第7章 三角函数（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

第7章 三角函数全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 象限角及其判定 1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 2．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．（2025高一·全国·专题练习）若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）在下列说法中：①的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于的角都是锐角.其中说法错误的序号为 . 5．（24-25高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 题型2 弧长公式与扇形面积公式的应用 1．（24-25高一下·贵州·月考）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ． 5．（24-25高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 题型3 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 1．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）若，且满足，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京西城·期中）如果，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知，则 ． 5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 题型4 三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 1．（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 2．（24-25高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 3．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 4．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 5．（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 题型5 同角基本关系式和诱导公式的综合应用 1．（24-25高一上·全国·周测）已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高一上·全国·周测）若为第二象限角，且，则 ． 5．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 题型6 三角函数的零点问题 1．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东淄博·期中）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是 . 5．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有5个零点，求实数的取值范围. 题型7 三角函数的图象与性质的综合应用 1．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 2．（24-25高一下·四川泸州·阶段练习）关于函数有下列四个结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在有且只有三个零点： 3．（24-25高一上·天津滨海新·期末）若函数（，）的最小正周期为，且.给出下列判断： ①若，则函数的图象关于直线对称 ②若在区间上单调递增，则的取值范围是 ③若在区间内没有零点，则的取值范围是 ④若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则的取值范围是 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 5．（24-25高二下·新疆塔城·期中）已知． (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求的单调增区间； (3)当时，求函数的最大值和最小值． 题型8 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 1．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 3．（24-25高一下·北京海淀·期中）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中： ①的图象关于点对称；   ②在内恰有5个最值点； ③在内单调递减；         ④的取值范围是． 所有真命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 4．（24-25高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 5．（24-25高一下·广东江门·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式： (2)求的单调递增区间； (3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域． 题型9 三角函数的应用 1．（24-25高一下·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 3．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 4．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 题型10 三角函数的新定义问题 1．（24-25高一上·四川巴中·期末）定义运算，如果的图像的一条对称轴为满足等式，则取最小值时，函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林·期末）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 4．（2025高一·全国·专题练习）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 5．（24-25高一下·江西·月考）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 三角函数全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 象限角及其判定 1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解题思路】根据终边相同的角的定义计算判断象限即可. 【解答过程】因为，所以与终边相同， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解题思路】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【解答过程】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 【答案】D 【解题思路】根据题意求出的范围即可判断. 【解答过程】由题意知，，， 则，所以，． 当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角． 所以是第二或第四象限角. 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）在下列说法中：①的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于的角都是锐角.其中说法错误的序号为 . 【答案】①②④ 【解题思路】利用象限角的性质判断①③④，举反例判断②即可. 【解答过程】对于①，角不属于任何象限，故①错误， 对于②，是第二象限角，是第一象限角， 显然，故②错误， 对于③，钝角的范围是，显然是第二象限角，故③正确. 对于④，锐角的集合是， 小于90°的角也可以是零角或负角，故④错误. 故答案为：①②④. 5．（24-25高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角 【解题思路】根据象限角的表示方法，得到和的表示，进而判定其象限，得到答案. 【解答过程】因为是第二象限角，所以， 可得， 所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角． 又由 ， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 题型2 弧长公式与扇形面积公式的应用 1．（24-25高一下·贵州·月考）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【解答过程】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用扇形面积及弧长公式列式求解. 【解答过程】设扇形半径为，由扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，得，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设与的延长线交于圆心，圆心角，扇形半径，根据弧长公式结合题意列方程组求出，再由扇形面积公式即可计算得解. 【解答过程】如图，与的延长线交于圆心， 设圆心角，扇形半径，则，解得， 则该扇面的面积为. . 故选：B. 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ． 【答案】 【解题思路】设所在扇形的半径为，圆心角为，根据弧长公式求出，再由扇形的面积公式计算可得. 【解答过程】设所在扇形的半径为，圆心角为，则，解得， 所以扇环的面积为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2) (3)当时，扇形面积有最大值，为 【解题思路】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案； （2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案； （3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案. 【解答过程】（1）由，则. （2）由，解得或18，因为，所以. （3）由，得， 则， 由，则，当且仅当时，等号成立， 当时，扇形面积有最大值. 题型3 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 1．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）若，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得的值，即可求解. 【解答过程】因为，可得， 由，即，解得， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·北京西城·期中）如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用正余弦齐次式法求解. 【解答过程】由，得. 故选：B. 3．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将化成，再结合化简即可. 【解答过程】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A. 4．（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知，则 ． 【答案】1 【解题思路】化简等式，可求出的值，进而可求出的值. 【解答过程】因为， 所以． 所以， 因为， 所以. 故答案为：1. 5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3 (2) (3) 【解题思路】（1）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （2）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （3）根据同角的三角函数基本关系式求出，，进而求解即可； 【解答过程】（1）由，为第三象限角， 则； （2）由，为第三象限角， 则； （3）由，则， 因为，则，即， 则， 又为第三象限角，所以， 则. 题型4 三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 1．（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【解答过程】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【解题思路】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证； （2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证. 【解答过程】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 3．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【解答过程】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【解答过程】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 5．（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【解答过程】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 题型5 同角基本关系式和诱导公式的综合应用 1．（24-25高一上·全国·周测）已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数的定义可得出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【解答过程】由题意，点为角终边上一点，由三角函数定义可得， 所以． 故选：B． 2．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据诱导公式可得，再结合同角三角函数关系式进行化简运算. 【解答过程】由诱导公式可得，即； 所以 ， 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式，商数关系求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以原式. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·周测）若为第二象限角，且，则 ． 【答案】 【解题思路】利用正切函数的诱导公式求出，然后利用正弦函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系对所给式子进行化简，最后再根据角的范围确定三角函数的正负对式子进一步化简求值. 【解答过程】由，知， 原式 ， 因为为第二象限角，所以，且， 所以原式. 故答案为：. 5．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据诱导公式和同角三角函数商的关系化简可得； （2）由齐次式可得； （3）由同角三角函数得，根据诱导公式可得，进而可得. 【解答过程】（1）. （2）由得， 故. （3）由得，故， 又，故， 当为第一、四象限角时，， 当为第二、三象限角时，， 因， 故当为第一、四象限角时，， 当为第二、三象限角时，. 题型6 三角函数的零点问题 1．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】综合应用三角函数的图象与性质即可解决. 【解答过程】由题意，函数，可得函数的周期为. 因为，所以. 由函数在区间上有且仅有一个零点， 得，且，即，且. 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以； 当时，，解得，此时解集为空集. 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角函数图象平移可得，结合三角函数的性质分析可知在的两个零点情况，进而列出关于的不等式组，解之即可得解. 【解答过程】依题意，， 由，可得， 因在上恰有两个零点， 注意到区间的中点为， 则在上恰有两个零点为， 故需使，解得， 故选：B. 3．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，将问题转化为研究在任意一个长度为的区间上的零点问题，分别求得相邻三个零点之间的距离，相邻四个零点之间的最小距离，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【解答过程】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移， 从而研究函数在区间上的零点问题， 即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题， 令 ，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，， 则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，， 故相邻三个零点之间的距离为，相邻四个零点之间的最小距离为， 所以要使函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点， 则需相邻三个零点之间的距离不大于，相邻四个零点之间的最小距离大于， 即，解得，即. 故选：B. 4．（24-25高一下·山东淄博·期中）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由题意可得，结合余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解. 【解答过程】由，得， 又函数在上有且仅有2个零点， 所以，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有5个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由，得到，根据题意，结合正弦函数的性质，得出不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由函数的图象，可得，， 则，所以． 将点代入函数解析式可得， 解得，因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数在上的单调递增区间为，． （2）解：因为，所以， 当无零点； 当时，有第一个零点，正弦函数周期为，每一个周期内有两个零点， 要满足有5个零点，则，解得， 所以实数的取值范围是． 题型7 三角函数的图象与性质的综合应用 1．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【答案】B 【解题思路】根据可判断A，根据余弦函数的单调性可判断B，根据代入验证根是否为0可判断C，根据余弦函数的对称性可判断D. 【解答过程】对于A，，故是的一个周期，正确； 对于B，当时，，故时，，时，，结合余弦函数单调性可得： 函数在上单调递减，在上单调递增，错误； 对于C，，当时，，故是的一个零点，正确； 对于D，易知的对称轴方程为，解得， 当时，可得，故的图像关于直线对称，正确. 故选：B. 2．（24-25高一下·四川泸州·阶段练习）关于函数有下列四个结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在有且只有三个零点： 【答案】D 【解题思路】对于AC，可利用反例判断其错误，对于B，根据的奇偶性判断其正误，对于D，可求出零点从而判断其正误. 【解答过程】对于A，， 而，故， 故不是的一个周期. 对于B，因为，故为偶函数， 故在区间和上单调性相反，故B错误. 对于C，， ，故， 故的图象不关于直线对称. 对于D，令，则， 故或，故或， 故零点的个数为3， 故选：D. 3．（24-25高一上·天津滨海新·期末）若函数（，）的最小正周期为，且.给出下列判断： ①若，则函数的图象关于直线对称 ②若在区间上单调递增，则的取值范围是 ③若在区间内没有零点，则的取值范围是 ④若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则的取值范围是 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由题设可得，代入验证法判断①；由区间单调性及正弦函数性质有求参数范围判断②；由区间零点及正弦函数性质，讨论、研究参数范围判断③；由题设，结合题设及正弦函数性质有求参数范围判断④. 【解答过程】由，则，即，又， 所以，故， 当，则，故函数的图象关于直线对称，①对； 当，则，且在区间上单调递增， 所以，可得，②对； 当，则，且在区间内没有零点， 若，则，此时满足题设； 若，则，故，可得且， 所以，可得； 综上，的取值范围是，③错； 当，则， 又的图象与直线在上有且仅有1个交点，故， 所以，即的取值范围是，④对. 故选：C. 4．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)的最小正周期为，单调递增区间为， (2)的最大值和最小值分别为， (3) 【解题思路】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求出周期，再由的单调增区间，整体代入即可求解； （2）令，从而得到，再利用的图象与性质，即可求解. （3）转化为在上有两个解，求出，结合正弦函数性质得到，求出答案. 【解答过程】（1）因为，所以的最小正周期为， 令，，求得，， 可得的单调递增区间为，． （2）由题意，则令，则， 又时，，得到， 故的最大值和最小值分别为，； （3）在区间上有两个零点， 等价于在上有两个解，即在上有两个解， 由，得， 要想在上有两个解， 则，解得， 故的取值范围为. 5．（24-25高二下·新疆塔城·期中）已知． (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求的单调增区间； (3)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为 (2)单调增区间为 (3)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）结合函数的图象与性质即可求出结果； （2）利用整体代入法即可求出函数单调区间； （3）根据求得，进而根据函数的图象与性质即可求出结果. 【解答过程】（1）最小正周期，令， 所以，所以对称轴方程为； （2）令， 所以，所以的单调增区间为； （3）当时， 所以，所以， 当，即时取得最大值， 当，即时取得最小值， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 题型8 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 1．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果. 【解答过程】如图， 不妨取轴右侧的连续三个交点，分别记为的最小正周期为，可得， 由的面积为及对称性知，，解得， 进而，代入得， 即，并结合，得， 所以．令， 解得，所以函数图象的对称中心是， 所以是函数图象的一个对称中心． 故选：D. 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【答案】B 【解题思路】先根据平移变换的知识求出，根据三角函数的对称性性质将和代入求值检验即可判断选项AD；根据函数图象结合即可判断B；令，求出即可求出的单调递增区间进而得解. 【解答过程】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高一下·北京海淀·期中）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中： ①的图象关于点对称；   ②在内恰有5个最值点； ③在内单调递减；         ④的取值范围是． 所有真命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【解题思路】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可. 【解答过程】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象， 所以函数的解析式为：， 当时，， 因为函数在上有且只有5个零点，， 所以，解得， 因为，， 所以当时，，此时解不等式组，得， 当时，，即， 此时不等式组的解集为空集，故④正确； ①：因为，所以的图象关于点对称， 故本命题是真命题； ②：因为，所以， 又因为，所以，而， 即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题； ③：因为，所以， 又因为，所以，而，故本命题是假命题； 故选：B. 4．（24-25高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【解题思路】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解. 【解答过程】将函数的图象向右平移个单位可得：， 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得， 令，， 解得，， 则的单调递减区间为，， 故答案为：，. 5．（24-25高一下·广东江门·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式： (2)求的单调递增区间； (3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域． 【答案】(1) (2)单调递增区间是， (3) 【解题思路】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式； （2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调区间即可； （3）求出，通过的范围，求解相位的范围，结合正弦函数的值域求解即可． 【解答过程】（1）由图象可知：，解得：，， 又由于，可得：，所以， 由图象知，，又因为， 所以，．所以． （2）由，，得，． 函数的单调递增区间是，． （3）依题可得，因为， 则，所以， 即的值域为． 题型9 三角函数的应用 1．（24-25高一下·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【解题思路】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【解答过程】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C. 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【解题思路】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【解答过程】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以 . 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 3．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解题思路】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【解答过程】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 4．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【解题思路】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解. 【解答过程】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 . 故答案为：. 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) (2)5s 【解题思路】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为，进而得到，再结合的位置为初始位置即可求解； （2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动，进而结合周期求解即可. 【解答过程】（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 易知OP在xs内所转过的角为，    故点P的纵坐标为，则， 当时，，可得，所以， 则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而， 故点P在水中的时间是s． 题型10 三角函数的新定义问题 1．（24-25高一上·四川巴中·期末）定义运算，如果的图像的一条对称轴为满足等式，则取最小值时，函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据，利用切化弦和同角三角函数关系转化成的二次方程，可求出的值，结合对称轴可求出，最后利用周期公式进行求解即可． 【解答过程】， 因为，所以， 即，， 所以，解得或（舍去）， 而，所以， 即， 而的图象的一条对称轴为， 所以， 即，， 解得，， 所以正数取最小值为，此时函数的最小正周期为． 故选：C． 2．（24-25高一下·吉林·期末）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得． 【解答过程】由题意，的最小值是， 又， 由，得， ，， 时，， 所以． 故选：A． 3．（24-25高一下·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)， (3) 【解题思路】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分 讨论即可， （3）求解讨论得 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 4．（2025高一·全国·专题练习）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】(1)不是“函数”，理由见解析 (2)，单调递增区间为，； (3) 【解题思路】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【解答过程】（1）不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； （2）函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； （3）由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 5．（24-25高一下·江西·月考）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)或或； (3)或 【解题思路】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可； （2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可； （3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可. 【解答过程】（1）与不具有关系， 理由如下：时，，，所以， 则与不具有关系； （2）由题意可知 ， 所以， 又，所以， 解之得或或， 即的像为或或； （3）对于，则，所以， 即， 因为与具有关系， 所以要满足题意需，使得即可. 令， 令，则，设， ①若，即时，， 则， ②若，即时，， 则， ③若，即时，， 则或，显然无解， ④若，即时，， 则或，显然无解， 综上所述：或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $