精品解析：广东省茂名市高州市四校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中素养展评 九年级数学试卷 注意事项： 1．本测试卷共6页，考试时间共120分钟，满分为120分． 2．全部答案必须在答题卷上完成，在非答题卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 若线段a，b，c，d成比例，其中，则d值为（） A. B. C. D. 2. 给出下列命题，不正确的是（    ） A. 平行四边形的对边平行且相等 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个内角为直角的平行四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 3. 已知，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 5. 若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，是 的中点，且 ，则 的长是（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 10. 设 是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上． 11. 成都被誉为“中国最具幸福感城市”之一，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到成都旅游，两人分别从成都大熊猫基地，锦里，杜甫草堂三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点大熊猫基地的概率为_____． 12. 如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝_____ 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 14. 已知，是方程的两个根，则________． 15. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______． 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） ； （2）． 17. 如图，在四边形中，平分， ． （1）求证：； （2）若 ，，求的长． 18. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 三、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. “一犁新雨破春耕，野草闲花次第生”，为了让同学们更好地感受中华传统农耕文化的魅力，培养青少年懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；为了便于种菜、浇地、采摘等劳动课程的开展，老师请同学们参与一块长为120米，宽为80米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 要求：设计的每一条小路要连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如下图所示的甲、乙、丙、丁四种典型的方案，四幅图中． （1）以上四种方案小路面积的大小关系？你的判断是 ；（填“相等”或“不相等”） （2）为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后菜地面积约为9048平方米，则每条小路的宽度是多少米？ 20. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分 分）分为4个等级：A等级，B等级 ，C等级 ，等级 ．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有__________人，他们成绩的中位数落在__________等级； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为__________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校名学生中成绩达到优秀的人数． （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 四、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①； ② ； ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数， 是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个 值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 23. 旋转是一种常用的图形变化，在平面几何中有着广泛的应用．在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变化使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．已知正方形，点M是直线上一个动点，点N在直线上，且满足 ，连接． （1）如图1，当点M在边上时，求证：． 请根据下面的思路分析填空：因为 ，所以．将 绕点A逆时针旋转得到，由旋转性质可得，所以 ．由此可证明__________，可得出 __________，再由线段的加法可以得出． （2）如图2， ，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上． ①猜想之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想． ②若，则__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中素养展评 九年级数学试卷 注意事项： 1．本测试卷共6页，考试时间共120分钟，满分为120分． 2．全部答案必须在答题卷上完成，在非答题卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 若线段a，b，c，d成比例，其中，则d值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意分情况讨论． 根据四条线段成比例的概念，得比例式，再根据比例的基本性质，即可求得的值． 【详解】∵四条线段 、 、、成比例， 故选：D． 2. 给出下列命题，不正确的是（    ） A. 平行四边形的对边平行且相等 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个内角为直角的平行四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】A. 平行四边形的对边平行且相等，故该命题正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故该命题不正确，符合题意； C. 有一个内角为直角的平行四边形是矩形，故该命题正确，不符合题意； D. 有一组邻边相等的矩形是正方形，故该命题正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法． 3. 已知，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解． 【详解】解：A、由可得，与已知条件相符，故该选项正确，符合题意； B、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； C、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； D、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知， 综上有：， 解得 ． 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 5. 若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等求出的度数，四边形的内角和等于 计算即可． 【详解】解：如图所示，两个四边形相似， ， 四边形的内角和等于 ， ． 故选：C． 6. 如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 但不能得到，即选项D不正确． 故选：D 7. 如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质求面积以及利用算术平方根的非负性解题，先由得出，因为菱形的两条对角线的长分别为a和b，所以菱形的面积等于，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵菱形的两条对角线的长分别为1和5 ∴ 故选：D 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，是 的中点，且 ，则 的长是（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是 的中点， ∴， 故选：D． 10. 设 是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.根据方程的解的定义可得：，整理可得：，，整体代入代数式计算即可． 【详解】解： 是方程的一个根， ， 可得：，， ． 故选：A． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上． 11. 成都被誉为“中国最具幸福感城市”之一，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到成都旅游，两人分别从成都大熊猫基地，锦里，杜甫草堂三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点大熊猫基地的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人同时选择景点大熊猫基地的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将成都大熊猫基地，锦里，杜甫草堂三个景点分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人同时选择景点大熊猫基地的结果有1种， ∴甲、乙两人同时选择景点大熊猫基地的概率为． 故答案为：． 12. 如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝_____ 【答案】115° 【解析】 【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，可得∠DFE＝∠2，由三角形的外角性质可求∠2的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠DFE＝∠2 ∵∠DFE＝∠1+∠E＝115° ∴∠2＝115° 故答案为115° 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形外角性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 14. 已知，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．熟练掌握若，是方程的两个根，则，是解题的关键．由题意知，，，再把展开，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道根据正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴， ． 由，知 ． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴ ． ∴． ∴的最小值是10． 故答案为：10 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） ； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法及公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）由直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则， ， 【小问2详解】 解： ，， ， 则， ， 即，． 17. 如图，在四边形中，平分， ． （1）求证：； （2）若 ，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴ ， ∵ ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质： （1）先根据角平分线得出 ，进而可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出，代入即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴（负值舍去）． 18. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【小问1详解】 解：设 则： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 三、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. “一犁新雨破春耕，野草闲花次第生”，为了让同学们更好地感受中华传统农耕文化的魅力，培养青少年懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；为了便于种菜、浇地、采摘等劳动课程的开展，老师请同学们参与一块长为120米，宽为80米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 要求：设计的每一条小路要连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如下图所示的甲、乙、丙、丁四种典型的方案，四幅图中． （1）以上四种方案小路面积的大小关系？你的判断是 ；（填“相等”或“不相等”） （2）为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后菜地面积约为9048平方米，则每条小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）相等 （2）2米 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据等量关系建立等式求解一元二次方程是解决本题的关键． （1）根据图形平移的性质即可求解； （2）设小路的宽度为x米，根据除小路后菜地面积约为9048平方米，建立等式列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：将各种方案中的小路向左或向上平移后所得的图形均为下图： ∴四种方案的小路面积相等； 故答案为：相等； 【小问2详解】 解：设小路的宽度为x米， ∴， 整理可得， 解得 ，（舍）， ∴小路的宽度为2米． 20. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分 分）分为4个等级：A等级，B等级 ，C等级 ，等级 ．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有__________人，他们成绩的中位数落在__________等级； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为__________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校名学生中成绩达到优秀的人数． （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） （2）补图见解析， （3）人 （4） 【解析】 【分析】（1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可； （2）直接补图即可；根据扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为 （人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； 【小问2详解】 解：补图如下； ∵， ∴扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； 【小问4详解】 解：由题意画树状图如下； 共有 种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的圆心角，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． 21. 如图，在 中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与 相似时，求运动时间是多少. 【答案】（1）2t，（2）运动时间为s或4s 【解析】 【分析】（1）利用速度公式求解； （2）由于∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的判定，当时，△APQ∽△ABC，即；当时，△APQ∽△ACB，即，然后分别解方程即可． 【详解】（1）2t , ; （2）连接PQ，∵，∴当时， ，此时，解得； ∵，∴当时，，此时，解得. ∴运动时间为s或4s. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用. 四、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ① ； ② ； ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知， 是整数， 是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个 值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以,不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 23. 旋转是一种常用的图形变化，在平面几何中有着广泛的应用．在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变化使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．已知正方形，点M是直线上一个动点，点N在直线上，且满足 ，连接． （1）如图1，当点M在边上时，求证：． 请根据下面的思路分析填空：因为 ，所以．将 绕点A逆时针旋转得到，由旋转性质可得，所以 ．由此可证明__________，可得出 __________，再由线段的加法可以得出． （2）如图2， ，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上． ①猜想之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想． ②若，则__________． 【答案】（1），， ． （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质证明 ，可得出 ，由线段的加法得到结论，据此填空即可； （2）①将 绕点逆时针旋转得到，利用旋转的性质，证明，得到，再根据线段和差，即可证明猜想； ②由①可知，，，得到，，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：因为 ， 所以． 将 绕点A逆时针旋转得到， 由旋转性质可得， 所以． 由此可证明 ，可得出 ， 再由线段的加法可以得出， 故答案为：，， ． 【小问2详解】 解：①，证明如下： 如图，将 绕点逆时针旋转得到， 由旋转性质可得，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②四边形是正方形， ， 由①可知，，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，利用旋转构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $