立①②解得，所以半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 11．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知的圆心在轴上，且经过点和． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． ①若，求直线的方程； ②求弦最短时直线的方程． 【答案】(1) (2)①或；②； 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆上点的坐标解方程即可； （2）①根据弦长求得圆心到直线的距离，分别讨论直线的斜率是否存在解方程可得结果； ②易知当时，弦最短，由直线的点斜式方程计算可得结果. 【详解】（1）设圆心坐标为， 依题意可得：，解得； 则该圆的圆心为，半径为； 故的标准方程为：； （2）①由过点的直线与交于两点，设圆心到直线的距离为, 由，可得，； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 ，解得， 故直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或； ②依题意可知点在圆内，如下图所示： 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得， 显然当取得最大值时，即时，此时， 即当时，弦最短， 易知，因此直线的斜率为， 可得直线的方程为，即. 12．(24-25高二上·江西九江·期末)在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法，求出圆的一般方程，再转化成标准方程，即可求解； （2）先求圆心到直线的距离，数形结合求得，再利用倍角公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则解得 所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为. （2）如图，点到直线的距离， 又圆的半径，所以， 所以. 13．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【分析】（1）设，由，整理可得； （2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为. 【详解】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. 14．(23-24高二上·江西九江六校·期末)直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根． (1)求弦的长； (2)若圆的圆心为，求圆的一般方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用两点间距离公式计算即得. （2）利用点到直线的距离公式求出圆的半径，再确定圆的方程． 【详解】（1）依题意，，，， 则， 所以弦的长为. （2）圆心到直线的距离， 设圆的半径为，则，因此圆的半径长为， 所以圆的方程是，即． 地 城 考点04 直线与圆的位置关系 1．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有条 【答案】C 【分析】设点，根据已知可求得曲线的方程即可得A；由曲线的方程即可得其离心率，即可得B；借助渐近线方程与点到直线距离公式计算可得C；联立曲线与直线方程计算可得表示，解出即可得D. 【详解】对A：设点，由已知得，整理得， 所以点的轨迹为曲线的方程为，故A错误； 对B：离心率，故B错误； 对C：圆的圆心到曲线的渐近线的距离为： ，又圆的半径为，故C正确； 对D：直线与曲线的方程联立， 整理得，设，， ，且，即， 有， 所以， 要满足，则需，即或（无解）， 解得，当，此时、分别为、， 而曲线为，所以没有满足条件的直线，故D错误. 故选：C. 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)若直线上存在点，过点作圆：的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，设，令，由知，从而可得，满足条件的点轨迹为，又点在直线上，由直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】 圆：，所以， 设，令， 则，因为， 所以，即， 所以，即， 所以满足条件的点轨迹为，又点在直线上， 所以直线与有交点， 所以，即， 解得或， 所以， 故选：D. 3．(24-25高二上·江西抚州·期末)已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】判断原点与圆的位置关系，再由最小有直线，最后应用几何法求弦长即可. 【详解】由，即原点在已知圆内部，且圆心，， 若原点为，要使最小，只需直线，而， 所以最小. 故选：D 4．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【分析】判断出圆心在直线上即可求解. 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 5．(24-25高二上·江西吉安·期末) （多选）已知点，且点在直线上，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为3 B．若线段与直线有交点，则 C．当时，存在点，使得 D．当时，周长的最小值为 【答案】ABD 【分析】易知的最大值为的长度，可得A正确，求得两直线交点坐标得出不等式可得B正确，求出以为直径的圆方程可得C错误，利用点关于直线对称即可求得D正确. 【详解】对于A，由点可知两点的纵坐标相同， 即平行于轴，且的长度为3， 因此的最大值为的长度3，即A正确； 对于B，易知的方程为,可知直线与的交点坐标为； 若线段与直线有交点，可得，解得，即B正确； 对于C，当时可得， 以为直径的圆方程为， 显然圆心到直线的距离为， 即直线与圆相离，没有交点，所以不存在点，使得，即C错误； 对于D，当时， 设关于直线的对称点坐标为， 可得，解得，即，如下图所示： 显然的周长为，即D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：求解周长最值以及线段长度最值问题时，经常求出对称点坐标结合三角形性质可得结论. 6．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末) （多选）已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．若圆关于对称，则 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【分析】A选项，直线变形后求出定点坐标；B选项，根据圆心在直线上求的值；C选项，表达出，求出最小值；D选项，由题可得圆心到直线的距离，从而求出. 【详解】A选项，根据题意变形为， 故直线过定点，A正确； B选项，若圆关于对称，则圆心在直线上，即，解得，故B正错误； C选项， ， 因为的最小值为，如图， 当三点共线时，的最小值为，故C正确； D选项，，半径为，因为圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 所以圆心到直线的距离，即，解得，D错误. 故选：AC. 7．(23-24高二上·江西九江六校·期末) （多选）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】AD 【分析】对于A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于B：根据面积关系结合A中结论分析判断；对于C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于D：分析可知点在以为直径的圆上，结合相交弦方程的求法分析运算. 【详解】将化为标准方程：， 可知圆的圆心为，半径为． 对于选项A：因为圆心到直线：的距离， 可知，可得， 所以线段长的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为四边形面积， 由选项A可知：四边形面积的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：AD．    8．(23-24高二上·江西吉安永新县禾川中学·期末) （多选）已知圆，以下四个结论正确的是（ ） A．过点与圆M相切的直线方程为 B．圆M与圆 相交 C．过点可以作两条直线与圆M相切 D．圆M上的点到直线的距离的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据点和圆的位置关系、圆的切线方程、圆与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 对于A，点在圆M上，圆心M到直线距离为1， 即过点与圆M相切的直线方程为，A正确； 对于B，圆的圆心，半径， 则有，即圆M与圆N外离，B不正确. 对于C，点在圆M外，则过点可以作两条直线与圆M相切，C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 则圆M上的点到直线的距离的最大值为，D正确； 故选：ACD 9．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知点和圆：. (1)求经过点的圆的切线方程； (2)若是圆上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）设，则，根据是圆上一动点，可得直线与圆有公共点，根据圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解即可 【详解】（1）圆的方程可化为，圆心，半径. 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或. （2）设，则， 即， 因为是圆上一动点， 所以与有公共点， 所以，解得， 的取值范围 10．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知椭圆的短轴长为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于两点，又与圆交于两点，若线段的中点为，求线段的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得方程. （2）求出点的坐标，联立直线与椭圆方程求出点，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】（1）由椭圆的短轴长为，得，由椭圆过，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）直线与轴交于点，此点在圆上，则，而， 则，由，解得或，则， 所以线段的长 11．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知的圆心在轴上，且经过点和． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． ①若，求直线的方程； ②求弦最短时直线的方程． 【答案】(1) (2)①或；②； 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆上点的坐标解方程即可； （2）①根据弦长求得圆心到直线的距离，分别讨论直线的斜率是否存在解方程可得结果； ②易知当时，弦最短，由直线的点斜式方程计算可得结果. 【详解】（1）设圆心坐标为， 依题意可得：，解得； 则该圆的圆心为，半径为； 故的标准方程为：； （2）①由过点的直线与交于两点，设圆心到直线的距离为, 由，可得，； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 ，解得， 故直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或； ②依题意可知点在圆内，如下图所示： 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得， 显然当取得最大值时，即时，此时， 即当时，弦最短， 易知，因此直线的斜率为， 可得直线的方程为，即. 12．(24-25高二上·江西抚州·期末)已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值； （2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可. 【详解】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 13．(23-24高二上·江西九江六校·期末)直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根． (1)求弦的长； (2)若圆的圆心为，求圆的一般方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用两点间距离公式计算即得. （2）利用点到直线的距离公式求出圆的半径，再确定圆的方程． 【详解】（1）依题意，，，， 则， 所以弦的长为. （2）圆心到直线的距离， 设圆的半径为，则，因此圆的半径长为， 所以圆的方程是，即． 地 城 考点05 圆与圆的位置关系 1．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】C 【分析】对A：设点，由两点的距离公式代入化简判断；对B：根据两点间的距离公式求得点到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此分析判断. 【详解】对A：设点， ∵，则，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对B：的圆心，半径为， ∵点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确； 对C：设点， ∵，则，整理得， ∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，没有公共点， ∴在C上不存在点M，使得，C不正确； 对D：∵圆心到直线的距离为， ∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确； 故选：C. 【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可. 2．(24-25高二上·江西九江·期末)圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．内切 D．相交 【答案】D 【分析】法一：求出圆心距，与半径之和，半径之差比较，得到两圆相交；法二：求出圆心距，刚好等于的半径，得到两圆相交. 【详解】法一：，，，， ，，， ， 圆与圆相交， 法二：，，，， ，故圆心在圆上，而, 圆与圆相交. 故选：D． 3．(24-25高二上·江西吉安·期末)圆与圆的公切线条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数. 【详解】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则，由于，即， 故圆与圆相交，其公切线条数为． 故选 ：C． 4．(24-25高二上·江西赣州·期末)设有一组圆，、，圆上存在点，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆上点的坐标为，由结合平面内两点间的距离公式可知点在圆心为半径为的圆上，则圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解出正数的取值范围. 【详解】设圆上点的坐标为，且圆的圆心为，半径为， 由，可得， 化简得，， 则点在圆心为半径为的圆上， 因此圆和圆要有公共点，则， 即，解得. 故选：B. 5．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程再联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；对于B，利用弦长公式即可判断；对于C，根据切线的定义进行判断；对于D，根据结合线段长度求解出结果并判断. 【详解】由圆，得， 则圆心，半径， 线段的中点坐标为，且， 则圆，即. 对于选项A：联立，两式作差可得：， 即直线的方程为，故A正确； 对于选项B：圆心到直线的距离为， 则，故B正确； 对于选项C：因为在以为直径的圆上，则， 由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 所以四边形的面积为，故D错误． 故选：D． 6．(24-25高二上·江西·期末)已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 【答案】C 【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得. 【详解】由可知圆心为，半径为2； 由可知且圆心为，半径为. 因两个圆有三条公切线可知两圆外切， 即， 解得：. 故选：C. 7．(23-24高二上·江西部分学校·期末)已知，直线与的交点在圆 上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点以及垂直关系确定点在以为直径的圆上，进而根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】由直线，的方程知直线过定点，直线过定点， 又，所以，即，所以点在以为直径的圆上， 的中点,, 故在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点， 即，又，所以，即的取值范围是． 故选:D． 8．(23-24高二上·江西上饶广丰中学·期末) （多选）已知圆下列说法正确的是（    ） A．过点作直线与圆交于两点，则范围为 B．过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为则直线必过定点 C．圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为 D．圆上有4个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【分析】A：确定点位置，然后分析圆心到过点的直线的距离，结合确定出的范围；B：设出点坐标，表示出以为圆心，为半径的圆的方程，根据相交圆的公共弦所在直线的方程确定出的方程，由此确定出所过的定点；C：先确定出两圆的位置关系，然后得到两圆的半径与圆心距的关系，由此求解出结果；D：先确定圆心到直线的距离然后结合图示进行说明. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 对于选项A：因为，可知点在圆内， 可得圆心到过点的直线的距离， 所以，故A正确； 对于选项B：设，则， 可得， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 整理得， 由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 可得，整理得， 令，解得，所以直线必过定点，故B正确； 对于选项C：圆的圆心，半径为，则， 若圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C 错误； 对于选项D：因为圆心到直线的距离， 作且与的距离均为，如下图所示： 由图可知此时到的距离均为， 所以圆上有4个点到直线的距离等于1，故D正确； 故选：ABD. 9．(23-24高二上·江西九江六校·期末) （多选）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】AD 【分析】对于A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于B：根据面积关系结合A中结论分析判断；对于C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于D：分析可知点在以为直径的圆上，结合相交弦方程的求法分析运算. 【详解】将化为标准方程：， 可知圆的圆心为，半径为． 对于选项A：因为圆心到直线：的距离， 可知，可得， 所以线段长的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为四边形面积， 由选项A可知：四边形面积的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：AD．    10．(24-25高二上·江西·期末)已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 试卷第1页，共3页 35 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆 5大高频考点概览 考点01 直线的方程 考点02 直线的交点坐标与距离公式 考点03 圆的方程 考点04 直线与圆的位置关系 考点05 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 直线的方程 1．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·江西九江六校·期末)已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西赣州·期末)对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 4．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知直线与直线平行，则（   ） A．1 B．3 C．1或 D．或3 5．(24-25高二上·江西九江·期末)已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·江西九江六校·期末)（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 地 城 考点02 直线的交点坐标与距离公式 1．(24-25高二上·江西南昌·期末)已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)若直线上存在点，过点作圆：的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西吉安·期末)（多选）已知点，且点在直线上，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为3 B．若线段与直线有交点，则 C．当时，存在点，使得 D．当时，周长的最小值为 4．(24-25高二上·南昌第二中学·期末) （多选）已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．若圆关于对称，则 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 5．(24-25高二上·江西九江·期末)两平行直线，之间的距离为 ． 6．(24-25高二上·江西九江·期末)在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 7．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知椭圆的短轴长为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于两点，又与圆交于两点，若线段的中点为，求线段的长. 8．(24-25高二上·江西抚州·期末)设直线与. (1)若，求、之间的距离； (2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 地 城 考点03 圆的方程 1．(24-25高二上·江西九江·期末)圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．内切 D．相交 2．(24-25高二上·江西赣州·期末)设有一组圆，、，圆上存在点，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)若直线上存在点，过点作圆：的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江西抚州·期末)已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（    ） A．直线上 B．圆上 C．抛物线上 D．椭圆上 6．(24-25高二上·江西抚州·期末)圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二上·江西南昌南昌县莲塘第二中学·期末)若平面内两定点之间的距离为2，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 8．(23-24高二上·江西南昌铁路第一中学·期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高二上·江西九江六校·期末) （多选）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 10．(24-25高二上·江西赣州·期末)经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 11．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知的圆心在轴上，且经过点和． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． ①若，求直线的方程； ②求弦最短时直线的方程． 12．(24-25高二上·江西九江·期末)在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 13．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 14．(23-24高二上·江西九江六校·期末)直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根． (1)求弦的长； (2)若圆的圆心为，求圆的一般方程． 地 城 考点04 直线与圆的位置关系 1．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有条 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)若直线上存在点，过点作圆：的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西抚州·期末)已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 4．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 5．(24-25高二上·江西吉安·期末) （多选）已知点，且点在直线上，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为3 B．若线段与直线有交点，则 C．当时，存在点，使得 D．当时，周长的最小值为 6．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末) （多选）已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．若圆关于对称，则 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 7．(23-24高二上·江西九江六校·期末) （多选）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 8．(23-24高二上·江西吉安永新县禾川中学·期末) （多选）已知圆，以下四个结论正确的是（ ） A．过点与圆M相切的直线方程为 B．圆M与圆 相交 C．过点可以作两条直线与圆M相切 D．圆M上的点到直线的距离的最大值为3 9．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知点和圆：. (1)求经过点的圆的切线方程； (2)若是圆上一动点，求的取值范围. 10．(24-25高二上·江西景德镇·期末)已知椭圆的短轴长为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于两点，又与圆交于两点，若线段的中点为，求线段的长. 11．(24-25高二上·江西吉安·期末)已知的圆心在轴上，且经过点和． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． ①若，求直线的方程； ②求弦最短时直线的方程． 12．(24-25高二上·江西抚州·期末)已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 13．(23-24高二上·江西九江六校·期末)直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根． (1)求弦的长； (2)若圆的圆心为，求圆的一般方程． 地 城 考点05 圆与圆的位置关系 1．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 2．(24-25高二上·江西九江·期末)圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．内切 D．相交 3．(24-25高二上·江西吉安·期末)圆与圆的公切线条数为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江西赣州·期末)设有一组圆，、，圆上存在点，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 6．(24-25高二上·江西·期末)已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 7．(23-24高二上·江西部分学校·期末)已知，直线与的交点在圆 上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高二上·江西上饶广丰中学·期末) （多选）已知圆下列说法正确的是（    ） A．过点作直线与圆交于两点，则范围为 B．过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为则直线必过定点 C．圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为 D．圆上有4个点到直线的距离等于1 9．(23-24高二上·江西九江六校·期末) （多选）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 10．(24-25高二上·江西·期末)已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $