专题4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（高效培优讲义，5知识&8大题型&强化训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 教学目标 1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值. 2.会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 教学重难点 1.重点 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具求空间角或空间距离. 2.难点 (1)建立恰当的空间直角坐标系; (2)利用空间向量解决与空间角或空间距离有关的动态几何问题. 知识点01 空间两直线的夹角 若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈ ，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉 或 ，也就是说：当0≤〈a，b〉≤时，θ＝ ， 当＜〈a，b〉≤π时，θ＝π－〈a，b〉，故cos θ＝ _. 【即学即练】 1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l，m的方向向量分别为，，则l，m所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 知识点02 直线与平面的夹角 设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成的角θ∈，且θ＝－〈l，n〉(图1)，或θ＝〈l，n〉－(图2)，故sin θ＝ 【即学即练】 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（    ） A． B． C． D．以上均错 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 知识点03 两平面的夹角与二面角 1．二面角的平面角 一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α­l­β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等或互补，如下图所示： 则 2．两平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面α与平面β的夹角.设平面α与平面β的夹角为，则 3．两平面的夹角与两平面法向量夹角的关系 设平面与的法向量分别为n1与n2. 当0≤〈n1，n2〉≤时，平面与的夹角等于 ; 当＜〈n1，n2〉≤π时，平面与夹角等于 . 【知识辨析】 平面间的夹角与二面角的比较 1.二面角范围为,而平面间的夹角仅指的是范围在内的二面角. 2.当两相交平面的夹角为锐角时，两个半平面所成的二面角仍然可以是钝角，.从范围上讲，这两个角有区别，但却有着相等或互补的关系，它们的余弦值相等或互补. 【即学即练】 1．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）已知平面的法向量，平面的法向量，则平面与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 知识点04 点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝ . 【温馨提醒】 1.点P可以是平面内的任意一点. 2. 点A到平面π的距离公式还可写成： d＝ 【即学即练】 1．（浙江省温州十校联合体2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·山东淄博·期末）如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ）    A． B． C． D． 知识点05 点到直线的距离 设是过点平行于向量的直线，是直线外一定点．作，垂足为，则点到直线的距离等于线段的长度，而向量在上的投影的大小等于线段的长度，根据勾股定理有点到直线的距离d= ． 【温馨提醒】 1.同向的单位向量. 2.点A到直线的距离也可写成： . 【即学即练】 1．（25-26高二上·青海西宁·期中）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D． 2．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 题型01 求异面直线所成的角 【典例1】如图，在四棱锥中，底面为边长为1的菱形，, , ,为的中点，求异面直线AB与MD的夹角的大小. 坐标法求异面直线的夹角的一般步骤 1.建立适当的空间直角坐标系. 2.求出两异面直线的方向向量的坐标. 3.利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角 4.结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角 【变式1-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·湖北孝感·期中）在三棱锥中，平面，点在棱AD上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．    题型02 求直线与平面的夹角 【典例2】如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面夹角的正弦值. 1.坐标法求线面角 根据题目条件建立空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，再利用向量的夹角公式求角. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 2.基向量法求线面角 当坐标系不易建立时，可选用不共面的三个已知向量作为空间中的一个基底，将两直线的方向向量均用基底表示出来，再利用向量的夹角公式求角. 【变式2-1】（福建省百校联考2025-2026学年高三上学期11月联合测评数学试题）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 【变式2-2】（浙江省9 1高中联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点，且， (1)若，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 题型03 求两平面的夹角或二面角 【典例3-1】如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 【典例3-2】（25-26高二上·北京·期中）如图，正方形的边长为4，，分别为，的中点.将正方形沿着线段折起，使得.设为的中点.    (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值； 1.基向量法求二面角 在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线，反复利用向量的线性运算法则对两条直线的方向向量进行转化,求出两条直线方向向量的夹角，进而求得二面角的大小. 2.利用法向量求二面角 即找或作出两个平面的法向量，并求得它们的坐标，再结合向量夹角公式求解。. 【变式3-1】在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为 ． 【变式3-2】（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是棱上的点，点是棱的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 题型04 求点到平面的距离 【典例4】（25-26高二上·北京·月考）如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. (1)求证：平面PBC； (2)求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； (3)求点D到平面ABE的距离. 利用空间向量求点面距的一般步骤 1．求出该平面的一个法向量； 2．找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； 3．求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 【变式4-1】（25-26高二上·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点B到平面AEF的距离. 【变式4-2】如图，在正三棱柱中，，分别为的中点． 线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由． 题型05 求点到直线的距离 【典例5】已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 求点到直线的距离的方法 1.几何法. 过这点向直线作垂线,则这点与垂足间的距离就是点到直线的距离,此时往往通过解这条垂线段所在的一个直角三角形求得距离. 2.向量法 (1)将点到直线的距离问题转化为求向量的模的问题,即利用待定系法求出垂足的坐标,然后利用向量模长的坐标表示求解,这是求各类距离的通法. (2)直接套用点到直线的距离公式求解. 【变式5-1】在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 题型06 其它距离问题 【典例6-1】如图，正方体中，棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、D1C1、B1C1中点， ⑴求证：平面AMN∥平面EFBD； ⑵求平面AMN与平面EFBD的距离. A C D A1 B1 C1 B D1 M N F E 【典例6-2】（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 1.求两平行线间的距离的方法 求平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离,即在一条直线上取一个适当的点,则该点到另一条直线的距离就是这两条平行线间的距离. 2.求直线到平面的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任一点到该平面的距离，叫直线到平面的距离． (2)求直线到平面的距离时，一般转化为点到面的距离． 3.求两平行平面间的距离 (1)当两平面平行时，一个平面内任一点到另一平面的距离，叫平面到平面的距离． (2)求平面到平面的距离时，一般也是转化成点到面的距离． 【变式6-1】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知棱长为1的正方体中，分别为的中点，则直线与平面之间的距离为 ． 【变式6-2】（24-25高二上·四川自贡·阶段练习）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 题型07与空间角或距离有关的探究性问题 【典例7】如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 对于存在性和探究性问题，常用的方法是假定存在符合条件的点（或线），然后在此条件下解决该问题，若存在，则一定能求出结果；若不存在，则能推出矛盾. 【变式7】如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 题型08与空间角或距离有关的最值(范围)问题 【典例8】如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 对于空间角或距离的范围（最值）问题，一般利用夹角公式或距离公式建立关于变量的函数，利用函数思想求其范围或最值. 【变式8】等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 一、单选题 1．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 4. （25-26高二上·北京·月考）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧、弧的长度分别为，已知为弧的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 8．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 10．（多选）如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面AEF C．异面直线与EF所成角的余弦值为 D．点到平面AEF的距离为2 11（25-26高二上·浙江·期中）底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足．则下列结论正确的是（   ） A．若，则点在平面上 B．若，则点在平面上 C．若，则点到直线的距离为 D．若时，直线与面所成角的正弦值取值范围是 三、填空题 12．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 13．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为 ． 14．（25-26高二上·河南焦作·期中）在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线到平面的距离． 16．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知，分别为，的中点，平面与棱交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（25-26高二上·四川成都·期中）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．    (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19．（24-25高二上·云南昆明·期中）广州塔昵称“小蛮腰”，是中国的地标性景点，其表面所在曲面可以近似看成旋转双曲面，我们可以建立恰当的空间直角坐标系来刻画并研究它的形状．如图在空间直角坐标系中，某旋转双曲面上任意一点都满足方程．记所有满足这一方程的点构成的点集为，已知点．    (1)证明：； (2)若过A的直线的一个方向向量为，且，求和； (3)若，，，，证明：． 33 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 教学目标 1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值. 2.会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 教学重难点 1.重点 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具求空间角或空间距离. 2.难点 (1)建立恰当的空间直角坐标系; (2)利用空间向量解决与空间角或空间距离有关的动态几何问题. 知识点01 空间两直线的夹角 若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈__，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补，也就是说：当0≤〈a，b〉≤时，θ＝__〈a，b〉_， 当＜〈a，b〉≤π时，θ＝π－〈a，b〉，故cos θ＝_|cos 〈a，b〉|． 【即学即练】 1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l，m的方向向量分别为，，则l，m所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】l，m所成角的余弦值为==. 故选：D 2．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 知识点02 直线与平面的夹角 设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成的角θ∈，且θ＝－〈l，n〉(图1)，或θ＝〈l，n〉－(图2)，故sin θ＝|cos 〈l，n〉|. 【即学即练】 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（    ） A． B． C． D．以上均错 【答案】A 【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于， 所以直线与平面的所成的角等于. 故选：A. 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】设直线与平面所成的角为，则． 因为，所以． 故选：A. 知识点03 两平面的夹角与二面角 1．二面角的平面角 一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α­l­β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等或互补，如下图所示： 则 2．两平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面α与平面β的夹角.设平面α与平面β的夹角为，则 3．两平面的夹角与两平面法向量夹角的关系 设平面与的法向量分别为n1与n2. 当0≤〈n1，n2〉≤时，平面与的夹角等于〈n1，n2〉； 当＜〈n1，n2〉≤π时，平面与夹角等于〈n1，n2〉; 【知识辨析】 平面间的夹角与二面角的比较 1.二面角范围为,而平面间的夹角仅指的是范围在内的二面角. 2.当两相交平面的夹角为锐角时，两个半平面所成的二面角仍然可以是钝角，.从范围上讲，这两个角有区别，但却有着相等或互补的关系，它们的余弦值相等或互补. 【即学即练】 1．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）已知平面的法向量，平面的法向量，则平面与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，故， 所以平面与的夹角为. 故选：D 2．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    分别以射线，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，， 所以，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 所以， 由图可知二面角为锐角， 则二面角的余弦值为， 故选：A. 知识点04 点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0| 【温馨提醒】 1.点P可以是平面内的任意一点. 2. 点A到平面π的距离公式还可写成： d＝ 【即学即练】 1．（浙江省温州十校联合体2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意得，平面的一个法向量， 则点到平面的距离为， 故选：C. 2．（24-25高二上·山东淄博·期末）如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，    以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则． 从而. 设平面的法向量为， 则，即，得， 令，则， 所以点E到平面的距离为． 故选：A. 知识点05 点到直线的距离 设是过点平行于向量的直线，是直线外一定点．作，垂足为，则点到直线的距离等于线段的长度，而向量在上的投影的大小等于线段的长度，根据勾股定理有点到直线的距离． 【温馨提醒】 1.同向的单位向量. 2.点A到直线的距离也可写成： . 【即学即练】 1．（25-26高二上·青海西宁·期中）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 故选：D 2．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设向量的单位向量为，则，， 点B到直线AC的距离为：， 故选：B. 题型01 求异面直线所成的角 【典例1】如图，在四棱锥中，底面为边长为1的菱形，, , ,为的中点，求异面直线AB与MD的夹角的大小. 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，求出直线AB与MD的方向向量，再利用向量的夹角公式求得异面直线AB与MD的夹角的余弦值. 【详解】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,设OA=2,则 , ∴ ∴ ∴异面直线AB与MD的夹角的大小为. 坐标法求异面直线的夹角的一般步骤 1.建立适当的空间直角坐标系. 2.求出两异面直线的方向向量的坐标. 3.利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角 4.结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角 【变式1-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求，，利用空间向量求异面直线夹角的余弦值. 【详解】由题意可知：，平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点为线段的中点，则， 可得，， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·湖北孝感·期中）在三棱锥中，平面，点在棱AD上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用基底向量将表示出来，然后根据向量的数量积公式和向量的模的公式求出向量夹角的余弦值即可. 【详解】因为，所以. 因为平面，平面， 所以，所以. 在中，，所以， 所以，所以. 所以. . 所以异面直线与所成角的余弦值为 . 故选：B.    题型02 求直线与平面的夹角 【典例2】如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面夹角的正弦值. 【分析】（1）根据中位线性质得线线平行，即可证线面平行； （2）运用等腰三角形和等边三角形三线合一的性质证出两组线线垂直，从而得到线面垂直，线面垂直可直接推出面面垂直； （3）解法一：由正四面体的性质求出点C到平面PAD的距离，即可求解；解法二：建立空间直角坐标系，算出直线的方向向量和平面的法向量，代入线面所成角的正弦公式即可. 【详解】（1）四边形是菱形，则是中点的同时也是中点， 分别为的中点， 是的中位线，， 平面，平面， 平面. （2），是中点，等腰三角形三线合一，， ，，是等边三角形， 是中点，等边三角形三线合一，， ，平面， 平面， 平面， 故平面平面. （3）解法一：由题意，, 所以三棱锥为正四面体，设棱长为2， 则， 设交于点O，连接PO， 则点O为底面的中心，平面ABD， 由正三角形的性质可得，所以, 由正四面体的性质可得点B到平面PAD的距离也为， 又平面APD，平面APD，所以平面APD， 所以点C到平面PAD的距离也为， 所以直线与平面夹角的正弦值 解法二：由（2）可知，故以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，易知，，，，，，，， 再设，由，，，可得： ，解得， 即，， 设平面的法向量， ，，， 解得， 设直线与平面夹角为， ， 故直线与平面夹角的正弦值为. 1.坐标法求线面角 根据题目条件建立空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，再利用向量的夹角公式求角. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 2.基向量法求线面角 当坐标系不易建立时，可选用不共面的三个已知向量作为空间中的一个基底，将两直线的方向向量均用基底表示出来，再利用向量的夹角公式求角. 【变式2-1】（福建省百校联考2025-2026学年高三上学期11月联合测评数学试题）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 【分析】（1）取中点，连接，由等腰三角形证明，由勾股定理证明，综合证明平面，即可证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）取中点，连接， ， 又， 平面平面， 平面. 在中，， ， 又平面， 平面， 平面平面平面. （2）由（1）可知以为原点， 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设是平面的一个法向量，则， 取，则， 设与平面所成的角为， 则， ， 与平面所成角的余弦值为. 【变式2-2】（浙江省9 1高中联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点，且， (1)若，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 【分析】（1）应用中位线得出，进而得出线面平行； （2）先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求参. 【详解】（1）当时，则为的中点，所以为的中点， 又为的中点，所以为的中位线， 所以，又平面，而平面， 所以平面 （2）如图，设为线段的中点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，则，得． 设直线与平面所成的角为， 则 则，化简得，则或． 题型03 求两平面的夹角或二面角 【典例3-1】如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 【答案】 【分析】依题意，可得，，及，再由空间向量的数量积公式与模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以. 由，得. 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【典例3-2】（25-26高二上·北京·期中）如图，正方形的边长为4，，分别为，的中点.将正方形沿着线段折起，使得.设为的中点.    (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的余弦值. 【分析】（1）依题意可得，，即可证明平面，从而得证； （2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）求出平面、的法向量，利用空间向量计算可得. 【详解】（1）折叠前，在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，则且， 又因为，则四边形为矩形， 即，， 折叠后仍有，， ，、平面，平面， 平面，. （2），，故为等边三角形， 为的中点，所以， 因为，，、平面，平面， 设中点为，连接，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为.    （3）因为，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得 而为平面的一个法向量， ∴， 由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 1.基向量法求二面角 在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线，反复利用向量的线性运算法则对两条直线的方向向量进行转化,求出两条直线方向向量的夹角，进而求得二面角的大小. 2.利用法向量求二面角 即找或作出两个平面的法向量，并求得它们的坐标，再结合向量夹角公式求解。. 【变式3-1】在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法列式计算即得. 【详解】四棱锥的底面是正方形，底面， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 设平面和平面的法向量分别为， 则，令，得； ，令，得， 依题意，解得，所以. 【变式3-2】（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是棱上的点，点是棱的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【分析】（1）根据线面垂直判定定理先证明平面，再根据面面垂直判定定理证明结论即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算分别确定平面与平面的法向量，根据向量夹角余弦公式即可得平面与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）因为正方体， 所以平面，又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的法向量为， 所以，令得， 又因为平面，所以为平面的一个法向量， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 题型04 求点到平面的距离 【典例4】（25-26高二上·北京·月考）如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. (1)求证：平面PBC； (2)求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； (3)求点D到平面ABE的距离. 【分析】（1）取PC的中点F，连接，BF，根据平行关系可证，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面ABE与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）由（2）可得，平面ABE的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）取PC的中点F，连接，BF， 因为E是PD的中点，则，， 又因为，，则，， 可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. （2）在平面内过点B作垂直于AB， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，可得，， 且，以B为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面ABE的法向量为，则， 取，则，，可得， 又因为平面的一个法向量为 设平面ABE与平面所成角为，且为锐角， 则， 故平面ABE与平面所成角的余弦值为. （3）由（2）可知：，平面ABE的法向量为， 所以点D到平面ABE的距离. 利用空间向量求点面距的一般步骤 1．求出该平面的一个法向量； 2．找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； 3．求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 【变式4-1】（25-26高二上·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点B到平面AEF的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，再利用法向量夹角和面面角之间的关系可得； （3）可得，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面． （2）因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）因为， 所以点B到平面AEF的距离为. 【变式4-3】如图，在正三棱柱中，，分别为的中点． 线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【分析】分别取中点O，，连接，进而以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在点G，设，进而根据得，再计算点到面的距离即可． 【详解】分别取中点O，，连接． 因为是正三棱柱， 所以平面，． 所以平面，平面，所以． 以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 则． 所以． 设平面的法向量为， 所以，即 令，解得，所以． 假设存在点G，设． 所以，所以． 由知，若， 则． 解得．即G与C为同一个点． 因为，平面的法向量为， 所以点G到平面的距离． 题型05 求点到直线的距离 【典例5】已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间点到直线距离公式进行计算. 【详解】 如图，以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以直线的方向向量为，而， 则，在上的投影长为. 所以点B到直线的距离. 故答案为：. 求点到直线的距离的方法 1.几何法. 过这点向直线作垂线,则这点与垂足间的距离就是点到直线的距离,此时往往通过解这条垂线段所在的一个直角三角形求得距离. 2.向量法 (1)将点到直线的距离问题转化为求向量的模的问题,即利用待定系法求出垂足的坐标,然后利用向量模长的坐标表示求解,这是求各类距离的通法. (2)直接套用点到直线的距离公式求解. 【变式5-1】在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 【变式5-2】四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 题型06 其它距离问题 【典例6-1】如图，正方体中，棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、D1C1、B1C1中点， ⑴求证：平面AMN∥平面EFBD； ⑵求平面AMN与平面EFBD的距离. A C D A1 B1 C1 B D1 M N F E 【详解】(1)分别以DA、DC、DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），M（2，0，4），N（4，2，4），D（0，0，0），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4），取MN中点G及EF中点K，BD中点Q，则G（3，1，4），K（1，3，4），Q（2，2，0） ∴=（2，2，0），=（2，2，0），=（-1，1，4）， =（-1，1，4） ∴=，=，∴MN∥EF，AG∥QK ∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD。 ⑵设=（x，y,z）为平面EFBD的法向量， 则· 令x=1,得y=1,z=，所以=（1，-1，）， 在上的投影为 平面AMN与平面EFBD的距离为 【典例6-2】（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 1.求两平行线间的距离的方法 求平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离,即在一条直线上取一个适当的点,则该点到另一条直线的距离就是这两条平行线间的距离. 2.求直线到平面的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任一点到该平面的距离，叫直线到平面的距离． (2)求直线到平面的距离时，一般转化为点到面的距离． 3.求两平行平面间的距离 (1)当两平面平行时，一个平面内任一点到另一平面的距离，叫平面到平面的距离． (2)求平面到平面的距离时，一般也是转化成点到面的距离． 【变式6-1】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知棱长为1的正方体中，分别为的中点，则直线与平面之间的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 【变式6-2】（24-25高二上·四川自贡·阶段练习）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【详解】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 题型07与空间角或距离有关的探究性问题 【典例7】如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 对于存在性和探究性问题，常用的方法是假定存在符合条件的点（或线），然后在此条件下解决该问题，若存在，则一定能求出结果；若不存在，则能推出矛盾. 【变式7】如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）取中点记为，连接EF，CF，通过证明四边形为平行四边形，然后可证平面； （2）中点为，连接，，由勾股定理可得，结合可得 平面，即，又由即可证明平面； （3）以为坐标原点建立空间直接坐标系，设，然后利用待定系数法求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可. 【详解】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3）由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 题型08与空间角或距离有关的最值(范围)问题 【典例8】如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设点，其中，利用空间向量法求出点到平面的距离，再利用锥体的体积公式以及三角函数的有界性可求得三棱锥的体积的最大值； （3）利用空间向量法可求得二面角余弦值的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以， 易知平面的一个法向量为，则，即， 又因为平面，所以平面. （2）不妨设点，其中， 则、、， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 所以点到平面的距离为， 因为为是圆柱的一条母线，故平面， 因为平面，故，则， 所以 ， 因为，则，故，所以， 则， 即三棱锥的体积的最大值为. （3）设平面的一个法向量为， ，，则， 取，则， 所以 ， 因为，则，故. 结合图形可知，二面角的平面角为锐角， 因此，二面角余弦值的取值范围为. 对于空间角或距离的范围（最值）问题，一般利用夹角公式或距离公式建立关于变量的函数，利用函数思想求其范围或最值. 【变式8】等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先找到直线与直线所成的角，再证明平面平面，作出四棱锥的高即可求解； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再利用三角函数的范围即可求解. 【详解】（1），是的中点，， 又，，，四边形为菱形， 则，在翻折过程中，总有，，， 又平面，平面，， 平面. （2），分别为棱，的中点， ，直线与直线成角，即为与直线成， 则或，为边长为1的正三角形或顶角为的等腰三角形， 又四边形是上下底长分别为1和2的梯形，且， 四边形的面积为, 由（1）知平面，又平面，平面平面， 过点作于， 平面平面，平面， 平面，则， 四棱锥的体积. （3）由（1）（2）知平面平面，且， 分别以，所在直线为轴，轴， 以过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 在翻折过程中设， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，，令，则，， ； 平面，可取平面的一个法向量为， ， 又，，则， 在翻折过程中平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 一、单选题 1．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中点到平面距离公式求解. 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 3．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出各点坐标，求得平面法向量，利用线面角公式计算化简求得答案. 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以.故选:A. 4. （25-26高二上·北京·月考）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧、弧的长度分别为，已知为弧的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，， 在下底面作， 以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图： 因为，所以扇环对应的两个圆的半径之比为1：2， ，所以，得， 则即，即， ，，，， ，， . 所以， 又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 5．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 6．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】    如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 7．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到各点的坐标，再应用二面角的空间向量解法得到参数的关系式，最后求出的表达式即可得解. 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为已知是四边形内部一点，所以设， 其中且（即点在平面内部）， 则， 因为轴平面，所以平面的法向量可取， 又因为， 设平面的法向量为， 则，即， 由题易得，令，则， 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以， 即，解得， 所以， 当时，， 所以线段AQ长度的最小值是. 故选：A. 8．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角即可. 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 二、多选题 9．在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 10．（多选）如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面AEF C．异面直线与EF所成角的余弦值为 D．点到平面AEF的距离为2 【答案】ABD 【分析】由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利用空间向量垂直、夹角、距离等公式计算即可逐一验证判断. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，因， 则，故，A正确； 对于B，，， 设平面AEF的法向量为， 则故可取， 因，则，又平面AEF， 故平面AEF，故B正确； 对于C，因， 则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，由上分析已得平面AEF的法向量为， 则点到平面AEF的距离为，D正确. 故选：ABD. 11（25-26高二上·浙江·期中）底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足．则下列结论正确的是（   ） A．若，则点在平面上 B．若，则点在平面上 C．若，则点到直线的距离为 D．若时，直线与面所成角的正弦值取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于AB，根据共面向量定理判断，对于CD，利用向量法求出点到线的距离，和线面角的正弦值即可. 【详解】解：对于A：时，， 由共面向量定理知，共面， 所以点不在面上，故A错误； 对于B：，所以，共面， 所以，点在面上，故B正确； 对于C：以为原点，所在直线分别为轴建系， 则，，，，， 所以， 则， 故，故C正确； 对于D：根据C选项可知， 又 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面的夹角为， 则 因为，则， 当时有最大值，当时有最小值，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 13．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为 ． 【答案】 【分析】由，两边平方进行求解． 【详解】设向量的夹角为，则， 由题意可得：， 因为， 则， 即，解得， 由，可得， 因为，，平面平面，平面，平面， 故平面与平面的夹角为. 14．（25-26高二上·河南焦作·期中）在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值. 【详解】因为四边形为正方形，底面，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则、、， ，， 故点到直线距离为 令， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最小值，即. 四、解答题 15．（24-25高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线到平面的距离． 【分析】1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离； （2）先证明，把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， ，，，． 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2）因为，， 所以， 所以， 所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面 的距离， 设平面的一个法向量为， 又，，， 由， 令，则，，即， 又， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为． 16．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）证明空间中三线两两垂直，建立空间直角坐标系，由线段长写出点坐标，然后利用空间向量的数量即求出平面法向量，由直线方向向量和平面法向量的数量积求得线面角的正弦值； （2）点存在，设，即得到点坐标，然后由线面垂直得到空间向量的数量积，解得即为的值. 【详解】（1）∵，， ∴，即，， 又∵二面角为直角，∴， ∴如图建立空间直角坐标系， ∵，为的中点， ∴，，，，， 则，，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则， ， 设直线与平面所成角为， 则.    （2）存在这样的点， 设， ∵中点为，∴， 则， 当平面时，，解得， 即.    17．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知，分别为，的中点，平面与棱交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先由条件证明平面，再由平面得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上存在一点，满足，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 因平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，.，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，， ， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）由（2）可得，则， 假设线段上存在一点，满足， 则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 18．（25-26高二上·四川成都·期中）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．    (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【分析】（1）由线面平行的性质即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据点到平面的距离的向量法公式求解， （3）根据几何体的结构特征可求得球心的坐标，然后求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解. 【详解】（1）∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面 又平面，平面平面， ∴    （2）如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得，取 ∴点M到平面PBC的距离为 （3）∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，且， ∴，解得，即 设，则 又，设平面的法向量为 则，，取 设直线与平面所成角为，则 ， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，最大值为． 19．（24-25高二上·云南昆明·期中）广州塔昵称“小蛮腰”，是中国的地标性景点，其表面所在曲面可以近似看成旋转双曲面，我们可以建立恰当的空间直角坐标系来刻画并研究它的形状．如图在空间直角坐标系中，某旋转双曲面上任意一点都满足方程．记所有满足这一方程的点构成的点集为，已知点．    (1)证明：； (2)若过A的直线的一个方向向量为，且，求和； (3)若，，，，证明：． 【分析】（1）将点代入计算即可证明； （2）由题意可得直线上任意一点为，由，代入计算即可求解； （3）根据向量坐标运算得，， 由向量夹角坐标运算及二倍角公式即可得证. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以； （2）设直线上任意一点为，（点异于点） 由题意可得，， 所以，即，即， 因为，所以， 则，整理得， 要使不等式恒成立，则，解得； （3）因为，所以， ，， 因为，所以， 所以，又因为，则， ， ， 所以，, ， ， ， ， 所以， ， 因为， 所以，即. 33 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $