精品解析：海南省海口市海南中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

海南中学2025-2026学年第一学期期中考试 高一数学试题 考生注意： 1．答题前，务必将姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置，确保信息准确无误． 2．选择题答案必须用2B铅笔填涂在答题卡对应题号的选项上，修改时用橡皮擦干净；非选择题（填空题、解答题）需用黑色签字笔或钢笔在答题卡对应答题区域作答，超出区域、在试卷上作答或用铅笔作答均无效． 3．答题过程中不得使用涂改液、修正带，不得在试卷或答题卡上标记与答题无关的内容（如暗号、图案），否则按作弊处理． 4．严禁携带手机、智能手表等电子设备进入考场，若发现携带，立即按违纪处理． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若命题“，都有”，则命题的否定为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为实数，那么“”是“方程没有实数解”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若规定，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 0 6. 已知且，函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（ ）名 A. 10000 B. 8000 C. 4000 D. 3500 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 函数的值域为 C. D. 的值域为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与y= C. 与 D. 与 10. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（ ） A. B. C. 在R上单调递增 D. 的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图像经过点和点则_____. 13. 已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 14. 对于实数，，，记为，，中的最大者，例如：，．若非负实数，满足，则的最小值为_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）． （2）已知，．求的值． 16. 已知二次函数同时满足下列两个条件：①的解集为；②的最小值为． （1）请求出，，的值； （2）函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围． 17. 某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. （1）求总造价关于的表达式，并求出的最小值； （2）由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 18. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最小值； （2）若，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年第一学期期中考试 高一数学试题 考生注意： 1．答题前，务必将姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置，确保信息准确无误． 2．选择题答案必须用2B铅笔填涂在答题卡对应题号的选项上，修改时用橡皮擦干净；非选择题（填空题、解答题）需用黑色签字笔或钢笔在答题卡对应答题区域作答，超出区域、在试卷上作答或用铅笔作答均无效． 3．答题过程中不得使用涂改液、修正带，不得在试卷或答题卡上标记与答题无关的内容（如暗号、图案），否则按作弊处理． 4．严禁携带手机、智能手表等电子设备进入考场，若发现携带，立即按违纪处理． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若命题“，都有”，则命题的否定为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定为“，使得”. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】由集合，，则． 故选：B． 3. 已知为实数，那么“”是“方程没有实数解”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程没有实数解，可得出，求出实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由方程没有实数解，得，解得， 因为， 所以“”是“方程没有实数解”的必要而不充分条件． 故选：B． 4. 若规定，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照新的运算，则不等式可化为：，解此二次不等式即可得出答案. 【详解】由题意可知：不等式的解集可化为 即，得． 所以不等式的解集为. 故选：C． 5. 已知函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质列出方程组求解即可得到答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数 所以函数定义域关于原点对称，且. 则，解得. 所以. 故选：B 6. 已知且，函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、二次函数以及分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为且，函数在上单调递增， 函数在上单调递增； 函数在上单调递增，则； 由题意可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（ ）名 A. 10000 B. 8000 C. 4000 D. 3500 【答案】B 【解析】 【分析】由已知列出方程组，求解得出参数值，代入，即可得出答案. 【详解】由题意得：， 解得， 所以，． 故选：B． 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 函数的值域为 C. D. 的值域为 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像及定义分别判断各个选项即可. 【详解】作出的部分图像如下所示： A．由图像知在区间上单调递增，A选项正确； B．的值域为，B选项错误； C．，C选项正确； D．根据高斯函数的定义及的值域为，所以的值域为，D选项正确． 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与y= C. 与 D. 与 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求出每一个选项中两个函数的定义域、对应关系、和值域是否相同，即可得出结论. 【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为，定义域与对应关系均相同，故为同一函数，故B正确； 对于C：的定义域为，定义域为，定义域与对应关系均相同，故为同一函数，故C正确； 对于D：的值域是，的值域为，故D错误； 故选：BC. 10. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式可知A正确；由、结合基本不等式可求得BC正误；由，利用二次函数性质可求得D错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号）， 即的最大值为，A正确； 对于B，（当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，B正确； 对于C，（当且仅当时取等号）， 即的最小值为，C错误； 对于D，，又， 当时，取得最小值，D错误. 故选：AB. 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（ ） A. B. C. 在R上单调递增 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】令计算可得，即A正确，利用奇函数定义可证明B正确，由函数性质以及单调性定义证明可得在R上单调递减，可得C错误，根据函数单调性整理表达式并解不等式可得D正确. 【详解】对于A，令可得可得，因此A正确； 对于B，令可得，因此B正确； 对于C，取任意，且，则可得， 又因为当时，，所以 所以， 因此，所以， 可知在R上单调递减，因此C错误； 对于D，由可得， 也即，因此， 结合C中单调性可知，即，解得； 因此不等式的解集为,可得D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图像经过点和点则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】依次代入点和点即可求解. 【详解】， ， . 故答案为：3 13. 已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【解析】 【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 14. 对于实数，，，记为，，中的最大者，例如：，．若非负实数，满足，则的最小值为_____． 【答案】36 【解析】 【分析】方法一：令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 方法二：由消元，转化为，并在同一坐标系下画出函数其图象，找到最低点即得答案. 【详解】方法一：（配凑系数法）令，则． 为非负实数，且， ，因此． 且当时， 的最小值为36. 方法二：（转化为一元函数）由得， 令，则，在同一坐标系下画出函数的图象，如图．则函数的图象是图中的实线部分，显然点是图象的最低点． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）． （2）已知，．求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据指数幂运算求解即可. 【详解】（1）； （2）因为，．所以. 16. 已知二次函数同时满足下列两个条件：①的解集为；②的最小值为． （1）请求出，，的值； （2）函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得和3是方程的两根，进而得，，又由处取得最小值，进而求解； （2）由题意得解集为，分和两种情况即可求解. 【小问1详解】 不等式的解集为， ，3是方程的两根， ，，即，， 函数在处取得最小值， ， 即，，； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 整理为解集为， 当时，不等式为，该不等式恒成立； 当时，必须满足，解得， 综上知实数的取值范围是． 17. 某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. （1）求总造价关于的表达式，并求出的最小值； （2）由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 【答案】（1），最小值为万元； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知用表示出地面的另一边，进而求出墙面面积，再写出表达式，应用基本不等式求最值，注意取值条件； （2）由已知得，整理为一元二次不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，地面另一边的长度为米，则墙面面积为平方米， 所以，而， 当且仅当米时取等号，则的最小值为万元； 【小问2详解】 由题意，可得， 所以，即. 18. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ； （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 19. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最小值； （2）若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值. （2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 令，则由，可知的取值范围为， 故原函数可化为， 由对勾函数性质，可知在上单调递增， 因此在时取到最小值，此时， 所以当时，在上取到最小值. 【小问2详解】 依题意， 故当时，. 因为，总存在，使得， 设在上取值的集合为集合，则有. 当时，显然有在区间上单调递增， 此时， 由可知，解得 当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此有，即， 因为时，，故时，在上单调递增， 此时， 由此可得无解， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $