专题01 集合与常用逻辑用语（易错专练，6大易错点+典例分析+避错攻略+举一反三+易错通关）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题01 集合与常用逻辑用语 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 忽略集合中元素的互异性 易错点2 集合运算中忽略空集 易错点3 集合区间端点混淆 易错点4 充要条件判定颠倒逻辑 易错点5 命题否定中量词与结论漏改 易错点6 由命题的真假求参时不能正确转化 第二部分 易错题闯关 易错点1 忽略集合中元素的互异性 易错典题 【例1】（25-26高三上·湖北孝感高级中学期中）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．1或 【答案】B 【解析】若，则集合B是集合A的子集，所以或. 当时，，则，不满足集合中元素的互异性，不合题意（易错点）； 求得后，容易忽视回代检验，从而致错 当时，，即，解得：或（易错点）， 注意将参数值回代到集合中去，检验集合中元素的互异性 若，则，不满足集合中元素的互异性，不合题意； 若，则，符合题意. 故实数的值为2. 故选：B. 【错因分析】本题易忽略集合元素的互异性而错选C或D. 知识混淆：对 “集合” 概念理解不全面，忽略 “集合中的元素具有互异性” 这一特性，从而未将求得的值回代到集合中去检验. 概念模糊：对 “元素与集合间的关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “集合A或B中元素不满足互异性” 的可能性，导致思维存在漏洞. 望文生义：利用集合的运算求得a的值后，就想当然认为所求得的a值即为最终结果，未结合参数a的取值对集合A,B中元素是否满足互异性进行全面分析. 避错攻略 【方法总结】建立 “先求参数的值，再回代集合检验”的思维流程，牢记 “集合中的元素具有互异性”. 【知识链接】1.集合中元素的三大特性 (1)确定性：判断对象能否构成集合的依据． (2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验． (3)无序性：常用于判断集合相等． 2.根据元素与集合以及集合间关系求参数的三大步骤 第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值； 第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验； 第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）. 举一反三 【变式1-1】（25-26高三上·浙江宁波六校期中）已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【答案】D 【解析】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知，若，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由，得， 根据集合中元素的互异性可得，所以或，解得. 此时，满足题意. 故选：C 【变式1-3】（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以集合与集合中的元素完全相同， 已知，，由于在两个集合中都有，那么就有两种情况： 情况一：， 情况二：， 求解情况一： 由，可得或， 当时，集合，不满足集合中元素的互异性，所以舍去， 当时，将代入，得到，即，解得， 此时，，满足； 求解情况二： 由和，将代入中，得到，即，解得， 当时，集合，不满足集合中元素的互异性，所以舍去这种情况； ​所以，，所以. 故选：A. 易错点2 集合运算中忽略空集 易错典题 【例2】（2024·全国卷）已知集合A={x∣x2−3x+2=0}，B={x∣ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合是 A．{0，1，​} B．{1，​} C．{0， ​} D．{0，1​} 【答案】A 【解析】解方程x2−3x+2=0，因式分解得(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2，因此A={1,2}. 集合B={x∣ax=1}，需分B=∅和B≠∅两种情况讨论（易错点）： 不要忽视考虑B=∅这一种情况 情况 1：B=∅方程ax=1无解，此时a=0（因为当a=0时，0⋅x=1无实数解）.空集是任何集合的子集，故a=0符合条件. 情况 2：B≠∅此时a≠0，方程ax=1的解为x=.因为B⊆A，所以必须是A中的元素，即=1或=2： 若=1，解得a=1；若=2，解得a=. 综上，a的取值为0、1、，因此a的取值集合为{0，1，​}. 【错因分析】求解 “B⊆A” 类问题时，漏算B=∅的情况. 知识混淆：对 “子集” 概念理解不全面，忽略 “空集是任何集合的子集” 这一特殊性质，仅关注B为非空集合的情况. 概念模糊：对 “集合包含关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “B为空集” 的可能性，导致思维存在漏洞.望文生义：看到 “ax=1” 就默认方程有解，想当然认为B一定非空，未结合参数a的取值对集合B存在性的影响进行全面分析. 避错攻略 【方法总结】建立 “先判空集，再分析非空”的思维流程，牢记 “空集是任何集合的子集”. 【知识链接】1.集合与元素关系的判断方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足. 2.对于集合之间的关系常用到的结论： (1)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. (2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故当B⊆A时，应分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论. 3.破解集合间基本关系的方法：数轴法、Venn图法. 举一反三 【变式1-1】（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】D 【解析】由得, 又， 当时，，符合题意， 当时，， 则或，解得或， 所以a的值是或， 故选：D 【变式1-2】（24-25高三上·河北定州中学·阶段测试）设集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）依题意，， 由，得，则，解得或， 当时，则，满足； 当时，则，满足， 所以或. （2）由（1）可知，，， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，由（1）知； 若，则，无解， 所以实数的取值范围是. 易错点3 集合区间端点混淆 易错典题 【例3】（25-26高三上·河南·开学考试）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】（1），， 因为等价于， 所以（易错点）， 注意各端点值处的等号是否取得到 解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为等价于， 若，则（易错点）， 注意此处需取等号 即时，符合题意； 若，则，无解（易错点）； 列式时要考虑自身满足的条件：，同时要注意端点值是否取等号 综上，实数的取值范围为. 【错因分析】 由集合间的关系或运算求参数的值或取值范围时，容易因在区间端点处取不取等号而致错. 知识混淆：对两集合间“包含和真包含” 概念理解不全面，从而导致列式时端点值该取等号时不取等号，不能取等号时取等号. 概念模糊：对 “集合包含关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “区间端点处是否能取等号”，导致思维存在漏洞. 望文生义：分析两集合间关系时，对区间端点值想当然认为能取等号，或者想当然认为不能取等号，未结合数轴或Venn图进行全面分析. 避错攻略 【方法总结】结合数轴或Venn图，将集合表示出来，数形结合确定区间端点的取舍. 【知识链接】集合运算的常见运算性质： 1.A∩B＝B∩A；A∩B⊆A；A∩B⊆B；A∩A＝A；A∩＝. 2. A∪B＝B∪A;A⊆A∪B;B⊆A∪B;A∪A＝A,A∪＝A 3. A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝ 举一反三 【变式3-1】（25-26高三上·河南·阶段练习）设全集，已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，有，           又由，有 （2）由， 则①当时，由，解得； ②当时，或， 解得．           由上知，若，则实数a的取值范围为． 【变式3-2】(25-26高三上·北京·期中联考）已知全集，集合，， (1)分别求和； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或， (3) 【解析】（1）由， ， 故， 或，故或 （2）由得， 当时，，则满足题意， 当时，则，解得， 综上可得或， （3）由得，解得， 易错点4 充要条件颠倒逻辑 易错典题 【例4】（25-26高三上·浙江宁波·阶段测试）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（易错点）. 要注意“A是B的充分条件”和“A的充分条件是B”的区别. 故选D 【错因分析】在判断充分性和必要性时，易错的地方是颠倒逻辑，混淆充分条件与必要条件. 知识混淆：不能区分“A的条件是B”和“A是B的条件”，将两者混为一谈. 概念模糊：对 “充分性和必要性” 的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞. 望文生义：判断或者探求充分性或必要性时，受思维定势的影响，认为“A的条件是B”等价于“A是B的条件”，而未从逻辑上去分析两者的区别. 避错攻略 【方法总结】在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p是q的…,则p是条件，q是结论;若p的…条件是q,则p是结论,q是条件. 【知识链接】1掌握充分、必要条件的概念及类型 (1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果pq，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件； (3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件； (4)如果qp，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件； (5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件. 2.灵活运用判断充分、必要条件的方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断； (2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它们之间的关系. (3)利用集合间的包含关系进行判断： 设满足条件p的对象组成的集合为A，满足条件q的对象组成的集合为B， 则由集合间的包含关系易得如下图表: 记法 关系 图示 A B B A A=B A B A B 或 结论 是的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件. (4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可． 举一反三 【变式4-1】（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断． 【解析】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意. 对于B，由，得，所以，可推出，符合题意. 对于C，，可得，不符合题意. 对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意. 故选：B． 【变式4-2】（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．使不等式成立的一个充分条件是 C．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 D．若关于x的不等式在上的解集是空集，则实数的取值范围是 【答案】C 【解析】对于A，若，当时，，故由不能推出； 若，例如，，此时不成立， 故由也不能推出， 即是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B，当时，则，， 所以不是不等式成立的充分条件，故B错误； 对于C，由解得，记集合， 设为集合， 若“”的一个必要不充分条件是“”， 即B是A的必要不充分条件，则是的真子集， 故需满足或，解得， 经检验，当时，是的真子集，符合题意， 故实数的取值范围是，故C正确； 对于D，关于x的不等式在上的解集是空集， 则，解得 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【解析】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 易错点5 命题否定中量词与结论漏改 易错典题 【例5】（25-26高三上·河北·期中）设命题，，则的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】先变量词：将变为， 再否结论，将结论否定为：， 从而可得的否定为：，（易错点）. 既要变量词，又要否结论，缺一不可 故选C. 【错因分析】在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词，或者只否定结论. 知识混淆：以为命题的否定只需否定结论，或者只需修改量词，错因还是相关知识掌握不够透彻. 概念模糊：未正确理解 “命题的否定”的改写方法，从而导致思维受阻. 望文生义：写命题否定时，以为仅变量词或仅否结论即可，从而造成逻辑错误. 避错攻略 【方法总结】在写出含有一个量词的命题的否定时，只需先变量词，再否定结论即可. 【知识链接】1.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、每一个、任意、任何、一切等 ∀ 存在量词 有些、有一个、存在等 ∃ 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题名称 符号表示 命题的否定 全称量词命题 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题 ∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) [微提醒]　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 举一反三 【变式5-1】（25-26高三上·广东梅州·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题“”为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 【变式5-2】（多选）（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知命题：平行四边形的对角线相等，，则（    ） A．是存在量词命题 B．是存在量词命题 C．：有些平行四边形的对角线不相等 D．是真命题 【答案】BCD 【解析】“平行四边形的对角线相等”的意思为“所有的平行四边形的对角线都相等”， 故命题为全称量词命题，其否定为“有些平行四边形的对角线不相等”，故A错，C对； 由存在量词命题的形式可知，为存在量词命题，B对； 记，因为，， 由零点存在性定理可知，在区间内有零点， 即，D对. 故选：BCD 易错点6 由命题的真假求参时不能正确转化 易错典题 【例6】（25-26高三上·山西·阶段练习若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为假命题，所以为真命题， 即当时，恒成立（易错点）. 本题易错之处是不能将问题转化为不等式恒成立问题求解 因为函数图象的对称轴为， 所以当时，，所以， 即，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【错因分析】由含有一个量词的命题的真假求参数的值或取值范围时，不能正确进行转化，从而导致错解. 知识混淆：混淆“恒成立”与“能成立”. 概念模糊：未正确理解由含有一个量词命题的真假，从而导致无法正确转化. 望文生义：审题不清，从而导致思维混乱. 避错攻略 【方法总结】1.利用全称量词命题求解参数的范围 全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解. 2.利用存在量词命题求解参数的范围 存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性. 【知识链接】1.命题p和¬p的真假性相反，在判断命题的真假时，可先判断此命题的否定的真假. 2．判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键. (2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假;当原命题为假时，命题的否定为真. 3．不等式的恒成立： (1)若，恒成立，则; (2)若，恒成立，则. (3)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有. (4)若对、 ，恒成立，则. 4.不等式的能成立： (1)若，使得，则； (2)若，使得，则. 5.存在性与任意性并存： (1)若对，，使得,则. (2)若对，，使得，则. (3)若，使得，则< . 4.子集思想的应用 已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B， 若对,，使得=成立，则. 举一反三 【变式6-1】（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若“”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设， ，即，在上有解， 则，由变形得， 当时，，根据有解，得. 【变式6-2】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】依题意知. 因为在上单调递减，所以. 又在上单调递增，所以， 因此，则. 【变式6-3】（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知p：，q：． (1)若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）若为真命题， 当时，不等式恒成立； 当时，有，解得， 所以为真命题的取值范围是，故为假命题的取值范围是. （2）等价于， 又，故，即为真命题的的取值范围是， 由（1）为真命题的取值范围是， 若p，q中有且仅有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，则，解得， 若假真，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 1．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题，，则是“，”， 故选：D 2．（25-26高三上·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，， 又因为， 当即时，，不符合题意； 当即时，，符合题意； 则. 故选：C. 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，，则实数a取值的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】或，解得或2， 由集合互异性知，故， 故选：C． 4．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：，；q：，，则（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 【答案】C 【解析】对于命题p：当时，， 可知p是假命题，即是真命题； 对于命题q：当时，， 可知q是真命题，即是假命题. 故选：C. 5．（25-26高三上·广西·期中）“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】图象的对称轴为直线，若在上单调，则， 对于A，“”是“函数在上单调”的一个充要条件，故A错误； 对于B，“”是“函数在上单调”的一个必要不充分条件，故B正确； 对于C，“”是“函数在上单调”的一个充分不必要条件，故C错误； 对于D，“”是“函数在上单调”的一个既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：B 6．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（25-26高三上·福建福州·阶段练习），已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 由或；由， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 当，解得或， 当时，，而，没有最小值，不成立， 当时，，则， 所以的最小值为. 故选：B. 9．（多选）（24-25高三上·广东广州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．不等式的解集是 B．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 C．命题，，则， D．，表示同一集合 【答案】BD 【解析】对于A，由可得，故，解得， 故不等式的解集是，故A错误； 对于B，命题“，”为真命题，则， ，，则， 则是命题为真命题的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题，，则，，故C错误； 对于D，，故与表示同一集合，D正确. 故选：BD. 10．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【解析】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“，使得”为真命题时，实数的取值集合为，则 . 【答案】 【解析】因为命题“，使得”为真命题， 所以在时有解，所以，， 因为，所以，所以，所以， 所以， 12．（20-21高三上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当，有，则，，使得成立， 等价于，，即，在上恒成立， 参变分离可得，，而当，， 当且仅当，即时取等号，所以. 13．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】若为真命题，当时，可得恒成立，满足题意， 当时，则有，解得， 综上，当为真命题时，实数满足； 若为真命题，则有，解得， 故当为真命题时，实数满足； 中有且仅有一个为真命题， 当为真命题，为假命题时，实数满足，解得； 当为假命题，为真命题时，实数满足，解得. 综上，当中有且仅有一个为真命题时，实数的取值范围是. 14．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）非空集合，由“”是“”的充分条件，得， 而，则或，解得或， 所以实数b的取值构成的集合为. （2）由“，都有”为真命题，得， 而，，则或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以实数a的取值构成的集合是. 15．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是D，对于，定义集合. (1)已知函数，求； (2)已知函数，且，求实数m的取值范围； (3)若函数，对任意的，，且，都有，求实数a的值. 【答案】(1);(2);(3)2 【解析】（1）因为，所以，即， ，即，解得或， 所以. （2）因为， 所以，即，即， ①当，即时，上面不等式的解集为， 因为，所以，则，即， 所以； ②当，即时，不等式的解集为，满足； ③当，即时，不等式的解集为， 不满足，不合题意. 综上，满足的实数的取值范围为. （3）由题，对任意的，且，都有， 若，则，即由，则， 所以，结合，可知在定义域上单调递增， 即对恒成立，又（*）， 即，对恒成立， 令，则，则由（*）可得， 令，，问题转化为，对恒成立， 因， 若，在上恒成立，即在上单调递增， 又时，，不满足，对恒成立； 若，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得最小值，为， 因为恒成立，所以， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得最大值为， 因此，不等式当且仅当时成立，此时对恒成立， 所以实数的值为2. 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 忽略集合中元素的互异性 易错点2 集合运算中忽略空集 易错点3 集合区间端点混淆 易错点4 充要条件判定颠倒逻辑 易错点5 命题否定中量词与结论漏改 易错点6 由命题的真假求参时不能正确转化 第二部分 易错题闯关 易错点1 忽略集合中元素的互异性 易错典题 【例1】（25-26高三上·湖北孝感高级中学期中）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．1或 【答案】B 【解析】若，则集合B是集合A的子集，所以或. 当时，，则，不满足集合中元素的互异性，不合题意（易错点）； 求得后，容易忽视回代检验，从而致错 当时，，即，解得：或（易错点）， 注意将参数值回代到集合中去，检验集合中元素的互异性 若，则，不满足集合中元素的互异性，不合题意； 若，则，符合题意. 故实数的值为2. 故选：B. 【错因分析】本题易忽略集合元素的互异性而错选C或D. 知识混淆：对 “集合” 概念理解不全面，忽略 “集合中的元素具有互异性” 这一特性，从而未将求得的值回代到集合中去检验. 概念模糊：对 “元素与集合间的关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “集合A或B中元素不满足互异性” 的可能性，导致思维存在漏洞. 望文生义：利用集合的运算求得a的值后，就想当然认为所求得的a值即为最终结果，未结合参数a的取值对集合A,B中元素是否满足互异性进行全面分析. 避错攻略 【方法总结】建立 “先求参数的值，再回代集合检验”的思维流程，牢记 “集合中的元素具有互异性”. 【知识链接】1.集合中元素的三大特性 (1)确定性：判断对象能否构成集合的依据． (2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验． (3)无序性：常用于判断集合相等． 2.根据元素与集合以及集合间关系求参数的三大步骤 第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值； 第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验； 第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）. 举一反三 【变式1-1】（25-26高三上·浙江宁波六校期中）已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【变式1-2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知，若，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 易错点2 集合运算中忽略空集 易错典题 【例2】（2024·全国卷）已知集合A={x∣x2−3x+2=0}，B={x∣ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合是 A．{0，1，​} B．{1，​} C．{0， ​} D．{0，1​} 【答案】A 【解析】解方程x2−3x+2=0，因式分解得(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2，因此A={1,2}. 集合B={x∣ax=1}，需分B=∅和B≠∅两种情况讨论（易错点）： 不要忽视考虑B=∅这一种情况 情况 1：B=∅方程ax=1无解，此时a=0（因为当a=0时，0⋅x=1无实数解）.空集是任何集合的子集，故a=0符合条件. 情况 2：B≠∅此时a≠0，方程ax=1的解为x=.因为B⊆A，所以必须是A中的元素，即=1或=2： 若=1，解得a=1；若=2，解得a=. 综上，a的取值为0、1、，因此a的取值集合为{0，1，​}. 【错因分析】求解 “B⊆A” 类问题时，漏算B=∅的情况. 知识混淆：对 “子集” 概念理解不全面，忽略 “空集是任何集合的子集” 这一特殊性质，仅关注B为非空集合的情况. 概念模糊：对 “集合包含关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “B为空集” 的可能性，导致思维存在漏洞.望文生义：看到 “ax=1” 就默认方程有解，想当然认为B一定非空，未结合参数a的取值对集合B存在性的影响进行全面分析. 避错攻略 【方法总结】建立 “先判空集，再分析非空”的思维流程，牢记 “空集是任何集合的子集”. 【知识链接】1.集合与元素关系的判断方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足. 2.对于集合之间的关系常用到的结论： (1)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. (2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故当B⊆A时，应分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论. 3.破解集合间基本关系的方法：数轴法、Venn图法. 举一反三 【变式1-1】（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式1-2】（24-25高三上·河北定州中学·阶段测试）设集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 易错点3 集合区间端点混淆 易错典题 【例3】（25-26高三上·河南·开学考试）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】（1），， 因为等价于， 所以（易错点）， 注意各端点值处的等号是否取得到 解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为等价于， 若，则（易错点）， 注意此处需取等号 即时，符合题意； 若，则，无解（易错点）； 列式时要考虑自身满足的条件：，同时要注意端点值是否取等号 综上，实数的取值范围为. 【错因分析】 由集合间的关系或运算求参数的值或取值范围时，容易因在区间端点处取不取等号而致错. 知识混淆：对两集合间“包含和真包含” 概念理解不全面，从而导致列式时端点值该取等号时不取等号，不能取等号时取等号. 概念模糊：对 “集合包含关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “区间端点处是否能取等号”，导致思维存在漏洞. 望文生义：分析两集合间关系时，对区间端点值想当然认为能取等号，或者想当然认为不能取等号，未结合数轴或Venn图进行全面分析. 避错攻略 【方法总结】结合数轴或Venn图，将集合表示出来，数形结合确定区间端点的取舍. 【知识链接】集合运算的常见运算性质： 1.A∩B＝B∩A；A∩B⊆A；A∩B⊆B；A∩A＝A；A∩＝. 2. A∪B＝B∪A;A⊆A∪B;B⊆A∪B;A∪A＝A,A∪＝A 3. A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝ 举一反三 【变式3-1】（25-26高三上·河南·阶段练习）设全集，已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式3-2】(25-26高三上·北京·期中联考）已知全集，集合，， (1)分别求和； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 易错点4 充要条件颠倒逻辑 易错典题 【例4】（25-26高三上·浙江宁波·阶段测试）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（易错点）. 要注意“A是B的充分条件”和“A的充分条件是B”的区别. 故选D 【错因分析】在判断充分性和必要性时，易错的地方是颠倒逻辑，混淆充分条件与必要条件. 知识混淆：不能区分“A的条件是B”和“A是B的条件”，将两者混为一谈. 概念模糊：对 “充分性和必要性” 的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞. 望文生义：判断或者探求充分性或必要性时，受思维定势的影响，认为“A的条件是B”等价于“A是B的条件”，而未从逻辑上去分析两者的区别. 避错攻略 【方法总结】在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p是q的…,则p是条件，q是结论;若p的…条件是q,则p是结论,q是条件. 【知识链接】1掌握充分、必要条件的概念及类型 (1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果pq，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件； (3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件； (4)如果qp，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件； (5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件. 2.灵活运用判断充分、必要条件的方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断； (2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它们之间的关系. (3)利用集合间的包含关系进行判断： 设满足条件p的对象组成的集合为A，满足条件q的对象组成的集合为B， 则由集合间的包含关系易得如下图表: 记法 关系 图示 A B B A A=B A B A B 或 结论 是的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件. (4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可． 举一反三 【变式4-1】（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．使不等式成立的一个充分条件是 C．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 D．若关于x的不等式在上的解集是空集，则实数的取值范围是 【变式4-3】（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 易错点5 命题否定中量词与结论漏改 易错典题 【例5】（25-26高三上·河北·期中）设命题，，则的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】先变量词：将变为， 再否结论，将结论否定为：， 从而可得的否定为：，（易错点）. 既要变量词，又要否结论，缺一不可 故选C. 【错因分析】在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词，或者只否定结论. 知识混淆：以为命题的否定只需否定结论，或者只需修改量词，错因还是相关知识掌握不够透彻. 概念模糊：未正确理解 “命题的否定”的改写方法，从而导致思维受阻. 望文生义：写命题否定时，以为仅变量词或仅否结论即可，从而造成逻辑错误. 避错攻略 【方法总结】在写出含有一个量词的命题的否定时，只需先变量词，再否定结论即可. 【知识链接】1.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、每一个、任意、任何、一切等 ∀ 存在量词 有些、有一个、存在等 ∃ 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题名称 符号表示 命题的否定 全称量词命题 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题 ∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) [微提醒]　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 举一反三 【变式5-1】（25-26高三上·广东梅州·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知命题：平行四边形的对角线相等，，则（    ） A．是存在量词命题 B．是存在量词命题 C．：有些平行四边形的对角线不相等 D．是真命题 易错点6 由命题的真假求参时不能正确转化 易错典题 【例6】（25-26高三上·山西·阶段练习若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为假命题，所以为真命题， 即当时，恒成立（易错点）. 本题易错之处是不能将问题转化为不等式恒成立问题求解 因为函数图象的对称轴为， 所以当时，，所以， 即，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【错因分析】由含有一个量词的命题的真假求参数的值或取值范围时，不能正确进行转化，从而导致错解. 知识混淆：混淆“恒成立”与“能成立”. 概念模糊：未正确理解由含有一个量词命题的真假，从而导致无法正确转化. 望文生义：审题不清，从而导致思维混乱. 避错攻略 【方法总结】1.利用全称量词命题求解参数的范围 全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解. 2.利用存在量词命题求解参数的范围 存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性. 【知识链接】1.命题p和¬p的真假性相反，在判断命题的真假时，可先判断此命题的否定的真假. 2．判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键. (2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假;当原命题为假时，命题的否定为真. 3．不等式的恒成立： (1)若，恒成立，则; (2)若，恒成立，则. (3)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有. (4)若对、 ，恒成立，则. 4.不等式的能成立： (1)若，使得，则； (2)若，使得，则. 5.存在性与任意性并存： (1)若对，，使得,则. (2)若对，，使得，则. (3)若，使得，则< . 4.子集思想的应用 已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B， 若对,，使得=成立，则. 举一反三 【变式6-1】（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若“”为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式6-2】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【变式6-3】（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知p：，q：． (1)若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 1．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高三上·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，，则实数a取值的集合为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：，；q：，，则（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 5．（25-26高三上·广西·期中）“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高三上·福建福州·阶段练习），已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高三上·广东广州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．不等式的解集是 B．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 C．命题，，则， D．，表示同一集合 10．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 11．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“，使得”为真命题时，实数的取值集合为，则 . 12．（20-21高三上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 13．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为 . 14．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 15．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是D，对于，定义集合. (1)已知函数，求； (2)已知函数，且，求实数m的取值范围； (3)若函数，对任意的，，且，都有，求实数a的值. 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $